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1−ei2π3 1−ei4π3 = 1 −32 −i √ 3 2 −32+i √ 3 2

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Academic year: 2022

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Aufgabe 10 Gegeben:

A=

0 1 0 0 0 1 1 0 0

Gesucht sind die Eigenwerte und Eigenvektoren und Eigenprojektoren vonA.

det(A−λE) =−λ3+ 1

⇒λ3= 1 Daraus ergeben sich drei Einheitswurzeln:

λ1= 1

λ2=ei2π3 =−1 2+i

√ 3 2 λ3=ei4π3 =−1

2−i

√3 2

P1=

−ei2π3 1 0 0 −ei2π3 1 1 0 −ei2π3

−ei4π3 1 0 0 −ei4π3 1 1 0 −ei4π3

1−ei2π3 1−ei4π3

= 1

−32 −i

√ 3

2 −32+i

√ 3 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1

=

1 3

1 3

1 1 3 3

1 3

1 1 3 3

1 3

1 3

P2= 1

−32−i

√3 2

i√

3

−1 1 0

0 −1 1

1 0 −1

−λ3 1 0 0 −λ3 1

1 0 −λ3

= 1 3λ3

λ3 −1−λ3 1 1 λ3 −1−λ31

−1−λ3 1 λ3

=

1

3 −13

1 λ3 + 1

1 3λ3 1

3λ3

1

3 −13

1 λ3+ 1

−13

1 λ3 + 1

1 3λ3

1 3

=

1

3 −13(λ2+ 1) λ32

λ2

3

1

3 −13(λ2+ 1)

−13(λ2+ 1) λ32 13

P3= 1 3λ2

−1 1 0

0 −1 1

1 0 −1

−λ2 1 0 0 −λ2 1

1 0 −λ2

1

(2)

=

1

3 −13

1 λ2 + 1

1 3λ2

1 3λ2

1

3 −13

1 λ2 + 1

−13

1 λ2 + 1

1 3λ2

1 3

=

1

3 −13(λ3+ 1) λ33

λ3

3

1

3 −13(λ3+ 1)

−13(λ3+ 1) λ33 13

(A−λ1E)−→x1= 0

−1 1 0

0 −1 1

1 0 −1

 x1 y1 z1

=

 0 0 0

⇒x1=y1,

y1=z1,

z1=z1,

−

→x0=

 1 1 1

(A−λ2E)−→x2= 0

⇒y2=λ2x2,

z2=λ2y2,

x2=λ2z2,

−

→x2=

 λ2 λ22 1

=

 λ2 λ3 1

(A−λ3E)−→x3= 0

−λ3 1 0 0 λ2 1 1 0 −λ3

 x3

y3

z3

=

 0 0 0

y3=λ3x3

z3=λ3y0

x3=λ3z3

2

(3)

−

→x3=

 λ3 λ23 1

=

 λ3 λ2 1

 Eigenvektoren:

φ1=

 1 1 1

φ2=

 λ1

λ2

λ3

φ3=

 λ1

λ3

λ2

 Eigenprojektoren

P1=1 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

P2=1 3

1 λ2 λ3

λ3 1 λ2

λ2 λ3 1

= 1 3φ2φ∗2

P3=1 3

1 λ3 λ2 λ2 1 λ3 λ3 λ2 1

3

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