Übungsaufgaben zu Kapitel 5 ... 1
Aufgabe 101 ... 1
Aufgabe 102 ... 2
Aufgabe 103 ... 2
Aufgabe 104 ... 2
Aufgabe 105 ... 3
Aufgabe 106 ... 3
Aufgabe 107 ... 3
Aufgabe 108 ... 4
Aufgabe 109 ... 4
Aufgabe 110 ... 4
Aufgabe 111 ... 4
Aufgabe 112 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004) ... 4
Aufgabe 113 ... 5
Aufgabe 114 ... 5
Aufgabe 115 ... 5
Aufgabe 116 (Klausuraufgabe Sommersemester 2008) ... 5
Aufgabe 117 ... 6
Aufgabe 118 ... 6
Aufgabe 119 ... 6
Aufgabe 120 ... 7
Aufgabe 121 ... 7
Aufgabe 122 ... 7
Aufgabe 123 ... 7
Aufgabe 124 ... 8
Aufgabe 125 ... 8
Übungsaufgaben zu Kapitel 5
Aufgabe 101
Bei der Herstellung von Schokoladentafeln interessiert
a) das durchschnittliche Abfüllgewicht einer Tafel Schokolade.
b) die Varianz des Gewichtes einer Schokoladentafel.
c) der Anteil p der Schokoladentafeln unter 100 g.
Aus diesem Grund wird aus der laufenden Produktion die folgende Stichprobe für Abfüllgewichte gezogen:
100, 97, 101, 96, 98, 102, 96, 100, 101, 98
Berechnen Sie einen Schätzer für die gefragten Größen aus der Stichprobe.
Aufgabe 102
Bei der Herstellung von Schokoladentafeln sei das Verpackungsgewicht X normalverteilt mit Standardabweichung σ = 2 g. Der Sollwert der Tafeln liegt bei 100 g.
Der Hersteller möchte weder haben, dass µ < 100 g (dann müsste er Reklamationen der Verbraucher befürchten), noch dass µ > 100 g (unnötige Verschwendung und damit finanzielle Verluste).
Eine Stichprobe vom Umfang n = 10 ergibt ein arithmetisches Mittel von x = 98,9 g.
a) In einem ersten Schritt soll davon ausgegangen werden, dass der unbekannte
Erwartungswert gleich dem Sollwert 100g ist. Welche Hypothesen müssen aufgestellt werden?
b) Legen Sie unter der Annahme, dass die Hypothese H0 zutrifft, einen symmetrischen Zufallsstreubereich um µ = 100 g fest, in dem x mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt.
c) Kann die Hypothese µ = 100 g bei der vorgegebenen Stichprobe verworfen werden?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit die Hypothese µ = 100 g zu verwerfen, obwohl sie tatsächlich zutrifft?
e) Wie lauten Nullhypothese H0, Alternativhypothese H1, Zufallsstreubereich und Ablehnungsbereich, wenn der Hersteller überprüfen will, ob der Erwartungswert der Schokoladentafeln größer oder gleich 100 g ist?
f) Kann an der Nullhypothese µ ≥ 100g bei der vorliegenden Stichprobe festgehalten werden?
Aufgabe 103
Bei der Fertigung eines bestimmten Typs von Wellen ist die Länge einer Welle (in mm) normalverteilt mit Varianz σ2 =0,02. Die Längenmessung bei 20 Wellen ergab folgende Werte:
1-mal 239,65 1-mal 239,85 3-mal 239,90 6-mal 240,00 3-mal 240,10 2-mal 240,15 1-mal 240,20 1-mal 240,25 2-mal 240,30
Lässt sich bei Signifikanzniveau α =0,05 eine Abweichung vom Sollwert 240 mm nachweisen?
Aufgabe 104
Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt ist mit Varianz
26 ,
2=0
σ . Eine Stichprobe von 500 Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von 03
,
=54
x mm.
0 µ=
%
=1 α .
Aufgabe 105
In einem chemischen Prozess wird über eine Dosiervorrichtung ein bestimmter Stoff zugeführt. Die Stoffmenge war dabei in der Vergangenheit normalverteilt mit
Erwartungswert 100 g und Standardabweichung 2 g. Der Produktionsleiter meint, dass die Maschine neu adjustiert werden muss, da sie in jüngster Zeit im Mittel zu große Mengen zuführt. Er lässt 10-mal die zugeführten Stoffmengen nachwiegen und erhält die folgenden Werte (in g) gemeldet:
99,7 102,6 99,3 100,4 100,5
102,2 105,5 98,2 102,6 102,7
a) Überprüfen Sie die Behauptung des Produktionsleiters mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 5 %. (Gehen Sie dabei davon aus, dass sich die
Standardabweichung nicht geändert hat.)
b) Wie wäre die Testentscheidung ausgefallen, wenn das Signifikanzniveau 1 % betragen hätte?
Aufgabe 106
a) Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Die Füllmengen seien normalverteilt; die Maschinengenauigkeit betrage σ2 =15. Eine konkrete Stichprobe ergab folgende 15 Messwerte (in g):
997 991 1004 999 1000 998 999 1000 996 999 999 993 999 999 1000
Weicht der Erwartungswert µ der Füllmengen der Maschine signifikant von 1000 g ab? (Signifikanzniveau α =0,05.)
b) Bei einer anderen Zuckerabfüllmaschine ergab sich bei einer Stichprobe vom Umfang 100 ein arithmetischer Mittelwert x=1001,11 [g]. Auch hier seien die Füllmengen normalverteilt mit Varianz σ2 =15. Auf dem Signifikanzniveau α=5% ist zu überprüfen, ob die mittlere Füllmenge größer als 1000 g ist.
Aufgabe 107
Eine Maschine füllt Limonade in 0,33-Liter-Dosen. Eine Stichprobe vom Umfang n=10 ergab folgende Füllmengen (in ml):
327 327 325 328 333 324 329 329 331 320.
Lässt sich auf Basis dieser Stichprobe zum Signifikanzniveau 1 % ein Unterschreiten der Sollfüllmenge bestätigen? Gehen Sie von der Annahme aus, dass die Füllmengen
unabhängig normalverteilt sind.
Aufgabe 108
Die Zugfestigkeit [in N] der Drähte zweier Hersteller soll verglichen werden. Es wurden daher die Zugfestigkeitswerte von je 8 Drahtstücken gemessen. Folgende Werte ergaben sich:
Hersteller A: 250 243 247 254 246 241 243 249 Hersteller B: 240 239 243 245 237 244 240 241
Sind die Drähte der beiden Hersteller gleich zugfest? Führen Sie einen geeigneten Signifikanztest zum Signifikanzniveau 5% durch unter der Annahme, dass die Zugfestigkeit beider Hersteller normalverteilt ist mit gleicher Standardabweichung σ.
Aufgabe 109
Bei der Analyse zweier Produktvarianten ergaben sich über 8 Wochen hinweg die folgenden Verkaufszahlen.
Variante A: 917 750 845 908 799 878 885 876 Variante B: 820 834 900 780 848 813 852 792
Wenn die Verkaufszahlen als normalverteilt angenommen werden: Bedeutet das, dass die Variante A signifikant höhere wöchentliche Verkaufszahlen aufweist, oder liegen die Unterschiede noch in dem vom Zufall bedingten Rahmen? (Wählen Sie als
Signifikanzniveau 5 %.)
Aufgabe 110
In einer Gemeinde hatte eine Partei in der Vergangenheit einen Stimmenanteil von 30 %.
Bei der letzten Umfrage haben sich allerdings nur 32 von 120 befragten Personen für diese Partei ausgesprochen. Spricht das (bei Signifikanzniveau α =0,01) für eine Änderung des Stimmenanteils?
Aufgabe 111
Der Benzinverbrauch eines neuen Kraftfahrzeuges soll getestet werden. Für 8 untersuchte Fahrzeuge ergeben sich folgende Messwerte in Liter / 100 km:
3,8 3,4 3,5 4,1 3,7 4,0 3,5 3,7
a) Untersuchen Sie mit einem geeigneten statistischen Test, ob behauptet werden kann, der Verbrauch liege unter 4,2 Liter / 100 km.
b) Unter welcher zusätzlichen Annahme haben Sie den Test durchgeführt?
Aufgabe 112 (Klausuraufgabe Sommersemester 2004)
An einer Hochschule wurde in zwei Kursen die gleiche Klausur geschrieben.
Es ergaben sich folgende Werte:
Kurs A: Anzahl der Teilnehmer 39
arithmetischer Mittelwert der erzielten Punktzahlen 39,6667 empirische Standardabweichung der Punktzahlen 8,4809
arithmetischer Mittelwert der erzielten Punktzahlen 34,2222 empirische Standardabweichung der Punktzahlen 10,1386 a) Kann man mit diesen Daten nachweisen, dass die mittlere Punktzahl in Kurs A größer
ist als in Kurs B? Führen Sie zur Beantwortung dieser Frage einen geeigneten Test zum Signifikanzniveau α =5% durch.
b) Welche statistischen Annahmen liegen dem von Ihnen durchgeführten Test zugrunde?
Aufgabe 113
Bei der Massenproduktion eines Artikels treten immer wieder unbrauchbare Stücke auf.
Der Produzent versichert, dass ihr Anteil p nicht mehr als 2 % beträgt. Eine Stichprobe vom Umfang n = 5000 ergab 120 unbrauchbare Artikel. Formulieren Sie H und 0 H . 1 Kann man H zum Niveau α = 0,05 ablehnen? Zum Niveau α = 0,01? 0
Aufgabe 114
Dem Hersteller eines Waschmittels wird von einer Verbraucherorganisation vorgeworfen 3-kg Packungen in den Handel zu bringen, deren Inhalt wesentlich unter dem
Nenngewicht liegt. Der Hersteller bestreitet dies. Zur Überprüfung kauft die
Verbraucherorganisation 25 Packungen und stellt jeweils deren Nettogewicht fest. Dabei ergibt sich ein arithmetisches Mittel von x=2,96 kg und eine empirische Varianz von
01 ,
2 =0
s kg2.
Welchen Stichprobentest sollte die Verbraucherorganisation bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % aufstellen?
Wie lautet das Testergebnis?
Aufgabe 115
Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit bekannter Varianz σ2 =20 (also )
20 , (
~ N µ
X ). Es sollen zweiseitige (= nach oben und unten beschränkte) Intervalle berechnet werden.
a) Es ist µ =1000 bekannt. In welchem Intervall liegt das arithmetische Mittel x einer Stichprobe vom Umfang 10 mit Wahrscheinlichkeit 95 %?
b) µ ist nicht bekannt. Aber angenommen, es wäre µ =1000 (Nullhypothese H0), in welchem Intervall liegen dann die Mittelwerte x aus Stichproben vom Umfang
=10
n mit Wahrscheinlichkeit 95 %?
c) µ ist nicht bekannt. Bei einer Stichprobe vom Umfang n=10 ergab sich 74
,
=998
x .
In welchem Intervall könnte µ liegen?
Aufgabe 116 (Klausuraufgabe Sommersemester 2008)
Ein Hersteller von Kühlschränken hofft, durch eine technische Verbesserung den Energieverbrauch reduziert zu haben. Bei einer Stichprobe von 10 Geräten der alten Technik wurde folgender Energieverbrauch gemessen (jeweils in kWh/Jahr):
172 178 173 177 174 177 170 174 170 175 Bei einer Stichprobe von 8 Geräten mit der verbesserten Technik wurden folgende Werte gemessen:
166 152 160 164 171 163 163 169
a) Überprüfen Sie mit einem geeigneten Test zum Signifikanzniveau 0,05, ob die technische Verbesserung tatsächlich den Energieverbrauch verringert hat.
Gehen Sie dabei davon aus, dass die Messwerte Realisierungen unabhängiger Normalverteilungen sind und dass sich die Varianz der Normalverteilung durch die technische Verbesserung nicht geändert hat.
b) Kann man auf Basis dieser Daten bei Signifikanzniveau 0,05 sogar behaupten, der Energieverbrauch habe sich um 10 kWh/Jahr verringert? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 117
Die Wirkstoffmenge [in mg] bei einem Medikament sei normalverteilt. Eine Stichprobe vom Umfang n=10 ergab die Werte
51,3 49,9 49,0 50,1 50,7 50,0 51,4 49,5 48,1 48,9 a) Berechnen Sie den zweiseitigen 99 %-Vertrauensbereich für die mittlere
Wirkstoffmenge.
b) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99 %-Vertrauensbereiche für die mittlere Wirkstoffmenge.
c) Für welche Fragestellungen verwendet man welchen der drei Vertrauensbereiche?
Aufgabe 118
Bei einer Umfrage unter 1000 (repräsentativ ausgewählten) Personen gaben 71 an, bei der nächsten Wahl für die Partei X stimmen zu wollen.
Wie groß ist der Stimmenanteil p, den die Partei bei der Wahl erzielen wird, bei Vertrauenswahrscheinlichkeit 99 % mindestens?
Aufgabe 119
Ein Drehautomat fertigt Bolzen. Es ist bekannt, dass der Durchmesser der von dem Automaten gefertigten Bolzen (gemessen in mm) normalverteilt ist mit Varianz
26 ,
2=0
σ . Eine Stichprobe von 100 Bolzen ergab einen mittleren Durchmesser von 55
,
=54
x mm.
a) Berechnen Sie den zweiseitigen 99%-Vertrauensbereich für den unbekannten Erwartungswert µ der Bolzendurchmesser.
b) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99%-Vertrauensbereiche für den unbekannten Erwartungswert µ der Bolzendurchmesser.
Eine Maschine füllt Zucker in Packungen. Beim Nachwiegen von 20 Packungen ergaben sich folgende Werte (in g):
2-mal 996,5 1-mal 997 2-mal 997,5 1-mal 998 2-mal 998,5 4-mal 999 1-mal 1000 3-mal 1000,5 1-mal 1001 1-mal 1002,5 1-mal 1003 1-mal 1004 Die Füllmengen können als normalverteilt angesehen werden. Bestimmen Sie den zweiseitigen Vertrauensbereich für die mittlere Füllmenge der Maschine zum Vertrauensniveau 1−α =0,95.
Aufgabe 121
Bei einem in der Entwicklung befindlichen neuen Motortyp wurde ein wichtiges Konstruktionsmerkmal geändert. Es liegen die folgenden Messwerte für den Benzinverbrauch (in Liter pro 100 km) vor.
Vor der Änderung:
Nach der Änderung:
a) Berechnen Sie ein zweiseitiges 99%-Vertrauensintervall für die Benzinersparnis, die die Konstruktionsänderung bewirkt hat.
b) Welche Annahmen liegen Ihrer Rechnung aus a) zugrunde?
Aufgabe 122
Aus einem laufenden Produktionsprozess wird eine Stichprobe von 800 Einheiten gezogen, um zur Vertrauenswahrscheinlichkeit 95 % einen Vertrauensbereich für die Ausschussquote p zu ermitteln.
a) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen zweiseitigen Vertrauensbereich für p.
b) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen einseitigen nach oben begrenzten Vertrauensbereich für p.
c) Die Stichprobe enthält 6 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen einseitigen nach unten begrenzten Vertrauensbereich für p.
d) Die Stichprobe enthält 3 Ausschussstücke. Berechnen Sie einen zweiseitigen Vertrauensbereich für p.
Aufgabe 123
Vier Maschinen füllen Zucker in 1000-g-Packungen. Die Füllmengen [in g] von Maschine i seien N(µi,σi2)-verteilt, dabei sei:
µi = mittlere Abfüllmenge der Maschine i;
σi2 = Abfüllgenauigkeit der Maschine i.
4,9 4,6 4,8 4,8 4,6
4,4 4,9 4,5 4,5 4,7
4,1 4,2 4,4 4,5
4,5 4,3 4,4 4,4
Maschine 1: Gegeben: µ1=1004,9 g, σ12 =4 [g²]
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung weniger als
1000 g enthält?
Maschine 2: Gegeben: µ2 =1003,7 g, σ22 =4 [g²]
Welche Füllmenge erreichen 99 % der Packungen mindestens?
Maschine 3: µ3 ist unbekannt. Eine Stichprobe vom Umfang n=100 lieferte 3
,
=1001
x g.
Kann man damit nachweisen, dass µ3 >1000 g gilt?
Maschine 4: µ4 ist unbekannt. Eine Stichprobe vom Umfang n=100 lieferte 5
,
=1002
x g.
Gesucht ist ein nach unten begrenztes Intervall, das das unbekannte µ4 enthält.
a) Was ist bei Maschine 1, 2, 3, 4 jeweils gesucht?
b) Bei manchen der Maschinen kann man das, was gesucht ist, noch nicht ausrechnen; es fehlen noch Angaben.
b1) Bei welchen der vier Fragen fehlen noch Angaben?
b2) Welche Angaben fehlen?
c) Führen Sie die Rechnungen durch.
Aufgabe 124
Eine Gruppe G1 von n1=100 Versuchspersonen wird mit einem neuen Medikament behandelt, welches den Blutdruck senken soll. Eine Vergleichsgruppe G2 mit ebenfalls n2=102 Personen wird nicht behandelt und dient nur zur Kontrolle.
Es wurde bei allen Personen der Blutdruck in mmHg gemessen. Folgende Werte wurden daraus errechnet (in mmHg):
84 ,
1 =114
x ; x2 =122,13; s1 =10,5; s2 =10,9.
Kann man aus diesem Versuch schließen, dass das Medikament tatsächlich die beabsich- tigte Wirkung hat, oder beruht der kleinere Durchschnitt in G1 auf Zufall, weil eben zu- fällig viele Personen mit ohnehin niedrigem Blutdruck in G1 gelangt sind?
Man wähle 1-α = 0,99
Aufgabe 125
Bei einer Umfrage unter 500 Wahlberechtigten wird gefragt: „Welche Partei würden Sie wählen, wenn am Sonntag Wahl wäre?“. Von den 500 ausgewählten Personen geben 60 an, dass sie die Partei XY wählen. Zwischen welchen Prozentzahlen bewegt sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% der tatsächliche Stimmenanteil der Partei XY?
