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TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik

Klausur

Mathematik für Physiker 4 (Analysis 3)

Prof. Dr. M. Wolf

21. Februar 2019, 10:30 – 12:00 Uhr

Hörsaal: . . . Reihe: . . . Platz: . . . .

Hinweise:

Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe:7Aufgaben Bearbeitungszeit:90min

Hilfsmittel: Ein selbsterstelltes Din A4 Blatt

Bei Multiple-Choice-Aufgaben sindgenaudie zutreffenden Aussagen anzukreuzen.

Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die Resultate in diesen K¨astchen berück- sichtigt.

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Vorzeitig abgegeben um . . . . Besondere Bemerkungen:

. . . .

Note

I II

1

2

3

4

5

6

7

P

I

Erstkorrektur

II

Zweitkorrektur

1. Volumenberechnung [8 Punkte]

Bestimmen Sie das Volumen der Menge M :=

(x, y, z)∈R³|x²+y²+z⁴ ≤4 ⊆R³.

2. Fl¨acheninhalt und Kurvenintegral [14 Punkte]

Gegeben sei die Fl¨ache

A:=

(x, y, z)∈R³|z∈[0,1], z= 1−x²−y² , mit einem Normalenfeld, das in die negativez-Richtung zeigt.

(a) Berechnen Sie den Fl¨acheninhalt von A.

(b) Berechnen Sie das Kurvenintegral des Vektorfelds

v(x, y, z) = (2−y, x−1,1) entlang der Randkurve∂A.

3. Fragen zur Funktionentheorie [13 Punkte]

(a) f(z) = 1

(1−z²) sin(z) besitzt eine konvergente Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt 0 auf den Kreisringen

K_0,1(0), K_0,π(0), K_1,π(0), Kπ,∞(0).

(b) Sein∈Nfest undf(z) = _sin(z)¹ n mit der Laurentreihendarstellungf(z) =

∞

P

k=−∞

c_kz^kaufK0,π(0).

Dann gilt

c_−2n² = 0, c−n6= 0, c_k= 0 f¨ur alle k∈N, c−k6= 0 f¨ur alle k∈N, (c) Sei g :B2(0)→ C holomorph mit g(_n¹) = _2n−1²⁺ⁿ f¨ur alle n∈ N. Begr¨unden Sie, warum g(i) = i

ist.

(d) Seig:C→Cholomorph mit |g(z)| ≤ |z|und g(1) = i. Begr¨unden Sie, warumg(i) =−1 ist.

4. Komplexe Kurvenintegrale [12 Punkte]

Gegeben ist die MengeG:={z∈C|Re(z) + Im(z)≤2, Re(z−1)2

+ Im(z−1)2

≤1}.

(a) Skizzieren Sie die MengeG

(b) Geben Sie unter Beachtung der Umlaufrichtung eine Parametrisierung von∂G durch zwei Kur- venst¨ucke an.

γ₁(t) = γ₂(t) =

(c) Berechnen Sie (mit kurzer Begr¨undung) den Wert des Integrals Z

∂G

z³

(2z−1−i)(2z−3−3i)dz.

5. Residuenkalk¨ul [8 Punkte]

Sei f(z) = z

z²+a² mita >0.

(a) Wo in der komplexen Ebene verl¨auft der Hilfsweg zur Berechnung des Integrals

R→∞lim

R

R

−R

f(x)e^−ikxdxf¨ur k >0?

In der rechten Halbebene. In der oberen Halbebene.

In der linken Halbebene. In der unteren Halbebene.

(b) Welchen Wert hat lim

R→∞

R

R

−R

f(x)e^−ikxdxf¨ur k >0?

(c) Welchen Wert hat lim

R→∞

R

R

−R

f(x)e^−ikxdx f¨ur k <0?

6. Fouriertransformation in S(R) [7 Punkte]

Seif ∈ S(R) und damit auchfb∈ S(R).

(a) Zeigen Sie elementar, dass cf⁰(k) = ikfb(k) f¨ur alle k∈R gilt.

(b) Berechnen Siebh f¨ur h(x) =xf⁰(x).

Hinweis:F¨ur g(x) =xf(x) ist bekannterweise bg(k) = i(f)b⁰(k).

7. Hilbertraum [14 Punkte]

Die Funktionenχ_[a,b]∈L²(R) sind f¨ur a < b gegeben durchχ_[a,b](x) =

(1 f¨ur x∈[a, b], 0 sonst.

(a) Zeigen Sie, dass (χ_[n,n+1])n∈Z eine orthonormale Familie aber keine ONB von L²(R) ist.

(b) Seiψ∈L²(R). Zeigen Sie, dass R

[a,b]ψ(x)dx ≤√

b−a R

[a,b]|ψ(x)|²dx¹₂ ist.

Hinweis:Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

(c) Zeigen Sie, dass f¨ur jedesψ∈L²(R) gilt: lim

n→∞

R

[n,n+1]

ψ(x)dx= 0.