Name Vorname
Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach)
Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
Klausur
MA9203 Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2)
Prof. Dr. M. Wolf
23. Juli 2018, 16:00 – 17:30 Uhr
Hörsaal: . . . Reihe: . . . Platz: . . . .
Hinweise:
Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe:7Aufgaben Bearbeitungszeit:90min
Erlaubte Hilfsmittel:einselbsterstelltes DIN A4 Blatt
Bei Multiple-Choice-Aufgaben sindgenaudie zutreffenden Aussagen anzukreuzen.
Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die Resultatein diesen Kästchen berück- sichtigt.
Nur von der Aufsicht auszufüllen:
Hörsaal verlassen von . . . bis . . . .
Vorzeitig abgegeben um . . . . Besondere Bemerkungen:
I II
1
2
3
4
5
6
7
P
I
. . . .Erstkorrektur
II
. . . .Zweitkorrektur
1. Kompakte metrische Räume [10 Punkte]
Sei(M, d)ein kompakter metrischer Raum.
(a) Entscheiden Sie (ohne Begründung), ob die folgenden Aussagen im allgemeinen zutreffen.
Wahr Falsch
Jede Folge inM ist eine Cauchy-Folge.
Jede Folge inM ist beschränkt.
Jede Folge inM besitzt eine konvergente Teilfolge.
Jede nichtleere Teilmenge von M hat einen nichtleeren Rand.
(b) Sei nun die Funktion f :M → R lokal beschränkt, d.h., zu jedem x ∈ M gibt es ein > 0, so dass f|B(x) beschränkt ist. Zeigen Sie, dass f auf M beschränkt ist.
2. Ableitung einer Matrixfunktion [8 Punkte]
Zeigen Sie, dass die Ableitung der Funktion f : Rn×n → R, f(A) = tr(ATA) gegeben ist durch f0(A)(B) = tr(ATB) + tr(BTA).
Hinweis:Die Spur einer MatrixA ist tr(A) =
n
P
i=1
Aii, Produktregel, Kettenregel.
3. Taylorentwicklung [10 Punkte]
Seif :R→Rbeliebig oft stetig differenzierbar. Es sei F :R2 →Rgegeben durch
F(x, y) =
x
Z
0
f(y+t+yt)dt.
(a) Beweisen Sie, dassF stetig differenzierbar ist.
(b) Geben Sie die Taylorentwicklung von F mit dem Ursprung als Entwicklungspunkt bis zur ersten Ordnung explizit an.
4. Gradientenfelder [14 Punkte]
Das VektorfeldF : (0,∞)3→R3 ist gegeben durch
F(x, y, z) =
√x
2yzcos(y2z) y2cos(y2z)
.
(a) Bestätigen Sie, dass rotF = 0 ist.
(b) Warum istF ein Gradientenfeld?
(c) Welchen Wert hat das KurvenintegralR
γ
F(r)·dr für γ : [0,2π]→(0,∞)3 mit γ(t) = (2 + cost,2 + sint,2−cost)?
(d) Bestimmen Sie ein PotentialV von F auf (0,∞)3.
5. Implizite Funktionen [9 Punkte]
Seif(x, y, z) = (x+y+ ez,sinx−y−z)∈R2. (a) Wie lautet die Jacobi-Matrix von f?
Jf(x, y, z) =
(b) Wie lautet die Jacobi-Matrix vonf im Ursprung?
Jf(0,0,0) =
(c) Nach welchen Variablen kann das Gleichungssystem f(x, y, z) = 10
jeweils im Ursprung lokal aufgelöst werden?
(x, y) (y, z) (x, z).
(d) Berechnen Sie für eine der in (c) möglichen Auflösungen die Ableitung der implizit definierten Funktion im Ursprung.
6. Extrema mit Nebenbedingungen [12 Punkte]
Bestimmen Sie mit Hilfe der Methode der Lagrangemultiplikatoren das globale Maximum und Mini- mum der Funktionf(x, y) =x+y2 unter der Nebenbedingung x2+y2 = 1.
7. Gewöhnliche Differentialgleichungen [11 Punkte]
Gegeben ist die Differentialgleichungy0 = 12(y+1y) (∗) und der Anfangswerty(0) = 1.
(a) Bestimmen Sie eine Lösung des Anfangswertproblems mit möglichst großem Definitionsbereich.
(b) Geben Sie eine Funktion F :R2 →R,(x, y)7→ F(x, y), an, die für y6= 0 ein erstes Integral der Differentialgleichung (∗) ist.
(c) Man skizziere das Richtungsfeld der Differentialgleichung (∗), d.h., die durch die Differentialglei- chung vorgegebene Steigung in Abhängigkeit von x und y im Bereich y > 0 und zeichne die Lösung aus (a) ein.
