Eine weitere Lösungsmöglichkeit der Aufgabe 1 Serie 7 Algebra

Andere Lösungsmöglichkeit für Ungleichungen 1 Dr. F. Raemy

Eine weitere Lösungsmöglichkeit der Aufgabe 1 Serie 7 Algebra

1 a) _x!1⁴

>

1

D

_x

=

!\ 1

{ }

Idee:

Wir subtrahieren die rechte Seite der Ungleichung und erhalten so auf der rechten Seite eine Null.

4

x

! 1 > 1 | !1 " 4

x

! 1 ! 1 > 0 " 4

x

! 1 !

x

! 1

x

! 1 > 0

" 4

x

! 1

( ) ^! (

^x

^{! 1} )

x

! 1

( ) ^{> 0 " 4 !} (

^x

^{! 1} )

x

! 1

( ) ^{> 0 "} ( ⁵

^x

^{! ! 1}

^x

) ^{> 0}

Bemerkung:

Die Division von zwei Zahlen ist dann positiv, wenn entweder beide Zahlen positiv oder beide Zahlen negativ sind. Hier wird verständlich, warum rechts eine Null stehen sollte.

A B > 0

1.!Fall :!A > 0

!

B > 0

"

2.!Fall :!A < 0

!

B < 0

Daraus lassen sich die beiden Fälle unterscheiden.

5 ! x x ! 1

( ) ^{> 0}

1.!Fall :! 5 ! x > 0 " x ! 1> 0 # 2.!Fall :!5 ! x < 0 " x ! 1 < 0

$ 5 > x "!x > 1 5 < x " x < 1

$ 1 < x < 5

L

x1

= { x |!!1 < x < 5 } L

x2

= { }

Zusammenfassung !

L

x

= L

x₁"

L

x₂

= L

x₁

= { x

|!!1

< x <

5

}

1 b) _x+1^2x

!

1 D_x

=

!\

{ } "1

2x

x

+

1

!

1

"1 #

2x

x

+

1

"

1

!

0

#

2x

x

+

1

( ) ^" (

^x

⁺

¹

)

x

+

1

( ) ^!

⁰

^#

^2x

^" (

^x

⁺

¹

)

x

+

1

( ) ^!

⁰

#

x

"

1 x

+

1

( ) ^!

⁰

A B ! 0

1.!Fall :!A ! 0 " B > 0 # 2.!Fall :!A $ 0 " B < 0 x !

1

x

+1

( ) ^"

⁰

1.!Fall:!x

!

1"0

# x

+1>0

$

2.!Fall:!x

!

1

%

0

# x

+1<0

& x "

1

# x

>

!1 x %

1

# x

<

!1

& L

_x1=

{ x

|

x "

1

} ^L

x2 =

{ x x

<

!1 }

Zusammenfassung : !

L

_x

= L

_x1"

L

_x2

= L

_x1

= { x

|

x

#1$

x <

%1

}

Andere Lösungsmöglichkeit für Ungleichungen 2 Dr. F. Raemy

1 c) ²_3x!5^x+3>4 D_x=!\

{ }

⁵₃

2x + 3

3x ! 5 > 4 !4 " 2x + 3 3x ! 5

( ) ^{! 4 > 0 "} ( ^{2x 3x ! + 5 3} ) ^{! 4 3x} ( ^{! 5} )

3x ! 5

( ) ^{> 0}

" 2x + 3! 12x + 20 3x ! 5

( ) ^{> 0 " 23} ( ^{3x ! ! 10x 5} ) ^{> 0}

1.!Fall !23! 10x > 0 # ( 3x ! 5 ) ^{> 0 2.!Fall 23 ! 10x < 0 #} ( ^{3x ! 5} ) ^{< 0}

" 23 > 10x #3x > 5 23 < 10x #3x < 5

" x < 23

10 #x > 5

3 x > 23

10 #x < 5 3

" L

_x1

= x 5 3 < x < 23

10

$ %

&

' (

) L

_x2

= { }

Zusammenfassung :

! L

_x

= L

_x1

" L

_x2

= L

_x1

= x

5 3

< x <

23

10

# $

%

&

' (

1 d) _x!2²

"

³_x D_x

=

!\ 0;2

{ }

2 x ! 2 " 3

x ! 3

x # 2

x ! 2 ! 3

x " 0 # 2x ! 3 ( x ! 2 )

x ! 2

( ) ^{x " 0}

# 6 ! x

x ! 2

( ) ^{x " 0}

1.Fall !6 ! x $ 0 % ( x ! 2 ) ^{x < 0 & 2.Fall !6 ! x " 0 %} ( ^{x ! 2} ) ^{x > 0}

# !!!! 6 $ x % x ! 2 > 0 % x < 0 !!!! 6 " x % x ! 2 > 0 % x > 0

&! 6 $ x % x ! 2 < 0 % x > 0 &! 6 " x % x ! 2 < 0 % x < 0 ' (

)

*)

# !!!! 6 $ x % x > 2 % x < 0 !!!! 6 " x % x > 2 % x > 0

&! 6 $ x % x < 2 % x > 0 &! 6 " x % x < 2 % x < 0 ' (

)

*)

# !!!!L

_x11

= { } ^!!!!L

x21

= { x x $ 6 }

&!L

_x12

= { x 0 < x < 2 } ^&!L

x22

= { }

' ( )

*)

Zusammenfassung : Lx

=

Lx11

!

Lx12

!

Lx21

!

Lx22

= {

x0

<

x

<

2!"!x

#

6

}

Andere Lösungsmöglichkeit für Ungleichungen 3 Dr. F. Raemy 1 e) ^x+2_x >_x!2^x

D

_x=!\ 0;2

{ }

x + 2 x > x

x ! 2 ! x

x ! 2 " x + 2

x ! x

x ! 2 > 0 " ( x + 2 ) ( x ! 2 ) ! x

²

x x ( ! 2 ) ^{> 0}

" !4

x x ( ! 2 ) ^{> 0 " x x} ( ^{! 2} ) ^< 0

1.Fall!x < 0 # x ! 2 > 0 $ 2.Fall!x > 0 # x ! 2 < 0

" x < 0 # x > 2 x > 0 # x < 2

" L

_x1

= { } ^L

x2

= { x 0 < x < 2 }

Zusammenfassung :

! L

_x

= L

_x1

" L

_x2

= L

_x1

= { x

0

< x <

2

}