Technische Universit¨ at Berlin
Fakult¨at II – Institut f¨ur Mathematik SS 02
Prof. Frank 24.07.2002
Juli – Klausur (Rechenteil)
Integraltransformationen und partielle Differentialgleichungen
Name: . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . Studiengang: . . . . Ich w¨unsche den Aushang des Klausurgebnisses
unter Angabe meiner Matr.–Nr. (ohne Namen)
am Schwarzen Brett und im WWW. . . .
Unterschrift
Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen ist nur die Laplacetabelle zugelassen. Taschenrechner und Formelsammlungen sind nicht zugelassen. Die L¨osungen sind inReinschriftauf A4 Bl¨attern abzugeben. Mit Bleistift geschrie- bene Klausuren k¨onnen nicht gewertet werden.
Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer den vollst¨andigen Rechenweg an.
Die Bearbeitungszeit betr¨agt eine Stunde.
Die Gesamtklausur ist mit 32 von 80 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 10 von 40 Punkten erreicht werden.
Korrektur
1 2 3 4 Σ
1. Aufgabe
10 Punkte L¨osen Sie mit Hilfe der Laplacetransformation das folgende DGL-System~ y0 =
1 2
0 1
~
y , ~y(0) =
1
1
.
2. Aufgabe
10 PunkteBerechnen Sie mit Hilfe der Z-Transformation die L¨osung der Differenzenglei- chung
un+2−2un+1+un= 0, u0 = 1, u1 = 3.
3. Aufgabe
10 PunkteGegeben ist die partielle Differentialgleichung:
ut=uxx−u mit dem Anfangswert u(x,0) =e−|x|, x∈R. Berechnen Sie bez¨uglich x die Fourier-Transformation von u(x, t) d.h.
F(ω, t) :=F[u(x, t)](ω).
Hinweis: F[e−|x|](ω) = 1+ω2 2.
4. Aufgabe
10 PunkteL¨osen Sie auf [0, π]×[0,∞[ die partielle Differentialgleichung ut−uxx = 0
mit dem Anfangswertu(x,0) = 13 sin(44x)−6 sin(4x) +πsin(x) und den Rand- werten u(0, t) = 0 , u(π, t) = 0.