Lecture Notes in Mathematics
Edited by A. Dold
tB. Eckmann and R Takens
Subseries: Mathematisches Institut der Universitat und Max-Planck-Institut fur Mathematik, Bonn - vol. 14
1400
Uwe Jannsen
Mixed Motives and Algebraic K-Theory
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg NewYork London ParisTokyo Hong Kong
A u t h o r
Uwe Jannsen
Max-Planck-Institut fur Mathematik Gottfried-Claren-Str. 26
5300 Bonn 3, Federal Republic of Germany
Mathematics Subject Classification (1980): Primary: 14A20,14C30,14G13,18F25 Secondary: 12A67, 14C35, 14F15 ISBN 3-540-52260-3 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-52260-3 Springer-Verlag NewYork Berlin Heidelberg
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Untv.-Bibtiothak R&genshuf§
Preface
This is an almost unchanged version of my 1988 Habilitations- schrift at Regensburg. My original plan was to completely rewrite it for publication; in particular I wanted to make it more readable for the non—expert. Finally I chose to rather publish it like it is than turn it into a long range project. So I have only made some minor corrections and added three appendices. The first one reproduces a letter from S.
Bloch to me and the second one consists of an example by C Schoen. I thank both for the permission to publish this material, and the latter for the effort of rewriting the example, which also figured in a letter to me. The third appendix contains some remarks and complements written in 1989.
Uwe Jannsen
Bonn, November 1989
T h i s t e x t c o n s i s t s o f t h r e e p a r t s . I n p a r t I we d e f i n e a c a t e g o r y o f m i x e d m o t i v e s i n t h e s e t t i n g o f a b s o l u t e H o d g e c y c l e s . I n p a r t I I we i n v e s t i g a t e , a s g e n e r a l a s p o s s i b l e , r e l a t i o n s b e t w e e n a l g e b r a i c c y c l e s , a l g e b r a i c K - t h e o r y , a n d m i x e d s t r u c t u r e s i n t h e c o h o m o l o g y o f a r b i t r a r y v a r i e t i e s . I n p a r t I I I we p r e s e n t some c o n j e c t u r e s o n C h e r n c h a r a c t e r s f r o m K - t h e o r y i n t o i l - a d i c c o h o m o l o g y f o r v a r i e t i e s o v e r f i n i t e f i e l d s o r g l o b a l f i e l d s , a n d p r o v e t h e s e i n some ( v e r y ) s p e c i f i c c a s e s .
B a c k g r o u n d T h e c o n c e p t o f m o t i v e s [Ma] , [ K l j , [SR] was i n t r o d u c e d b y G r o t h e n d i e c k t o e x p l a i n p h e n o m e n a i n d i f f e r e n t c o h o m o l o g y t h e o r i e s o f a l g e b r a i c v a r i e t i e s i n a c o h e r e n t way, i n p a r t i c u l a r t h o s e r e - l a t e d t o a l g e b r a i c c y c l e s a n d w e i g h t s . F o r e x a m p l e i n b o t h t h e
£ - a d i c a n d t h e H o d g e t h e o r y t h e c o h o m o l o g y H1( X ) o f a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y i s p u r e o f w e i g h t i , t h e c l a s s o f a n a l g e b r a i c c y c l e o f c o d i m e n s i o n j c a n be i n t e r p r e t e d a s a m o r p h i s m f r o m t h e t r i v i a l s t r u c t u r e i n t o H2- ^ ( X ) ( J ) , a n d t h e p a r a l l e l f o r m u l a t i o n o f t h e c o n j e c t u r e s o f H o d g e a n d o f T a t e i s t h a t t h e f u n c t o r s e n d i n g a
m o t i v e t o i t s c o h o m o l o g i c a l r e a l i z a t i o n i s f u l l y f a i t h f u l . A l l t h i s o n l y c o n c e r n s c y c l e s m o d u l o h o m o l o g i c a l e q u i v a l e n c e a n d d o e s n o t c o v e r s i n g u l a r o r n o n - c o m p a c t v a r i e t i e s , w h i c h o f t e n a r i s e i n a l g e b r a i c g e o m e t r y . C o n c e r n i n g t h e s e , D e l i g n e s h o w s i n [.D5 ]
§ 1 0 t h a t c y c l e s h o m o l o g o u s t o z e r o g i v e r i s e t o n o n - t r i v i a l e x - t e n s i o n s o f p u r e s t r u c t u r e s o f d i f f e r e n t w e i g h t s - t h i s i s c a l l e d a m i x e d s t r u c t u r e - a n d i n h i s t r e a t m e n t s o f H o d g e t h e o r y a n d
£ - a d i c c o h o m o l o g y [D5] , [D9] s h o w s t h a t t h e c o h o m o l o g y o f a r b i t r a r y v a r i e t i e s g i v e s r i s e t o m i x e d s t r u c t u r e s , t o o . I n d e e d , b o t h f a c t s
a r e d i r e c t l y r e l a t e d , a n d o n e e x p e c t s a d e s c r i p t i o n o f t h e w h o l e Chow g r o u p a n d a s a t i s f a c t o r y t r e a t m e n t o f a r b i t r a r y v a r i e t i e s i n t h e s e t t i n g o f a c a t e g o r y o f m i x e d m o t i v e s [ B e i 4] , [ D 1 0 ] . F i n a l l y , w o r k o f B e i l i n s o n s u g g e s t s t h a t m i x e d m o t i v e s a r e r e l a t e d t o h i g h e r a l g e b r a i c K - t h e o r y , l i k e c y c l e s a r e r e l a t e d t o Kq [ B e i 1] , [ B e i 2 ] .
G r o t h e n d i e c k ' s d e f i n i t i o n o f m o t i v e s i s q u i t e s i m p l e , b u t o n l y g i v e s a s a t i s f a c t o r y t h e o r y t o g e t h e r w i t h t h e s o - c a l l e d s t a n d a r d c o n j e c t u r e s . D e l i g n e h a s g i v e n a " w o r k i n g d e f i n i t i o n " o f m o t i v e s f o r a b s o l u t e H o d g e c y c l e s ( t h e l a t t e r o n e s r e p l a c i n g t h e a l g e b r a i c c y c l e s i n G r o t h e n d i e c kfs d e f i n i t i o n ) , w h i c h o f t e n s u f f i c e s f o r t h e a p p l i - c a t i o n s [DMOS] . An a l g e b r a i c d e f i n i t i o n o f m i x e d m o t i v e s i s p r o b l e m a t i c , s i n c e G r o t h e n d i e c k1s m e t h o d s ( a l g e b r a i c c o r r e s p o n - d e n c e s a n d i d e m p o t e n t s ) n e i t h e r a p p l y n o r e x t e n d i n a n o b v i o u s way.
P a r t I I n §1 we s t a r t w i t h t h e s i m p l e b u t c r u c i a l o b s e r v a t i o n t h a t - i n t h e l a n g u a g e i n t r o d u c e d l a t e r - a s u b r e a l i z a t i o n o f t h e r e a l i - z a t i o n o f a m o t i v e f o r a b s o l u t e H o d g e c y c l e s ( A H - m o t i v e ) i s a d i r e c t f a c t o r a n d h e n c e a s u b m o t i v e . A s a c o r o l l a r y we show t h a t t h e r e a r e n a t u r a l A H - m o t i v e s a s s o c i a t e d t o m o d u l a r f o r m s , h a v i n g a s £ - a d i c r e a l i z a t i o n s t h e r e p r e s e n t a t i o n s c o n s t r u c t e d b y D e l i g n e [D1] ( R e - c e n t l y , S c h o l l [ S c h 1 ] c o n s t r u c t e d t h e s e m o t i v e s a l g e b r a i c a l l y ) . A n o t h e r a p p l i c a t i o n i s t h e c o n s t r u c t i o n o f d i r e c t f a c t o r s i n t h e
£ - a d i c c o h o m o l o g y .
I n §2 we make a p r e c i s e d e f i n i t i o n o f a c a t e g o r y i n w h i c h t h e r e a l i z a t i o n s o f A H - m o t i v e s o v e r a f i e l d k l i v e , b y d e f i n i n g a b i g g e r c a t e g o r y MR^, o f m i x e d r e a l i z a t i o n s , i n w h i c h a l s o m i x e d s t r u c t u r e s a r e a l l o w e d . T h e s e o b v i o u s l y a r e T a n n a k i a n c a t e g o r i e s , a n d we s t u d y some o f t h e i r f o r m a l p r o p e r t i e s .
I n §3 we p r o v e t h a t f o r a s m o o t h v a r i e t y U o v e r a f i e l d k o f c h a r a c t e r i s t i c z e r o i t s & - a d i c , deRham a n d B e t t i c o h o m o l o -
Vll
q i e s d e f i n e a n o b j e c t H(U) i n MR^ . T h e t e c h n i q u e s a p p l i e d h e r e a r e a l l t a k e n f r o m p a p e r s o f D e l i g n e , t h e m a i n p o i n t c o n s i s t i n g i n s h o w i n g t h a t o n e h a s a w e i g h t f i l t r a t i o n i n e a c h t h e o r y w h i c h i s c o m p a t i b l e w i t h t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s , a n d t h a t t h e p u r e q u o - t i e n t s a r e A H - m o t i v e s .
I n §4 t h e c a t e g o r y MM^ o f m i x e d m o t i v e s ov*?r k i s d e f i n e d as t h e T a n n a k i a n s u b c a t e g o r y o f MR^ g e n e r a t e d b y t h e H(U) . We p r o v e t h a t D e l i g n e ' s c a t e g o r y M^ c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e T a n n a k i a n s u b c a t e g o r y g e n e r a t e d b y t h e r e a l i z a t i o n s o f s m o o t h , p r o j e c t i v e v a r i e t i e s , a n d c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e f u l l s u b c a t e g o r y o f p u r e o b j e c t s i n MM^, . T h i s g i v e s a s i m p l e r d e f i n i t i o n o f M^ t h a n t h e o r i - g i n a l o n e , a v o i d i n g t h e p r o c e s s e s o f t a k i n g t h e p s e u d o - a b e l i a n h u l l , i n v e r t i n g t h e L e f s c h e t z o b j e c t a n d c h a n g i n g t h e c o m m u t a t i o n c o n s t r a i n t s . I f G a n d MG a r e t h e a s s o c i a t e d " G a l o i s g r o u p s " o f t h e n e u t r a l T a n n a k i a n c a t e g o r i e s M^ a n d MM^ ( f o r some f i b r e f u n c t o r g i v e n b y B e t t i c o h o m o l o g y ) , t h e n t h e e m b e d d i n g M^-»MM^
d e f i n e s a h o m o m o r p h i s m MG -* G , a n d t h e a b o v e i s r e f l e c t e d i n a n e x a c t s e q u e n c e o f p r o - a l g e b r a i c g r o u p s
1 -> U -> MG -> G -> 1 ,
w i t h c o n n e c t e d , p r o - u n i p o t e n t U, i d e n t i f y i n g G w i t h t h e m a x i m a l p r o - r e d u c t i v e q u o t i e n t o f MG .
P a r t I I §5 i s , e x c e p t f o r t h e o r e m s 5.13 a n d 5.15 ( c o m p a r i n g O(X)*
w i t h D e l i g n e c o h o m o l o g y Hp(X,ZZ ( 1 ) ) o r e t a l e c o h o m o l o g y H ^1 1 t( X , ( 1 ) ) ) , m a i n l y m o t i v a t i o n a l . T h e c o n j e c t u r e s s t a t e d h e r e f o r t h e s m o o t h
c a s e a r e c o n t a i n e d i n t h o s e f o r m u l a t e d l a t e r f o r a r b i t r a r y v a r i e - t i e s .
I n §6 a v e r y i m p o r t a n t t o o l a p p e a r s , t h e n o t i o n , d u e t o B l o c h a n d O g u s [ B O ] , o f a t w i s t e d P o i n c a r e d u a l i t y t h e o r y , a x i o m a t i z i n g t h e a s p e c t s o f a c o h o m o l o g y t h e o r y a n d a n a s s o c i a t e d h o m o l o g y t h e o r y .
Vlll
I n t h i s s e t t i n g t h e nP o i n c a r e d u a l i t y " i s a n i s o m o r p h i s m ( 0 . 1 ) H1( XfJ ) -* H2d^i ( X , d - j ) , d = d i m X ,
b e t w e e n c o h o m o l o g y a n d h o m o l o g y f o r s m o o t h X . We d e f i n e a v e r s i o n w i t h v a l u e s i n a t e n s o r c a t e g o r y , a l s o i n t r o d u c i n g t h e c o n c e p t o f w e i g h t s m o d e l e d a f t e r t h e s i t u a t i o n f o r m i x e d H o d g e s t r u c t u r e s o r m i x e d £ - a d i c s h e a v e s . A f t e r d i s c u s s i n g & - a d i c , d e R h a m a n d B e t t i - c o h o m o l o g y we p r o v e - e x t e n d i n g t h e r e s u l t s i n p a r t I - t h a t t h e r e i s a P o i n c a r e d u a l i t y t h e o r y w i t h v a l u e s i n MR^ .
I n § 7 we p r o p o s e how t o e x t e n d t h e c o n j e c t u r e s o f H o d g e a n d T a t e t o a r b i t r a r y v a r i e t i e s . T h e b a s i c o b s e r v a t i o n i s t h a t t h e r i g h t s e t t i n g i s t h e h o m o l o g y , t h e c l a s s i c a l f o r m u l a t i o n s b e i n g r e o b t a i n e d b y ( 0 . 1 ) . We show t h a t t h i s H o d g e c o n j e c t u r e i s t r u e i f a n d o n l y i f t h e c l a s s i c a l H o d g e c o n j e c t u r e i s , a n d t h a t t h e same i s b a s i c a l l y t r u e f o r t h e T a t e c o n j e c t u r e s .
I n § 8 we r e c a l l some p r o p e r t i e s o f C h e r n c h a r a c t e r s a n d R i e m a n n - R o c h t r a n s f o r m a t i o n s a s s u r i n g t h a t t h e maps
(0.2) H ^ ( X , $ ( b ) ) ® $ £ -> H ^t( X xkk , ( J£( b ) ) k , c h a r k * I , (0.3) H?J(X,®(b) )-> rHHa( x « n , © ( b ) ) , k = C ,
M
( w h e r e H i s t h e m o t i v i c h o m o l o g y d e f i n e d b y B e i l i n s o n v i a K3Jt(X) a n d d e n o t e s t h e g r o u p o f H o d g e c y c l e s ) , s a t i s f y a l l f u n c t o r i a l i - t i e s o f m o r p h i s m s o f P o i n c a r e d u a l i t y t h e o r i e s . We s t a t e c o n j e c t u r e s o n t h e s u r j e c t i v i t y o f ( 0 . 2 ) a n d ( 0 . 3 ) a n d e x t e n d t h e o r e m s 5.13 a n d 5.15 t o a r b i t r a r y v a r i e t i e s , t h u s p r o v i n g t h e c o n j e c t u r e s f o r c u r v e s .
I n §9 we d i s c u s s r e l a t i o n s b e t w e e n e x t e n s i o n s o f r e a l i z a t i o n s a n d a l g e b r a i c c y c l e s h o m o l o g o u s t o z e r o . A s a c o n s e q u e n c e we show why a n a i v e e x t e n s i o n o f t h e c o n j e c t u r e s o f H o d g e a n d T a t e t o t h e s u r j e c t i v i t y o f ( 0 . 2 ) a n d ( 0 . 3 ) f o r a r b i t r a r y a , b € TZ i s f a l s e . I n p a r t i c u l a r , t h i s d i s p r o v e s a H o d g e - t h e o r e t i c c o n j e c t u r e b y B e i l i n s o n
[ B e i 2] .We d e d u c e t h e c o u n t e r e x a m p l e f r o m e x a m p l e s o f M u m f o r d o n t h e n o n - i n j e c t i v i t y o f t h e A b e l - J a c o b i map
C Hj( X )o -> H2 j"1 ( X , < r ) / H2 j~1 (XfZZ ( j ) ) + Fj .
T h e n we e x t e n d e v e r y t h i n g t o t h e £ - a d i c A b e l - J a c o b i maps
CH J( X) o "*Hc o n t(Gk 'H2J"1(X^ 'ffi£ < 3 ) ) ) , b y u s i n g r e s u l t s o f B l o c h [ B i 1] .
I n § 1 0 we e x t e n d B l o c h ' s r e s u l t s t o h i g h e r - d i m e n s i o n a l v a r i e t i e s a n d s h o w t h a t A b e l - J a c o b i maps a r e n o n - i n j e c t i v e q u i t e p r i n c i p a l l y , f o r a n y r e a s o n a b l e P o i n c a r e d u a l i t y t h e o r y - p r o v i d e d t h e b a s e
f i e l d c o n t a i n s t o o many p a r a m e t e r s . T h e m a i n t h e m e o f o u r c o n j e c t u r e s a n d o f s e v e r a l c o n j e c t u r e s o f B l o c h a n d B e i l i n s o n , i s t h a t t h e s i - t u a t i o n i s d i f f e r e n t f o r f i n i t e f i e l d s , g l o b a l f u n c t i o n f i e l d s , a n d n u m b e r f i e l d s .
I n §11 we r e c a l l some i d e a s o f B e i l i n s o n o n m i x e d m o t i v e s [ B e i 4 ] We s t r e s s t h e f a c t t h a t h i s p h i l o s o p h y o f m i x e d m o t i v i c s h e a v e s w o u l d i m p l y some q u i t e e x p l i c i t c o n j e c t u r e s - e x t e n d i n g e a r l i e r o n e s b y B l o c h - o n t h e s t r u c t u r e o f Chow g r o u p s o f s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t i e s o v e r a r b i t r a r y f i e l d s . I t h i n k t h e s e s h o u l d b e r e g a r d e d a s a n e x t e n s i o n o f G r o t h e n d i e c k ' s s t a n d a r d c o n j e c t u r e s t o t h e w h o l e Chow g r o u p . We r e m a r k t h a t t h e y w o u l d f o l l o w f r o m t h e i n j e c t i v i t y o f some c y c l e map.
P a r t I I I O u r b a s i c c o n j e c t u r e f o r v a r i e t i e s o v e r f i n i t e f i e l d s i s t h a t h e r e ( 0 . 2 ) i s a n i s o m o r p h i s m , i n § 1 2 we p r o v e i t i n some c a s e s a n d show t h a t i t w o u l d f o l l o w f r o m s e v e r a l " c l a s s i c a l " c o n - j e c t u r e s o n s m o o t h , p r o j e c t i v e v a r i e t i e s , a t l e a s t i f we a s s u m e a weak f o r m o f r e s o l u t i o n o f s i n g u l a r i t i e s . T h e c o n j e c t u r e w o u l d i m p l y a d e s c r i p t i o n o f m o t i v i c h o m o l o g y o f a r b i t r a r y v a r i e t i e s X o v e r a r b i t r a r y f i e l d s o f p o s i t i v e c h a r a c t e r i s t i c , b y w r i t i n g
X = I i m X , w i t h v a r i e t i e s X o v e r 3F a n d f l a t t r a n s i t i o n m a p s ,
+- a ' a p c
a M M
s i n c e H ( X , Q ( b ) ) = I i m H ,(X , Q ( b ) ) . We e x p l a i n t h i s i n m o r e d e t a i l a a ot
a
f o r t h e c a s e o f a g l o b a l f u n c t i o n f i e l d k . N o t e t h a t we n e e d n o n - p r o p e r e v e n f o r a s m o o t h , p r o j e c t i v e X , a n d o b s e r v e t h e s i m i l a r i t i e s a n d t h e d i f f e r e n c e s t o t h e a p p r o a c h o f A r t i n a n d T a t e i n [ D . E . ]
We d o n ' t h a v e a s i m i l a r l y g e n e r a l c o n j e c t u r e f o r n u m b e r f i e l d s , b u t i n § 1 3 we d i s c u s s a c o n j e c t u r e o n t h e b i j e c t i v i t y o f
( 0 . 4 ) H ^ ( X , Q ( b ) - H ^t( X , ©£( b ) ) ,
r^ e t *
( w h e r e i s a c e r t a i n m o d i f i e d e t a l e h o m o l o g y ) i n t h e " s t a b l e r a n g e " a > d i m X + b . T h i s i s r e l a t e d t o c e r t a i n G a l o i s c o h o m o l o - g i c a l i n v e s t i g a t i o n s i n [ J 3 ] .
T h e e x t r e m e c o u n t e r p a r t o f p u r e s t r u c t u r e s a r e m i x e d s t r u c t u r e s w h o s e p u r e p i e c e s a r e a s s i m p l e a s p o s s i b l e , i . e . , T a t e o b j e c t s , s o t h a t o n l y m i x e d p h e n o m e n a r e m a i n . I n § 1 4 we d e f i n e a c l a s s o f
v a r i e t i e s ( c o n t a i n i n g t h o s e s t r a t i f i e d b y l i n e a r s p a c e s , l i k e G r a s s m a n n i a n s o r f l a g v a r i e t i e s ) w i t h t h i s p r o p e r t y , a n d p r o v e m o s t o f o u r c o n j e c t u r e s f o r t h e s e v a r i e t i e s .
F i n a l r e m a r k s a n d a c k n o w l e d g e m e n t s
I l e a r n t a b o u t m o t i v e s f o r a b s o l u t e H o d g e c y c l e s i n i n s p i r i n g l e c t u r e s b y G. A n d e r s o n ( H a r v a r d 198 3 / 8 4 ) , a n d my own i n v e s t i g a t i o n s w e r e s t a r t e d b y a q u e s t i o n o f N. S c h a p p a c h e r w h e t h e r t h e r e a l i z a - t i o n s f o r m o d u l a r f o r m s come f r o m s u c h m o t i v e s ( s e e § 1 ) . A . S c h o l l b r o u g h t my a t t e n t i o n t o t h e p a p e r b y B l o c h a n d O g u s , a n d c o m m u n i - c a t e d t o me some i d e a s o n K - h o m o l o g y a n d e x t e n s i o n c l a s s e s ( c f .
§ 6 ) . I t i s a p l e a s u r e t o t h a n k t h e m f o r t h i s i n s p i r a t i o n a n d t h e l a t t e r two f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n s .
T h e f i r s t f o u r c h a p t e r s e x i s t i n t h i s f o r m s i n c e e n d o f 1985 a n d w e r e c o m m u n i c a t e d t o a few m a t h e m a t i c i a n s . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t a c o n s t r u c t i o n s i m i l a r t o o u r c a t e g o r y MR^ a l s o a p p e a r s i n a r e c e n t p a p e r b y D e l i g n e . I t w i l l be c l e a r t o t h e r e a d e r how m u c h p a r t s I I a n d I I I a r e i n f l u e n c e d b y w o r k a n d i d e a s o f B l o c h a n d B e i l i n s o n , b u t I w o u l d a l s o l i k e t o s t r e s s t h e i n f l u e n c e o f D e l i g n e ' s w o r k o n 1 - m o t i v e s [D5] a n d h i s r e i n t e r p r e t a t i o n o f B e i l i n s o n * s i d e a s i n [D10] .
I w o u l d l i k e t o t h a n k J . N e u k i r c h h e a r t i l y f o r h i s c o n s t a n t
Xl
e n t h u s i a s m a n d e n c o u r a g e m e n t , a n d a l l f r i e n d s i n R e g e n s b u r g f o r t h e i r i n t e r e s t a n d s u p p o r t . A l s o I t h a n k t h e M a x - P l a n c k - I n s t i t u t a t B o n n , w h e r e t h i s p r o g r a m was s t a r t e d a n d w h e r e t h e f i n a l p a r t w a s w r i t t e n . S p e c i a l t h a n k s g o t o K. D e u t l e r , M. G r a u a n d H. W o l f -
G a z o f r o m t h e MPI, a n d i n p a r t i c u l a r t o M. P e r t l f r o m R e g e n s b u r g f o r a p h a n t a s t i c t y p i n g u n d e r b i g p r e s s u r e o f t i m e .
Contents
Preface III Introduction V
PART I - MIXED MOTIVES FOR ABSOLUTE HODGE CYCLES
§ 1 Some remarks on absolute Hodge cycles 1
§ 2 The category of mixed realizations 9
§ 3 The mixed realization of a smooth variety 25
§ 4 The category of mixed motives 43
PART II - ALGEBRAIC CYCLES, K - T H E O R Y , AND EXTENSION CLASSES
§ 5 The conjectures of Hodge and Tate for 57 smooth varieties
§ 6 Twisted Poincare duality theories 79
§ 7 The conjectures of Hodge and Tate for 107 singular varieties
§ 8 Homology and K-theory of singular varieties 121
§ 9 Extension classes, algebraic cycles, and the 139 case i = 2j — 1
§ 10 On the non-injectivity of the Abel-Jacobi map 169
§ 11 Chow groups over arbitrary fields 178
PART III - K - T H E O R Y AND t-ADIC COHOMOLOGY
§ 12 Finite fields and global function fields 189
§ 13 Number fields 205
§ 14 Linear varieties 214
Appendix A: A letter from Bloch to the author 222 Appendix B: An example by C. Schoen 224 Appendix C: Complements and problems 227
Bibliography 235
Notations 241
Index 244
1
j
!
P A R T I
M I X E D MOTIVES FOR A B S O L U T E HODGE C Y C L E S
§ 1 . Some r e m a r k s o n a b s o l u t e H o d g e c y c l e s
L e t k b e a f i e l d o f c h a r a c t e r i s t i c z e r o , w h i c h i s em- b e d d a b l e i n (T . F i x a n a l g e b r a i c c l o s u r e k o f k a n d l e t G ^ = G a l (Ji/k) . I n t h e f o l l o w i n g we d e a l w i t h m o t i v e s f o r a b -
s o l u t e H o d g e c y c l e s a s d e f i n e d b y D e l i g n e i n [ D 6 ] , s e e a l s o [ D M O S ] I I § 6 , i n p a r t i c u l a r we u s e s i m i l a r n o t a t i o n s a s i n t h e s e r e f e r e n c e s . T h e n a m o t i v e M o v e r k h a s r e a l i z a t i o n s HDR( M ) - a k - v e c t o r s p a c e w i t h a d e s c e n d i n g f i l t r a t i o n F ^ H1( M ) - ( f o r e a c h p r i m e n u m b e r 1) a Q1- V e c t o r s p a c e , o n
w h i c h G jc a c t s c o n t i n u o u s l y ,
H0( M ) - ( f o r e a c h e m b e d d i n g o: k «-* (E) a Q - v e c t o r s p a c e w i t h a H o d g e s t r u c t u r e o n H0( M ) 8 3R , i . e . , a Q - H o d g e s t r u c t u r e ,
a l l o f t h e s a m e f i n i t e d i m e n s i o n . F u r t h e r m o r e , t h e r e a r e c o m - o a r i s o n i s o m o r p h i s m s
1C or 0 : V M > • c C ~ HD R(M) ® k , c « a n d
f o r e a c h e x t e n s i o n a : k (E o f
I f X i s a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y o v e r k a n d n ^ O a n i n t e g e r , t h e m o t i v e M = hn( X ) i s g i v e n b y t h e r e a l i z a t i o n s
HDR( M ) = HDR( X ) = Hdr( x / k ) ( d e Rham c o h o m o l o g y )
H1( M ) = H1( X ) =He t(Xxk ^/Ql) (1^adic c o h o m o l o g y ) HG( M ) = Hg( X ) = HN( X xk 0C,Q) ( s i n g u l a r c o h o m o l o g y ) .
T h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s a r e o b t a i n e d f r o m t h e c a n o n i c a l o n e s b e t w e e n t h e c o h o m o l o g y t h e o r i e s o f t h e v a r i e t y aX =
X xv n$ over (E . N a m e l y I 1 - i s g i v e n b y
H
n( X x
k^ C e
i) ^
H^
t( X x
kfaC ,
Cl) i t
H^
t( X x
kE
fCl)
a n d I M i s i n d u c e d b vHnC a X7( J ) - S a si.HnR(aV(C) m
d i m X
I f we l e t h ( X ) = © h (X) , a n y m o t i v e M i s a d i r e c t n=o
summand o f h ( X ) ( m ) , t h e m - f o l d T a t e - t w i s t o f h ( x ) t f o r some s m o o t h p r o j e c t i v e X a n d some m € ZZ .
T h e f o l l o w i n g lemma, w h i c h d e s c r i b e s t h e p o s s i b l e summands, i s r a t h e r e a s y b u t v e r y i m p o r t a n t f o r t h e f o l l o w i n g .
1 . 1 . Lemma L e t M b e a m o t i v e o v e r k . S u p p o s e g i v e n a k - s u b s p a c e UDR £EH D R (M) *f o r e a c h 1 a Q1- S u b s p a c e 5 H1( M ) , w h i c h i s a G ^ - s u b m o d u l e , a n d f o r e a c h a : k «-* <C a 0) - s u b s p a c e U G 5 Hq (M) , w h i c h i s a s u b - Q - H o d g e s t r u c t u r e , s u c h t h a t t h e s e s u b s p a c e s c o r r e s p o n d u n d e r t h e c o m p a r i s o n i s o - m o r p h i s m s . T h e n t h e r e i s a d e c o m p o s i t i o n M = M^ © M^ i n mo- t i v e s s u c h t h a t U = H (M.) c H (M) w h e r e a r u n s t h r o u g h
a a 1 — a t h e i n d i c e s DR, 1 a n d a .
P r o o f A s t h e s u b s p a c e s U a r e c o m p a t i b l e w i t h t h e w e i g h t g r a d i n g s ( t h i s i s i m p l i c i t i n t h e s t a t e m e n t t h a t t h e Ug a r e sub-d)-Hodge s t r u c t u r e s ) , we may a s s u m e M p u r e o f w e i g h t r , s a y . T h e n t h e r e e x i s t s a m o r o n i s m o f m o t i v e s
Y : M M ( - r ) (M = d u a l o f M)
g i v i n g r i s e t o n o n - d e g e n e r a t e p a i r i n g s f o r a G {DR,1,a}
Ha( M ) * Ha( M ) - Ha( l ( - r ) ) = Q1( T ) Q ( T )
a = DR a = 1 a = a
w h i c h a r e c o m p a t i b l e w i t h t h e v a r i o u s s t r u c t u r e s l i k e G ^ - a c t i o n f o r a = 1 a n d H o d g e s t r u c t u r e f o r a = a e t c . , a n d c o r r e s p o n d u n d e r t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s . M o r e o v e r , t h e ^g i n d u c e p o l a r i z a t i o n s o f r e a l H o d g e s t r u c t u r e s .
Ha( M ) S l R $ Ha( M ) ® 3 R - 3 R ( - r )
I n f a c t , t o f i x i d e a s we may a s s u m e - b y t w i s t i n g w i t h p o w e r s o f t h e T a t e m o t i v e a n d a d d i n g o t h e r m o t i v e s - t h a t M i s hr( X ) f o r a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y X o f d i m e n s i o n d
o v e r k . T h e n b y u s i n g a v e r y a m p l e d i v i s o r a n d t h e h a r d L e f s c h e t z t h e o r e m o n e c o n s t r u c t s a n a b s o l u t e H o d g e c y c l e i n C2d r( X x X ) g i v i n g a h o m o m o r p h i s m
$ : hr( X ) -> h2d~r( X ) ( d - r )
t h e m o t i v i c v e r s i o n o f t h e ' " " - o p e r a t o r " i n H o d g e t h e o r y , s e e [DMOS] I I 6 . 2 . T h e p a i r i n g s ^ ^ a b o v e a r e t h e n o b t a i n e d b y c o m b i n i n g w i t h t h e P o i n c a r e p a i r i n g s
Hr( X ) ® H2d~r( X ) - H2 d( X ) H ( l ( - d ) ) a a a ~ a
a n d t w i s t s b y d - r . O r : t h e P o i n c a r e p a i r i n g s g i v e a n i s o - m o r p h i s m h2d~r (X) ( d - r ) hr( X )V( - r ) , w h o s e c o m p o s i t i o n w i t h
$ i s Y .
L e t V__ , V1 a n d V b e t h e o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t s o f
D R l Cf
U , U a n d U , r e s p e c t i v e l y , w i t h r e s p e c t t o t h e p a i r i n g s
DR I O
^DR ' an d ^o *By tne co mPatib ilit V of t ne l^a tnes e s p a c e s t h e n c o r r e s p o n d u n d e r t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s . A l s o t h e V a r e s u b s t r u c t u r e s o f t h e H (M) l i k e t h e U : t h e G, ~
a a a k i n v a r i a n c e o f f o l l o w s f r o m t h e Gk^ i n v a r i a n c e o f a n d i);.^ , a n d Vg i s a s u b - Q - H o d g e s t r u c t u r e , a s ^g i s a p o l a r i z a - t i o n o f Q - H o d g e s t r u c t u r e s . T h i s a l s o s h o w s t h a t U fl V = O
71 O O
( c o m p a r e D e l i g n e ' s a r g u m e n t [ D 4 ] p . 44, t h a t a n y s u b - s t r u c t u r e o f a p o l a r i z e d Q - H o d g e s t r u c t u r e i s a d i r e c t f a c t o r ) : o n e h a s
( 2 T T i )ri J ; ( x , C x ) > O f o r a l l O * x € H (M) 8 3R , w h e r e C i s
t h e W e i l o p e r a t o r : C = i € S (3R ) = C a c t i n g o n e v e r y I R - H o d g e s t r u c t u r e , s e e [ D 4 ] ( 2 . 1 . 1 4 ) . A s C r e s p e c t s t h e s u b -
1
H o d g e s t r u c t u r e Ug 8 IR we c o n c l u d e Ug ® IR D ( Ug® IR ) = O a s c l a i m e d . By t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s we a l s o g e t H V1 = O a n d Ur k- 0 V__ = O . T h e d e c o m p o s i t i o n s H (M) = U ® V t h e n
DR DR r a a a
i n d u c e e n d o m o r p h i s m s
pa : Ha( M ) P r ^ t i o n ^ . H ( X( M )
f o r a € { D RfI , a } , w h i c h a r e c o m p a t i b l e w i t h t h e v a r i o u s s t r u c t u r e s a n d t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s , a s t h i s i s t h e c a s e f o r t h e U- a n d V - s p a c e s . T h e r e f o r e t h e f a m i l y o f t h e pa
g i v e s a n e l e m e n t p € E n d ( M ) ( s e e [ D M O S ] I I 6.7 (g) o r 6.1 f o r M = h ( X ) , n o t e t h a t p r e s p e c t s t h e H o d g e f i l t r a t i o n a s i t i s c o m p a t i b l e w i t h p a n d p i s a h o m o m o r p h i s m o f
c O ~ O
H o d g e s t r u c t u r e s ) , w h i c h i s a p r o j e c t o r a n d g i v e s t h e w a n t e d d e c o m p o s i t i o n b y t a k i n g M^ = Im p a n d M2 = I m ( 1 - p ) ; f o r M = h ( X ) we h a v e M1 = ( h ( X ) , p ) i n t h e n o t a t i o n o f [ D M O S ] .
1.2. C o r o l l a r y I f X,Y a r e s m o o t h v a r i e t i e s o v e r k w i t h X p r o j e c t i v e , t h e n f o r a n y m o r p h i s m f : Y -» X a n d g : X -+ Y t h e k e r n e l o f
f * : Hr( X ) -> Hr( Y ) a € { D R , l , a }
i s r e p r e s e n t e d b y a m o t i v e K e r f * c h (X) a n d t h e i m a g e o f
g * : Hr( Y ) » Hr( X ) a € { D R , l , a }
i s r e p r e s e n t e d b y a m o t i v e Im g * c hr( X ) , a n d t h e s e a r e d i r e c t f a c t o r s o f hr( X ) .
P r o o f T h e c o h o m o l o g y g r o u p s Hr( Y ) h a v e m i x e d Q - H o d g e s t r u c t u r e s , a n d f * a n d g*L a r e m o r o n i s m s o f m i x e d Q - H o d g e s t r u c t u r e s
o o •
[ D 4 ] . So K e r f * a n d Im g * a r e ( p u r e ) s u b - Q - H o d g e s t r u c t u r e s
o f t h e p u r e , p o l a r i z e d Q - H o d g e s t r u c t u r e s HQ( X) •K e r f * a n d Im g * i n t h e o t h e r r e a l i z a t i o n s c o r r e s p o n d t o K e r f * a n d Im g * u n d e r t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s , a s t h e s e a r e f u n c t o - r i a l a n d a l s o e x i s t f o r Y , a n d o f c o u r s e i n t h e 1 - a d i c r e a l i - z a t i o n s o n e g e t s ( ^ - i n v a r i a n t s u b s p a c e s . S o we c a n a p p l y t h e lemma ( w i t h U = K e r f * o r Im g * ) .
I n p a r t i c u l a r we g e t a r e s u l t w h i c h s h o u l d b e t r u e m o r e g e n e r a l l y b y a c o n j e c t u r e o f G r o t h e n d i e c k - S e r r e o n t h e s e m i - s i m p l i c i t y o f t h e a c t i o n o f G^ o n t h e 1 - a d i c c o h o m o l o g y .
1.3. C o r o l l a r y I n t h e s i t u a t i o n a b o v e , t h e k e r n e l o f f * : Hr( x ) - Hr( Y )
a n d t h e i m a g e o f
g * : Hr( Y ) - Hr( X )
a r e d i r e c t f a c t o r s o f Hr( x ) a s G ^ - m o d u l e s .
O f c o u r s e , s i m i l a r c o n s i d e r a t i o n s a p p l y t o o t h e r n a t u r a l maps l i k e G y s i n m a p s o r t h e c a n o n i c a l map
Hr( U ) -> Hr( X ) c
o f t h e c o h o m o l o g y w i t h c o m p a c t s u p p o r t o f a n o p e n s u b v a r i e t y U o f X i n t o t h e c o h o m o l o g y o f a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y X . T h i s i s n e e d e d i n t h e p r o o f o f t h e n e x t c o r o l l a r y .
1. 4 . C o r o l l a r y T h e r e a l i z a t i o n s a t t a c h e d t o a n e l l i p t i c m o d u l a r f o r m f b y D e l i g n e ( [ D 6 ] § 7 ) b e l o n g t o a m o t i v e M ( f ) .
P r o o f L e t f b e a new f o r m o f w e i g h t k + 2 (k = 0 ) , c o n d u c t o r N a n d c h a r a c t e r e f o r
rI(N) = {(c d] € SL 2( E) 1 (c d} s (0 1} m o d N} *
T h e r e i s a s m o o t h p r o j e c t i v e c u r v e X1 (N) o v e r <D a n d a n o p e n s u b v a r i e t y
j : Y1( N ) X1( N )
s u c h t h a t t h e C - v a l u e d p o i n t s c a n b e i d e n t i f i e d w i t h
= c o m p a c t i f i c a t i o n b y
^1( N ) T1( N ) \ a d d i n g t h e c u s p s ,
w h e r e Jfy i s t h e P o i n c a r e u p p e r h a l f p l a n e .
L e t N = 3 ; t h e n t h e r e i s t h e u n i v e r s a l e l l i p t i c c u r v e
g : E -> Y1 (N) ,
a n d D e l i g n e d e s c r i b e s t h e r e a l i z a t i o n s o f M ( f ) a s p a r t s o f t h e " u n i v e r s a l c o h o m o l o g y "
H1 ( X1 (N) , J3 l tS y mk( R1 g j t cQ ) )
( i . e . , o n e h a s t o f o r m t h e 1 - a d i c , d e Rham a n d s i n g u l a r v e r s i o n s o f t h i s c o h o m o l o g y ) , n a m e l y a s k e r n e l o f T - a f o r a l l n
n n
p r i m e t o N , w h e r e t h e T ^ a r e t h e H e c k e c o r r e s p o n d e n c e s a c t i n g o n t h e c o h o m o l o g y a n d f ( z ) = I a qn , q = e2TTiz . I f t h e
\ A n n-1
a ^ a r e n o t i n Q , o n e h a s t o t a k e t h e k e r n e l i n t h e f o l l o w i n g s e n s e : L e t T b e t h e Q - a l g e b r a g e n e r a t e d b y t h e T ^ a n d E = Q ( a . , a _ , . . . ) , t h e n we h a v e a m o r p h i s m T -•> E b y T K a . I f
I z n n
OL i s t h e k e r n e l o f t h i s m o r p h i s m , d e f i n e t h e r e a l i z a t i o n s o f
M ( f ) a s t h e p a r t a n n i h i l a t e d b y oc . B y t h e c o m m u t a t i v e d i a g r a m
H1 ( Y1 (N) , S y mk( R1g+0 ) ) ) » H1 ( X1 (N) , j * S y mk ( R1 g*Q) )
; N
H1( Y1( N ) , S y mk( R1g+Q ) ) ,
i n w h i c h H^ d e n o t e s c o h o m o l o g y w i t h c o m p a c t s u p p o r t a n d t h e
m a p s a r e t h e c a n o n i c a l o n e s , o n e c a n a l s o d e f i n e t h e r e a l i z a t i o n s o f M ( f ) t o b e t h e k e r n e l o f t h e T - a i n t h e p a r a b o l i c
n n c o h o m o l o g y
H p C Y1 (N) , S y mk( R1 g 3 l 5Q ) ) = I m ( H ^ ( Y1 (N) , . . .) S H1 ( Y1 (N) , . . . ) ) . S y mk (R1g*<R) i s a d i r e c t f a c t o r o f ( R1g * $ ) *k w h i c h i n t u r n i s a d i r e c t f a c t o r o f R ( g ^ )+Q , f o r
: Ek = E xY1 (N) •• •"Y1 ( N )E
*
Y 1( N)t h e k - f o l d f i b r e p r o d u c t o f g ( r e l a t i v e v e r s i o n o f t h e K u n n e t h f o r m u l a ) , w h e r e b y d e f i n i t i o n E q = Y1( N ) .
F i n a l l y t h e s p e c t r a l s e q u e n c e
HP( Y1 (N) , Rq( gk) * < D ) =* HP+Q( Ek, Q )
d e g e n e r a t e s a n d m o r e o v e r , a s r e m a r k e d b y L i e b e r m a n , i d e n t i f i e s HP( Y1( N ) , Rq( gk)+Q ) w i t h t h e s u b s p a c e o f HP+Q( Ek, Q ) , o n w h i c h m • i d _ i n d u c e s t h e m u l t i p l i c a t i o n b y mq , c o m p a r e [ D 1 ]
Ek
p . 1 6 8 . T h e s a m e i s t r u e f o r t h e c o h o m o l o g y w i t h c o m p a c t s u p p o r t . A l t o g e t h e r t h e r e a l i z a t i o n s o f M ( f ) a r e d i r e c t f a c t o r s o f t h e c o h o m o l o g y
HK+1( EK, $ ) = I m ( Hk + 1 ( Ek, Q ) -> Hk+1 ( Ek, Q ) )
w h i c h a r e d e f i n e d a s t h e k e r n e l o f s e v e r a l a l g e b r a i c c o r r e s p o n - d e n c e s : t h e Tn a r e a l s o d e f i n e d a s c o r r e s p o n d e n c e s o f E
k + 1
a n d s o o f E K , s e e [ D 1 ] ( 3 . 1 6 ) , t h e s u b q u o t i e n t o f H^ ^EJC' ® ) w h i c h c o r r e s p o n d s t o
H p C Y1 (N) , ( R1g * Q ) ®k) 5 H ^ Y1 (N) , Rk( gk) *Q)
v i a t h e s p e c t r a l s e q u e n c e c a n b e i d e n t i f i e d w i t h t h e s u b s p a c e k + 1
o f Hp ( Ek, Q ) w h e r e t h e m o r p h i s m In1 i d£x . . . x mKi d£ (nu € S ) i n d u c e s t h e m u l t i p l i c a t i o n b y Iti1 . . . Itik , a n d t h e p a r t c o r r e s p o n d -
k 1 1 ® k
i n g t o Sym (R g * ® ) i n (R g*Q) c a n b e i d e n t i f i e d b y t h e a c t i o n o f t h e s y m m e t r i c g r o u p SK o n E ^ .
I f o n e l i k e s - a n d i n p a r t i c u l a r i f o n e d o e s n o t l i k e t o
e l a b o r a t e t h e d e Rham v e r s i o n s o f t h e a b o v e s t e p s - o n e c a n t a k e t h i s a s t h e d e f i n i t i o n : t h e r e a l i z a t i o n s o f M ( f ) a r e o b t a i n e d
„k+1 Tk+1
i n H ( E1) = Im (H ( E1) p , a k a , c k
a T Tk+1
( Ek) ) , f o r a € { D RfIrO } , a s t h e k e r n e l o f t h e T n ~an ' (m^ i d£x . . . xrn^idg) * - m1 . . . i t ^ f o r s u f f i c i e n t l y m a n y € ZS , a n d a*-1 f o r a l l a € Sk c A u t ( Ek) .
k+1
T h e y a r e s u b s t r u c t u r e s , i . e . , G ^ - s u b m o d u l e s o f (eJ c ^ ' k+1
s u b - Q - H o d g e s t r u c t u r e s o f H^ ( Ek) e t c . , a n d c o r r e s p o n d u n d e r t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s , a s t h e s e a l s o e x i s t f o r t h e c o h o - m o l o g y w i t h c o m p a c t s u p p o r t C^EK ^ a n c^a re c o m p a t i b l e w i t h t h e (POT . A d e f i n i t i o n o f a l g e b r a i c d e Rham c o h o m o l o g y w i t h c o m p a c t s u p p o r t a n d t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m t o s i n g u l a r
c o h o m o l o g y c a n b e f o u n d i n [ H L ] .
T o g e t a m o t i v e we s t i l l h a v e t o r e p l a c e Ek b y a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y . Now t h e r e e x i s t s a s m o o t h c o m - p a c t i f i c a t i o n Ek o f Ek , i . e . , a s m o o t h p r o j e c t i v e v a r i e t y Ek c o n t a i n i n g Ek a s a n o p e n s u b v a r i e t y ( e i t h e r b y H i r o n a k a ' s r e s o l u t i o n o f s i n g u l a r i t i e s o r b y D e i i g n e1s d i r e c t c o n s t r u c t i o n [ D 1 ] 5 . 5 , w h i c h a l s o w o r k s i n p o s i t i v e c h a r a c t e r i s t i c ) , a n d b y t h e c o m m u t a t i v e d i a g r a m
Ha+1 < V
Tk+1
Hj^ ( Ek) a p p e a r s a s a s u b q u o t i e n t o f H ^ ( Ek) . We r e m a r k t h a t b y t h e c o m m u t a t i v e d i a g r a m f r o m P o i n c a r e d u a l i t y
Hk+1( Ik) Hk+1( Ek) . H2(k+1> ( Ek) f
Hk+1( Et) H2(k+1)( EV) k c k
we h a v e Im \\> - ( K e r p) ( o r t h o g o n a l c o m p l e m e n t ) . T h i s s h o w s
t h a t we c o u l d e x p r e s s t h e s u b q u o t i e n t e n t i r e l y i n t e r m s o f p : Hk+1 ( Ek) = p ( i m ty) * Im i|i/Im ij; n K e r p = ( K e r p)1/ ( K e r p )1 n K e r p.
T h e s e s u b q u o t i e n t s f o r a l l a € {DR,1,a} d e f i n e a m o t i v e b y lemma 1.1 ( a p p l i e d t w i c e ) , a n d t h e r e a l i z a t i o n s o f M ( f ) g i v e c o m p a t i b l e s u b s t r u c t u r e s i n a l l i t s r e a l i z a t i o n s a n d s o a g a i n b y lemma 1.1 d e f i n e a m o t i v e , w h i c h we now c a n c a l l M ( f ) .
M o r e e x p l i c i t e l y : l e t H ( M ( f ) ) b e t h e r e a l i z a t i o n s o f M ( f ) i n Hk+1( Ek) , t h e n p~1( H ( M ( f ) ) ) g i v e s a m o t i v e b y lemma 1.1, ( K e r p)^ n K e r p i s a m o t i v e , a n d s o p1( H ( M ( f ) ) ) /
( K e r p)"*" D K e r p i s a m o t i v e , w h i c h we d e f i n e t o b e M ( f ) . F o r N = 1,2 o n e g e t s t h e m o t i v e M ( f ) f r o m a m o t i v e w i t h b i g g e r N' v i a t a k i n g t h e f i x e d p a r t u n d e r a f i n i t e s u b g r o u p o f S L ^ f f f i / N ' Z Z ) l i k e i n [D1 ] p . 1 5 8 . T h i s a g a i n g i v e s a m o t i v e , c o m p a r e [DMOS] p . 2 0 6 .
§ 2 . T h e c a t e g o r y o f m i x e d r e a l i z a t i o n s
T h e c o n s i d e r a t i o n s o f t h e p r e v i o u s s e c t i o n s u g g e s t t o d e f i n e a c a t e g o r y t h a t c o n t a i n s t h e r e a l i z a t i o n s o f m o t i v e s w i t h a l l t h e i r e x t r a s t r u c t u r e s a n d t h a t a l s o c o v e r s t h e c o h o m o l o g y o f ( s m o o t h ) n o n - p r o p e r v a r i e t i e s , w h i c h i n g e n e r a l g i v e s r i s e t o m i x e d s t r u c t u r e s . We d o t h i s b y f o r m a l i z i n g t h e p r o p e r t i e s o f t h e r e a l i z a t i o n s a n d r e p l a c i n g t h e w e i g h t g r a d u a t i o n o f m o t i v e s b y a w e i g h t f i l t r a t i o n .
L e t a g a i n k b e a f i e l d , w h i c h i s e m b e d d a b l e i n C , k a n a l g e b r a i c c l o s u r e o f k , a n d Gk = G a l ( k / k ) .
2 . 1 . D e f i n i t i o n T h e c a t e g o r y M Rk o f m i x e d r e a l i z a t i o n s ( f o r a b s o l u t e H o d g e c y c l e s ) o v e r k c o n s i s t s o f f a m i l i e s
DR' 1' Of oot0' l , a ' l p r i m e n u m b e r a : k C
w h e r e
a) H _ i s a f i n i t e - d i m e n s i o n a l k - v e c t o r s p a c e w i t h a d e - UK
c r e a s i n g f i l t r a t i o n ( Fn) ^r77 ( t h e H o d g e f i l t r a t i o n ) a n d a n n t LL
i n c r e a s i n g f i l t r a t i o n (W ) ( t h e w e i g h t f i l t r a t i o n ) . m mtffi
b) H^ i s a f i n i t e - d i m e n s i o n a l Q ^ - v e c t o r s p a c e w i t h a c o n - t i n u o u s G1 - a c t i o n a n d a n i n c r e a s i n g f i l t r a t i o n (W ) C m
k ^ m m€5Z ( t h e w e i g h t f i l t r a t i o n ) , w h i c h i s G ^ - e q u i v a r i a n t .
c ) H0 i s a m i x e d Q - H o d g e s t r u c t u r e , i . e . , t h e r e i s a n i n - c r e a s i n g f i l t r a t i o n (W ) C r r } ( t h e w e i g h t f i l t r a t i o n ) o n H^
3 m mcZZ o
a n d a d e c r e a s i n g f i l t r a t i o n ( Fn) ^ffi ( t h e H o d g e f i l t r a t i o n ) o n Ha $ C , w h i c h i n d u c e s a (J)-Hodge s t r u c t u r e o f w e i g h t m o n G rWH = W H /W -H . t h a t i s G rWH * C = © HP'q
m a m a m-1 a m a _ . ^ a
p+q=m w i t h H ^ '4 = H yp a n d F ^ G r Hr t 0 C = © H*
a a m a • ^ a
P - P
d) I : H -» H__ ®. £ i s a n i s o m o r p h i s m i d e n t i f y i n g
0 0, a a Q ~ DR k , a ^ J ^
t h e f i l t r a t i o n s i n d u c e d b y t h e H o d g e f i l t r a t i o n s ( r e s p e c t i v e l y , t h e w e i g h t f i l t r a t i o n s ) o n b o t h s i d e s .
t r a n s f o r m i n g t h e w e i g h t f i l t r a t i o n o f H0 i n t o t h e w e i g h t f i l - t r a t i o n o f H1 / s u c h t h a t f o r p € G^
H-,
H0 V l
1 , 0 , - ' P
c o m m u t e s .
T HE 1O O ^ a an d 1I Q a re call^ d t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s . A m o r p h i s m f : H H ' o f m i x e d r e a l i z a t i o n s i s a f a m i l y
^fD R 'fI 'fO ^ 1 p r i m e n u m b e r a : k ^ C
w h e r e
1. ) f D R : HDR H ^r i s k - l i n e a r a n d o f d e g r e e z e r o f o r t h e f i l t r a t i o n s W a n d F .
2. ) f ^ : H ^ -* H | i s a Q1- I i n e a r G ^ - m o r p h i s m w h i c h r e s p e c t s t h e w e i g h t f i l t r a t i o n s .
3.) f : H - • H1 i s a m o r p h i s m o f m i x e d <p-Hodge s t r u c t u r e s ,
O O O *
i . e . , c o m p a t i b l e w i t h t h e f i l t r a t i o n s W a n d F .
4.) f , f , a n d f c o r r e s p o n d u n d e r t h e c o m p a r i s o n i s o m o r - p h i s m s .
2.2. R e m a r k A s s u m i n g 3.) a n d 4.) , w e o n l y h a v e t o r e q u i r e 1. )1 fD R i s k - l i n e a r .
2. ) ' f1 i s a Q1- I i n e a r G ^ - m o r p h i s m .
T h i s f o l l o w s f r o m t h e p r o p e r t i e s o f t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s .
2.3. P r o p o s i t i o n MR^ i s a n a b e l i a n c a t e g o r y .
P r o o f T h i s i s c l e a r f r o m t h e r e m a r k a b o v e a n d t h e f a c t t h a t m i x e d H o d g e s t r u c t u r e s f o r m a n a b e l i a n c a t e g o r y [ D 4 ] . I n
p a r t i c u l a r t h e m o r p h i s m f__D , f , a n d f _ a r e s t r i c t l y c o m p a t i b l e
DK ± O
[ D 4 ] ( 1 . 1 . 5 ) w i t h t h e f i l t r a t i o n s W a n d F , a n d k e r n e l s a n d c o k e r n e l s a r e t h e o b v i o u s ( c o m p o n e n t w i s e ) o n e s w i t h t h e i n d u c e d f i l t r a t i o n s a n d c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s .
2.4. R e m a r k O f c o u r s e we c o u l d s e p a r a t e l y d e f i n e c a t e g o r i e s o f d e Rham r e a l i z a t i o n s Hdr a n d 1 - a d i c r e a l i z a t i o n s H1
a n d t h e n c o m b i n e t h e s e w i t h t h e c a t e g o r y o f m i x e d Q - H o d g e s t r u c t u r e s ( c o n t a i n i n g t h e H o d g e r e a l i z a t i o n s H ) . N o t e how- e v e r t h a t i n g e n e r a l c a t e g o r i e s o f v e c t o r s p a c e s w i t h f i l t r a t i o n s
d o n o t f o r m a b e l i a n c a t e g o r i e s .
2 . 5 . I f H i s a m i x e d r e a l i z a t i o n , we d e f i n e t h e s u b o b j e c t WmH 6 M Rr b y
WmH = (WmHD R 'WmHl 'WmHa;Ic » , o |w ' 1 I ^ I w > l , o , J
• m ' m w h e r e I ir7 s t a n d s f o r t h e r e s t r i c t i o n
' I m
w H ®^(r -> w H__ ®, a m a <R
~
m DR k , a o f Io o a a n d I1 - I i s t h e r e s t r i c t i o nI m m
W H GmCQ1 - W H1
m a Q l ~ m l IFO
2.6. D e f i n i t i o n i ) A m i x e d r e a l i z a t i o n H i s p u r e o f w e i g h t m, i f W H = H a n d W . H = O .
m m-1
i i ) T h e c a t e g o r y o f r e a l i z a t i o n s i s t h e f u l l s u b c a t e g o r y o f MR^ , w h o s e o b j e c t s a r e d i r e c t sums o f p u r e r e a l i z a t i o n s .
We s e e t h a t i n g e n e r a l a n y o b j e c t H i n MR^ i s a s u c c e s s i v e e x t e n s i o n o f t h e p u r e r e a l i z a t i o n s G rwH :=
c m
m m-1
2.7. T h e r e i s a n a t u r a l t e n s o r l a w o n MR^ b y d e f i n i n g
a n d t a k i n g t h e n a t u r a l s t r u c t u r e s o n t h e c o m p o n e n t s , n a m e l y
t h e i n d u c e d f i l t r a t i o n s ( c f . [D4] 1.1.12)
W (H ® H ' ) = T W H © W H1
lVttD R DR r DR * s DR
r 4-s=m
F^HD R ® HD R > = J- fPH0 R • F<3HD R p+q=n
a n d s i m i l a r l y f o r t h e o t h e r r e a l i z a t i o n s , a n d p € a c t i n g b y p( x ® x') = px ® px' o n H1 ® H| . F u r t h e r m o r e , b y t a k i n g t h e n a t u r a l c o m m u t a t i v i t y a n d a s s o c i a t i v i t y c o n s t r a i n t s f o r v e c t o r s p a c e s i t i s c l e a r , t h a t MRk g e t s t h e s t r u c t u r e o f a t e n s o r c a t e g o r y , c f . [DMOS] I I 1.1, 1.2, w i t h i d e n t i t y o b j e c t
1 = ( k , Q1, Q ; Ido0f0 , I d1^5)
p u r e o f w e i g h t z e r o (F°k = k , F1k = 0 , t r i v i a l a c t i o n o f G^ o n Q1 , Q t h e u n i q u e Q - H o d g e s t r u c t u r e o f t y p e (0,0) , t h e c o m p a r i s o n i s o m o r p h i s m s i n d u c e d b y Qc-* C ^ k a n d Q Q1 = Q1) .
2.6. D e f i n i t i o n F o r H, H1 € MRk d e f i n e H o r n ( H , Hf) € M RR
( t h e " i n t e r n a l Horn") b y
a) * *D R( H o r n ( H , H1) ) =Homk<hDR'HdR) w i t h
FnH o mk< HD R, H 'R> - ( f I f ( FPHDR) S FP+nH 'R f o r a l l p} ,
WmH o nk( HD R 'HD R) = {f'f^ r1W ^ Wr + mHD R f° r a11 r} '
b) H1( H o r n ( H , H1) ) = H o mm ( H1, H £ ) w i t h Gk- a c t i o n -1 ^
( p f ) ( h ) = p f ( p h) f o r p € Gk a n d h € H1 , a n d s i m i l a r w e i g h t f i l t r a t i o n ,
c ) Hg( H o r n ( H , H1) ) = H o mm( Ea fHa) w i t h t h e i n d u c e d m i x e d Q - H o d g e s t r u c t u r e , i . e . , w i t h H o d g e a n d w e i g h t f i l t r a t i o n l i k e a b o v e , c f . [D4] ,
