Ort (rechter Wagen) /m

(1)

Luftkissenbahn:

Wagen der Masse m1, m2 bewegen sich praktisch reibungsfrei entlang einer Linie.

Eindimensionale Stossprobleme.

m

₁

m

₂

s oder x

v

₁

v

₂

v

₁

, v

₂ Positiv: Bewegung nach rechts Negativ: Bewegung nach links

Elastische Stösse: Es gilt die Energie- und die Impulserhaltung beim Stoss i) Impulserhaltung

₁ _1i ₂ _2i ₁ ₁ ₂ ₂_f

v v v

f

v

m ⋅ + m ⋅ = m ⋅ + m ⋅

ii) Energieerhaltung

¹ ² ² ² ¹ ² ²

2i 2

1i 1f f

2 v 2 v 2 v 2 v

m ⋅ + m ⋅ = m ⋅ + m ⋅

Bezeichnungen: v , v : initial, vor dem Stoss v , v : final, nach dem Stoss

(2)

1 2 2

1i 2

1f 1 2 1 2

v m m v 2 m v

_i

m m m m

= − + ⋅ + + ⋅

1 1 2

1 2 i

2f 1 2 1 2

v 2 m v

_i

m m v m m m m

= + ⋅ − − + ⋅

Die Lösungen findet man z.B. leicht mit dem MAPLE-worksheet

zentraler_elastischer_stoss.mws

Einfache Grenzfälle:

i) Körper 2 vor dem Stoss in Ruhe, m₁=m₂:

v

_1f

= 0 v

_2f

= v

_1i

Körper 1 “bleibt stehen”, Körper 2 “übernimmt den gesamten Impuls.

ii) Nur gleiche Massen m₁=m₂:

v

_1f

= v

_2i

v

_2f

= v

_1i

Die beiden Körper “tauschen” einfach ihre Geschwindigkeiten.

iii) m₁=2*m₂Körper 2 vor dem Stoss in Ruhe:

v

_1f

= 1/3v

_1i

v

_2f

= 4/3v

_1i

iv) m₁ >>m₂Körper 2 vor dem Stoss in Ruhe:

v

_1f

≈ v

_1i

v

_2f

≈ 2*v

_1i

(3)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 1.4

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

Rechter Rand

Bahnmitte

lukibahn_01.opj

Ort (rechter Wagen) /m

Zeit /s

Experiment 1: Wagen starten mit Federkraftstoss in der Mitte.

Ort des rechten Wagens gegen die Zeit:

s

_R

(t)

(4)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 -0.8

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

v5=0.472 m/s v_anf = 0.530 m/s

lukibahn_01.opj

Geschw indigkeit / m /s

Zeit /s v( ) t d s t ( ) s t ( )

= dt =

Wenn s(t) experimentell an den Punkten ti = (i-1)*∆t gemessen ist, muss man die Ableitung numerisch durchführen.

Numerische Ableitung von s(t)

(5)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 1.4

1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0

Rechter Rand

Bahnmitte

lukibahn_01.opj

Ort (rechter Wagen) /m

Zeit /s

0 2 4 6 8 10 12 14 16

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

v₅=0.472 m/s vanf = 0.530 m/s

lukibahn_01.opj

Geschwindigkeit /m/s

Zeit /s

In der direkten zeitlichen Gegenüberstellung von s(t) und v(t) ist die Bewegung des Wagens direkt zu klassifizieren:

a) Kurze Beschleunigung nach rechts

b) Konstante Geschwindigkeit nach rechts c) Reflexion am rechten Rand, Umkehr der

Geschwindigkeit

d) Konstante Geschwindigkeit nach links e) Reflexion in der Mitte mit anderem

Wagen

f) Konstante Geschwindigkeit nach rechts etc.

a) b)

c)

d)

e) f)

a) b)

c)

d) e)

f)

(6)

Analyse der “Elastizität” der Stösse:

Geschwindigkeit des Wagens am Anfang:

v

₀

= 0.530 m/s

Geschwindigkeit des Wagens nach 5 Reflexionen

: v

₅

= 0.472 m/s

Die kinetischen Energien verhalten sich wie:

2 5 5

2 0 0

v 0.7931 v

E

E = =

Annahme: Der Energieverlust ε pro Stoss ist immer gleich groß:

(1 )

5

0.7931

1 0.955 4.55%

ε

ε ε

− =

⇒ − = ⇒ =

Die reale Situation ist etwas komplizierter: Der Wagen verliert sowohl beim Stoß Energie als auch durch die (sehr kleine) Reibung auf der Luftkissenschiene und durch die Luftreibung. Diese hängt wiederum von der Geschwindigkeit nichtlinear ab.

(7)

m

₁

m

₂

s oder x

v

₁

v

₂

m

₁

m

₂

v

_f

Total inelastischer Stoss: Beide Körper “kleben” nach der Kollision zusammen und bewegen sich mit der gemeinsamen Geschwindigkeit v

_f

2 2

1

v

1i

v

2i

(

1

) v

f

m ⋅ + m ⋅ = m + m ⋅

Impulssatz:

1 1 2 2

f 1 2

v v

v m m

m m

⋅ + ⋅

= +

Lösung:

Analyse mit MAPLE-worksheet

zentraler_inealstischer_stoss.mws

(8)

Kinetische Energie nach dem Stoss:

2

i 2i

2 1 2

2 1

1 f f

1 2

( v v )

2 v 2( )

m m m m

E m m

+ +

= ⋅ =

+

Kinetische Energie vor dem Stoss:

2 2

i 2i

1 2

1 i

v v

2 m m

E +

=

2

i 2i

1 2

f 1

2 2

i 2i

i 1 2 1 1 2

( v v )

( ) ( v v )

E m m

E m m m m

= +

+ ⋅ +

Relativer Energieübertrag:

Der Rest der Energie geht in dissipative Energieformen wie Wärme, plastische Verformung, Schall.

Ist m₁v₁ = -m₂v₂, dann wird die gesamte kinetische Energie “vernichtet”

(9)