TI-Nachrichten 2/10

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Ausgabe 2/10

TI-Nachrichten

Ihre Erfahrung. Unsere Technologie. Mehr Lernerfolg.

Inhaltsverzeichnis

Dr. E. Bichler:

CAS-Rechner Handhelds vernetzt:

Das TI-Nspire™ Navigator™ System im Einsatz

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1 L. Breider:

Möglichkeiten der didaktischen

Reduktion beim logistischen Wachstum

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5 H.-U. Lampe:

Das Spirometer zur Veranschaulichung der

grundlegenden Idee der Integralrechnung

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7 Dr. U. Döring:

Das Problem der vollständigen Serie

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10 Dr. A. Pallack:

Krake Paul – ein neuer Nostradamus?

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12 Dr. G. Pinkernell:

Funktionale Zusammenhänge

in geometrischen Kontexten

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15 M. Roser:

Mietwagen – welches Angebot ist günstiger?

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17 Dr. A. Roulier:

Mathematische Experimente in der Optik – Teil 2

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21 D. Stirn:

Extremwertaufgabe mit einer Überraschung

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24 Dr. K.-H. Keunecke, M. Tewes:

Wir zeichnen unsere eigenen Bewegungen auf

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26 Tipps und Tricks:

H.-U. Lampe:

Neues Betriebssystem für

TI-84 Plus /TI-84 Plus Silver Edition

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28 Dr. W. Zappe:

Hinweise zur Verwendung der

Taste @ beim TI-Nspire

^TM

CAS

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30 CAS-Rechner Handhelds vernetzt: Das TI-Nspire™

Navigator™ System im Einsatz

Dr. Ewald Bichler

Mithilfe der TI-Navigator^TM Technologie lassen sich TI-Nspire^TM Handhelds im Klassenzimmer drahtlos vernetzen. Dieser Artikel gibt einen Einblick in die Verwendungsweise vom TI-Nspire™ Navigator™ Systen im Klassenzim- mer. Zunächst wird diese Technologie kurz beschrieben. Im Anschluss daran erfolgt ein Überblick über die Möglichkeiten, dieses System im Unterricht zu integrieren. Diese Möglichkeiten werden durch praktische Erfahrungen aus dem Piloteinsatz ergänzt.

TI-Nspire^TM CAS mit Touchpad Handheld mit drahtloser Basisstation („Cradle Slide”) und TI-Nspire^TMZugangspunkt („Access Point”)

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2 TI-Nachrichten

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Auf die Unterseite jedes TI-Nspire^TM CAS mit Touchpad Hand- helds wird eine drahtlose Basisstation („Cradle Slide”) gescho- ben, welches die Kommunikation zum Drahtlosnetzwerk über- nimmt. Dieses „Cradle Slide” enthält eine eigene Stromversor- gung über einen internen Akku. Die „Cradle Slides” lassen sich in speziellen Ladestationen aufladen.

Das Management des Drahtlosnetzwerks wird von einem Access Point übernommen. Dieser Access Point wird mit

einem PC verbunden. Zum Betrieb des Netzwerks ist die TI-Nspire^TM Navigator^TM – Software nötig.

Nutzt man TI-Nspire^TM Navigator^TM, so ändert sich technisch gesehen im Unterricht für die Schüler sehr wenig. Sie schieben lediglich die drahtlose Basisstation auf ihren Rechner. Die Lehr- kraft muss über einen PC mit der TI-Nspire^TM Navigator^TM – Software verfügen.

CAS-Rechner Handhelds vernetzt: Das TI-Nspire™ Navigator™ System im Einsatz Dr. Ewald Bichler

Liebe Lehrerinnen und Lehrer,

zu Beginn der 1970er waren die Hersteller von Rechenschiebern der festen Überzeugung, dass der Rechenschieber das ideale Werkzeug für den Mathematikunterricht sei. In Lehrplan, Prüfung und Schulbuch integriert, und preisgünstig obendrein. Die Nut- zer waren auf der Suche nach einem Hilfsmittel, welches sie vom Rechnen entlastet. Ganz so wie es Leibniz formuliert hat: „Denn es ist eines ausgezeichneten Mannes nicht würdig, wertvolle Stunden wie ein Sklave im Keller der einfachen Rechnungen zu verbringen. Diese Aufgaben könnten ohne Besorgnis abgegeben werden, wenn wir Maschinen hätten.“ Eine Antwort auf diesen Wunsch waren die Taschenrechner. Die Taschenrechner verdrängten in sehr kurzer Zeit die bis dahin verbreiteten Rechenschieber und traten ihren Siegeszug an. In den folgenden Jahren wurden die Taschenrechner immer weiter entwickelt und für spezifische Bedürfnisse ausdifferenziert, z.B. durch zusätzliche Speicher-, Druck- oder Programmiermöglichkeiten oder durch eine Fülle mathematischer oder naturwissenschaftlicher Zusatzfunktionen.

Der nächste große Entwicklungsschritt bahnte sich anfangs der 1990er Jahre an, als man erkannte, dass das erleichterte Rechnen alleine keine nachhaltige Maßgabe für den Unterricht mehr sein kann. Wichtig wurde dank der Graphikdisplays die Veranschauli- chung von mathematischen Zusammenhängen. Unter dem Stichwort "The Power of Visualization" fasste Prof. Bert Waits von der Ohio State University, Columbus, Ohio und Gründer von T³ - Teachers Teaching with Technology die pädagogischen Vorstellungen dieser Zeit zusammen.

Die Herausforderungen heute sind wiederum andere. Neben dem Rechnen und Veranschaulichen geht es innermathematisch um das Verstehen von mathematischen Zusammenhängen, wozu eine zunehmend engere Verknüpfung von Computeralgebra, dyna- mischer Geometrie, Funktionenplotter und Tabellenkalkulation dient. Zunehmend wird auch eine quasi barrierefreie Verbindung mit der Welt der Computer und des Internets erwartet, inklusive interaktiver Whiteboards und elektronischer Lernplattformen.

Darüber hinaus kommen Fragen nach individuellen Lernstandserhebungen und neuen Formen des Assessments hinzu.

Mit den Produkten der TI-Nspire™ Familie ist Texas Instruments in der Lage, den individuellen pädagogischen Wünschen der Lehrerinnen und Lehrer nachzukommen. Der TI-Nspire™ Handheld kommt immer in Verbindung mit einer vollständigen PC Soft- ware. Die TI-Nspire™ Software kann direkt aus dem SMART Board heraus gestartet werden. Mit dem TI- TI-Nspire™ Navigator™

System lassen sich Handhelds zu einer drahtlosen Lernumgebung verbinden. Selbstredend können TI-Nspire™ Dateien ausge- druckt oder über das Internet verteilt werden. Mit Ihrer Entscheidung für Texas Instruments sind Sie gut gerüstet.

Ihr TI-Team

Computeralgebrasystem TI-89, TI-89 Titanium, TI-92 Plus, Voyage™ 200

Zeichenerklärung: Graphische Taschenrechner

TI-82 STATS, TI-83, TI-83 Plus, TI-83 Plus Silver Edition, TI-84 Plus, TI-84 Plus Silver Edition PC Software – Derive™, TI InterActive!™, Cabri Geometry II™, TI-Navigator™

CAS GTR

Messwerterfassungssystem CBL™, CBL 2™, CBR 2™

CBL CBR

TI-Nspire™ (mit Touchpad), TI-Nspire™ Software, TI-Nspire™ Lehrer-Software

TI-Nspire™ CAS (mit Touchpad), TI-Nspire™ CAS Software, TI-Nspire™ CAS Lehrer-Software

PC

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TI-Nachrichten 3

Einsatzmöglichkeiten von TI-Nspire™ Navigator™

Allgemeine Einordnung

Bevor konkrete Beispiele aus dem Unterricht erfolgen, gilt es zunächst, TI-Nspire^TM Navigator^TM als Medium im Unterrichts- geschehen einzuordnen. Ein Rechner wie TI-Nspire^TM (CAS) eröffnet durch die Verbindung der verschiedenen Werkzeuge (wie CAS-Rechner, Funktionenplotter, Tabellenkalkulation, etc.) bekanntermaßen viele neue Möglichkeiten im Unterricht. Diese Möglichkeiten können sich z. B. in den Lösungswegen niederschlagen, die zur Verfügung stehen. Sie können sich auch in der Art der Problemstellungen niederschlagen, die betrachtet werden. Zusammenfassend gesagt handelt es sich hier um Auswirkungen, die unmittelbar in Aufgabenstellungen und Lösungen eng verknüpft zum mathematischen Inhalt ansetzen.

TI-Nspire^TM Navigator^TM hingegen ist nun ein Werkzeug, welches neue Möglichkeiten in der Methodik des Unterrichts eröffnet.

Beispiele

Eine Einsatzmöglichkeit besteht darin, im Unterricht Gesprächs- anlässe zu schaffen, die Ausgangspunkt für mathematische Diskussionen sind.

Solche Gesprächsanlässe können durch das Projizieren von Screenshots geschaffen werden. Nehmen wir an, die Lehrkraft gibt den Auftrag, die Schüler sollen verschiedene Funktionen wählen und zunächst deren Graphen zeichnen. (An dieser Stel- le sind der Lesbarkeit halber nur sechs Screenshots abge- druckt, natürlich lassen sich in der Praxis die Screenshots aller Schülerinnen und Schüler über einen Beamer projizieren.)

Abbildung 1: Screenshots verschiedener Funktionsgraphen

Nun erhalten die Schülerinnen und Schüler den Auftrag, an einer beliebigen von ihnen gewählten Stelle mit dem Zoom- Werkzeug mehrfach zu vergrößern. Die Screenshots werden erneut aufgenommen und projiziert:

Abbildung 2: Screenshots der vorherigen Graphen nach dem Zoomen

Nun ergeben sich aus diesen Bildern einige Fragen zur Diskus- sion. Den Schülerinnen und Schülern fällt auf, dass nahezu alle Graphen fast wie eine Gerade verlaufen. Bei einer Funktion (der Schüler, der die Betragsfunktion gewählt hat, ist von der Lehr- kraft vorher eigens dazu aufgefordert worden) ist dies aber offenbar nicht der Fall.

Jetzt schließt sich eine Diskussion an, in deren Verlauf die Tat- sache der lokalen Linearisierung herausgearbeitet werden kann. Dabei können zur Verdeutlichung einzelne Schülerinnen und Schüler als „Live-Presenter“ verwendet werden, die den Vorgang des Zoomens an ihrem Beispiel noch einmal live der gesamten Klasse zeigen.

Gesprächsanlässe können aber auch durch kurze Umfragen, sog. „Quick-Polls“ initiiert werden. Hierzu gibt es die Möglich- keit, eine Frage mit verschiedenen vorgefertigten Antwortmög- lichkeiten (wie „Ja-Nein“, „Stimme zu – Stimme nicht zu“) an die Rechner der Schülerinnen und Schüler zu schicken. Die Schülerinnen und Schüler beantworten die Frage und das Ergebnis kann (anonymisiert) unmittelbar betrachtet werden.

Nehmen wir an, die Lehrkraft stellt die Frage „Liegt ein Extrem- wert vor, wenn f a'

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⁼⁰ ist?“ Eine Auswertung der Schülerantworten (dies dauert in der Praxis nicht einmal eine halbe Minute) liefert:

CAS-Rechner Handhelds vernetzt: Das TI-Nspire™ Navigator™ System im Einsatz

Dr. Ewald Bichler

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4 TI-Nachrichten

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Abbildung 3: Ergebnis des Quick-Poll

Nun lässt sich die Diskussion anschließen, ob die Aussage wirklich richtig ist. Immerhin sind ja 35% dagegen. Aus wel- chen Gründen könnten diese Schülerinnen und Schüler dagegen sein? Was könnte sie dazu bewegen? Was bewegt die anderen Schülerinnen und Schüler zur Zustimmung? Von besonderem Vorteil ist hier, dass die Umfragen anonymisiert erfolgen und dadurch wirklich jede Schülerin und jeder Schüler in den Prozess integriert werden. Die Ergebnisse des Quick-Poll können auch live projiziert werden, was bedeutet, dass die graphische Darstellung der Antworten bei jeder abgeschickten Schülerantwort aktualisiert wird. Dies kann ein reizvolles Mittel sein, wenn während des Beantwortens der Frage bereits eine Diskussion in der Klasse im Gange ist, welche dann die weiteren Antworten beeinflusst. Hier kann auch die Lehrkraft auf die Diskussion durch gezielte Impulse Einfluss nehmen.

Im Gegensatz zu Schnellumfragen gibt es auch die Möglichkeit, vorher vorbereitete Frage-Antwort-Dokumente an die Schüle- rinnen und Schüler zu senden, diese von Ihnen bearbeiten zu lassen, wieder einzusammeln und sofort auszuwerten. Auch ein solches Dokument kann Ausgangspunkt für Diskussionen sein.

Abbildung 4: Beispiel eines Elements eines Frage-/Antwort-Dokuments

Die vorher genannten Dokumente lassen sich auch nutzen, um gezielt Grundvorstellungen und Grundwissen zu festigen. So können Frage-/Antwort-Dokumente zu grundlegendem Wissen das ganze Schuljahr über eingesetzt werden. In einem Portfolio lässt sich dann die Entwicklung bezogen auf jeden einzelnen Schüler festhalten und zur Diagnose nutzen.

Mithilfe der TI-Nspire^TM Navigator^TM – Software lassen sich Dokumente von der Lehrkraft an die Schüler senden (und umgekehrt). Dies lässt sich beispielsweise in Gruppenarbeiten gut einsetzen. Nehmen wir an, die Schülerinnen und Schüler bearbeiten eine bestimmte Aufgabenstellung in Gruppen.

Gegen Ende der Unterrichtsstunde fordert die Lehrkraft einen Vertreter jeder Gruppe auf, die Lösung der Gruppe an die Lehr- kraft zu senden. Die Lehrkraft wiederum sendet alle diese Lösung an jede einzelne Schülerin/jeden einzelnen Schüler. Der Prozess des Sendens dieser Dateien nimmt nicht einmal eine Minute Zeit in Anspruch. Hausaufgabe dieser Stunde ist es dann, die verschiedenen Lösungen zu bewerten. Auf diese Weise wird der Arbeit jeder Gruppe Beachtung geschenkt und verschiedene Lösungswege werden diskutiert. Die Bewertung von Lösungen verlangt zudem auf Seiten der Schülerinnen und Schüler enorme Leistungen, die auf den aktuell im Blickpunkt stehenden Kompetenzerwerb abzielen.

Das Versenden von Dateien kann auch dazu genutzt werden, Messdaten an die Schülerinnen und Schüler zu senden. So kann die Lehrkraft etwa Zeit-Ort-Daten eines Schwingungsvor- gangs im Unterricht live aufzeichnen. Diese Daten lassen sich dann an die Schülerinnen und Schüler schicken mit dem Auf- trag, einen geeigneten Funktionsterm zu bestimmen, der diesen Vorgang modelliert.

Spontaner Einsatz

Stellt man TI-Navigator^TM im Klassenzimmer bereit, so können die Schülerinnen und Schüler zu Beginn der Unterrichtsstunde die „Cradle Slides” auf ihre Handhelds schieben. Weiterhin ändert sich für die Schülerinnen und Schüler nichts. Auf diese Weise lässt sich TI-Navigator^TM nahtlos in den Unterrichtsablauf integrieren. Insbesondere ist ein Einsatz auch spontan möglich.

Hierzu eignen sich besonders die Screenshot-Funktionalität, der Live-Presenter und die Quick-Polls. So manches Mal stellt gerade diese Einsatzmöglichkeit eine sehr gewinnbringende dar.

Zusammenfassung

TI-Nspire^TM Navigator^TM ist ein Hilfsmittel, welches das Medium Graphikrechner (numerisch) bzw. CAS-Rechner um methodi- sche Komponenten erweitert. Es eröffnet neue Möglichkeiten für Interaktionen im Unterrichtsgeschehen. Stellt man eine Beziehung zu den allgemeinen mathematischen Kompetenzen her, die die KMK in den Bildungsstandards (KMK: Bildungsstan- dards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10) - Beschluss vom 04.12.2003; Köln: Luchter- hand/Wolters-Kluwer) formuliert hat, so lässt sich erkennen, dass sich das System beim Erwerb aller Kompetenzen unter- stützend einsetzen lässt:

CAS-Rechner Handhelds vernetzt: Das TI-Nspire™ Navigator™ System im Einsatz Dr. Ewald Bichler

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TI-Nachrichten 5 CAS-Rechner Handhelds vernetzt: Das TI-Nspire™ Navigator™ System im Einsatz

Dr. Ewald Bichler

• Probleme mathematisch lösen

• mathematisch modellieren

• mathematische Darstellungen verwenden

• mathematisch argumentieren

• kommunizieren

• mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

Insbesondere zeigt die Erfahrung aus dem Piloteinsatz von TI-Nspire^TM Navigator^TM, dass sich vielfältige Anlässe für Gesprä- che und Diskussionen schaffen lassen, welche Fragen zu den Aufgabenstellungen aufwerfen oder Anregungen zur Lösung

geben. Beide Punkte sind zentrale Bestandteile beim Lösen mathematischer Fragestellungen. George Polya spricht von

„Fragen Anregungen, Denkoperationen“ (George Polya: Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Fragestellungen.

Tübingen, Basel ⁴1995, S.14)

Diesem Einsatz und der damit verbundenen weiteren Entwick- lung des Werkzeugs gilt es aufgeschlossen gegenüber zu stehen.

Autor:

Dr. Ewald Bichler Universität Würzburg (D)

ewald.bichler@mathematik.uni-wuerzburg.de

Kurze Einführung

Es hat sich schon in der Vergangenheit gezeigt, dass die Struktur des Funktionsterms der Lösung der Differentialglei- chung des logistischen Wachstums

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sich den Lernenden nicht ohne Weiteres intuitiv erschließt.

Daher sollen im Folgenden einige Möglichkeiten zur didaktischen Reduktion beschrieben werden, die den Zugang erleich- tern sollen. Für GK geeignet um Missverständnissen oder fal- schen Erwartungen vorzubeugen, sei darauf hingewiesen, dass hier kein Unterrichtsgang vorgestellt werden soll, sondern prin- zipielle Eigenschaften des logistischen Wachstums, die auch leistungsschwächere Lernende aus dieser Unterrichtseinheit

„mitnehmen“ können.

Die Grundgedanken werden anhand einer Aufgabe entwickelt, die im Rahmen der Fortbildungen zur Einführung des Kern- curriculums durch die Multiplikatoren in Niedersachsen benutzt worden ist.

Aufgabe: Baumdurchmesser:

Bei einem Baum in einem Nationalpark wurde der Durchmesser (immer in 1,2m Höhe) im Verlauf der Jahre gemessen.

t in Jahren 0 10 20 30

Durchm. f(t) in m 0,044 0,076 0,119 0,182

80 90 100 110

0,731 0,818 0,881 0,924

t in Jahren 40 50 60 70

Durchm. f(t) in m 0,269 0,378 0,500 0,620

120 130 140

0,953 0,971 0,982

Abb.1: Grafische Darstellung der Messwerte

(x-Achse zwischen 0 und 150; y-Achse zwischen 0 und 1)

Die grafische Darstellung der Daten legt nahe, dass das Wachs- tumsverhalten zu Beginn recht gut durch einen exponentiellen Wachstumsvorgang beschrieben werden kann, gegen Ende durch einen begrenzten Wachstumsvorgang und dazwischen annähernd linear.

Abb.2: Abb.1 ergänzt durch Graphen des exponentiellen Wachstums

Möglichkeiten der didaktischen Reduktion beim logistischen Wachstum

Lutz Breidert

CAS

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6 TI-Nachrichten

Möglichkeiten der didaktischen Reduktion beim logistischen Wachstum Lutz Breidert

Abb.3: Abb.1 ergänzt durch Graphen des begrenzten Wachstums

Abb.4: Abb.1 ergänzt durch Graphen des linearen Wachstums

Die Differentialgleichungen des exponentiellen und begrenzten Wachstums sollten aus dem Vorunterricht, wenn auch nicht unter dieser Bezeichnung ggf. in Wortform bekannt sein. Hier ist nun die Änderung offenbar sowohl proportional zum Bestand als auch proportional zur Differenz des Bestandes zur Sättigungsgrenze G, die hier der rechnerischen Vereinfachung halber bei 1 liegt. Der Ansatz

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Daher gilt für kleine t in etwa die Differentialglei- chung des exponentiellen Wachstums:

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schon sehr nahe an G liegt und daher näherungs- weise durch G=1 ersetzt werden kann, so dass sich die Diffe- rentialgleichung des begrenzten Wachstums ergibt:

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Damit sind nebenbei für die o.g. Lösung der Differentialgleichung, die durchaus der Formelsammlung entnommen werden kann, alle Parameter bis auf λ bekannt. Zur Anpassung an die Daten ist der Wendepunkt von besonderer Bedeutung, weil hier die Steigung am größten ist und Abwei- chungen am ehesten auffallen. Zur Bestimmung von λ können nun mehrere Wege beschritten werden. Entweder wird die Steigung im Punkt (60|0,5) aus Abb.4 bestimmt, so dass man die Bestimmungsgleichung

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erhält, oder man löst für diesen Punkt f(t) nach λ auf, wobei man im letzten Fall die Lösung λ = 0,05131 erhält, die gut zu den Daten passt:

Abb.5: Abb.1 ergänzt durch Graphen des logistischen Wachstums

Damit lassen sich nun abschließend auch die Funktionsglei- chungen zu den Graphen der Abbildungen 2 bis 4 angeben:

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Da nur im erhöhten Anforderungsniveau Differentialgleichun- gen als solche thematisiert werden sollen, empfiehlt sich hier noch eine Vertiefung, die auf die Eingangsidee der Dreiteilung des logistischen Wachstums zurückführt. Dazu wird in parame- trischer Darstellung f’(t) in Abhängigkeit von f(t) dargestellt.

Abb.6: parametrische Darstellung f ’(t) in Abhängigkeit von f(t) (Parameter t von 0 bis 140; x-Achse von 0 bis 1; y-Achse von 0 bis 0,2)

Zu Beginn entspricht der Verlauf des Graphen nahezu einer Ursprungsgerade, so dass sich hier eine Proportionalität und damit die Differentialgleichung des exponentiellen Wachstums ergibt. Gegen Ende entspricht der Verlauf in etwa einer fallen- den Gerade mit positivem y-Achsenabschnitt und damit dem begrenzten Wachstum und in der Mitte kann der Verlauf zumindest in einem gewissen Bereich durch eine konstante Funktion (näherungsweise) beschrieben werden, was dann dem linearen Wachstum entspricht.

Autor:

Lutz Breidert, Gymnasium Himmelsthür Hildesheim (D) breidert@gymnasium-himmelsthuer.de

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TI-Nachrichten 7

Das Spirometer zur Veranschaulichung der grundlegenden Idee der Integralrechnung

Hans-Ulrich Lampe

Widmung

Der nachfolgende Artikel ist Wilhelm Weiskirch gewidmet, der im April diesen Jahres im Alter von 61 Jahren leider viel zu früh verstorben ist. Sein Einsatz zur Innovation des Mathe- matikunterrichts hat uns beeindruckt, seine Ideen haben uns geprägt. Seine Schaffenskraft und Beharrlichkeit haben viele erfolgreiche Projekte ermöglicht. Seine Lebensfreude und Herzlichkeit, seine Offenheit und sein Mut zum Widerspruch wird uns fehlen.

Ein wichtiges Instrument bei der Untersuchung von funktionalen Zusammenhängen ist die Betrachtung der Änderungsrate. Liegen nur Messdaten und keine Funktionsvor- schrift vor, so verwendet man zweckmäßigerweise die mittlere Änderungsrate. Diese beschreibt das Änderungsverhalten einer abhängigen Größe auf einem Intervall der unabhängigen Grö- ße. Schon in dem Sekundarbereich I kann z.B. die Steigung einer Geraden als Änderungsrate bezeichnet werden. Ihre eigentliche Kraft entfaltet die Änderungsrate jedoch in der Ana- lysis, in dem sie als „roter Faden“ eine Klammer zwischen der Differenzial- und Integralrechnung herstellt. Ein Unterrichts- gang, der von der mittleren zur lokalen Änderungsrate führt, eröffnet eine weiter reichende Grundvorstellung von der Ablei- tung als die der bloßen Tangentensteigung. Umgekehrt führt die Blickrichtung von einer bekannten Änderungsrate zur Rekonstruktion des Bestandes zu einer weiter reichenden Grundvorstellung vom Integral als die des bloßen Flächenin- halts. Daher räumen viele Curricula, z.B. das neue niedersäch- sische Kerncurriculum für die gymnasiale Oberstufe, dem Begriff der Änderungsrate zu Recht einen hohen Stellwert ein.

Das Spirometer

In den nachfolgenden Ausführungen soll ein Beispiel für die Deutung des Integrals als aus Änderungen rekonstruierter Bestand vorgestellt werden. In diesem Zusammenhang werden gerne Zu- und Abflussraten an Talsperren mit Pumpspeicher- werken betrachtet und daraus das Wasservolumen in der Tal- sperre bestimmt. Dieses vordergründig anschauliche Beispiel hat jedoch einen Nachteil im Detail: Wie wird ein Durchfluss gemessen, wenn sowohl Zu- als auch Abfluss betrachtet werden? Der Einsatz eines sog. Spirometers aus der Biologie bzw.

Medizintechnik, mit dem Atemvolumina gemessen werden, bringt hier die notwendige Transparenz und eine große Portion Handlungsorientierung verbunden mit einem direktem Lebens- weltbezug. Ein ähnliches Gerät, wie es in der Arztpraxis zu finden ist, kann in seiner Funktionsweise mit einem Messsensor von VERNIER (SPR-BTA) in Verbindung mit der TI-Nspire^TM Technologie zu sehr brauchbaren Ergebnissen führen.

Abb. 1: Spirometer im Einsatz

Bei jedem Atemzug tauscht der Mensch in Ruhe und unter Belastung ein gewisses Luftvolumen aus. Der Arzt misst bei der Sport- oder Vorsorgeuntersuchung die sog. Vitalkapazität, also das Luftvolumen, das nach maximalen Einatmen maximal ausgeatmet werden kann (ca. 4,5 – 5 l). Außerdem ist mit dem Atemzugvolumen das Luftvolumen, das bei einem Ein – und Ausatemvorgang ausgetauscht wird (ca. 0,5 l) messbar. Auch bei der maximalen Ausatmung bleibt noch eine Restvolumen (ca. 1 -1,5 l) in der Lunge. Dieses Restvolumen ist jedoch nicht messbar. Vitalkapazität und Restvolumen ergeben die Totalka- pazität.

Die Versuchdurchführung

Das VERNIER-Spirometer wird über das EasyLink^TM direkt an den TI-Nspire^TM angeschlossen (Mini-USB Stecker). Alternativ kann auch die PC-Software genutzt werden (über einen Beamer gut geeignet für einen Demonstrationsversuch). Der Anschluss über USB benötigt dann einen Adapter (Mini-USB auf Stan- dard-USB). Das Spirometer misst den Luftdurchfluss in der Einheit Liter pro Sekunde. Hierzu wird die Druckdifferenz zwischen zwei durch ein Drahtnetz getrennten Kammern gemessen. Aus hygienischen Gründen sollte jede Versuchsperson ein neues Mundstück benutzen. Ein Bakterienfilter kann ebenfalls eingesetzt werden, der eigentliche Durchflussmesseinsatz ist auch zur Reinigung im Geschirrspüler geeignet.

Beim Einstecken des USB-Steckers wird der Sensor sofort erkannt, in dem Menü-Fenster sollte die Applikation „Data &

Statistics“ ausgewählt werden. In der unteren Bildleiste (sog.

Konsole) erscheint die momentane Messgröße und die Maß- einheit. Dass dieser Wert u.U., ohne Atemaktivität, sehr von Null abweicht, sollte noch nicht beunruhigen. Das Experiment ist mit dieser Tastenfolge schnell eingestellt:

• menu-Taste → 1: Experiment → 3: Erfassung einrichten →1:

Zeitgraph → Zeit zwischen Proben 0,04 , Länge des Experi- ments (z.B. 10 s, je nach Versuch) → mit „OK“ abschließen.

• Mit der tab-Taste werden die Felder in der Konsole zur Bedienung des Versuchs ausgewählt.

Informationen zum Lehrerfortbildungsprojekt T

³

finden Sie unter:

www.t3deutschland.de www.t3oesterreich.at

www.t3schweiz.ch

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8 TI-Nachrichten

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• Zur „Nullsetzung“ der Messanzeige: tab (mittlerer Bereich wird umrandet) → enter → 1: Null → enter.

• Experiment starten: tab so lange drücken bis der linke Start- pfeil aktiviert ist → enter.

• Experiment speichern: ctrl und c (#) → 1: Datei → 4: Spei- chern unter... → Datei abspeichern

• Experiment beenden: tab so lange drücken bis das rechte Kreuz aktiviert ist → enter.

• Mit der Tastenkombination ctrl und tab wechselt man zwischen der Applikation und der Konsole.

Zwei Versuchergebnisse

1. Messung des Atemzugvolumens.

Es wird durch das Spirometer mit normalen Atemzügen ein–

und ausgeatmet (Messdauer 10 s).

Abb. 2: Normales Ein- und Ausatmen

(Anmerkung: Die Screenshots sind mit Hilfe der PC-Software entstanden.)

Diese Graphik muss mit den Schülerinnen und Schülern diskutiert werden. Jeder Datenpunkt gibt den Durchfluss an Atemluft in einem Zeitabschnitt von 0,04 s wieder (mittlere Durchflussge- schwindigkeit). Es handelt sich also um eine mittlere Ände- rungsrate (über einem sehr kleinen Zeitintervall). Datenpunkte oberhalb der Zeitachse repräsentieren das Ausatmen, unterhalb entsprechend das Einatmen, die Achsendurchgänge den Über- gang von Ein- zu Ausatemzügen. Die Durchflussgeschwindig- keit nimmt jeweils zu, erreicht in den Extrempunkten ein Maxi- mum und nimmt dann wieder bis zum (kurzen) Stillstand ab. Für Nichtmathematiker sei darauf hingewiesen, dass sich aus dieser Graphik das Atemvolumen nicht direkt ablesen lässt.

2. Messung der Vitalkapazität

Es wird durch das Spirometer zunächst normal ein- und ausgeatmet, dann maximal eingeatmet und schließlich maximal ausgeatmet (Messdauer 20 s).

Abb. 3: Maximales Ausatmen. Bis 6,26 s erfolgt das Ein- und Ausatmen, von 6,3 s bis 11,68 s das tiefe Einatmen und schließlich von 11,72 s bis 17,08 s das maximale Ausatmen.

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Das Spirometer zur Veranschaulichung der grundlegenden Idee der Integralrechnung Hans-Ulrich Lampe

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TI-Nachrichten 9

Die mathematische Auswertung

Wie schon angedeutet, geben die Datenpunkte in den Dia- grammen jeweils eine mittlere Änderungsrate an und kein Gesamtvolumen. Um das interessierende Luftvolumen zu bestimmen, muss die Mathematik helfen. Dieses soll am Bei- spiel des 1. Versuchs ausführlich dargestellt werden.

Zur Auswertung werden die Daten in ein Tabellenblatt über- führt. Dies geschieht mit der Tastenfolge: menu → Experimente

→ Daten anzeigen in → Lists & Spreadsheet wählen. Die Daten werden jetzt in einem Tabellenblatt angezeigt. Zur Aktivierung der neuen Applikation Tabellenkalkulation wird die Konsole (untere Bildzeile) ausgestellt. Dieses Datenblatt kann jetzt an alle Schülerinnen und Schüler zur Weiterarbeit überspielt werden.

Abb. 4a Abb. 4b

Nun wird die grundlegende Idee der Integralrechnung moti- viert: es werden Produkte aus dem jeweiligen Messwert und der Länge des Zeitintervalls gebildet und diese Produkte dann aufsummiert (Produktsumme). Hiermit wird der Bestand (Luft- volumen) aus den Änderungen rekonstruiert. Eine evtl. Veran- schaulichung durch eine Fläche sollte berücksichtigen, dass diskrete Werte vorliegen und somit die Fläche durch einen

„Treppengraph“ begrenzt wird.

Aus der Abb. 2 wird der erste Ausatemzug ausgewertet. Es interessieren nur die Daten von 0,6 s bis 2,8 s (positive Werte).

Für diese Zellen werden in Spalte C die Teilvolumina als Pro- dukt von Durchflussrate und Zeiteinheit berechnet. Diese For- mel wird von C16 ausgehend bis C71 kopiert (s. Abb 4a).

Anschließend werden die Teilvolumina addiert und man erhält das Ausatemvolumen in Zelle D71 (s. Abb. 4b). Das Ergebnis von ca. 0,56 l entspricht den Erwartungen.

In gleicher Weise wird das maximale Ausatemvolumen bestimmt. Hierzu betrachtet man das Zeitintervall von 11,72 s bis 17,08 s (s. Abb. 5 a u. b). Die errechnete Vitalkapazität von ca. 5,5 l entspricht wiederum den Erwartungen

Abb. 5a Abb. 5b

Ausblick

Das Experimentieren mit dem Spirometer regt zu weiteren Pro- blemstellungen an:

• Betrachtung von positiv und negativ orientierten Flächenin- halten.

• Modellierung eines regelmäßigen Ein- und Ausatmens mit der Sinus-Funktion und anschließende Auswertung der zugehörigen Integralfunktion.

Aufgrund der hohen Datenmenge und der notwendigen kleinen Zeitintervalle bei der Messung hat sich der Anschluss an den TI-84 Plus oder Voyage 200^TM über ein CBL2^TM nicht bewährt.

Hinweis für den Unterricht in Biologie- oder Sporttheorie

Setzt man die Experimente mit dem Spirometer für den Unter- richt in Biologie- oder Sporttheorie ein, so ist zu bedenken, dass mit der TI-Nspire^TM Technologie das direkte Ablesen des Luftvo- lumens in einem Zeit-Volumen-Diagramm nicht möglich ist.

Hierfür müssen die Schülerinnen und Schüler die oben vorge- stellten mathematischen Einsichten entwickeln, die nur in höheren Klassenstufen zu erwarten sind. Möchte man das Spi- rometer in den unteren Klassenstufen benutzen, dann kann man auf eine PC-Softwarelösung aus dem Hause VERNIER zurückgreifen: einerseits das kostenlose Logger Lite und ande- rerseits das kostenpflichtige Logger Pro 3. Hiermit sind die Darstellungen Zeit-Durchflussrate, Zeit-Volumen und Volumen- Durchflussrate möglich. Gerade mit dem Zeit-Volumen-Dia- gramm lässt sich das Luftvolumen direkt ablesen. Nach dem Motto „Mathematik ist überall“, ist die Integralrechnung das dahinterliegende Berechnungsverfahren.

Autor:

Hans-Ulrich Lampe, Stadthagen (D)

Studienseminar Stadthagen für das Lehramt an Gymnasien UlrichLampe@t-online.de

Das Spirometer zur Veranschaulichung der grundlegenden Idee der Integralrechnung

Hans-Ulrich Lampe