Kompetenzen testen Mathematik Klasse 6

(1)

Kompetenzen testen MATHEMATIK 6. Schuljahr – Bestell-Nr. P11 455

Vorwort 4

• Selbsteinschätzung zu den Themen „Teilbarkeit“

und „Primfaktorzerlegung“ 5 - 23

Revision zum Thema „Teilbarkeit“

Revision zum Thema „Primfaktorzerlegung“

Übungen zu den Themen „Teilbarkeit“ und „Primfaktorzerlegung“

• Selbsteinschätzung „Geometrie“ 24 - 31

Revision zum Thema „Geometrie“

Übungen zum Thema „Geometrie

• Selbsteinschätzung „Bruchzahlen 32 - 41

Revision zum Thema „Bruchzahlen“

Übungen zum Thema „Bruchzahlen“

• Selbsteinschätzung „Bruchrechnung“ 42 - 55

Revision zum Thema „Bruchrechnung“

Übungen zum Thema „Bruchrechnung“

• Selbsteinschätzung „Dezimalzahlen“ 56 - 73

Revision zum Thema „Dezimalzahlen“

Übungen zum Thema „Dezimalzahlen“

• Selbsteinschätzung „Wiederholung Klasse 6“ 74 - 77

Ausführliche Lösungen zu den Selbsteinschätzungen

Ausführliche Lösungen zu den Revisionen und zum Wissenstest

• Anhang:

Portfolio-Deckblatt 78

Übersicht zum Bestellen der Übungsblätter 79

Inhalt

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VORSC

HAU

(2)

Ganz herzlich danken möchte ich Andreas Meier, der mir gestattet hat, auf seine vielseitigen und nach meinen Erfahrungen für Schüler sehr motivierenden kostenlosen Online-Übungen im Internet unter www.realmath.de hinzuweisen und Screenshots in meinem Werk einzubinden, was mir viel Arbeit vor allem bei der Erstellung von Zah- lenstrahlen und Diagrammen erspart hat!!!

Mein Dank geht auch an Alfred Bergkemper, der mir erlaubt hat, auf sein großartiges Arbeitsblattangebot in seiner kostenlosen Tauschbörse im Internet (www.tb-u.de) hinzuweisen.

ständig durch einschätzung

www.real ath.de



Kohls Mathe-Ta de Kohls Mathe-Ta de Geo etrie

Vorwort

Mit Hilfe dieses Heftes können Ihre Schülerinnen und Schüler (im Folgenden als Schüler bezeichnet) noch leichter selbstständig arbeiten, ihren Lernstand einschätzen und individuell Deizite aufarbeiten. Und

so geht es: Nach Erlernen der Unterrichtsinhalte erarbeiten die Schüler (im Unterricht oder zu Hause) den Selbsteinschätzungsbogen. Anfangs können Sie diesen einsammeln und nachsehen, bei häuigem Einsatz ist es das Ziel, dass die Schüler damit selbstständig umzugehen lernen. Möchten Sie einen Überblick über die Leistungen der Klasse erhalten, können Sie die Kopiervorlage, die für die Schüler zur

„Bestellung“ von geeignetem Förder- und Fordermaterial gedacht ist, auch als Übersicht verwenden.

Für die Arbeit mit den Selbsteinschätzungsbögen legen die Schüler am besten einen separaten Hefter an, der wie ein Portfolio zur Dokumentation des Leistungsfortschritts dient. Hier werden alle Blätter und Übungen gesammelt. Dies hat zudem den Vorteil, dass Sie gegebenenfalls die Möglichkeit haben, bei schwachen Leistungen oder zur Festlegung einer Note diesen von einzelnen oder allen Schülern einzu- sammeln und durchzusehen. Im Anhang inden Sie eine Kopiervorlage für ein Portfolio-Deckblatt, das die Schüler individuell ausfüllen (Namen, Themen, Probleme, ich bin it, bearbeitetes Material).

Jeder Selbsteinschätzungsbogen besteht aus einer ersten Spalte mit Aufgaben, die die Schüler auf einem Blatt oder im Heft lösen. Die Lösungen der Aufgaben sind unten auf dem Blatt zur Kontrolle auf- geführt, allerdings nicht in der richtigen Reihenfolge, um Schummeln vorzubeugen. Sie können auch vorm Kopieren weggeknickt werden, sodass die Lösungen nicht zur Verfügung stehen. Dann sollten die Aufgaben im Unterricht besprochen oder anderweitig kontrolliert werden. In der 2. Spalte steht das The- ma, in der dritten beurteilen die Schüler mit ein bis vier Sternen, wie gut sie mit den Aufgaben zurecht- kamen. Dabei sollen sie nicht nur die Richtigkeit, sondern auch die Sicherheit und das Arbeitstempo berücksichtigen. Sind sie noch nicht hinreichend it, wird weiter geübt. Hierzu gibt es in den folgenden Spalten Hinweise auf die Übungsseiten im Heft und auf Online-Übungen in www.realmath.de sowie die Möglichkeit für Sie, auf entsprechende Seiten im Lehrwerk hinzuweisen (vorm Kopieren eintragen).

Auch gute Schüler können weiter gefordert werden, hierzu steht Material mit schwierigeren Aufgaben zur Verfügung (mit  gekennzeichnet). Es liegt in Ihrem Ermessen, dies einzufordern oder freizustellen.

Auf dem Bestellbogen (Anhang) können die Schüler ihren Namen eintragen und die Themen, an denen sie weiter arbeiten möchten (mit Angabe der *, damit der Lehrer weiß, ob er Förder- oder Forderaufga- ben zur Verfügung stellen soll.)

Die zu jedem Thema angebotene Revision eignet sich, wenn grundlegende Probleme vorherrschen und wesentliche Inhalte in mehreren Bereichen aufgearbeitet werden müssen.

Sollen spezielle Probleme beseitigt werden, stehen zu einzelnen Themen Übungen zur Verfügung. Sie können den Schülern diese als Lernkartei ausleihen. Dazu können Sie das Blatt kopieren und geknickt laminieren, sodass die Lösungen auf der Rückseite erscheinen. Eine erste Selbstkontrollmöglichkeit ist in der Regel schon auf dem oberen Übungsteil enthalten, der auch separat kopiert werden kann.

Die Übungen eignen sich in der Regel für schwächere Schüler zur Beseitigung der Deizite. Mit  ge- kennzeichnete Übungen sind als Fordermaterial für bessere Schüler gedacht. () bedeutet, dass die Übung sowohl für schwächere als auch für bessere Schüler eingesetzt werden kann (z.T. differenzierte Aufgabenstellungen).

Wenn im Unterricht Zeit zum Üben zur Verfügung gestellt wird, eignen sich auch die Tandems zur mündlichen Partnerarbeit aus der Reihe Kohls Mathe-Tandem und Kohls Mathe-Tandem Geometrie. Die Schüler suchen sich dann einen Partner, mit dem sie ein gemeinsames Thema bearbeiten wollen, und wählen dann das entsprechende Tandem aus. Die Arbeitszeit beträgt 5 bis maximal 10 Minuten.

Ihnen und Ihren Schülerinnen und Schülern wünsche

ich viel Erfolg beim Einsatz im Unterricht!

Jutta Stecker

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VORSC

HAU

(3)

Kompetenzen testen MATHEMA TIK

6. Schuljahr – Bestell-Nr. P1 1 455

Teilbarkei t: Se lbs tei n sc hätz u ng von

Bearbeite die Aufgaben und lies dir durch, welche Kompetenz hier gefragt war. Beurteile deine Fähigkeiten in der dritten Spalte mit Sternchen: Die Lösung fällt dir leicht (****), du kriegst es ganz gut hin (***), du kannst die Aufgabe nur schwer oder mit Hilfen (**) oder gar nicht (*) lösen? In den letzten Spalten findest du Hinweise auf Übungsmaterial! Notiere dir, was du wann gemacht hast, um Probleme aufzuarbeiten! Aufgabe: Kompetenz: Ich kann…*-****Buch: Material:www.realmath.de Mathematik 5./6.Klasse 1.Richtig oder falsch? a) 24|100; b) 4|16; c) 9|54; d) 7|437…erkennen, ob eine Zahl Teiler einer anderen Zahl istTeiler und Vielfache () Mathe-Tade: Teilbarkeit Klasse 5: Was ist ein Teiler? 2.Setze | oder ∤ ein 2324; 493; 59200; 39243; 92439; 251755 …für große Zahlen die Teil- barkeitsregeln anwenden Endstellenregel, Quersummen- regel (), Querbeet (); Klasse 5: Durch 2; 4; 5; 3; 9 teilbar Klasse 5: Ergänze eine Ziffer 3.Setze die kleinstmögliche Ziffer ein! 6|32; 18|93; 24|224… Zusammengesetzte Teil- barkeitsregeln anwendenZusammengesetzte Regeln () Kreuzworträtsel();TeilbarkeitKlasse 5: Ergänze eine Ziffer Klasse 5: Durch 6 teilbar 4.Gib die Teilermenge dieser Zahlen an! a) 24; b) 37; c) 100; d) 56… die Teilermenge einer Zahl angebenTeilermengen-GitterrätselKlasse 5: Teilermenge Level1/2/Profis 5.Gib die Vielfachenmenge (jeweils die ersten 6 Zahlen) an! a) 7; b) 12; c) 29… die Vielfachenmenge einer Zahl angebenVielfache und Vielfachenmenge () Klasse 5: Was ist ein Vielfaches 6.Gib dengrößtengemeinsamenTeileran! ggT(12;36); ggT(48;18); ggT(45;105); ggT(27;63); ggT(2;4;12); ggT(9;12;21)

… den größten gemeinsamen Teiler von zwei oder mehr Zahlen angeben

Kreuzworträtsel ggT; Kreuzzahlrätsel kgV; Quadratpuzzle ggT/kgV; Anwendungsaufgaben(); Euklid.Algorithmus ggT/kgV; Tade ggT/kgV

Klasse 5: ggT zweier Zahlen Klasse 6: ggT Klasse 6: Grundwissen: ggT 7.Gibdaskleinste gemeinsameVielfachean! kgV(3;7); kgV(12;18); kgV(12;15); kgV(8;12); kgV(3; 6; 12); kgV(6; 9; 15)

… das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr Zahlen angeben

Klasse 5: kgV zweier Zahlen Klasse 6: kgV Klasse 6: Grundwissen: kgV Lösungen 2mal richtig, 2mal falsch, 4mal |, 2mal ∤; Ziffern und Zahlen von Nr. 3, 5 und 7: 2; 3; 4; 4; 6; 6; 9; 12; 12; 15; 21; 24; 36; 60; 90; Teiler- und Vielfachenmengen: zur Kontrolle: {1; 37}; {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}; {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}; {1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 56};{7; 14; 21; 28; 35; 42;…}; {12; 24; 36; 48; 60; 72;…}; {29; 58; 87; 116; 145; 174;…}

Primfaktoren : Selbstein schä tzung v on

Bearbeite die Aufgaben und lies dir durch, welche Kompetenz hier gefragt war. Beurteile deine Fähigkeiten in der dritten Spalte mit Sternchen: Die Lösung fällt dir leicht (****), du kriegst es ganz gut hin (***), du kannst die Aufgabe nur schwer oder mit Hilfen (**) oder gar nicht (*) lösen? In den letzten Spalten findest du Hinweise auf Übungsmaterial! Notiere dir, was du wann gemacht hast, um Probleme aufzuarbeiten! Aufgabe: Kompetenz: Ich kann…*-****Buch: Material:www.realmath.de Mathematik 5. Klasse 8.Welches sind Primzahlen?37; 97; 927… Primzahlen erkennen Primzahlen und Primfaktorzerlegung Finde die Primzahlen 9.Zerlege die Zahl in ihre Primfaktoren! a) 36; b) 84; c) 72; d) 320Primfaktorzerlegung einer Zahl angebenLeider keine Übungen in realmath 10. Bestimme ggT und kgV mit Prim- faktorzerlegung a) von 76 und 320; b) von36und84 c) von36,72und320

ggT und kgV durch Primfaktorzerlegung bestimmen Primfaktoren: ggT und kgV () Arbeitsblätter zu ggT und kgV aus der Teilbarkeit

Leider keine Übungen in realmath Lösungen zur Kontrolle: 1) 2 Primzahlen; 2) So oft kommen die Faktoren insgesamt vor: 13mal 2; 5mal 3; je 1mal 5 und 7; 3) 4; 4; 12; 252; 2880; 6080

ständig durch einschätzung ständig durch einschätzung

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VORSC

HAU

(4)

Revision: Teilbarkeit von

Teiler/Teilermenge:

21:7 ist eine Aufgabe, die ohne Rest lösbar ist. Deshalb ist 7 ein Teiler von 21. Man schreibt: 7|21 (7 teilt 21).

21:2 ist nicht ohne Rest lösbar. Deshalb ist 2 kein Teiler von 21. Man schreibt: 2 21 (2 teilt nicht 21).

Achte auf die Formulierungen und verwechsle nicht: 21 ist durch 7 teilbar. 7 ist Teiler von 21 oder 7 teilt 21.

Alle Teiler einer Zahl schreibt man der Größe nach geordnet in die Teilermenge: T21 = {1; 3; 7; 21}.

Aufgabe 1) Setze |oder ein: 4  125; 7  84; 16  96; Aufgabe 2) Gib die Teilermengen an: T54; T48

Vielfache/Vielfachenmenge:

Wenn 7 ein Teiler von 21 ist, sagt man umgekehrt: 21 ist ein Vielfaches von 7.

Jede Zahl hat unendlich viele Vielfache, deshalb schreibt man die Vielfachenmenge so: V7={7; 14; 21; 28; …}

Aufgabe 3) Gib die Vielfachenmengen mit den ersten 10 Vielfachen an: V9; V18; V37

Zerlegungsregel:

Regel: Um zu prüfen, ob eine Zahl eine größere Zahl teilt, zerlege die größere Zahl in Summanden.

Ist jeder Summand durch eine bestimmte Zahl teilbar, so ist auch die Summe durch diese Zahl teilbar.

Ist jeder Summand außer einem durch eine Zahl teilbar, so ist die Summe nicht durch diese Zahl teilbar.

Ob eine Zahl Teiler einer anderen Zahl ist, prüft man mit der Zerlegungsregel:

Beispiel: Ist 6 Teiler von 1268? Versuche, 1268 in Summanden zu zerlegen, die alle durch 6 teilbar sind:

1268 = 1200 + 60 + 8. Man erkennt: 6 ist Teiler von 1200 und von 60, aber nicht von 8. 6 teilt nicht 1268.

Hinweis: Es nutzt nichts, wenn mehrere Summanden nicht durch eine bestimmte Zahl teilbar sind!

Aufgabe 4) Richtig oder falsch? 3|396; 4|274; 75|875; 13|650143; 15|1535; 12|4896; 34|13668; 7|21787

Teilbarkeitsregeln: Für bestimmte Zahlen gibt es Teilbarkeitsregeln:

Endstellenregel:

Ist die letzte Ziffer einer Zahl eine 0, so ist die Zahl durch 10 teilbar.

Ist die letzte Ziffer einer Zahl eine 0 oder 5, so ist die Zahl durch 5 teilbar.

Ist die letzte Ziffer eine 0, 2, 4, 6 oder 8, so ist die Zahl durch 2 teilbar. (Diese Zahlen heißen gerade Zahlen) Sind die beiden letzten Ziffern einer Zahl durch 4 teilbar, so ist die Zahl selbst auch durch 4 teilbar.

An den beiden letzten Ziffern erkennt man auch die Teilbarkeit durch: 20; 25; 50 und 100.

Sind die drei letzten Ziffern einer Zahl durch 8 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 8 teilbar.

An den drei letzten Ziffern erkennt man auch die Teilbarkeit durch: 125; 250; 500; 1000.

Quersummenregel: (Die Quersumme einer Zahl erhält man durch Addition der einzelnen Ziffern!) Ist die Quersumme einer Zahl durch 3 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 3 teilbar.

Ist die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar, so ist auch die Zahl selbst durch 9 teilbar.

Aufgabe 5) Setze |oder ein: 4  3564; 3  5184; 25  3255; 9  86940; 5  35920; 8  12592 () Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln für teilerfremde Zahlen:

Für zwei teilerfremde Zahlen (das sind Zahlen, die außer der 1 keine gemeinsamen Teiler haben) gilt:

Ist eine Zahl durch zwei teilerfremde Zahlen teilbar, so ist sie auch durch ihr Produkt teilbar.

Beispiel: Ist eine Zahl durch 3 und 5 teilbar, so ist sie auch durch 15 teilbar. (Denn 3 und 5 sind teilerfremd!) Ist eine Zahl durch 3 und 4 teilbar, so ist sie auch durch 12 teilbar. (Das gilt nicht für und 6, denn ggT ,6 ≠ ) Ist eine Zahl durch 5 und 8 teilbar, so ist sie auch durch 40 teilbar. (Das gilt nicht für 4 und 10 oder 2 und 20).

Aufgabe 6) Welche Ziffer passt für ? 24|366; 15|135; 18|2436; 36|7896;

Größter gemeinsamer Teiler (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) von zwei (oder mehr) Zahlen:

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier (oder mehr) Zahlen ist die größte Zahl, die in der Teilermenge jeder dieser Zahlen vorkommt. T21 = {1; 3; 7; 21}; T35={1; 5; 7; 35}; T42={1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}; ggT(21; 35; 42) = 7 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier (oder mehr) Zahlen ist die kleinste Zahl, die in der Viel- fachenmenge jeder dieser Zahlen vorkommt. V6 = {6; 12; 18; 24; 30;…} V15={15; 30; 45;…}; kgV(6; 15) = 30 Aufgabe 7) Gib jeweils ggT und kgV an: a) 4; 8; b) 6; 21; c) 24; 32; d) 6; 9; 30; e) 10; 15; 30; 75

Lösungen: 1) 2mal |, 1mal ; 2) Zusammen 18 Teiler; Die Summe aller Teiler ist 244 3) Das 10. Element ist das 10fache der angegebenen Zahl.

4) Je 4mal richtig/falsch; 5) nur 1mal ; 6) Zahlen aus der 3er-Reihe (mit 0); 7) Die Summe der 5 ggT ist 23, die der 5 kgV ist 386.

ständig durch einschätzung

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VORSC

HAU

(5)

Revision Primfaktoren:

Primzahlen:

Eine Zahl mit genau 2 Teilern (die 1 und sie selbst), heißt Primzahl. 2 ist die kleinste und einzige gerade Primzahl. Zahlen außer der 1, die keine Primzahlen sind, nennt man zusammengesetzte Zahlen.

Aufgabe 1) Welche dieser Zahlen sind Primzahlen? Prüfe auch mit den Teilbarkeitsregeln! 17; 27; 93; 103; 656

Primfaktorzerlegung:

Jede Zahl kann man als Produkt von Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig.

Beispiel: 30= 2·3·5 So findet man Schritt für Schritt diese Darstellung: 140 = 2·70 = 2·10·7 = 2·2·5·7 = 2²·5·7 Aufgabe 2) Gib von jeder Zahl die Primfaktordarstellung an: 36; 63; 120; 924; 1170

Bestimmen des größten gemeinsamen Teilers mit Hilfe der Primfaktorzerlegung:

Man schreibt die Primfaktorzerlegung aller Zahlen so untereinander, dass immer gleiche Faktoren untereinander stehen. Alle Faktoren, die in allen Zahlen gleichzeitig vorkommen, multipliziert man und erhält so den ggT.

Aufgabe 3) Bestimme den ggT mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. ggT(72; 180); ggT(126; 168; 294) Bestimmen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mit Primfaktorzerlegung:

Man schreibt die Primfaktorzerlegung aller Zahlen so untereinander, dass immer gleiche Faktoren untereinander stehen. Alle auftretenden Faktoren multipliziert man und erhält so das kgV.

Aufgabe 4) Bestimme das kgV mit Hilfe der Primfaktorzerlegung. kgV(55; 132) kgV(42; 78; 182)

Bestimmung von ggT und kgV mit Hilfe von Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise:

Notiert man die Primfaktorzerlegung mit Hilfe von Potenzen und gibt für nicht vorkommende Faktoren (Lücken) die Zahl mit dem Exponent 0 an (jede Zahl hoch Null ergibt 1), so erhält man diese einfache Regel:

Der ggT errechnet sich als Produkt der Faktoren mit den niedrigsten Exponenten.

Das kgV errechnet sich als Produkt der Faktoren mit den höchsten Exponenten.

Aufgabe 5) Berechne die ggT und kgV aus Aufgabe 3 und 4 erneut mit dieser Regel. Vergleiche!

Berücksichtigen der Differenz beim Bestimmen des ggT von großen Zahlen, die nahe beieinander liegen:

Liegen zwei große Zahlen recht dicht beieinander, so findet man den ggT, indem man die Differenz betrachtet.

Der ggT der beiden Zahlen muss auch Teiler der Differenz sein. So schränkt man die möglichen Teiler ein!

Beispiel: ggT(323; 361) muss auch Teiler von 361-323=38 sein. 38 hat nur die Teiler 1, 2, 19, 38. Man erkennt leicht: 38 323, da 323 ungerade ist, und man überprüft auch leicht: 19|323 und 19|361, also ggT(323; 361) = 19.

Aufgabe 6) Bestimme den ggT, indem du die Differenz der Zahlen betrachtest: ggT(2078; 2082); ggT(322; 378)

Lösungen: 1) genau 2 Primzahlen; 2) Als Faktoren kommen 2 und 3 je 8mal vor, 5 und 7 zweimal und 11 und 13 einmal 3), 4) und 6) Die Summe aller 6 Ergebnisse beträgt 1300. (Zu 5) vergleiche Ergebnisse von 3 und 4).

Beispiel: 24 = 2·2·2·3 60 = 2·2 · 3·5 84 = 2·2 · 3 ·7 ggT(24; 60;75) = 2·2· 3 = 12

Beispiel: 24=2·2·2·3 60 =2·2 · 3·5 84 =2·2 · 3 ·7 kgV(48; 60; 84)=2·2·2·3·5·7 = 840

Beispiel: 24=2³·3¹·5°·7°

60 =2²·3¹·5¹·7°

84 =2²·3¹·5°·7¹ kgV(24; 60; 84)=2³·3¹·5¹·7¹ = 840 Beispiel: 24 =2³·3¹·5°·7°

60 =2²·3¹·5¹·7°

84=2²·3¹·5°·7¹ ggT(24; 60; 84)=2²·3¹·5°·7° = 12

Beispiel:

24 = 2·2·2·3 60 = 2·2 · 3·5 ggT(24; 60) = 2·2· 3 = 12

Beispiel:

24 = 2·2·2·3 60 = 2·2 · 3·5 kgV(24; 60) = 2·2·2·3·5 = 120

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VORSC

HAU

(6)

Übung zu „Teilbarkeit“ 1, 4 und 5: Teiler und Vielfache ()

Aufgabe 1: Richtig oder falsch?

a) 52 ist Vielfaches von 13.

b) 24 ist Teiler von 12.

c) 648 ist Vielfaches von 6.

d) 854 ist Vielfaches von 4.

e) 307 ist Vielfaches von 27.

f) 209 ist Vielfaches von 19.

g) 1920 ist nicht Vielfaches von 8.

h) 12 ist nicht Teiler von 112.

i) 1968 | 1968 j) 84 | 6 k) 9 ∤10835 l) 1 ∤2507

Aufgabe 2: Notiere zu jeder Zahl die Teilermenge und die Vielfachenmenge! a) 12; b) 19; c) 84; d) 96 Gib bei den Vielfachenmengen die ersten 6 Elemente genau an. Denke an die … am Ende!

Aufgabe 3: Welche dieser Zahlen sind a) Vielfache von 4?

b) Teiler von 36?

Zusatz:  Die meisten Zahlen haben eine gerade Anzahl von Teilern. Überlege, warum dies so ist!

Welche Zahlen bilden die Ausnahme und haben immer eine ungerade Anzahl von Teilern?

Zur Kontrolle: 1) Es kommt genauso oft richtig und falsch vor.

Erkennst du, nach welchem Muster?

2) Addiere die Teiler jeder Teilermenge. In jeder Summe kommt außer der Ziffer 2 nur eine andere Ziffer vor!

Die Summe der ersten 6 Vielfachen einer Zahl ist immer das 21fache der Zahl selbst. Prüfe das nach!

3) Bei Aufgabenteil a) und b) hast du gleich viele Zahlen notiert!

Drei Zahlen im Kasten kommen doppelt vor; 454 bleibt übrig!

∤



Tipp zum Zusatz: So findest du leicht die Teiler einer Zahl: Bilde Produkte, die die Zahl ergeben. Suche Beispiele!

18

18 = 1 · 18 1 18

18 = 2 · 9 2 9

18 = 3 · 6 3 6

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18}

32 288

8 1

2 454

12



∤



Lösung zu „T eilb

arkei t“ 1, 4 un d 5 : T eiler u nd

Vielfa ch e:

Hin weis:

Wenn gi lt: 7

| 21, d ann sagt m an:

7 te ilt 21 od er 7 ist Te ile r vo n 21 od er 21 ist Vie lfach es v on 7.

Ob e in e Z ahl V iel fac he s e in er a nde ren Zahl ist , pr üft m an dur ch g esc hick te Z erl egun g in S um mande n:

Ver suc he die Z ahl so zu z erl ege n, da ss j ede r e inz elne Sum man d Vie lfa che s di ese r Z ahl ist .

Sind ALL E S umm ande n Vie lfa che s ei ne r Z ah l, s o ha ndelt e s s ich be i d er Sum me um e in Vie lfa che s.

jede Ist r S umm and bi s a uf e in en V iel fac hes di ese r Z ahl , da nn ha ndelt e s s ich ni cht um e in Vie lfa che s.

Wenn du di e T eilba rke its reg eln scho n kenns t, k anns t d u die se na tür lic h auc h ve rw end en!

Beis pie l:

1701 ist V iel fac hes v on 7, de nn: 1 701=

1400+

280+

21. Al le S um man den si nd Viel fac he vo n 7.

1492 ist nich t Vi elf ach es v on 13.

149 2=1300+

130+62.

Alle Summa nd en au ßer 62 si nd Viel fach e vo n 1 3.

Au fgab e 1:

In j ede r S palt e k om mt i mm er abw ech sel nd ri cht ig und f als ch vo r, b ei d er mit tle ren vo n unten na ch o n! be

a) Rich tig;

b ) Falsch (12 ist

Te ile r vo n 24 od er 24 i st Vie lfa ch es v on 12);

c) Rich tig (648

=600+

48);

d ) Falsch

∤ (4 54).

e) Fal sch (307 = 270+

37);

f) R icht ig (20 9 = 190 +19)

; g) Falsch (e s ist V ie lfa ch es!

);

h) Rich tig (112 = 96+16 = 12 0–8)

;

i) R icht ig;

j) Fal sch (84 ist Vie lfach es v on 6 o de r 6 teilt 84)

; k) Richt ig (1083 5 = 90 00+180 0+35)

; l) Fal sch , ( 1|2 507)

Au fgab e 2:

No tier e z u je de r Zah l d ie Teile rme nge bzw. d ie Viel fa che nm en ge ( mit min de sten s 6 Ele me nten )!

a) T = { 12

1; 2

; 3; 4

; 6; 1 2};

V = 12

{12;

24;

36; 4 8; 6 0; 72

; …}

b) T = 19

{1;

19};

V = 19

{19; 38;

57;

76; 95;

114

; …}

;

c) T = 84

{1;

2; 3; 4;

6; 7; 12;

14;

21; 28; 4 2; 84}

; V = 84

{84; 16 8; 252; 3 36; 4

20; 50 4; … }

d) T = 96

{1; 2; 3;

4; 6;

8; 12;

16; 24; 32;

48;

96};

V = { 96

96; 19 2; 288; 3 84; 4

80; 57 6; … } (Su mm en : 20

; 28

; 224;

252)

Au fgab e 3:

a) Vie lfa che vo n 4 sin d: 4;

8; 12;

16;

24; 32;

36;

288

; 372 b) T eile r vo n 36 sin d: 1;

2; 3;

4;

6;

9; 12

; 18; 3 6

Zu satz

 : Zu je de m T eile r gi bt es e in en zwe iten, mit de m m ulti plizi ert sich die Ausgan gsza hl ergi bt (Ti pp o ben!

)

Meis t si nd be id e v ers chie de n. So erhäl t man imm er Te ile rpär che n, a lso eine g era de An zah l v on Teile rn.

Quad ratz ahle n b ilden eine Au sn ahm e. B ei ge nau ein em P ro dukt s ind b eid e Fak tore n gl eic h.

Also hab en alle Qu adra tzah le n ei ne u nge rad e An zah l vo n T eile rn .

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(7)

Übung zu „Teilbarkeit“ 2: Endstellenregel

Aufgabe 1: Welches Zeichen ist richtig? Aufgabe 2: Richtig oder falsch?

Eine Endstelle: ^| Mehrere Endstellen Richtig Falsch

a) 2  758 D C a) 4 | 1956 N S

b) 10  295 U A b) 25 | 1975 Z R

c) 5  9860 S H c) 20 | 2050 I L

d) 2  92863 A I d) 50 | 158555 C E

e) 5  9261 B S e) 100 | 5180 H I

f) 10  298100 T L f) 8 | 82744 C T

g) 2  4000 G D g) 4 315834 H I

h) 5  5532 N A h) 8 258336 G T

Zur Kontrolle: Notiere die passenden Lösungsbuchstaben. Du erhältst einen Lösungssatz.

Weiterer Hinweis: In jeder Spalte hast du vier Buchstaben gefunden!

Lösung zu „T eilba rke it“

2:

End stelle

nregel

Zu A ufga be 1 :

Eine Zah l i st du rch 2 , 5 o der 1 0 te ilb ar, w enn d ie l etzt e Zi ffer d urch diese Zahl t

eilb ar ist .

Zu A ufga be 2 :

Ein e Z ahl is t d urc h 4 , 2 0, 2 5, 5 0 o de r 1 00 te ilbar, we nn die letz te n b eid en Ziffe rn du rch die se Zah l te ilba r s ind .

Ein e Z ahl is t d urc h 8 , 1 00 , 1 25 , 2 50 , 5 00 te ilbar, we nn die letz te n d rei Z iffern d urc h d iese Zah l te ilbar s in d.

(P rüf e, w enn d u die

s ni cht so fo rt e rke nnen k anns t, dur ch ge schi ckt e Z erl egung de r Z ahl in S um ma nden!

)

Aufgab e 1 : We lch es Ze ich en ist ric hti g?

Aufgab e 2 : R ich tig o de r fa lsc h?

Eine Ends tel le

| : Meh

rer e En dstel le n Rich

tig Fal sch

a) 2 | 7 58 D

a) 4 | 1 956 N

b) 10 2 A 95

b) 25 | 197 5 Z

c) 5 | 9 860 S

c) 20 | 205 L 0

d) 2 92 I 863

d) 50 | 158 555 E

e) 5 92 S 61

e) 10 0 | 5 180 I

f) 10 | 298 100 f) T

8 | 8 274 4 C

g) 2 | 4 000 g) G

4 31 5 834 H

h) 5 55 A 32

h) 8 25 8336 T

Der Lö su ngs sat z la utet:

D A S I S T G A N Z L E I C H T.

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Kompetenzen testen MATHEMA TIK

6. Schuljahr – Bestell-Nr. P1 1 455

W iederh o lu n g Kl a sse 6 : Se lb stein schätzu n g vo n

Bearbeite die Aufgaben und lies dir durch, welche Kompetenz hier gefragt war. Beurteile Deine Fähigkeiten in der dritten Spalte mit Sternchen: Die Lösung fällt dir leicht (****), du kriegst es ganz gut hin (***), du kannst die Aufgabe nur schwer oder mit Hilfen (**) oder gar nicht (*) lösen? In den letzten Spalten findest du Hinweise auf Übungsmaterial! Notiere dir, was du wann gemacht hast, um Probleme aufzuarbeiten! Aufgabe: Kompetenz: Ich kann…*-****Buch:Material: www.realmath.de Mathematik 6. Kl. 1. Bestimme jeweils ggT und kgV: a) 4; 6 b) 15;18 c) 5; 8; 12... ggT und kgV mit Teilbarkeitsregeln oder Primfaktorzerlegung bestimmenKreuzwort-/Kreuzzahlrätsel Tade: ggT/kgVverschiedene Übungen zu ggT und kgV 2. a) Gib die Winkelart an. = 180°;  = 360°; b) Zeichne den Winkel; gib die Winkelart an! Miss nach! =40°; =97°; = 215°

... Winkelarten bestimmen und Winkel messen und zeichnenWinkelarten und –größen Winkel Querbeet  Tade: Wikelartee- ee; Wikelgröße…

Winkelarten erkennen Winkel messen Winkel antragen 3. Berechne die fehlenden Winkel! a) b) … Winkel berechnen Winkelarten und –größen Winkel Querbeet  Tade: Wikelarte eee; Wikelgröße shätze

Neben- und Scheitelwinkel (viele Übungen) Knobelaufgaben (für Profis) 4. Wandle um: … unechte Brüche in gemischter Schreib- weise und umgekehrt angebenLabyrinth unechte BrücheTeil mehrerer Ganzen Gemischte Zahl; Unechter Bruch 5 a) Kürze vollständig: 5 b) Bringe auf den Hauptnenner:

… Brüche erweitern und kürzen und Hauptnenner von Brüchen findenErweitern und Kürzen Triomino; Querbeet  Tade: Kürze

Viele Übungen zu den Themen Brüche erweitern oder Brüche kürzen; gleiche Nenner finden 6 a) Berechne (1) von 105 ℓ (2) von 3,96 t 6 b) sind 48 Stunden. Berechne das Ganze! 6 c) In der 6d sind 18 Mädchen und 12 Jungen. Welcher Anteil aller Kinder sind Jungen?

… Bruchteile von Größen berechnen … Das Ganze berechnen … Anteile als Bruch angeben Bruchteile von Größen Querbeet 1 () Textaufgaben Tade: Bruhteile

Bruchteile eines Meters / eines Liters Bruchteile und Größe / und Zeit Bruchteile von Größen Das Ganze bestimmen… 7 a) b) c) d) e) f) g)

… mit Brüchen rechnen (auch in gemischter Schreibweise) Addition und Subtraktion Punktrechnung;Querbeet 2() Diverse Tades

Viele Übungen zu allen Rechenarten 8 a) b) c) … Rechenregeln bei Brüchen anwendenTerme und Gleichungen Querbeet 2 () Grundrechenarten verbinden 9 Fülle die Tabelle fertig aus: Bruch Dezimalbruch0,85 2,372

… Brüche in Dezimalbrüche umwandeln … Dezimalbrüche in vollständig gekürzte Brüche umwandeln

Quadromino Tade: Brühe/DezialzahlViele Übungen zum Thema Bruch und Dezimalbruch 10 a) 4,37 + 12,8 + 0,196 b) 19,37 – 0,5 – 12 c) 3,8·0,435 d) 8,9:5 e) 0,63 : 0,252… mit Dezimalbrüchen rechnenAddition und Subtraktion Punktrechnung;Querbeet2() Viele Übungen zu allen Rechenarten 11. Gib als Dezimalbruch an: a) b) c) … periodische Dezimalbrüche angebenPeriodische Dezimalbr. () Leider keine Übungen in realmath Zur Kontrolle :0,75; 1; 1,1875; 1,653; 1,78; 2; 2,5; 3; 6,87; 12; 17,366; 45; 51; 60; 72; 72; 90; 90; 108; 120; 128; jede Winkelart kommt genau einmal vor! ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅

ständig durch einschätzung  39°

90°

106° 74°108° 

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Wissenstest Klasse 6 von

Das solltest du nach der 6. Klasse können! Schreibe Rechnungen ins Heft.

Themengebiet 1: Teilbarkeit und Primfaktorzerlegung

Du solltest Teiler oder Vielfache von Zahlen angeben und ggT und kgV zweier oder mehrerer Zahlen bestimmen können. Du solltest Primzahlen erkennen und eine Zahl in Primfaktoren zerlegen können.

a) Setze ei : ǀ oder ∤: ⃝ ; ⃝ ; ⃝ ; ⃝ ; ⃝ ;

b) Gib die Teilermenge an: T24; T50. Gib die Vielfachenmenge mit den ersten 6 Elementen an: V24; V17. c) Welche der Zahlen 29; 39; 49; 59 sind Primzahlen? Gib die Primfaktordarstellung von 32 und 48 an.

d) Bestimme: ggT(32; 48); ggT(39; 65); ggT(30; 78; 108); kgV(32; 48); kgV(39; 65); kgV(3; 16; 20)

Zur Kontrolle: a) dreimal ǀ und zweimal ∤; b) Die Summe aller Teiler ist 153; Das 6. Vielfache ist das 6fache der Zahl; prüfe das nach;

c) zwei Primzahlen; beide Darstellungen unterscheiden sich nur in einem Faktor um 1! d) Die Summe aller Ergebnisse ist 558.

Themengebiet 2: Geometrie

Du solltest Winkel messen, die Winkelarten angeben und Winkel im Dreieck oder an Geradenkreuzungen berechnen können. Du solltest dreh- und punktsymmetrische Figuren erkennen und zeichnen können.

a) Gib die Winkelgrößen und Winkelarten der Winkel an! b) Berechne die fehlenden Winkel.

c) Welche der Figuren ist drehsymmetrisch (punktsymmetrisch)? Gib den kleinsten Drehwinkel an!

Zu a) Zu b) w_βist die Wi kelhal iere de o β; g ǀǀ β Zu c)

Zur Kontrolle: a) und b) Alle Winkel sind zusammen 705° groß. c) Drei drehsymmetrische Figuren (90°; 120°; 180°), zwei davon punktsymmetrisch.

Themengebiet 3: Bruchzahlen

Du solltest Anteile als Brüche angeben können. Unechte Brüche solltest du in gemischte Schreibweise umwandeln können und umgekehrt, du solltest Brüche erweitern, kürzen und vergleichen können.

a) Welcher Anteil der Figuren rechts ist grau gefärbt? Welcher Anteil ist weiß?

b) Wandle um:

c) Kürze vollständig:

d) Bringe auf den Hauptnenner:

e) Welche Zahlen sind markiert? f) >, < oder =?

Zur Kontrolle: a) bis e) f) zweimal >, je einmal < und =.

Themengebiet 4: Bruchrechnung

Du solltest mit Bruchzahlen rechnen können und die Rechengesetze beachten.

a) Berechne den Anteil: von 1 t (in kg); o ℓ; Bere h e das Ga ze: kg si d 14 h sind ;

b) – –

Zur Kontrolle: a) ohne Maßangaben: 9; 21; 72; 200; b) ;

Themengebiet 5: Dezimalbrüche

Du solltest abbrechende Dezimalbrüche in Brüche umwandeln können und Brüche in Dezimalbrüche.

Du solltest mit abbrechenden Dezimalbrüchen rechnen können und die Rechengesetze beachten.

a) Wandle Dezimalbrüche in gekürzte Brüche um und umgekehrt:

0,275; 12,45 b) 4,75 + 3,8; 2,9 – , ; , : ; , ∙ ; , ∙ 4,25; 7,8 : 3: 4,5 : 0,3²; 0,095 : (2,5 – , ∙ ,1)

Zur Kontrolle: a) 0,07; 0, ̅; 0,41 ̅; 0,75; 1,6; 0,875; b) 0,0387; 0,5; 2,047; 2,6; 8,55; 14,875; 50; 5800;

A B

w_β g

C



55°

α β

β A B

C D