fsV gsGB +== 1 == fsg =− 111 =⇒⋅= VV V ⋅= BffB =⇒= 11 tf −⋅= 11 fsss =+=+ 111 fsg =+ 111 gsGB ==

2 Grundlagen zum Versuch

1.1.) Bestimmung der Gesamtvergrößerung

Zur Messung der Gesamtvergrößerung wird ein Objektmikrometer auf den Objekttisch gelegt und nach Scharfeinstellung ein Strahlteiler-Aufsatz auf das Okular gesteckt, mit dessen Hilfe eine seitlich in 250 mm Entfernung aufgestellte beleuchtete Millimeterskale eingespiegelt wird.

Die Vergrößerung wird aus der zu messenden Anzahl von Strichabständen der Millimeterskale (1) und der Objektmikrometerskale (2) zwischen einander überdeckenden Teilstrichen bestimmt.

n1

n2

Da die Skale 2 eine 1/100 mm Einteilung hat ergibt sich die Gesamtvergrößerung V zu:

100

2 1 ⋅

= n

V n (1).

1.2.) Bestimmung der Brennweite der Objektive

Zur Bestimmung der Brennweite f benötigt man den Abbildungsmaßstab

β

, der in Abhängigkeit von der Tubuslänge t gemessen wird. Die Durchführung erfolgt wie bei 1.1.), wobei anstatt der

Millimeterskale eine Okularskale (1/ mm Einteilung) verwendet wird. Der Abbildungsmaßstab bzw.

die Vergrößerung

β

ergibt sich zu:

2 1

m

= m

β

(2).

Die Vergrößerung

β

ist auch gleich dem Verhältnis von Bildgröße zu Gegenstandsgröße:

g s G

B =

β

= (3).

Gleichung (3) nach g umgestellt und in die allgemeine Linsengleichung:

f s g

1 1

1 + = (4)

eingesetzt, ergibt:

f s s s

1 1 1= + =

+

β

β

(5).

Gleichung (5) nach

β

umgestellt und s durch t ersetzt, führt zu: = 1 ⋅t−1

β

f (6).

Da der Abbildungsmaßstab

β

in Abhängigkeit von der Tubuslänge t gemessen wird, kann durch lineare Regression der Anstieg B der Ausgleichsgeraden bestimmt werden. Aus dem Anstieg B kann dann die Brennweite f berechnet werden:

f B

B= 1f ⇒ = 1 (7).

1.3.) Bestimmung der Vergrößerung und der Brennweite der Okulare

Die Gesamtvergrößerung V eines Mikroskop ergibt sich aus dem Produkt von Abbildungsmaßstab

β

des Objektivs und der Lupenvergrößerung

γ

des Okulars:

V = β ⋅ γ

(8).

Da V und

β

bekannt sind, kann aus Gleichung (8) die Lupenvergrößerung berechnet werden:

γ β γ

β

^V

V = ⋅ ⇒ = (9).

Für die Lupe gilt die angepaßte Linsengleichung:

f s g

1 1

1 − = (10), da sich das Originalbild

(Zwischenbild) sich innerhalb der Brennweite f des Okulars befindet und somit ein virtuelles Bild entsteht. Mit

g s G B =

γ

= und Gleichungen (10) und (9) entsteht: = = +1 f s V

γ β

(11).

Mit s=250 mm kann somit die Brennweite des Okulars berechnet werden:

− 1

= β V

f s

(12).

1.4.) Bestimmung von Öffnungswinkel und numerischer Apertur

Für den Minimalabstand zweier noch auflösbarer Objektpunkte gilt:

A u

d n λ = ⋅ λ

⋅

= ⋅ 0 , 61 sin

61 , 0

min (13),

λ

die Wellenlänge des benutzten Lichtes, n der Brechungsindex des Mediums des Mediums zwischen Gegenstand und Objektiv, u der halbe Öffnungswinkel und A die numerische Apertur ist.

1.5.) Bestimmung der Brechzahl einer transparenten Platte

??????????

3. Versuchsaufbau

5. Auswertung

zu 1.1) Bestimmung der Gesamtvergrößerung

Δ n

_zuf

= Δ n

_sys= Hälfte der kleinsten Skalenteilung = 0,5

Δ n = Δ n

_zuf

+ Δ n

_sys = 1

lineare Fehlerfortpflanzungsgesetz:

Δ V V Δ Δ Δ

n n V

n n

n n n

n n

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

∂ ⋅

∂

∂

1

∂

1 2

2 2

1 1

2

2 2

100 100

Δ

Der Fehler wurde für die jeweils kleinsten und größten Wert einer Meßreihe ermittelt und der größere Fehler der beiden als Fehlerabschätzung angenommen.

Objektiv Okular Teilstriche (Tubus eingeschoben)

16 20 n1 60 44 39 15 57

n2 20 15 13 5 19

V 300 293,3 300 300 300

40 20 n1 75 37 52 67 30

n2 10 5 7 9 4

V 750 740 742,9 744,4 750

40 10 n1 38 19 27 46 57

n2 10 5 7 12 15

V 380 380 385,7 383,3 380

16 10 n1 15 31 14 46 37

n2 10 20 9 30 24

V 150 155 155,6 153,3 154,2

Teilstriche (Tubus ausgezogen)

16 20 n1 15 29 44 52 32

n2 5 10 15 18 1

V 300 290 293,3 288,9 290,9

40 20 n1 38 76 23 53 68

n2 5 10 3 7 9

V 760 760 766,7 757,1 755,6

40 10 n1 42 21 54 30 46

n2 10 5 13 7 11

V 420 420 415,4 428,6 418,2

16 10 n1 18 36 53 45 31

n2 10 20 30 25 17

V 180 180 176,7 180 182,4

1

Objektiv/Okular V theoretisch V eingeschoben Fehler(eingeschoben) V ausgezogen Fehler(ausgezogen)

16*20 320 298,7 80,0 292,6 80,0

40*20 800 745,5 212,5 759,9 288,9

40*10 400 381,8 96,0 420,4 104,0

16*10 160 153,6 28,4 179,8 28,0

zu 1.2) Bestimmung der Brennweite der Objektive

t in mm Teilstriche Objektiv 1 ß1 Objektiv 2 ß2

150 m1 20 20 49 4

m2 10 10

155 m1 40 20 50 5

m2 20 10

160 m1 21 21 51 5

m2 10 10

165 m1 21 21 26 5

m2 10 5

170 m1 22 22 27 5

m2 10 5

175 m1 22 22 28 5

m2 10 5

180 m1 23 23 57 5

m2 10 10

185 m1 35 23,33 59 59

m2 15 10

190 m1 24 24 61 6

m2 10 10

195 m1 25 25 44 62,86

m2 10 7

200 m1 26 26 32 6

m2 10 5

9 0 1 2 4 6 7

1

4

Abbildungsmaßstab / Objektiv 1 (16x)

0 5 10 15 20 25 30

150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

t in mm

ß1

Abbildungsmaßstab / Objektiv 2 (40x)

0 10 20 30 40 50 60 70

155 160 165 170 175 180 185 190 195 200

t in mm

ß2

Der Fehler von B wurde mittels PC über lineare Regression ermittelt.

lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz für f:

Δ f Δ

B B

= − 1

2

Objektiv 1 (16x)

B1=0,1176

±

0,00863/mm nach (7): f1=8,503±0,624mm Objektiv 2 (40x)

B2=0,3219±0,02414/mm f2=3,107±0,233mm

zu 1.3) Bestimmung der Vergrößerung und der Brennweite der Okulare y wurde nach (9) berechnet

Tubus eingeschoben Tubus ausgefahren

y1(20x) y2(10x) y1(20x) y1(10x)

16x 14,93 7,68 11,25 6,916

40x 15,21 7,79 11,87 6,569

daraus wurden berechnet:

mit Fehlerfortpflanzungsgesetz

Δ Δ

Δ

y V

ß V ß ß

= +

₂

Okular Tubus eingeschoben Tubus ausgefahren MW mit abgeschätzten Fehlern

20x 15,07 6,24 11,56 7,26

10x 7,735 2,90 6,743 3,14

Bestimmung der Brennweite:

Δ Δ Δ

f t s

f V f f

V

ok V

obj

obj obj

= ⋅

⋅ ⎛ +

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟ mit t = Tubuslänge Objektiv Tubus eingeschoben

f1(20x) f2(10x)

16x 14,766 28,71

40x 16,191 31,61

Tubus ausgefahren

16x 20,095 32,705

40x 21,178 38,277

MW mit abgeschätzten Fehlern

18,058 9,640 32,826 12,339

zu 1.4) Bestimmung von Öffnungswinkel und numerischer Apertur Objektiv 1 (3,2x):abgelesene Aperturen:

A

₁=0,135 und

A

₂=0,095 Mittelwert der Apertur:

A

=0,115

Die systematischen und zufälligen Fehler sind gleich groß und betragen jeweils die Hälfte der kleinsten Skaleneinteilung:

ΔA =

0,025+0,025=0,05, was für beide zu

bestimmende Aperturen gilt.

2u=

2 ⋅ ⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ arcsin A

n

mit n=1,62373

2u=8,12°±3,54°

Fehler für 2u:

Δ 2 2 Δ

1 u

2

n A

n

= A

− ⎛ ⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⋅

d

_min=2917,4±1268,4nm Fehler für

d

_min:

Δ d Δ

A A

min

= 0 61 ,

2

λ

Objektiv 2 (6,3x):abgelesene Aperturen:

A

₁=0,11 und

A

₂=0,075 Mittelwert der Apertur:

A

=0,093

2u=6,53°±3,53°

d

_min=3627±1939,5nm

zu 1.5) Bestimmung der Brechzahl einer transparenten Platte Bildhub h = 200,5*2/1000mm=0,401±0,002mm

Dicke der Platte d = 1,08

±

0,06mm

′ = −

n d

d h

^{=1,588±0,057}

Fehler:

( )

Δ ′ = Δ + Δ n h d d h−

d h ²

6 Zusammenfassung

Allgemein gestaltete sich die Zählung der Striche schwierig, da sie von vielen eher subjektiv beeinflußten Faktoren bestimmt war. So war z.B. die Einstellung der Schärfe vom Betrachter

abhängig. Auch die Aussage, welche Striche nun übereinstimmen, ist nur sehr schwierig zu treffen. In größeren Entfernung vom 1. Strich betrachtete man die Skala auch schon unter einem schrägen Winkel, so daß die Übereinstimmung schwierig zu bestimmen war. Die Striche konnten beim Ablesen auch nur auf ganze Zahlen interpoliert werden, so daß sich dort größere Fehler einschlichen. Auch müßte die Versuchsanordnung 100%ig geometrisch (Skalen parallel zueinander) und im richtigen Abstand zueinander ausgerichtet sein, was nicht garantiert werden kann. Zusätzlich waren die Skalen zerkratzt, was zu Fehlern geführt hat. Trotzdem liegen die ermittelten Vergrößerungen für die 4 Kombinationen von Objektiven und Okularen in der Nähe der theoretischen Vergrößerungen.

Für die Aperturwerte, Öffnungswinkel und Minimalabstände zweier Punkte konnten keine Aussagen getroffen werden, da keine Vergleichswerte aus der Literatur vorlagen. Aber aufgrund der schwierigen Messung der Aperturwerte und der Fehlerquellen entstanden große Meßunsicherheiten, was darauf schließen läßt, daß die abgelesenen und berechneten Werte nicht genau sind.

Die ermittelte Brechzahl der transparenten Platte liegt im Bereich der für Glas vorhandenen

Brechzahlen. Auch hier beeinflußte die Schärfeeinstellung die Meßwerte. Außerdem wurde das Auge enorm belastet, was zu Ungenauigkeiten geführt haben kann.

Tubus eingeschoben Tubus ausgefahren

y1(20x) y2(10x) y1(20x) y1(10x)

16x 14,93 7,68 11,25 6,916

40x 15,21 7,79 11,87 6,569

Okular Tubus eingeschoben Tubus ausgefahren MW mit abgeschätzten Fehlern

20x 15,07 6,24 11,56 7,26

10x 7,735 2,90 6,743 3,14

Objektiv Tubus eingeschoben

f1(20x) f2(10x)

16x 14,766 28,71

40x 16,191 31,61

Tubus ausgefahren

16x 20,095 32,705

40x 21,178 38,277

MW mit abgeschätzten Fehlern

18,058 9,640 32,826 12,339