Die Quellengleichung für das elektrische Feld
Q=σdA
D=ε
0ε
rE
Die Fläche dA sei mit einer Ladung Q (Flächenladungsdichte σ) belegt. Sie erzeugt ein elektrisches Feld in der Richtung dl/dl resp.
eine Flussdichte D, die sich zu D=ε0εrE ergibt.
dl l D d
r r σ
=
ρ
=
=
=
∇
= σ
∇
= dV
dQ dA
Q dl
d dl
l d dA
Q dl
l D d
div
r r r r
r
dl } d dl
l ] d dl
l d dl [d dl
l
{ ∇ d = ∗ =
r r
r r
ρ
= D div r
Hierin bedeutet ρ(x,y,z) die Volumenladungsdichte dQ/dV.
Neben der differentiellen Formulierung der Quellengleichung existiert eine integrale – der Gauß’sche Satz:
Der Integralsatz von Gauß – Ostrogradski
Für beliebige Vektorfelder gilt:
∫
∫ =
S V
dV D div A
d
D r r r
r
V ist das von der geschlossenen Fläche S eingeschlossene Volumen. Wegen
ρ
= D div r
erhält man mit
Q dV
V
=
∫ ρ
die Beziehung
Q A
d D
S
∫
rr r =
Der elektrische Fluss, der aus einer beliebigen in sich geschlossenen Fläche quillt, ist proportional zu der Gesamtladung Q, die innerhalb dieser Fläche sitzt.