Modellgestützte Versuchsplanung und Optimierung 1. EINLEITUNG:... 5

Inhalt

1. EINLEITUNG: ... 5

1.1 Vom Produktgedanken über den optimierten Prozeß zum lebensfähigen Produkt ... 6

1.2 Warum modellgestützte Versuchsplanung? ... 7

1.3 Was bringt der Einsatz modellgestützter Versuchsplanung dem Anwender? ... 8

1.4 Wie geht man beim Einsatz modellgestützter Versuchsplanug vor! ... 10

2. ANALYSE DER AUSGANGSSITUATION... 11

2.1 Zielgrößen und Zielsetzung... 12

2.2 Grundsätzliche Gegebenheiten des Prozesses ... 13

2.2.1 Die Rolle der Einflußgrößen und -merkmale ... 13

2.2.2 Wechselwirkungen, Nichtlinearitäten und die natürliche Zufallsstreuung ... 16

2.3 Versuchsplanerstellung und Versuchsdurchführung ... 17

2.4 Analogie-Beispiel ... 17

3. DIE WICHTIGSTEN STANDARDVERSUCHSPLÄNE ... 19

3.1 Vollfaktorielle Versuchspläne... 22

3.2 Teilfaktorielle bzw. reduzierte Versuchspläne... 23

3.2.1 reduzierte faktorielle Versuchspläne... 23

3.2.2 Die Fold-Over Technik... 31

3.2.3 Weitere Versuchspläne zum Screening... 32

3.3 CCD-Versuchspläne (central-composite-design) ... 33

3.4 Box-Behnken-Versuchspläne... 34

3.5 Mehrniveau-Versuchspläne... 35

4. D-OPTIMALE VERSUCHSPLÄNE... 37

4.1 Erweiterte Versuchsplanmatrix X: ... 38

4.2 Einsatz von D-optimalen Versuchsplänen ... 40

4.3 Kriterien für D-Optimalität... 42

4.4 D-Optimale Pläne in der Anwendung ... 45

5. DIE MODELLIERUNG UND OPTIMIERUNG VON MISCHUNGEN... 50

5.1 Zwei-Komponentenmischung ... 50

5.2 Es gibt eine Filler-Variable... 51

5.3 Verwendung von Pseudokomponenten... 53

5.4 Echte Mixturpläne... 54

5.5 Verwendung von echten Mixturplänen zusammen mit Pseudokomponenten... 62

5.5.1 Dimensionsreduzierende Einschränkungen ... 62

5.5.2 Dimensionserhaltende Einschränkungen ... 64

5.6 Modellierung von Mixtur- und Prozeßvariablen gemeinsam... 66

5.7 Beurteilung der Modellqualität... 66

5.8 Welcher Versuchsplan für welche Anwendung? ... 67

6. DAS MODELL ... 68

6.1 Was ist ein Modell? ... 68

6.2 Welche grundlegenden Modelltypen gibt es?... 69

6.3 Wie ist ein Modell aufgebaut? ... 70

6.4 Wie werden Effekte bestimmt? ... 71

6.4.1 Berechnung von Faktoren-Effekten ... 72

6.4.2 Berechnung von Wechselwirkungs-Effekten ... 74

6.5 Zentrierung und Skalierung ... 75

6.6 Modellbeispiele ... 76

6.7 Wozu werden Koeffizienten bestimmt? ... 78

7. REGRESSION... 79

7.1 Modellanpassung durch "least squares fit" ... 79

7.2 Maße für Modellanpassung und Vorhersagbarkeit (R² und Q²)... 80

7.3 Auswertung und Darstellung der Ergebnisse... 81

7.2.1 Residuenanalyse... 82

7.2.2 Varianzanalyse ANOVA... 85

7.2.3 Statistische Hypothesen ... 88

8. MODELLVERFEINERUNG ... 96

8.1.1 R² und Q² sind klein... 96

8.1.2 R² groß und Q² sehr niedrig... 96

8.2 Untersuchung der Meßwerte... 97

8.2.1 Deutliche Abweichungen im N-Plot ... 97

8.2.2 Dominierende Versuche in Obs vs Pred ... 98

8.2.3 Struktur in Res. Vs variable ... 99

8.2.4 Struktur in Res vs pred oder signifikanter Box-Cox-Plot ... 100

8.3 Zusammenfassung ... 101

9. PROGNOSE UND DARSTELLUNGSMETHODEN... 102

9.1 Grundlegende Darstellungsmethoden... 102

9.2 Beurteilung von Effekten und Koeffizienten... 102

9.3 Höhenlinien- und 3D-Grafiken (Contour-Plots/3D-Plots) ... 103

9.4 Verwertung der Modelle zur Prozeßverbesserung... 104

9.4.1 Deutung von Effekten: ... 104

9.4.2 Deutung von Wechselwirkungen: ... 105

9.4.3 Deutung von Nichtlinearitäten: ... 108

9.4.4 Nichtlinearitäten und Wechselwirkungen ... 109

10. OPTIMIERUNG ... 110

10.1 Optimierung auf einen Zielgrößenwert hin... 110

10.2 Optimierung bei mehreren Zielgrößen ... 111

10.3 An welchen Parametern kann man am Optimierer drehen? ... 112

10.3.1 Grundlegende Einstellparameter der Zielgrößen ... 112

10.3.2 Einstellgrenzen der Einflußgrößen... 113

10.3.3 Der Software-Optimierer der Versuchsplanungssoftware MODDE ... 114

LITERATUR ZUR VERSUCHSPLANUNG... 115

Modellgestützte Versuchsplanung und Prozeß-Optimierung in ihrer Anwendung

Autor: Prof. Dr. Andreas Orth, Dipl.-Ing. Dipl.-Ing. Dirk Wenzel

1. Einleitung:

Warum modellgestützte Versuchsplanung?

Braucht man das, versteh ich das, was bringt mir das?

Dies sind berechtigte Fragen, welche sich hoffentlich nach dem Studium dieses Leitfadens im positiven Sinne von selbst beantwortet haben.

Ziel des Leitfadens ist es, den Neueinsteiger langsam in das Themengebiet der modellge- stützten Versuchsplanung einzuführen, sowie dem Fortgeschrittenen auch noch interessante Anwendungsfälle aufzuzeigen.

Da viele sich scheuen die Hürde des Neuen zu überspringen, soll dieser Leitfaden an praxis- nahen Beispielen eine Hilfestellung geben, um diese und jene Bedenken zu zerstreuen. Es soll gezeigt werden, daß die modellgestützte Versuchsplanung und Optimierung nicht eine Hobbydisziplin von Mathematikern und Informatikern ist, sondern eine ernstzunehmende Verbesserung der Qualität von Produkten und Prozessen, durch die Optimierung von Ent- wicklungs- und Fertigungsprozessen, mit sich bringt.

Für den Anwender soll nicht die Herleitung der Methoden, sondern ihre Anwendung im Vor- dergrund stehen. Deshalb lautet das Themengebiet auch nicht Versuchsmethodik, sondern modellgestützte Versuchsplanung und Prozeßoptimierung.

In Weiterbildungsseminaren kann man an der Fachhochschule Frankfurt am Main bereits mit nur geringen statistischen Grundkenntnissen rechnergestützt die anwendungsbezogene mo- dellgestützte Versuchsplanung erlernen.

An dieser Stelle möchten sich die Autoren bei Frau Sophie Lapostole-Resch und Herrn

Torsten Kappes für das geduldige Korrekturlesen und Hinzufügen von Kapitel 8 sowie für das

1.1 Vom Produktgedanken über den optimierten Prozeß zum lebensfähigen Produkt

Das Projektziel jeder Produktentwicklung ist es, ein Produkt zu kreieren, welches sich auf dem Markt gegen Mitbewerber behaupten kann und somit Gewinne erzielt. Das Produkt soll also bestmögliche Qualität haben und möglichst rationell produziert werden können. Es be- steht also an mindestens zwei Stellen im Entstehungsprozeß eines Produkts optimierungs- und somit Experimentierbedarf. Denn für die effiziente Optimierung benötigt man hochwertige Informationen, die nur aus wohlgeplanten und durchdachten Versuchen gewonnen werden können. In Abb.1 ist der Werdegang einer Produktentstehung sowie die verschiedenen Quali- tätsaspekte dargestellt. Aus der Produktidee des Auftraggebers (Auftraggeber kann ein exter- ner Kunde oder das eigene Unternehmen sein, welches auf Grund einer Markterhebung ein Verkaufspotential sieht) ergeben sich konkrete Produkt- und Qualitätsanforderungen, mit de- nen sich das Unternehmen auseinandersetzen muß. Um diesen Anforderungen gerecht zu werden, muß man Informationen über den Werdegang des Produkts bekommen, um gezielt zu entwickeln und effizient zu produzieren um somit den Kunden zufriedenzustellen. Man über- legt sich bei Entwicklung und Produktion, welche Gegebenheiten des Prozesses vorhanden sind und welchen Einfluß diese auf das Endprodukt haben. Um effektiv Informationen zu ge- winnen, bedient man sich mitunter statistisch mathematischer Verfahren wie modellgestützter Versuchsplanung und Prozeßoptimierung, die durch eine zielorientierte Vorgehensweise mit wenig Aufwand einen hohen Informationsgewinn bringen.

Produktidee

Auftrag Ø Produktanforderungen Ø Qualitätsanforderungen

Forschung Ø welche Materialien?

Ø welche Komponenten?

Ø welche Wirkungen?

zufriedener Kunde qualifizierter Lieferant Ø Ideen für neue Produkte technisches Marketing

Ø welche Verarbeitungsbedingungen?

Ø welche technischen Eigenschaften?

Ø welche Einsatzmöglichkeiten?

Produktion/Fertigung Ø welche Bedingungen?

Ø welche Qualität?

Ø welche Kosten?

Øwelche Einflüsse?

Entwicklung Ø welche Gegebenheiten?

Ø welche Technologien?

Ø welche Verfeinerungen?

Øwelche Verfahren?

Produktfreigabe

Prozessfreigabe Produktverkauf

Man ist ja vorher auch ohne ausgekommen!

1.2 Warum modellgestützte Versuchsplanung?

Je früher im Lebenszyklus eines Produktes, von der Entwicklung über die Produktion und den Verkauf bis zum Kunden, eine Methode zur Qualitätsverbesserung eingesetzt werden kann, desto kostensparender wird sie sich bemerkbar machen (Abb.2). Die modellgestützte Versuchs planung hat gerade den Vorteil, daß sie sowohl in der Forschung zur ursprünglichen Produk- tentwicklung, als auch in der Entwicklung der Prozesse, als auch in der Produktion zur Pro- zeßoptimierung angewendet werden kann. Hierin unterscheidet sie sich von dem weithin be- kannten SPC (Statistische Prozeßführung), welches lediglich als Überprüfungswerkzeug von Produktions- und Meßprozessen eingesetzt werden kann.

Bei der Anwendung von modellgestützter Versuchsplanung wird die Prozeßverbesserung durch die aktive und geplante Beeinflussung des Prozesses zum Zwecke der gezielten Infor- mationsgewinnung erreicht, während beim Einsatz von SPC und m-SPC (multivariates SPC) lediglich durch die passive Beobachtung des laufenden Prozesses versucht wird, eine stabile Prozeßfahrweise zu erreichen.

Werkzeuge wie Quality Function Development (QFD) oder Fault Mode and Effects Analysis (FMEA) ergänzen sich mit modellgestützter Versuchsplanung. Die Ergebnisse der Ver- suchsauswertungen lassen sich zum einen in diese Problemlösungsmethoden einbauen, zum anderen können aus diesen Methoden abgeleitete Denkansätze mit der modellgestützten Ver- suchsplanung und deren Auswertung gezielt und damit zeit- und kostensparend überprüft werden.

Unter diesen Aspekten wird die modellgestützte Versuchsplanung - ähnlich wie in Japan und neuerdings wieder in den USA - innerhalb der QM-Methoden eine sehr wichtige Rolle ein- nehmen.

DM Kosten

Entwicklung Produktion Verkauf Feld/Service 1

10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000

Kosten der Fehlerbehebung

Phase

Methode modellgestützte Versuchsplanung

SPC, multivariates SPC

1.3 Was bringt der Einsatz modellgestützter Versuchsplanung dem Anwender?

Beispiel Kunststoffverarbeitung

Laut Produktanforderung soll beim Spritzen von Kunststoffteilen eine möglichst gute Maß- haltigkeit, eine sehr glatte Oberfläche sowie eine hohe Auswurfrate erzielt werden, d.h. als allgemeine Zielsetzung ist definiert:

1. die Toleranz soll in einem vorgegebenen Bereich liegen, 2. die Rauheit der Oberfläche soll sehr klein sein und

3. es soll eine hohe Anzahl der Teile pro Zeiteinheit erreicht werden.

Da diese Forderungen von den Gegebenheiten des Prozesses abhängen und sich beim Endpro- dukt als meßbare und beschreibende Eigenschaften ergeben, werden sie als technische Ziel- größen bezeichnet. Sie sollen eine möglichst einfach, prozeßnahe aber vollständige Beschrei- bung der Prozeßleistung liefern, aus denen abgeleitete Zielgrößen, wie Edukt-Kosten, Abstand zum Spezifikationswert, Signal-Rausch-Verhältnis, etc. per mathematischer Formel, unter Berücksichtigung der Fehlerfortpflanzungsgesetze, ausgerechnet werden können. Vor der Op- timierung eines verschiedene Zielsetzungen zu erfüllenden Prozesses ist also die Wichtung der Zielgrößen vorzunehmen. Dies geschieht bei der sogenannten Mehrzieloptimierung durch die Formulierung eines Optimierungsfunktionals oder einer "Wünschbarkeitsfunktion".

Zielsetzungen können auch gegenläufig sein, so ist anzunehmen, daß bei höherer Auswurfrate die Qualität von Oberfläche und Toleranz nachlassen. Hier muß man Prioritäten setzen, wel- che Eigenschaften einem wichtiger sind.

Da die technischen Zielgrößen die Qualitätsmerkmale des Endprodukts darstellen, muß man den Prozeß entsprechend einstellen, damit die Produktanforderungen erfüllt werden. Woher bekommt man aber nun diese Informationen?

Hierzu analysiert man die Gegebenheiten des Prozesses und stuft diese nach gewissen Kriteri- en ein und formuliert als Ergebnis dieser Analyse der Ausgangssituation ein mathematisch statistisches Modell. Das Modell beschreibt die reproduzierbaren systematischen Einflüsse, dies sind Wirkungen, die bei jedem Prozeßdurchlauf immer wieder in gleicher Weise festge- stellt werden und trennt diese von nicht reproduzierbaren, zufälligen Einflüssen, da zur Pro- zeßoptimierung nur der Anteil der Einflüsse wichtig ist, deren Wiederholbarkeit nachgewie- sen ist. Dies ist die Parallele zum SPC und der Grund für den Einsatz statistischer Auswer- tungsmethoden.

Der Prozeß kann von einigen bis vielen Einflußgrößen (später als Faktoren bezeichnet) ab- hängen, was zu einem sehr komplexen Verhalten führen kann. Bleiben wir bei unserem Bei- spiel für Kunststoffspritzteile. Mögliche Einflüsse auf die Zielgrößen wären z.B. Oberflä- chengüte der Spritzform, Temperatur der Kunststoffspritzmasse, Temperierung der Form,

Man kann zwar jetzt an dieser Stelle sagen, wir haben jahrelanges "know-how" im Kunst- stoffverarbeiten und sind mit unseren Erfahrungswerten immer gut gefahren. Auf der anderen Seite bedeutet dies noch lange nicht, daß der Prozeß annähernd optimal verläuft. Außerdem ist diese Einstellung in der heutigen Zeit eher gefährdend für die Überlebenschancen eines Un- ternehmens, weil sie dem kontinuierlichen Verbesserungsprozeß im Wege steht.

Nehmen wir weiterhin einmal an, es soll ein neu entwickelter Kunststoff verarbeitet werden, bei dem man für die Verarbeitung noch keine Erfahrungen sammeln konnte. Das verlangte Produkt soll aus wichtigen Funktionsteilen bestehen, von denen man bestmögliche Qualität fordert. Weiterhin nehmen wir an, das Material sei relativ teuer und es kann deshalb nur eine begrenzte Anzahl von Versuchen gefahren werden. Nun steht man vor dem großen Wider- spruch, daß man erst einmal ausreichend Versuche machen müßte, um sinnvolle reproduzier- bare Ergebnisse zu erhalten, aber aus Kostengründen nicht viele machen darf.

WAS NUN?

Man kann jetzt entweder den Auftrag trotzdem annehmen und glauben (der Glaube versetzt ja bekanntlich Berge, nur in welche Richtung?) bzw. hoffen den Prozeß in den Griff zu kriegen, mit der Gefahr, die Anforderungen nicht zu erfüllen, oder aber man kann auf die sichere Seite gehen und den Auftrag ablehnen.

Als Lösung kann einem hier die modellgestützte Versuchsplanung und Prozeßoptimierung unter die Arme greifen. Man hat damit ein mächtiges Hilfsmittel mit Methodenwerkzeugen in der Hand, welches mit einer geringen Anzahl von Versuchen trotzdem einen hohen Informati- onsgehalt liefert, d.h. es werden am Ende, abhängig von der jeweiligen Zielsetzung, eine op- timales Prozeßverhalten und optimale Produkteigenschaften erzielt.

Werkzeuge der modellgestützten Versuchsplanung und Optimierung

Versuchspläne Auswertungs- Darstellungs- Optimierungs-

1.4 Wie geht man beim Einsatz modellgestützter Versuchsplanug vor!

Die Vorgehensweise bei der modellgestützten Versuchsplanung und Prozeß-Optimierung (Abb. 4) gliedert sich in die hier aufgeführten Teilgebiete, welche im Laufe des Leitfadens näher beschrieben werden. Sollten im Verlaufe dieses Vorganges neue Erkenntnisse gewon- nen werden, kann es möglich sein, daß man auch wieder eine oder mehrere Stufen nach unten gehen muß.

Analyse der Ausgangssituation

Darstellung und Prognose Optimierung

Auswertung

Planung

?

Laufender Prozeß

2. Analyse der Ausgangssituation

Analyse der Ausgangssituation

Zielsetzung

Einfluß- größen

Einfluß- merkmale

Störung im Ablauf

zufällige Streuung

Trends Korrelationen in Zielgrößen Gegebenheiten

des Prozesses

technische Zielgrößen

betriebswirtschaftliche Zielgrößen

Abb.5: Größen der Ausgangssituation.

Die Analyse der Ausgangssituation hat zwei Bereiche zu berücksichtigen (Abb.5). Erstens, das was man haben möchte, also die Zielsetzung und zweitens, was man hat, also die Gegeben- heiten des Prozesses, welche Einfluß auf die Zielgrößen nehmen.

Sind diese Größen alle festgelegt, wird zur klaren Dokumentation des Prozeßablaufs ein Pflichtenheft erstellt, in dem festgehalten wird, welches Projektziel man verfolgt und welche Ressourcen (maximale Investitionsbereitschaft) für das entsprechende Projekt zur Verfügung stehen. Dieser Punkt ist entscheidend für den Projektverlauf, da für eine lückenhafte oder fehl- orientierte Zielsetzung die Versuchsplanung in die falsche Richtung läuft und Geld und Zeit verschwendet werden. Zur Definition der Zielsetzung gehört die Beschreibung der Zielgrößen und die Präzisierung der Zielsetzung.

Versuchsziel definieren

Zielgrößen festlegen

Einflußgrößen und deren Eigenschaften

festlegen

Versuchsplan erstellen

Prozeß durchführbar Pflichtenheft überarbeiten

nein

ja START versuchsplanungstechnische Betrachtungen

Nichtlinearitäten erfassen

natürliche Streuung abschätzen

&

Innovationsziel des Unternehmens

berücksichtigen

verfügbare Ressourcen

festlegen

2.1 Zielgrößen und Zielsetzung

Es werden zuerst die dem Prozeßbetreiber wichtigen Zielgrößen (engl.: responses oder cha- racteristics) festgelegt. Dies sind Größen, welche man z.B. minimieren, maximieren oder auf einen bestimmten Wert bringen möchte, also Größen die am Ende Ausbeute, Qualitätsmerk- male oder andere Prozeßcharakteristika des Produkts bestimmen (z.B. maximale Auswurfra- ten und Oberflächengüte, minimale Schwindung eines Formteils, spannungsarme Formteile, etc.).

Es ist wichtig, zu unterscheiden zwischen "technischen" oder "direkten" Zielgrößen und "be- triebswirtschaftlichen" oder "abgeleiteten" Zielgrößen. Denn die empirischen Modelle und die Versuchspläne müssen für die technischen Zielgrößen erstellt werden, da nur diese den Prozeß auf einfachst mögliche Weise beschreiben und da nur diese effiziente Versuchspläne zulassen.

Die abgeleiteten Zielgrößen, z.B. Absolutbetrag oder Abweichung eines Qualitätsmerkmals vom kundendefinierten Zielwert oder eine andere Verlustfunktion (loss function), werden in der Regel lediglich nach der Modellierung der technischen Zielgrößen für die Optimierung, Beschreibung und Darstellung verwendet.

Ebenso wichtig ist es, die technischen Zielgrößen möglichst so zu wählen, daß sie gute Meß- barkeitseigenschaften besitzen, d.h. möglichst feine Abstufung in den möglichen Ausprägun- gen. Solche Zielgrößen sind besonders aussagekräftig. Ein objektiver Meßwert ist meist bes- ser als eine subjektive Klassenzuteilung oder Notengebung.

Die modellgestützte Versuchsplanung und Prozeßoptimierung stellt konkret Lösungen für folgende Zielsetzungen bereit:

1. Screening: Dies ist das Durchforsten der Einflußgrößen nach denjenigen, welche die größte Wirkung auf den Prozeß ausüben, und welche womöglich wechselwirken. Hierbei steht die Bestimmung von Faktoreneffekten und Modellkoeffizienten im Vordergrund.

2. Empirische Modellierung (RSM = response surface modelling): Sie wird auch als Ant- wortflächenmodellierung bezeichnet. Hier versucht man mit einem mathematischen (in der Regel quadratischen) Funktionsmodell das Prozeßverhalten optimal zu beschreiben, zu si- mulieren bzw. vorherzusagen. Hier steht also die möglichst genaue Bestimmung von Vor- hersagen im Vordergrund.

3. Modellgestützte Optimierung bedeutet, daß basierend auf Screening-Ergebnissen oder empirischen Modellen ein Zielfunktional, welches alle verwendeten Zielgrößen und deren Zielwerte bzw. Zielintervalle berücksichtigt, in Abhängigkeit der Einflußfaktoren optimiert wird. So erhält man die wichtige Information darüber, wie Einflußgrößen einzustellen sind, um auch eventuell gegenläufige Zielgrößen zu beherrschen.

2.2 Grundsätzliche Gegebenheiten des Prozesses

Nach der Festlegung von Zielgrößen und Zielsetzung sollten grundsätzliche Gegebenheiten des Prozesses in die Planung miteinbezogen werden. Denn dies hat Einfluss auf die Komple- xität des Modells und somit auf den notwendigen Versuchsaufwand. Dazu gehören Korrela- tionen in Zielgrößen, Wechselwirkungen zwischen Einflußfaktoren, Nichtlinearitäten in den Zusammenhängen ebenso wie eine große natürliche Streuung der Versuchsergebnisse, die vom Prozessverhalten, der Art der Probennahme und/oder der Messmethode abhängig ist.

Grundsätzliche Gegebenheiten des Prozesses

Wechselwirkungen Nichtlinearitäten Korrelationen

in den Zielgrössen

große natürliche Streuung

Abb.7 Grundsätzliche Gegebenheiten des Prozesses.

2.2.1 Die Rolle der Einflußgrößen und -merkmale Was sind Einflußgrößen und welche Rolle spielen Sie?

Einflußfaktor

kontrollierbar nicht kontrollierbar

- im Versuchsplan systematisch variieren - Bereich festlegen

- randomisieren - Blöcke bilden

- Versuche wiederholen

meßbar nicht meßbar

- mitmessen - mitauswerten qualitativ

quantitativ

- im Versuchsplan systematisch variieren - Ausprägungen festlegen

Die Werte der Zielgrößen die im Versuch ermittelt werden, sind abhängig von der Einstellung bestimmter Einflußgrößen, -merkmale bzw. -parameter (in der Regelungstechnik Stell- und Störgrößen genannt). Die Schwindung des Formteils beim Kunststoffspritzen kann z.B. von den Einflüssen Druck, Formtemperatur, Formvolumen, Viskosität der Spritzmasse, geometri- sche Gestaltung der Form, uvm. abhängen. Diese Einflußgrößen können wiederum unterein- ander abhängig sein. Die Viskosität der Spritzmasse hängt bekanntlich wiederum von der Temperatur der Kunststoffmasse und der Formtemperatur ab, man spricht deshalb auch von Wechselwirkungen (engl.: interaction).

Einflußgrößen können verschiedenen Ursprungs sein. So gibt es Verfahrensparameter wie Temperatur, Drehzahl, etc., Stoffparameter wie Viskosität, Konzentrationen etc., chemische Parameter wie Typ und Menge der eingesetzten Stoffe oder speziell bei der Modellierung und Optimierung von Mischungen die Anteile oder Verhältnisse der verschiedenen Kompo- nenten.

Einflußgrößen und -merkmale werden in der modellgestützten Versuchsplanung als Faktoren bezeichnet, meßbare Größen als quantitative Faktoren (engl.: quantitative-factors) und dis- krete Merkmale als qualitative Faktoren (engl.: qualitative-factors). Quantitative Faktoren sind eindeutig mit einem Zahlenwert darstellbar und können auch eine Maßeinheit beinhalten (z.B. Templow=45°C, Temphigh=120°C), qualitative Faktoren werden durch ihre Merkmale bezeichnet (z.B. Granulat 1, Granulat 2).

Man teilt die Faktoren grundsätzlich in kontrollierbare und nicht kontrollierbare Faktoren auf (Abb. 8). Kontrollierbare Faktoren (engl.: controlled-factors) kann der Prozeßbetreiber in ge- wissen Bereichen einstellen, also entweder systematisch variieren oder auch annähernd kon- stant halten. Unangenehmerweise beeinflussen auch potentielle Störgrößen, als nicht kontrol- lierbare Faktoren bezeichnet, das Prozeßverhalten (engl.: uncontrolled-factors). Auf diese hat der Prozeßbetreiber meist keinen direkten Einfluß. Ein Beispiel hierfür wäre z.B. die Ver- schlechterung der Oberflächenqualität des Formteils nach vielen Spritz-Zyklen durch Oberflä- chenabnutzung in der Form, denn dies beeinflußt die Standzeit der Form. Die nicht kontrol- lierbaren Faktoren sind manchmal meßbar, so daß auch ihr Einfluß prinzipiell quantifiziert werden kann, oder aber sie sind nicht meßbar. Da sie auch einen zeitlich abhängigen Einfluß (Trend) auf die Meßwerte bzw. Zielgrößen ausüben können, muß man sich Möglichkeiten überlegen, um diese trotzdem zur Versuchsauswertung mit einzubeziehen. Hierfür gibt es Maßnahmen wie die Randomisierung der Versuchsreihenfolge, die gezielte Wiederholung einiger Versuche oder eines ganzen Versuchsplans und die geschickte Bildung von Versuchs- blöcken. Nur mit solchen Maßnahmen kann verhindert werden, daß unkontrollierte, nicht meßbare Störeinflüsse eine systematische Verfälschung der Auswertungsergebnisse bewirken.

Für die kontrollierbaren quantitativen Faktoren werden Einstellbereiche festgelegt und für die qualitativen Faktoren werden ihre möglichen Ausprägungen definiert. Die "Versuchsplanung"

benötigt vom Anwender vernünftige Einstellbereiche für die quantitativen Faktoren und wird

Aber Vorsicht: Bei der Versuchsplanerstellung kann es bei zu kleinen Einstellbereichen vor- kommen, daß vorhandene Einflüsse unerkannt bleiben, zu große Bereiche bedeuten dagegen untypisches Prozeßverhalten und Ausreißer in den Meßergebnissen, die das Gesamtversuchs- ergebnis verschlechtern.

Einstufung der Einflußgrößen und Maßnahmen Quantitative Einflüsse metrische Faktoren wie z.B.:

Temperaturen, Geschwindigkeiten, Längen, Lebensalter, etc.

Qualitative Einflüsse topologische Faktoren (nominal und ordinal) wie z.B.:

nominal: Katalysatortyp, Lösemittel, eingesetzte Maschine, Produktionsnum- mern, Blockzuordnung, etc.

ordinal: Schulnoten, Güteklassen, Beurteilung sensorischer Merkmale, etc.

Kontrollierbare Einflüsse Faktoren werden durch Anzahl ihrer Niveaus und deren Einstellbereiche be- schrieben, Einfluß wird direkt bei der Auswertung ermittelt.

Unkontrollierbare Einflüsse

[meßbar / nicht meßbar]

Faktoren werden berücksichtigt durch Randomisierung, Blockbildung und Wiederholungen.

Randomisierung Vermeidung falscher Ergebnisse, hervorgerufen von unbekannten Störgrößen oder Trends, unter Verwendung einer Zufallsordnung der Versuche.

Blockbildung Zusammenfassung von Versuchspunkten, um bekannte und unvermeidbare Störgrößen zu eliminieren. Genauigkeit blockinterner Vergleiche wird erhöht.

Wiederholungen Zur Ermittlung des Versuchsfehlers und zur Modellüberprüfung , um Aussagen über Reproduzierbarkeit und Vorhersagekraft zu bekommen.

Tab.1: Einflußgrößen und Maßnahmen.

2.2.2 Wechselwirkungen, Nichtlinearitäten und die natürliche Zufallsstreuung

Im einfachsten Fall sind die Zusammenhänge zwischen Einflußgrößen und Zielgrößen linearer Natur. Dies bedeutet, Veränderungen in den Einflußgrößen bewirken reproduzierbare, gleich- bleibende Veränderungen in den Zielgrößen (gemäß dem Dreisatz - Verhältnisbildung). Oft genügt die Beschreibung von Prozessen mit linearen Modellen nicht! Oft gibt es relevante und signifikante (also reproduzierbare) Abweichungen vom linearen Verhalten, wie Wechselwir- kungen und Nichtlinearitäten.

Wechselwirkungen zwischen Einflußfaktoren

Dies bedeutet, daß die Wirkung einer Einflußgröße von der Einstellung einer oder mehrerer anderer Einflußgrößen abhängt. Für den Versuchsplan bedeutet dies, es muß bei mehreren Einstellungen des einen Faktors (typischerweise 2) der andere Faktor variiert werden.

Nichtlinearitäten in den Einflußfaktoren

Dies bedeutet, daß die Wirkung einer Einflußgröße von der eigenen Einstellung abhängt. Für den Versuchsplan bedeutet dies, es gibt nicht nur ein unteres und oberes Niveau des Einstell- bereichs, sondern ein oder mehrere Zwischenniveaus.

Bem. (für Fortgeschrittene): Die hier angesprochenen Nichtlinearitäten sind lediglich Nicht- linearitäten in den Einflußfaktoren, die im Modell in der Regel über quadratische oder ge- mischt-kubische Terme abgebildet werden. Es handelt sich nicht um Nichtlinearitäten in den Modellkoeffizienten, wie z.B. im Modell

) 1 ) ( 1

( β ^αβ

⋅ −

− e^{− t} , in dem α und β zu bestimmen sind.

Schätzung der natürlichen Streuung

Noch ein wichtiger Punkt ist die Schätzung der natürlichen Streuung von Meßwerten durch Wiederholversuche, wenn bei gleichen Einstellungen der Faktoren das Ergebnis der Meßwerte schwankt (Standardabweichung vom Mittelwert). Über die Bedeutung dieser Einflüsse für das Prozeßverhalten muß man sich im Klaren sein. Man kann durch Wiederholversuche am glei- chen Meßpunkt feststellen, wie reproduzierbar oder labil die Messungen sind und dement- sprechend die Zuverlässigkeit dieser Aussagen im Versuchsplan berücksichtigen durch z.B.

Gewichtungen (engl.: BLUE-Weights, Best Linear Unbiased Estimator-Weights) oder Trans- formationen der Zielgrößenwerte.

z

x x2,hoch

x2,tief

x z

x z

WECHSELWIRKUNG NICHTLINEARITÄT NATÜRLICHE STREUUNG

2.3 Versuchsplanerstellung und Versuchsdurchführung

Ist die Analyse der Ausgangssituation nun zuversichtlich abgeschlossen und eine Überarbei- tung des Pflichtenhefts vorerst nicht mehr notwendig, so wird ein geeigneter Versuchsplan erstellt und die Versuche werden streng nach Versuchsplan durchgeführt. Größe und Struktur des Versuchsplans hängen von der Gesamtheit der vorher angesprochenen Dinge ab, also Zielsetzung, Faktorenanzahl, Komplexität der Zusammenhänge (Wechselwirkungen / Nichtli- nearitäten) und Abhängigkeit von Störeinflüssen. Die protokollierten Versuchsergebnisse werden am besten mit Hilfe eines Software-Programms ausgewertet, um die entsprechenden Ergebnisse zur Auswertung, Darstellung und Prozeß-Optimierung zu erhalten.

Achtung bei der Computergestützten Versuchsplanerstellung und Auswertung:

Der Computer denkt nicht für den Anwender, sondern führt nur Berechnungen nach den er- haltenen Eingaben aus. Diese Aussage soll darauf hinweisen, daß das sinnvolle Setzen der Meßpunkte für den Versuchsplan einem nicht das Softwareprogramm abnimmt, sondern es auf die Versiertheit und Erfahrung des Anwenders ankommt, für die eindeutige Zielsetzung geeignete Einstellungen der Versuche zu definieren und daraus die benötigten Meßwerte bzw.

Zielgrößen zu erhalten.

Berücksichtigt man zu wenig Faktoren den Prozeß betreffend, können wichtige Informationen fehlen. Andersherum kann bei zu vielen Faktoren die Sache sehr komplex und teuer werden.

Man versucht also den Versuchsplan zu minimieren und durch einige gezielt ausgewählte Wiederholversuche reproduzierbare Ergebnisse zu erhalten.

2.4 Analogie-Beispiel

Man kann das Experimentieren mit dem Fliegen vergleichen. Die klassische Arbeitsweise des sequentiellen Planens und Vergleichens von einzelnen Experimenten entspricht dem Fliegen mit einem Sportflugzeug auf Sicht.

Die Verwendung der Methoden der Versuchsplanung und -auswertung entspricht dem Fliegen eines kommerziellen Passagierflugzeuges mit modernem Instrumenten-Panel. Die einzelnen versuchsplanerischen Werkzeuge und statistischen Verfahren entsprechen den Instrumenten und Bedienungselementen im Flugzeug.

Der Sportflieger wird in einem Verkehrsflugzeug zunächst Schwierigkeiten haben, die kom- plexen Anzeigen und verschiedenen Bedienungsmöglichkeiten zu verstehen, und sich unwohl fühlen, aber wenn er sich eingearbeitet hat, wird er in der Lage sein, genau so sicher zu fliegen wie mit dem Sportflugzeug.

Genauso wird ein Entwickler in einer Forschungsabteilung, der mit den Methoden der Ver- suchsplanung nicht vertraut ist, zuerst die "Anzeigen" und "Bedienelemente" erlernen müssen, bevor er mit ihnen sicher umgehen kann, um dann auch bei einem schwierigen vielparametri- gen Optimierungsproblem die Übersicht zu behalten.

Das Beispiel soll zeigen, daß sich die Mühe lohnt, die Methoden zu erlernen, die Planung von Versuchen zu systematisieren und die statistischen und multivariaten Auswertungsverfahren zu verwenden.

Überlegen Sie doch einmal, ob die folgenden Aspekte zu den Anfangs gestellten Fragen auf Sie zutreffen:

"braucht man das?" Ich vermute oder weis, dass in meinem Produkt bzw. Prozess noch Optimierungspotential steckt!

"versteh ich das?" Ich habe die innerliche Einstellung, etwas neues zu erlernen und den Mut es auch anzuwenden!

"was bringt mir das?" Steigerung der Produktqualität und schnellere Marktpräsenz von Produkten bzw. Prozessen!

Man kann also zusammenfassend sagen:

Modellgestützte Versuchsplanung und Optimierung kann

Versuche systematisch und

zielorientiert planen

reproduzierbare Ergebnisse bringen

mit vielen Parametern

umgehen

aus wenigen Versuchsergebnissen

hochqualitative Informationen gewinnen

Versuchsaufwand minimieren

Abb.10: Stärken der Modellgestützten Versuchsplanung und Optimierung.

3. Die wichtigsten Standardversuchspläne

Was ist ein Versuchsplan?

Für den Ausführenden ist ein Versuchsplan einfach ausgedrückt eine Art Ablaufplan, der vor- schreibt, in welcher Reihenfolge die Versuche mit den zugehörigen Einstellungen der Fakto- ren vorzunehmen sind. Anschließend sind die erhaltenen Meßwerte in der oder den Zielgrö- ßenspalten zu dokumentieren und der Versuchsplan wird somit zum Versuchsprotokoll.

Für den Versuchsplanersteller sieht die Sache etwas komplizierter aus. Hat man nämlich alle prozeßbeschreibenden Größen erfasst und klar definiert, hat man die Aufgabe, sich ein pas- sendes Modell zur Versuchsplanerstellung zu überlegen. Dabei sind die Vorüberlegungen, welche sich aus der Analyse der Ausgangssituation ergeben, mitzuberücksichtigen.

− wieviel Versuchsaufwand ist bei vorhandenen Ressourcen möglich/nötig?

− welche Kosten entstehen bzw. sind zulässig?

− welche Zielgrößen sind zu berücksichtigen?

− welche relevanten Faktoren sind zu berücksichtigen?

− welcher Aufwand entsteht durch Variation der Faktoren (Einflußgrößen)?

− welche möglichen Wechselwirkungen zwischen den Faktoren können auftreten?

− welche nichtlineare Abhängigkeit einer Zielgröße von den Faktoren kann bestehen?

− welche natürliche Streuung in den Meßpunkten liegt vor?

− welche Randbedingungen sind vorhanden?

− welches Modell könnte das Prozeßverhalten am besten abbilden?

Tab.2: Wichtige Vorüberlegungen zur Erstellung eines Versuchsplans.

Aufbau eines Versuchsplans

Ein Versuchsplan ist eine Liste von Einstellkombinationen (Niveaus) der kontrollierbaren Einflußparameter (Faktoren), welche während der Versuchsdurchführung systematisch variiert werden. Weiterhin enthält er Spalten für nicht kontrollierbare Größen und Zielgrößen.

Im unteren Beispiel, welches sich auf das Versuchsplanungsprogramm MODDE^® der Firma UMETRICS AB bezieht, bedeutet:

• ExpName: Man kann jedem Versuch einen Namen geben.

• RunOrder: Erzeugung einer Zufallsreihenfolge der Versuche um nicht kon- trollierbare Einflüsse zu eliminieren, Randomisierung genannt.

Der Versuchsplan muß nach dieser Spalte sortiert, und die Expe- rimente müssen in dieser Reihenfolge durchgeführt werden.

• InOut: Hiermit können Versuche für die Auswertung ein- bzw. ausge- schaltet werden.

• Temp, Vein und Pin:

Dies sind quantitative kontrollierbare Faktoren, die vom Anwen- der vereinbart werden.

• Stoff Dies ist ein qualitativer kontrollierbarer Faktor.

• Pnach Dies ist ein quantitativer nicht kontrollierbarer Faktor, dessen Einträge erst nach Versuchsdurchführung bekannt sind.

• Rauheit Dies ist die Zielgröße, die modelliert und nach der optimiert werden soll.

Tab.3: Bedeutung der Spalten im Versuchsplan der Software MODDE 5.0^®.

Tab.4: Vollfaktorieller 2⁴-Versuchsplan mit vier kontrollierten Einflußfaktoren, einem unkontrollierten Faktor und einer Zielgröße.

Einstellbereiche: Temp 120-250 [C°],

Einspritzgeschwindigkeit Vein 300-520 [m/s],

Kodierung der Variablen bzw. Zentrieren und Skalieren

Zwecks Vereinheitlichung und besserer Vergleichbarkeit der Effekte verschiedener Faktoren werden deren Einstellungen im Versuchsplan kodiert:

untere Einstellung → "-" oder "-1"

obere Einstellung → "+" oder "+1"

Diese Kodierung kommt bei quantitativen Faktoren einer Umrechnung aus Zentrierung und Skalierung des Einstellbereiches [x_u, x_o] gleich:

Zentrierung: x´ → x-xm xm = x-Mitte Skalierung: x´´ → ∆x = x_o - x_u

Bsp.: Faktor Temperatur von 20°C bis 30°C

Abb. 11: Zentrieren und Skalieren der Einstellbereiche (Faktoreinstellungen).

Bemerkung: Die zentrierten und skalierten Faktoren bzw. Variablen-Einstellungen sind dimensionslos.

xo = 30°C real

zentriert

zentriert und skaliert 20°C

-5°C 5°C

30°C x

x´= x - x_m

xu = 20°C xm = 25°C

xu – xm = -5°C 0 xu – xm = 5°C

0 x - x_m

½ ⋅ ∆x

x´´= xu - xm

½ ⋅ ∆x = -1 xo - xm

½ ⋅ ∆x 1 =

x - x_m

½ ∆x

3.1 Vollfaktorielle Versuchspläne

Bei vollfaktoriellen Versuchsplänen werden alle Kombinationsmöglichkeiten der Einstellgrö- ßen systematisch durchvariiert. Dies hat den großen Vorteil, daß man die Einflüsse aller be- teiligten Faktoren (Haupt- und Wechselwirkungen) unterscheiden und bestimmen kann. Als großer Nachteil muß aber die mit der Faktorenanzahl stark exponentiell steigende Ver- suchsanzahl (Versuchsanzahl = 2Faktorenanzahl

) in Kauf genommen werden, welche bei teuren Versuchen nicht mehr akzeptiert werden kann. Ein solcher Versuchsplan für 3 Faktoren sieht folgendermaßen aus:

Tab.5: Vollfaktorieller Versuchsplan für 3 Faktoren. Hierbei steht die kleinere Zahl in der entsprechenden Faktorenspalte für die untere und die größere Zahl für die obere Einstellung des Faktors.

Faktor 3

Faktor 2

- - -

+ + +

+ - -

- + - + + -

- - +

- + +

+ - +

3.2 Teilfaktorielle bzw. reduzierte Versuchspläne

Möchte man allerdings erst einmal einen Eindruck über die wichtigsten, den Prozeß betref- fenden Einflußgrößen gewinnen, verwendet man zum Durchforsten der Faktoren einen redu- zierten 2^(n-k)-Versuchsplan. Hierbei werden nicht mehr alle Kombinationsmöglichkeiten der n Faktoren verwendet, sondern nur noch die der ersten n-k Faktoren (n>k). Die restlichen k Ein- flußfaktoren werden gemäß sogenannter Vermengungsgeneratoren mit den ersten n-k Fakto- ren, genauer gesagt mit deren Wechselwirkungen, vermengt. Vermengen bedeutet letztlich gleichsetzen.

In einem 2^(3-1)-Plan z.B. werden anstatt der 3 Faktoren nur die ersten 2 vollständig variiert.

Der dritte Faktor wird dann vermengt, d.h. abhängig von den ersten beiden Faktoren zweimal auf "–" und zweimal auf "+" gesetzt.

3.2.1 reduzierte faktorielle Versuchspläne Beispiele:

1) 2^2-1-Plan mit B = A

Dies ist allerdings ein unsinniger Versuchsplan, da man nicht einmal die Faktoren- Hauptwirkungen einzeln bestimmen kann, wenn beide Faktoren gleichzeitig auf hoher bzw.

tiefer Einstellung stehen!

Abb. 13: Reduzierter fakt. 2^(2-1)-Versuchsplan für 2 Faktoren mit Vermengungsgenerator B = A.

2) 2^2-1-Plan mit B = -A

Hier kann man wiederum keine Hauptwirkungen bestimmen, also ist auch dies ein unsinniger Versuchsplan!

A B = A xA xB = xA z

-1 -1 z1

1 1 z2

A B = -A

xA xB z

-1 1 z1

1 -1 z2

xB

z1

z2

xA

xB

z2

z1

3) 2^3-1-Plan mit C = AB

Dies ist nun ein sinnvoller Versuchsplan, da die Hauptwirkungen der drei Faktoren A, B und C bestimmt werden können, allerdings nur unter der Annahme nicht vorhandener Wechsel- wirkungen.

Abb. 15: Reduzierter fakt. 2^(3-1)-Versuchsplan für 2 Faktoren mit Vermengungsgenerator C = AB.

4) 2^3-1-Plan mit C = -AB

Dies ist der komplementäre Versuchsplan zum vorherigen!

Abb. 16: Reduzierter fakt. 2^(3-1)-Versuchsplan für 2 Faktoren mit Vermengungsgenerator C = -AB.

5) 2^4-1-Plan mit D = ABC

Hiermit können Haupteffekte bestimmt werden, jedoch nicht alle 2-Faktor-Wechselwirkun- gen, da sie untereinander vermengt sind!

A B C = AB

xA xB xC z

-1 -1 +1 z1

+1 -1 -1 z2

-1 +1 -1 z3

+1 +1 +1 z4

A B C = -AB

xA xB xC z

-1 -1 -1 z1

+1 -1 +1 z2

-1 +1 +1 z3

+1 +1 -1 z4

A B C D = ABC

xA xB xC xD z

-1 -1 -1 -1 z1

+1 -1 -1 +1 z2

-1 +1 -1 +1 z3

+1 +1 -1 -1 z4

-1 -1 +1 +1 z5

xA

xC

xB

z1

z2

z4

z3

xA

xC

xB

z4

z3

z2

z1

xD

xC z3

z6

z5

z7

z4

z8

6) 2^4-1-Plan mit D = AB

Dieser Plan ist unüblich, da der Faktor C anders behandelt wird als A, B und D. Sein Einfluß ist unverfälscht bestimmbar, auf Kosten der anderen, weil diese von den nicht vorhandenen Wechselwirkungen abhängen.

Abb. 18: Reduzierter fakt. 2^(4-1)-Versuchsplan für 2 Faktoren mit Vermengungsgenerator D = AB.

Auswirkung der Vermengung:

Reduzierte Versuchspläne haben den Vorteil mit weniger Versuchen auszukommen.

Was aber kostet diese Reduzierung des Versuchsaufwandes?

Die Antwort zu dieser Frage liegt in den Formeln für die Berechnung der Effekte:

å

=

Versuche alle

Zielgröße (A)

Vorzeichen zahl

Versuchsan ) 2

(A Eff

å

=

Versuche alle

Zielgröße (AB)

Vorzeichen zahl

Versuchsan ) 2

( _Eff AB WW

Man erkennt unmittelbar:

Ist die Vorzeichenspalte einer Wechselwirkung identisch mit der Vorzeichenspalte einer der Faktoren, so werden die zugehörigen Effekte nach der identischen Formel berechnet!

A B C AB AC BC

Nr. xA xB xC xA xB xA xC xB xC

1. - - + + - -

2. + - - - - +

xB

xD

xA

xC

z7

z6

z5 z8

z4

z1

z2

z3

A B C D = AB

xA xB xC xD z

-1 -1 -1 +1 z1

+1 -1 -1 -1 z2

-1 +1 -1 -1 z3

+1 +1 -1 +1 z4

-1 -1 +1 +1 z5

+1 -1 +1 -1 z6

-1 +1 +1 -1 z7

+1 +1 +1 +1 z8

Was bedeutet es, wenn Effekte vermengt sind, und wenn somit die Vorzeichenspalten iden- tisch sind?

Dies erkennt man am besten am Beispiel:

Zeit Temp

A B

xA xB

i=1 - -

i=2 + +

Tab.7: Reduzierter faktorieller 2^(2-1)-Versuchsplan für 2 Faktoren mit Vermengungsgenerator B = A.

Nach der Formel ist Eff(A) = Eff(B), weil die Vorzeichenspalten gleich sind.

In Wirklichkeit gilt aber nicht Eff A Eff B

N Vorzeichen

i N

( )= ( )= ( ×

å

2

1

i von A bzw. B) Z(i)

sondern,

Eff A Eff B

N Vorzeichen

i N

( )+ ( )= ( ×

å

2

1

i von A bzw. B) Z(i)

Denn beim Versuch "++" haben sowohl A als auch B ihre Wirkung gegenüber dem Versuch

"- -" gezeigt!

Welcher von den beiden jetzt wie stark gewirkt hat, ist mit diesem Versuchsplan nicht zu ent- scheiden. Dafür benötigt man entweder Vorwissen oder den vollständigen 2²-Versuchsplan.

Für den allgemeinen Fall bedeutet dies:

Jeder Vermengungsgenerator zieht eine ganze Reihe von Vermengungen nach sich (z.B. der Generator C=AB zieht B=AC und A=BC nach sich), die eine eindeutige Zuordnung der Ef- fekte unmöglich machen.

Effekte und Wechselwirkungen für den vollfaktoriellen 2³ Versuchsplan:

Zeit Temp Druck WW Ausbeute

A B C AB AC BC ABC

Nr. xA xB xC xA xB xA xC xB xC xA xB xC z

1. - - - + + + - 3

2. + - - - - + + 5

3. - + - - + - + 7

4. + + - + - - - 11

5. - - + + - - + 7

6. + - + - + - - 9

7. - + + - - + - 11

8. + + + + + + + 15

Tab.8: Vollständiger faktorieller 2³-Versuchsplan für 3 Faktoren.

Eff(A,vollfaktoriell) = (-3+5-7+11-7+9-11+15)/4 = 3 Eff(B,vollfaktoriell) = (-3-5+7+11-7-9+11+15)/4 = 5 Eff(C,vollfaktoriell) = (-3-5-7-11+7+9+11+15)/4 = 4 Eff(AB,vollfaktoriell) = (3-5-7+11+7-9-11+15)/4 = 1 Eff(AC,vollfaktoriell) = (3-5+7-11-7+9-11+15)/4 = 0 Eff(BC,vollfaktoriell) = (3+5-7-11-7-9+11+15)/4 = 0 Eff(ABC,vollfaktoriell) = (-3+5+7-11+7-9-11+15)/4 = 0

Gesamtmittelwert,vollfaktoriell = (3+5+7+11+7+9+11+15)/8 = 8,5

Effekte und Wechselwirkungen für den teilfaktoriellen 2^3-1 Versuchsplan:

Zeit Temp Druck WW WW WW WW Ausbeute

A B C AB AC BC ABC

Nr. xA xB xC xA xB xA xC xB xC xA xB xC z

1. - - + + - - + 7

2. + - - - - + + 5

3. - + - - + - + 7

4. + + + + + + + 15

Tab.9: Reduzierter faktorieller 2^3-1-Versuchsplan für 3 Faktoren mit C = AB.

Eff(A,_red.) = (-7+5-7+15)/2 = 3 = Eff(A,vollfaktoriell) + Eff(BC, vollfaktoriell) = 3 + 0 Eff(B,red.) = (-7-5+7+15)/2 = 5 = Eff(B, vollfaktoriell) + Eff(AC, vollfaktoriell) = 5 + 0 Eff(C,red.) = (7-5-7+15)/2 = 5 = Eff(C, vollfaktoriell) + Eff(AB, vollfaktoriell) = 4 + 1

Erkenntnis: Man sieht hier deutlich, dass durch die Vermengung der Haupteffekte mit den Wechselwirkungseffekten die Einflüsse im reduzierten Plan nicht mehr getrennt bestimmt

Aliasse:

Ein einzelner Vermengungsgenerator hat zur Konsequenz, daß jeder errechnete Effekt genau zwei Ursachen gehabt haben kann, meist ein Faktor und eine Wechselwirkung oder aber auch eine Wechselwirkung und eine andere Wechselwirkung.

z.B.: D = ABC, daraus folgt:

+ = ABCD, A = BCD, B = ACD, C = ABD, AB = CD, AC = BD, BC = AD.

Die verschiedenen möglichen Ursachen werden als Aliasse bezeichnet.

Bei mehr als einem Vermengungsgenerator, also bei einer Reduzierung um den Faktor 4, 8 oder mehr, gibt es jeweils 4, 8 oder mehr Aliasse zu jedem Effekt.

z.B.: E = ABC und F = BCD, daraus folgt:

+ = ABCE, + = BCDF, aber auch

EF = ABCBCD = ABBCCD = AD also + = ADEF.

Haupteffekte A = BCE = DEF = ABCDF B = ACE = CDF = ABDEF C = ABE = BDF = ACDEF D = AEF = BCF = ABCDE

Zweifach- Wechselwirkungen AB = CE = ACDF = BDEF AC = BE = ABDF = CDEF AD = EF = ABCF = BCDE BC = AE = DF = ABCDEF BD = CF = ABEF

CD = ...

Dreifach- Wechselwirkungen ABC = E = ADF = BCDEF BCD = F = ADE = ABCEF ABD = ACF = ADF = CDE ACD = ...

Tab.10: Beispiele für Aliasse.

Auflösungsstufen (Resolution)

Abhängig von der Vermengungsstruktur klassifiziert man Versuchspläne nach ihrem Vermö- gen solche Aliasse aufzulösen.

Stufe III:

z.B. C=AB, Faktoren werden mit 2-Faktor-Wechselwirkung vermengt.

Konsequenz: Vorsicht, vorhandene Wechselwirkungen können Faktoreneffekte verfäl- schen!

Stufe IV:

z.B. D=ABC, Faktoren werden mit 3-Faktor-Wechselwirkung vermengt. Der Mittel- wert ist mit 4-Faktor-WW aber nicht mit 3-Faktor-WW vermengt.

Konsequenz: 2-Faktor-Wechselwirkungen können Faktoren nicht verfälschen, sind aber untereinander vermengt.

Stufe V, V+ (d.h. V oder mehr):

z.B. E=ABCD, F=ABCDE, Faktoren werden nur mit 4-Faktor-WW oder höheren Wechselwirkungen vermengt. Der Mittelwert ist mit 5-Faktor-WW oder höher ver- mengt.

Konsequenz: 2-Faktor-Wechselwirkungen sind nicht miteinander vermengt, sie kön- nen alle bestimmt werden. Deshalb macht es auch Sinn, einen solchen Versuchsplan um weitere Versuche zu ergänzen (z.B. zu einem sogenannten CCD, Central Compo- site Design).

Vorsicht: Bei mehreren Vermengungsgeneratoren ist, insbesondere bei der hohen Auflösungs- stufe V+, die Auflösungsstufe (Resolution) nicht unmittelbar an den Generatoren abzulesen.

Beispiel:

F=ABCD, G=BCDE ist auf den ersten Blick Resolution V. Bei genauerem Hinsehen erkennt man aber die abgeleitete Vermengung, FG=AE, die bewirkt, daß der Mittelwert vermengt ist mit AEFG, und der Plan somit nur Resolution IV besitzt.

Auflösungsstufen und Versuchsanzahl

Für den Anwender der Versuchspläne stellt sich sofort die Frage: Wieviele Versuche sind denn nun nötig, um eine bestimmte Auflösung zu erreichen? Diese Frage kann wie folgt be- antwortet werden:

Auflösungsstufe Faktoren Versuche III

bis 3 4

7 8

15 16

31 32

IV

bis 4 8

8 16

16 32

32 64

V

bis 5 16

6 32

7 64

8 64

9 128

Tab.11: Reduzierter faktorieller 2^3-1-Versuchsplan für 3 Faktoren mit C = AB.

Wie man der Tabelle entnehmen kann, gibt es günstige und ungünstige Konstellationen. Gün- stig ist z.B. Stufe V bei 8 Faktoren oder Stufe IV bei 4 oder 8 Faktoren. Ungünstig ist dagegen Stufe V bei 7 Faktoren oder Stufe IV bei 5 oder 9 Faktoren, da durch einen Faktor mehr sich die Versuchsanzahl verdoppelt.

Allerdings ist es z.B. bei dem Stufe IV-Plan für 7 Faktoren mit 32 Versuchen und mit F = ABCD und G = BCDE möglich, fast alle Zweifach-Wechselwirkungen zu bestimmen, da ja nur FG = AE und folglich AF = EG, AG = EF ist.

3.2.2 Die Fold-Over Technik

Zuweilen soll nach Durchführung eines Screening-Versuchsplans der Stufe III das Ergebnis abgesichert werden und gegenüber eventueller WW-Einflüsse stabil gemacht werden. Zu die- sem Zweck gibt es die Fold-Over Technik, die aus einem teilfaktoriellen Plan der Stufe III für k Faktoren einen Plan der Stufe IV mit k+1 Faktoren macht, auf Kosten der Verdopplung des Versuchsaufwandes. Der Zusatzfaktor ist dabei die Blockzerteilung: alte Versuche "-", neue Versuche "+". Dieser Faktor ist also ein weiterer systematisch variierter Faktor, dessen Ein- führung die Versuchsanzahl verdoppelt, und der für Vermengungen zur Verfügung steht.

Die Versuchsplanerweiterung erfolgt nun so:

Für die vorhandenen Faktoren wird der Versuchsplan kopiert und gespiegelt, d.h. wo "-" war wird "+" und umgekehrt, der Zusatzfaktor wird wie oben beschrieben auf "-" für die alten und auf "+" für die neuen Versuche gestellt. Die Vermengungen können dadurch alle um den Term "- neuer Faktor" erweitert werden. Dadurch erhöht sich automatisch die Auflösungsstufe auf IV.

Bsp.: 2^3-1-Versuchsplan mit Vermengung C = AB (dies ist Stufe III)

A B C

- - +

+ - -

- + -

+ + +

Erweiterung mit der nun gültigen Ver- mengung C = AB(-D), die zur Stufe IV führt.

A B C D

- - + -

+ - - -

- + - -

+ + + -

- - - -

+ + - +

- + + +

+ - + +

- - - +

Tab.12: Versuchsplan mit Fold-Over Technik.

3.2.3 Weitere Versuchspläne zum Screening

Plackett-Burman-Versuchspläne (Auflösungsstufe III)

Versuchspläne nach Plackett und Burman sind hochvermengt. Der Vorteil in ihrer Anwen- dung liegt darin, daß sie Faktoren mit wesentlichem Einfluß auf den Prozeß herausfinden können. Die Struktur des Versuchsplanes wird gebildet, indem die erste Spalte als Vorzei- chenvektor verwendet wird und durch zyklisches Verschieben die weiteren Spalten gebildet werden. Die Spalten entsprechen den jeweiligen Faktoren und die Vorzeichen bestimmen de- ren Einstellniveaus. Im Versuchsplan muß noch eine zusätzliche letzte Zeile angehängt wer- den, deren Vorzeichen negativ sein müssen (im Beispiel Versuch 8). Die hier beschriebenen Versuchspläne sind orthogonal und können deshalb wie faktorielle Versuchspläne ausgewertet werden.

Versuchs-

Nummer Faktoren

A B C D E F G

1 + - - + - + +

2 + + - - + - +

3 + + + - - + -

4 - + + + - - +

5 + - + + + - -

6 - + - + + + -

7 - - + - + + +

8 - - - -

Tab.13: Beispiel eines Plackett-Burman-Versuchsplans für 7 Faktoren.

Vorteile:

• Es können in jedem Plan bis zu N-1 Faktoren untersucht werden. Dabei werden die Haupteffekte untereinander unvermengt erhalten.

• Die Anzahl der Versuche ist feiner als bei den teilfaktoriellen Versuchsplänen abgestuft, es gibt für jedes Vielfache von 4 einen zugehörigen Plan.

• Aus nicht benutzten Spalten (Scheinvariable) läßt sich der Versuchsfehler be- stimmen.

Die Versuchspläne gehören zum Auflösungstyp Stufe III, es sind also völlig gesättigte Fakto- renpläne. Dies schränkt den Gültigkeitsbereich jedoch auf rein lineare Modelle ein. Befürchtet man Wechselwirkungen, muß man eine andere Vorgehensweise anstreben, auf die wir hier aber nicht näher eingehen wollen, da es ausreichend Literatur dazu gibt.

3.3 CCD-Versuchspläne (central-composite-design)

Central-Composite-Designs sind Erweiterungen von faktoriellen Versuchsplänen. Sie sind zusammengesetzt aus einem teilfaktoriellen (mind. Auflösungsstufe V) oder einem vollfakto- riellen Versuchsplan und einem sogenannten CCD-Stern mit Zentrumsversuch, dessen extre- me Einstellungen über diejenigen des faktoriellen Plans hinausgehen. Ein CCD ist geeignet um quadratische Zusammenhänge zu untersuchen.

Abb.19: Aufbau eines CCD-Versuchsplans.

Der Abstand α der Sternpunkte vom Zentrum gibt an, ob ein 3- oder 5-Niveauplan zugrunde liegt. Ist α=1 liegen die Versuchspunkte in den Flächen (CCF-Design, Central-Composite- Face-centred). Ansonsten bei α>1 schauen die Versuchspunkte aus den Flächen heraus(CCC- Design, Central-Composite-Circumscribed).

Die Anzahl der Versuche wächst bei den CCD-Designs schneller als die Anzahl der zu be- stimmenden Modellkoeffizienten, wodurch sich ein überbestimmtes Gleichungssystem ergibt.

Die Überbestimmtheit wird mit dem Redundanzfaktor beschrieben.

Redundanzfaktor Anzahl aller Versuchspunkte Anzahl unbekannter Modellkoeffizienten

=

Wird der Redundanzfaktor zu groß, sollte man aus Gründen der Wirtschaftlichkeit die Ver- suchsanzahl heruntersetzen. Dies kann z.B. mit Hilfe eines reduzierten faktoriellen Versuchs- plans erreicht werden. Er muß aber mindestens Auflösungsstufe V+ besitzen, da erst hier

CCD-Design

α

CCD-Stern plus Zentrumsversuch vollfakt.

Versuchs- plan

3.4 Box-Behnken-Versuchspläne

Diese Versuchspläne sind sehr hilfreich, wenn man auf Grund gegebener Einschränkungen die extremen Eckeneinstellungen der CCD-Pläne nicht machen kann. Bei den Box-Behnken Ver- suchsplänen sitzen die Versuchspunkte auf den Kantenmitten und es kommt somit nie zu ex- tremen Einstellkombinationen der Faktoren. Man hat einen geringeren Versuchsaufwand als bei den CCD-Plänen (Versuchsanzahl für 3 Faktoren bei CCD=14 und bei Box-Behnken=12), erkauft sich dies aber auf Kosten der Orthogonalität. Es wird deshalb eine schrittweise Re- gression empfohlen.

Abb.20: Aufbau eines Box-Behnken-Versuchsplans für 3 Faktoren.

Nr. Faktor A Faktor B Faktor C

1 - - 0

2 + - 0

3 - + 0

4 + + 0

5 - 0 -

6 + 0 -

7 - 0 +

8 + 0 +

9 0 - -

10 0 + -

11 0 - +

Faktor A Faktor C

Faktor B

3.5 Mehrniveau-Versuchspläne

Wir haben bisher als Einstellgrenzen immer zwei Niveaus für lineare bzw. drei oder fünf Ni- veaus (beim CCD) für quadratische Zusammenhänge betrachtet. Mehrniveau-Versuchspläne sind ganz einfach Versuchspläne, in denen die Einflußfaktoren nicht auf 2, sondern eben auf mehrere Niveaus gestellt werden. Dies ist wichtig, sogar teilweise unumgänglich, wenn qua- litative Faktoren untersucht werden sollen oder wenn ein Versuchsplan geblockt (Versuche die unter gleichen Bedingungen gemacht wurden sind zu einem Block zusammengefasst) werden soll.

In dem speziellen Fall, daß 2, 4 oder 8 Niveaus eines qualitativen Faktors vorliegen (bzw. 2, 4 oder 8 Blöcke gefahren werden sollen), wird man ihn durch 1 bzw. 2 bzw. 3 Faktoren ersetzen und faktorielle Versuchspläne verwenden. Ist jedoch die Anzahl der Niveaus 3, 5, 6 oder 7, so sind faktorielle Versuchspläne schlecht geeignet für Modellierung und Optimierung. Man kann sie zwar auch zurechtbiegen, die Auswertung wird jedoch unnötig komplex und unüber- sichtlich.

qualitativer Faktor Kodierung

Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3

Niveau 1 bzw. Block 1 - - -

Niveau 2 bzw. Block 1 - - +

Niveau 3 bzw. Block 2 - + -

... ... ... ...

Niveau 8 bzw. Block 3 + + +

Tab.15: Beispiel eines Mehrniveau-Versuchsplans.

Einfacher und doch statistisch abgesichert ist der Einsatz von Mehrniveau-Versuchsplänen und D-optimalen Versuchsplänen (siehe Kap.4).

Der einfachste Mehrniveauplan ist der 2 x 3-Plan.

Faktor 1 Faktor 2

- -

o -

+ -

- +

o +

+ +

Hierbei bedeutet o die mittlere bzw. 2-te Einstellung

Ein weiterer Mehrniveauplan ist der L9, also 3 x 3-Plan,

Grundplan Erweiterung

Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3 Faktor 4

- - - -

o - o o

+ - + +

- o o +

o o + -

+ o - o

- + + o

o + - +

+ + o -

Tab.17: Mehrniveau-Versuchsplan mit Erweiterung.

der noch um zwei 3-Niveau-Faktoren zu einem 3^(4-2)-Plan (in Analogie zu den 2^(n-k)-Plänen) erweitert werden kann, wenn auf die Bestimmung von Wechselwirkungseffekten verzichtet werden kann.

Der Nachteil von Mehrniveau-Plänen ist, daß die vollständigen Mehrniveau-Pläne sehr auf- wendig sind und die reduzierten Mehrniveau-Pläne noch schwerer handhabbar sind als die reduzierten 2-Niveau faktoriellen Pläne. Es sind lediglich einige wenige Pläne, wie der L9, L12, L18, L27, L36 und verschiedene sogenannte "Latin Squares", die in der Praxis Anwen- dung finden.

Die als Kompromiss zwischen theoretischer Optimalität und praktischer Durchführbarkeit vorzuschlagende Vorgehensweise ist die, den vollständigen (sehr großen) Mehrniveau- Versuchsplan nicht durchzuführen, sondern ihn als Grundmenge (Kandidatensatz) zu verwen- den, aus der algorithmisch ein D-optimaler kleinerer Versuchsplan ausgewählt wird. Dies wird in Kap.4 näher beschrieben.

4. D-optimale Versuchspläne

Die uns bisher bekannten Versuchspläne bauen auf einem recht geordneten Schema auf. Man ist somit an eine feste Anzahl der Versuche gebunden und auch in der Berücksichtigung spe- zieller Wechselwirkungseinflüsse oder quadratischer Einflüsse stark eingeschränkt, nach dem Motto: alle oder keine. Hat man aber nun eine komplexere Ausgangssituation vorliegen, in der z.B. bestimmte Faktoren wechselwirken können, bestimmte Faktoren erwartungsgemäß nicht linear wirken, in der Vorversuche evtl. direkt mitberücksichtigt werden können und/oder zu- sätzliche Einschränkungen an mehrere Faktoren bestehen, dann erkennt man schnell, daß dies mit den bisher bekannten Methoden nicht funktioniert.

Für die Arbeit mit komplexeren Versuchsplänen, wie den CCD's und den D-optimalen Plänen ist es notwendig, für die Bestimmung von Effekten bzw. Koeffizienten, Matrizen und den dazugehörigen Matrizenkalkül zu verwenden. Dies ist notwendig, da die Pläne nicht mehr orthogonal sind, was bedeutet, daß die Einflüsse nicht mehr unabhängig voneinander be- stimmt werden können. Es müssen bei der Berechnung also sämtliche Korrelatio- nen/Kovarianzen zwischen den einzelnen zu bestimmenden Einflüssen (Modell- koeffizienten) berücksichtigt werden. Dies führt zwangsläufig zum Matrizenkalkül (Matrizen- rechnung).

Mit X bezeichnet man die erweiterte Versuchsmatrix, die für jeden Faktor, jeden WW-Term und jeden quadratischen Term, ebenso wie für den Term nullter Ordnung im Modell (Kon- stante) eine Spalte besetzt und für jedes durchgeführte Experiment eine Zeile. Die tatsächliche Versuchsmatrix wird also um einige Spalten erweitert. Dabei werden die kodierten (bzw.

unskalierten) Faktoreinstellungen verwendet.

Aus X berechnet man die Varianz-Kovarianz-Matrix (X^T ⋅X)⁻¹, mit deren Hilfe man aus dem Meßwertvektor y, gemäß (X^T ⋅X)⁻¹X y^T die verschiedenen Einflüsse (Effekte bzw. Modell- koeffizienten) bestimmt.

Die Berechnung von (X^T ⋅X)⁻¹ funktioniert im Sinne der Fehlerfortpflanzung am besten, wenn die Determinante von X^TX möglichst groß ist. Daher rührt die Bezeichnung D-optimal.

Je nachdem, ob man auf kleine Konfidenzintervalle der Modell-Koeffizienten, der Vorhersa- gen oder auf andere Eigenschaften aus ist, wird ein nach dem entsprechenden Kriterium opti- mierter Versuchsplan bestimmt.

Definition:

Ein Versuchsplan heißt dann D-optimal, wenn er so ausgelegt ist, daß ein vorgegebener Satz von Einflußfaktoren “optimal”,