Satz 75

Satz 75

Eine SpracheL⊆Σ^∗ ist genau dann durch einen regul¨aren Ausdruck darstellbar, wenn sie regul¨ar ist.

Beweis:

“=⇒”:

Sei alsoL=L(γ).

Wir zeigen:∃ NFA N mitL=L(N)mit Hilfe struktureller Induktion.

Induktionsanfang:Fallsγ =∅,γ =, oderγ =a∈Σ, so folgt die Behauptung unmittelbar.

Induktionsschritt:

γ=αβ:

nach Induktionsannahme∃ NFA Nα und N_β mit L(Nα) =L(α) und L(Nβ) =L(β).

q0 qα,0 qα,f qβ,0 qβ,f q_f

Nα Nβ

N_γ:

Induktionsschritt (Forts.):

γ= (α|β):

nach Induktionsannahme∃ NFA Nα und N_β mit L(Nα) =L(α) und L(N_β) =L(β).

q₀

qα,0 qα,f

qβ,0 qβ,f

q_f

N_β

Nγ:

Induktionsschritt (Forts.):

γ= (α)^∗:

nach Induktionsannahme∃ NFA Nα mit L(Nα) =L(α).

q0 qα,0 qα,f q_f Nα

N_γ:

“⇐=”:

SeiM = (Q,Σ, δ, q0, F) ein deterministischer endlicher Automat.

Wir zeigen: es gibt einen regul¨aren Ausdruck γ mitL(M) =L(γ).

SeiQ={q₀, . . . , q_n}. Wir setzen

R_ij^k :={w∈Σ^∗; die Eingabe w ¨uberf¨uhrt den im Zustand q_i gestarteten Automaten in den Zustand q_j, wobei alle zwischendurch durchlaufenen Zust¨ande einen Index kleiner gleichkhaben}

Behauptung:F¨ur alle i, j∈ {0, . . . , n}und alle k∈ {−1,0,1, . . . , n}gilt:

Es gibt einen regul¨aren Ausdruck α^k_ij mit L(α^k_ij) =R^k_ij.

Bew.:

Induktion ¨uber k:

k=−1: Hier gilt

R⁻¹_ij :=

({a∈Σ; δ(q_i, a) =q_j}, fallsi6=j {a∈Σ; δ(qi, a) =qj} ∪ {}, fallsi=j R⁻¹_ij ist also endlich und l¨asst sich daher durch einen regul¨aren Ausdruckα⁻¹_ij beschreiben.

Bew.:

Induktion ¨uber k:

k⇒k+ 1: Hier gilt

R^k+1_ij =R^k_ij∪R^k_{i k+1}(R^k_k+1k+1)^∗R^k_k+1j α^k+1_ij = (α^k_ij |α^k_{i k+1}(α^k_k+1k+1)^∗α^k_k+1j) Somit gilt:L(M) =L((αⁿ_0f

1 |αⁿ_0f

2 | · · · |αⁿ_0fr)), wobeif1, . . . , fr

die Indizes der Endzust¨ande seien.

(Satz 75)

Stephen Cole Kleene

Geboren am 5. Januar 1909 in Hartford, Connecticut

Gestorben am 25. Januar 1994 in Madison, Wisconsin

US-amerikanischer Mathematiker und Logiker Mitbegründer der theoretischen Informatik

– Automatentheorie – Kleenesche Hülle A*

– Arbeiten zum Lambda-Kalkül von A. Church 1934 Promotion in Mathematik an der Princeton University

– Doktorvater: Alonzo Church (1903-1995)