Institut f¨ur Stochastik WS 2009/10 Karlsruher Institut f¨ur Technologie (KIT)
Dr. B. Klar
Klausur
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik f¨ ur Studierende der Informatik
vom 08.02.2010
Musterl¨osungen
A
Aufgabe A1
Gegeben sei eine Urliste mit den Paaren (x1, y1), . . . ,(x8, y8)
j 1 2 3 4 5 6 7 8
xj 0.8 1.8 3 3.9 5 5.8 7 8
yj 3.6 4.6 5 5.3 6.1 6.1 6.6 6.2
a) Berechnen Sie die Stichprobenmittel ¯x, ¯y, die Stichproben-Standardabweichungen sx, sy und den empirischen Korrelationskoeffizienten rxy.
L¨osung: Direkt aus den Daten ergibt sich gem¨aß Definition 1.8 und Paragraph 1.5 unter Ausn¨utzung der Beziehung
n
X
j=1
(xj−x)¯ ·(yj−y) =¯
n
X
j=1
xj ·yj−n·x¯·y¯
¯
x= 4.41 sx= 2.506
¯
y= 5.44 sy = 1.007
rxy = 0.9377
b) Bestimmen Sie die zugeh¨orige Regressionsgerade y=a∗+b∗·x von y auf x.
L¨osung: Nach Paragraph 1.5 ist b∗ =rxy · sy
sx
und a∗ = ¯y−b∗·x, also¯ b∗ = 0.377
a∗ = 3.77 und die Regressionsgerade y= 3.77 + 0.377·x.
1 2 3 4 5 6 7 8
3.54.55.5
x
y
Punkte und Regressionsgerade y=a∗+b∗·x
F¨ur die L¨osung der n¨achsten beiden Aufgabenteile ben¨otigen wir die aufsteigend sor- tierteny-Werte. Es ist
y() = (3.6, 4.6, 5, 5.3, 6.1, 6.1, 6.2, 6.6)
c) Berechnen Sie das 0.15-getrimmte Stichprobenmittel ¯y0.15 von (y1, . . . , y8).
L¨osung: Mit k= [8·0.15] = 1 ergibt sich
¯
y0.15= 1
8−2·1 ·(y(2)+. . .+y(7)) = 5.55 d) Bestimmen Sie das Stichproben-0.3-Quantil ˜y0.3 von (y1, . . . , y8).
L¨osung: Da 8·0.3 = 2.4 nicht ganzzahlig ist, ist mit k = [2.4] = 2
˜
y0.3 =y(k+1) =y(3) = 5
Aufgabe A2
In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 schwarze Kugeln. Es werden zun¨achst 2 Kugeln rein zuf¨allig und ohne Zur¨ucklegen gezogen.
Hinweis: Evtl. ist die Einf¨uhrung einer Zufallsvariablen X, die die zuf¨allige Anzahl der gezogenen roten Kugeln angibt, hilfreich.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind die beiden gezogenen Kugeln schwarz?
L¨osung:
P(beide Kugeln schwarz) = 25 · 14 = 101.
Alternativ: Die oben definierte ZufallsvariableXistHyp(2,3,2)-verteilt. Gesucht ist dann P(X = 0) = (30)·(22)
(52) = 101 .
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden gezogenen Kugeln unterschiedliche Far- ben?
L¨osung:
P(Kugeln haben unterschiedliche Farben) = 35 · 24 +25 ·34 = 103 + 103 = 106.
c) Sind die beiden gezogenen Kugeln gleichfarbig, werden zwei rote Kugeln in die Urne gelegt. Haben die beiden gezogenen Kugeln unterschiedliche Farben, werden zwei schwarze Kugeln in die Urne gelegt. Die Zufallsvariable Y bezeichne die Anzahl der schwarzen Kugeln, die danach in der Urne liegen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten P(Y =k) f¨urk = 0,1,2,3.
L¨osung: Die Zufallsvariable Y nimmt die Werte 0,2,3 an: Es gilt Y = 0 bzw. Y = 2, falls die beiden gezogenen Kugeln schwarz bzw. rot sind, und Y = 3, falls die beiden gezogenen Kugeln unterschiedliche Farben haben. Somit gilt
P(Y = 0) = 1
10, P(Y = 1) = 0, P(Y = 3) = 6
10, P(Y = 2) = 1− 1 10− 6
10 = 3 10. Alternativ: Es gilt
P(Y = 0) =P(X = 0) = 1 10, P(Y = 3) =P(X = 1) = 6
10, P(Y = 2) =P(X = 2) = 1− 7
10 = 3 10.
d) Anschließend wird nach gutem Mischen rein zuf¨allig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Kugel schwarz ist?
L¨osung: Mit dem Satz ¨uber die totale Wahrscheinlichkeit erh¨alt man
P(es wird eine schwarze Kugel gezogen) =P(Kugel schwarz|Y = 0)·P(Y = 0) +P(Kugel schwarz|Y = 2)·P(Y = 2) +P(Kugel schwarz|Y = 3)·P(Y = 3)
= 0· 1 10 +2
5 · 3 10+3
5 · 6 10
=0 + 6 + 18
50 = 12
25.
rot sind, unter der Bedingung, dass die zuletzt gezogene Kugel schwarz ist?
L¨osung:
p=P(die beiden zuerst gezogenen Kugeln rot|die zuletzt gezogene Kugel ist schwarz)
=P(die ersten zwei Kugeln rot, die dritte schwarz)/P(die zuletzt gezogene Kugel ist schwarz)
=
3 5 · 24 ·25
12 25
= 3 12 = 1
4.
Aufgabe A3
Auf einer Metallhobelmaschine werden ringf¨ormige Platten mit zuf¨alligem Außendurchmes- ser X und Innendurchmesser Y hergestellt. X mit Normalverteilung N(80,20) und Y mit Normalverteilung N(40,16) seien stochastisch unabh¨angig. Falls die Ringbreite U = X−2Y in das Intervall [14,26] f¨allt, so wird die Platte hergestellt, ansonsten wird der Vorgang abgebrochen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 78 und 83 liegt?
L¨osung:
P(78≤X ≤83) = Φ(83−80
√20 )−Φ(78−80
√20 )
= Φ(0.67)−Φ(−0.45) = Φ(0.67) + Φ(0.45)−1
= 0.7486 + 0.6736−1 = 0.4222.
b) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz vonU an. Welche Verteilung hatU? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Platte hergestellt wird?
L¨osung: Es gilt E(U) = (80−40)/2 = 20; wegen der Unabh¨angigkeit von X und Y gilt weiter V(U) = (20 + 16)/4 = 9. Nach der Faltungsformel ist U N(20,9)-verteilt, es ist also σ:=p
V(U) =√
9 = 3. Somit folgt
P(14≤U ≤26) = P(|U−20| ≤6)
= P(|U−20| ≤2σ)
= 2·Φ(2)−1 = 2·0.9772−1 = 0.9544.
c) Sei W = X+Y2 . Welche Verteilung besitztW? L¨osung: Es gilt W ∼ N(60,9).
d) Berechnen Sie Kovarianz und Korrelationskoeffizient von U und W. L¨osung:
C(U, W) = C
X−Y
2 ,X+Y 2
= 1
4 ·[C(X, X) +C(X, Y)−C(Y, X)−C(Y, Y)]
= 1
4 ·(V(X)−V(Y)) = 1
4 ·(20−16) = 1.
Weiter gilt
ρ(U, W) = C(U, W)
pV(U)·V(W) = 1 9.
e) Die zuf¨allige Fl¨ache der ringf¨ormigen Platte ist F =π·U·W = π4(X2−Y2). Bestimmen Sie den Erwartungswert vonF.
L¨osung:
EF = E(π·U ·W)
= π·[C(U, W) +EU ·EW]
= π·(1 + 20·60) = 1201π.
EF = π
4 ·E X2−Y2
= π
4 ·E V(X) +E(X2)−V(Y)−E(Y2)
= π
4 ·(20 + 6400−16−1600) = 1201π.
Aufgabe A4
Die Dichte f einer stetigen Zufallsvariablen X ist gegeben durch f(x) =
(2−x)/2, falls 0≤x≤2,
0, sonst.
Das nachstehende Schaubild zeigt f:
−1 1 2 3
−0.2
−0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X.
L¨osung: Es gilt
EX =
∞
Z
−∞
x·f(x)dx=
2
Z
0
x−x2/2 dx=
x2 2 −x3
6 2
0
= 2 3.
b) Bestimmen Sie das zweite Moment E(X2) und die VarianzV(X) vonX.
L¨osung: Es ist
E(X2) =
∞
Z
−∞
x2·f(x)dx =
2
Z
0
x2−x3/2 dx=
x3 3 − x4
8 2
0
= 2 3, V(X) =E(X2)−(EX)2 = 2
9.
c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F zur Dichte f, und zeichnen Sie den Graphen von F in das Schaubild ein.
L¨osung: Es gilt
F(x) =
x
R
−∞
f(t)dt=
0, falls x <0 x−x2
4, falls 0 ≤x≤2, 1, fallsx >2.
−1 1 2 3
−0.2
−0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
d) Bestimmen Sie den Median von F. L¨osung: Es gilt
x−x2 4
=! 1
2 ⇔x2−4·x+ 2 = 0⇔x1/2 = 2±√
4−2 = 2±√ 2.
Folglich muss das 0.5-Quantil von F gleich 2−√
2 = 0.5858 sein.
Aufgabe A5
Die zuf¨allige Lebensdauer X eines Produktes besitze die Dichte fϑ(t) =
2·ϑ·t·exp(−ϑ·t2), t >0,
0, sonst,
und die Verteilungsfunktion Fϑ(t) =
1−exp(−ϑ·t2), t >0,
0, sonst,
mit einem unbekannten Parameter ϑ >0.
Hinweis: Es gilt EX = 12pπ
ϑ und V(X) = 44ϑ−π.
a) Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion Lx(ϑ) und die Log-Likelihood-Funktion Mx(ϑ) zur Stichprobe x= (x1, . . . , xn), wobei xi >0 f¨uri= 1, . . . , ngelte.
L¨osung: Die Likelihood-Funktion ist Lx(ϑ) =
n
Y
i=1
fϑ(xi) = (2ϑ)nexp −ϑ
n
X
i=1
x2i
!
·
n
Y
i=1
xi.
Weiter gilt
log(fϑ(t)) = logϑ+ log(2t)−ϑt2, t >0 somit ergibt sich die Loglikelihood-Funktion zu
Mx(ϑ) =
n
X
i=1
log(fϑ((xi)) =
n
X
i=1
logϑ+ log(2xi)−ϑx2i
= nlogϑ+
n
X
i=1
log(2xi)−ϑ
n
X
i=1
x2i.
b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨atzer ˆϑ(x) f¨urϑ zur Stichprobe x.
L¨osung: Die Ableitung der Loglikelihood-Funktion nachϑ ist Mx′(ϑ) = n
ϑ −
n
X
i=1
x2i. Damit giltMx′(ϑ) = 0 f¨ur ϑ =n/Pn
i=1x2i. Da f¨ur die zweite Ableitung Mx′′(ϑ) =−n
ϑ2 <0 gilt, erh¨alt man den Maximum-Likelihood-Sch¨atzer
ϑ(x) =ˆ n Pn
i=1x2i.
L¨osung: Aus der Gleichung
1 2
rπ
ϑ =EX = ¯x ergibt sich
ϑ(x) =˜ π 4¯x2.
d) X1, . . . , Xn seien unabh¨angige Zufallsvariablen mit Dichtefϑ. Bestimmen Sie Konstanten a und k so, dass n1Pn
i=1Xi2 ein erwartungstreuer Sch¨atzer f¨ur γ(ϑ) = ϑak ist.
L¨osung:
E 1 n
n
X
i=1
Xi2
!
= 1
n
n
X
i=1
EXi2 =EX12
= V(X1) + (EX1)2 = 4−π 4ϑ + π
4ϑ = 1 ϑ.
Der Sch¨atzer ist also erwartungstreu f¨ur γ(ϑ) = 1/ϑ, es muss also a = 1 und k = 1 gew¨ahlt werden.
e) Bestimmen Sie die Verteilung von X12/2.
L¨osung: F¨ur x >0 ist
P(X12/2≤x) = P(X1 ≤√
2x) = 1−exp(−ϑ·2x), d.h. X12/2 ist exponentialverteilt mit Parameter 2ϑ.
