11. Bornsche N¨ aherung

Technische Universit¨at Prof. Dr. K. Held

Wien Dr. A. Toschi, Dr. P. Hansmann

5. ¨ Ubung zur Quantenmechanik II

Wintersemester 2010/2011

ABGABE: zu Dritt (ausnahmsweise zu 1,2 oder 4 Personen),Freitag,17.12.2010, zu Beginn der ¨Ubungstunde (Tutorium)

NOTE: ²₃ Klausur, ¹₃ Ubungen¨

11. Bornsche N¨ aherung

Die Bornsche N¨aherung ist anwendbar, wenn der V-lineare Term der Bornschen Reihe klein gegen¨uber der ungest¨orten ebenen Welle ist. Mathematisch bedeutet das

m 2π~²

Z

d³r⁰ e^ik|~r−r~0|

|~r−r~⁰| V(~r⁰)ϕ_k(r~⁰)

|ϕ_k(~r)| mit ϕ_k(~r) = 1 (2π)³²

e^i~k·~r.

Speziell f¨ur ein zentralsymmetrisches Potential,V(~r⁰) =V(r⁰), das seinen gr¨oßten Wert beir = 0 annimmt, fordern wir

m 2π~²

Z

d³r⁰e^{i(kr0+~k ~r0)}V(r⁰) r⁰

1.

a) F¨uhren Sie in der letzten Ungleichung die Winkelintegration aus und berechnen Sie den verbleibenden Ausdruck f¨ur das Gaußche Streupotential

V(r) =V₀e⁻

r r0

² .

Die KonstantenV₀ undr₀ >0 bezeichnen die St¨arke und die Reichweite des Streupotentials.

Diskutieren Sie f¨ur diesen Fall die Anwendbarkeit der Bornschen N¨aherung als Funktion des dimensionslosen Maßes (d.h., _mr^~2²

0V0) f¨ur die St¨arke und Reichweite des Streupotentials.

b) Berechnen Sie f¨ur das ina) genannte Potential den differentiellen Streuquerschnitt ^dσ_dΩ(θ, φ) in erster Bornscher N¨aherung.

c) Verwenden Sie das Ergebnis von b) um den totalen Streuquerschnitt σtot = R

dΩ_dΩ^dσ zu berechnen. Vergleichen Sie dieses Resultat mit der (entsprechenden) Aussage des Optischen Theorems (wird noch in der Vorlesung besprochen), und diskutieren Sie den Vergleich.

12. Greenfunktionen

Die Schr¨odinger Gleichung

~²

2m∇²+E

ψ(~x) =U(~x)ψ(~x) kann mit der Greenfunktion-Methode gel¨ost werden. Hierbei ist die Greenfunktion G₀(E, ~R) dann definiert als

~²

2m∇²+E

G0(E, ~R) =δ(R),~

1

wobeiR~ =~x−x~⁰. F¨uhren Sie die Fourier-Transformation der Definitionsgleichung f¨ur G(E, ~R) (d.h.,G(E, ~R) = _(2π)¹ 3

R e^{i ~K ~R}G˜0(E, ~K)d³K) durch, wobei ˜G0(E, ~K) die Fourier Transformation der Green Funktion ist. Berechne danach den expliziten Ausdruck f¨urG0(E, ~R) aus der fourier- transformierten Gleichung.

Hinweis: Die Integrale ¨uber dK k¨onnen am besten mit der Cauchy Integralformel berechnet werden. Beachten Sie, dass die Fouriertransformierte ˜G0(E, ~K) Pole auf der reelen Achse hat.

Deswegen muss man E um ±iδ verschieben. Das impliziert die Existenz zweier verschiedener L¨osungen, n¨amlich die retardierte (+iδ) und die avancierte (−iδ) Greenfunktion.

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