Gregor Ballier
Abbildung und Analyse von Fehlstellen in Betonbauteilen mittels Ultraschall
unter Berücksichtigung von Materialinhomogenitäten
Diese Arbeit befasst sich mit der Lösung des direkten und inversen Streuproblems im Anwendungsbereich der zerstörungsfreien Prüfungen von Materialien mittels Ultra- schallecho-Verfahren. Am Modell eines Spannbetonbauteils werden mit Hilfe numerischer Methoden “Messdaten” erzeugt.
Diese “Messdaten” werden mit verschiedenen Inversionsalgo- rithmen unter Berücksichtigung von Materialinhomogenitäten analysiert und zur Abbildung von Materialfehlern verwendet.
Dazu werden u.a. der “konventionelle” Inversionsalgorithmus Synthetic Aperture Focusing Technique und die One-Way Wave-Equation-Methode vorgestellt. Die Algorithmen werden anhand des Impuls-Echo- und Linear-Array-Messverfahrens für akustische “Messdaten” gegenübergestellt. Der Vergleich der Ergebnisse zeigt die Vor- und Nachteile beider Verfahren auf.
Die Ergebnisse der SAFT- und Phasenauswertung für verschiedene Litzen- und Lufteinschlusskonstellationen veranschaulichen, wie schwierig ein Lufteinschluss in einem Spannbetonbauteil zu identifizieren ist.
Gregor BallierAbbildung und Analyse von Fehlstellen in Betonbauteilen mittels Ultraschallunter Berücksichtigung von Materialinhomogenitäten
ISBN 978-3-86219-936-5
Gregor Ballier
Abbildung und Analyse von Fehlstellen in Betonbauteilen mittels Ultraschall
unter Berücksichtigung von Materialinhomogenitäten
kassel university
press
angenommen.
Erster Gutachter: Prof. Dr. rer. nat. B. Witzigmann Zweiter Gutachter: Prof. Dr.-Ing. C. Große
Weitere Mitlgieder der Prüfungskommission:
Professor Dr.-Ing. P. Lehmann Professor Dr.-Ing. A. Bangert
Tag der mündlichen Prüfung 27. November 2014
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Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.dnb.de abrufbar
Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2014 ISBN 978-3-86219-936-5 (print) ISBN 978-3-86219-937-2 (e-book)
URN: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:0002-39372
© 2015, kassel university press GmbH, Kassel www.upress.uni-kassel.de/
der Universität Kassel unter der wissenschaftlichen Betreuung von Prof. Dr. rer. nat. Karl- Jörg Langenberg.
Herrn Prof. Dr. rer. nat. Bernd Witzigmann danke ich für die Möglichkeit, meine Dis- sertation an seinem Lehrstuhl Theorie der Elektrotechnik und Photonik durch führen zu können und ebenso danke ich für die Übernahme des Referats, nachdem Prof. Dr. rer. nat.
Langenberg verstorben ist.
Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Christian Große von der TU München danke ich für die Über- nahme des Korreferats.
Danken möchte ich allen Mitarbeitern des Lehrstuhls für die jahrelange konstruktive und kollegiale Zusammenarbeit.
Herrn Martin Theiß danke ich für die Korrektur meines Manuskripts.
Besonders danken möchte ich meinen Eltern für die Unterstützung während meiner Dok- torandenzeit.
Kassel, den 30. Juni 2014 Gregor Ballier
Inhaltsverzeichnis
Kurzzusammenfassung 1
Abstract 3
Einleitung 5
1 Grundlagen 9
1.1 Akustische Wellenausbreitung . . . 9
1.2 Elastische Wellenausbreitung . . . 12
1.3 Beschreibung der elastischen Wellenausbreitung durch das skalare Potential 15 1.4 Übergangs- und Randbedingungen . . . 16
1.5 Direktes und inverses Streuproblem . . . 17
1.6 Lösung skalarer Quellenfelder mittels Green’scher Funktion . . . 20
1.7 Das Huygens’sche Prinzip . . . 21
2 Direktes Streuproblem 25 2.1 Streuung einer ebenen Welle am Kreiszylinder . . . 25
2.2 Bestimmung der Streukoeffizienten . . . 27
2.3 Spektrum ebener Wellen . . . 35
2.4 Cagniard-de Hoop Methode . . . 40
2.4.1 Separierte Wellenanteile . . . 42
3 Numerische Methoden 47 3.1 AFIT . . . 47
3.1.1 Räumliche Diskretisierung von AFIT . . . 48
3.1.2 Explizite Zeitdiskretisierung . . . 52
3.1.3 Festlegung der räumlichen Diskretisierung . . . 54
3.1.4 Stabilität . . . 55
3.1.5 Validierung von AFIT . . . 55
3.2 One-Way Wave-Equation . . . 59
3.2.2 Grundgleichungen der akustischen Wellenausbreitung . . . 62
3.2.3 2D One-Way Wave-Equation . . . 66
3.2.4 Rationale Approximation des One-Way Wellenoperators . . . 66
3.2.5 Slowness Operator im Ortsbereich . . . 72
3.2.6 Diskretisierung der transversalen Richtung . . . 74
3.2.7 Propagator Matrix . . . 77
3.2.8 Vergleich zwischen den Thiele-Approximationen und der analyti- schen Lösung . . . 78
3.3 Akustisch anisotrope Wellenausbreitung . . . 81
4 Inverses Streuproblem 91 4.1 Verallgemeinerte Holographie . . . 92
4.1.1 FT-SAFT . . . 93
4.1.2 SAFT . . . 96
4.1.3 Realisierung der verallgemeinerten Holographie durch numerische Methoden . . . 99
4.1.4 Vergleich der Methoden . . . 100
5 Ergebnisse 103 5.1 Messprinzipien . . . 105
5.1.1 Vergleich der Messverfahren anhand eines einfachen kreiszylindri- schen penetrablen Streuers . . . 107
5.1.2 Einfluss der schlaffen Bewehrung . . . 108
5.2 Untersuchung unterschiedlicher Hüllrohrkonstellationen . . . 112
5.2.1 Skalare Betrachtung vonF2,F3,F10undF11 . . . 116
5.3 Phasenauswertung . . . 119
5.3.1 Phasenauswertung am leeren Hüllrohr . . . 120
5.3.2 Phasenauswertung für das skalare LA-ExperimentF11. . . 121
Zusammenfassung 125 A Cagniard-de Hoop 129 A.1 Einarbeitung der Randbedingungen am Beispiel der Punktquelle am elas- tischen Halbraum . . . 129
A.2 Auswertung der Druck- und Scherwelle . . . 135
A.3 Auswertung der Kopfwelle (Umwegintegral) . . . 136
Literaturverzeichnis 140
Abbildungsverzeichnis
1 Aufbau einer Brückenkomponente aus Spannbeton . . . 6
1.1 Direktes und inverses Streuproblem . . . 18
1.2 Inverses Streuproblem . . . 20
1.3 Huygens Prinzip . . . 22
1.4 RC2-Impuls . . . 23
2.1 Ebene Welle am kreiszylindrischen Streuer. . . 27
2.2 Spektrum der Streukoeffizienten . . . 30
2.3 Abklingverhalten der Streukoeffizienten. . . 31
2.4 Wellenbilder am kreiszylindrischen Streuer. . . 32
2.5 Messpunkte für den Zeitverlauf des Streuvorganges am zylindrischen Streuer. 33 2.6 Zeitverläufe für den ideal schallweichen kreiszylindrischen Streuer. . . 33
2.7 Zeitverläufe für den ideal schallharten kreiszylindrischen Streuer. . . 34
2.8 Zeitverläufe am penetrablen kreiszylindrischen Streuer, mit dem Wellen- zahlverhältniski/ka=0.8. . . 34
2.9 Zeitverläufe am penetrablen kreiszylindrischen Streuer, mit dem Wellen- zahlverhältniski/ka=1.2. . . 35
2.10 Spektrallinie einer ebenen Wellen. . . 38
2.11 LTI-Filter . . . 38
2.12 Flussdiagramm der spektralen Zerlegung nach ebenen Wellen für ein ho- mogenes Medium. . . 39
2.13 Transport einer quasi ebenen Welle aus der Ebenez = 0 m über einen penetrablen kreiszylinderförmigen Streuer mit einem Wellenzahlverhältnis vonki/ka=1.25. . . 40
2.14 Wellenfronten am elastischen Halbraum . . . 42
2.15 Separierte Wellenfronten . . . 43
2.16 Sprungantworten fürϑ=50◦ . . . 44
2.17 Sprungantworten fürϑ=85◦ . . . 44
3.1 Zuordnung der diskreten akustischen Feldgrößen . . . 50
3.3 Der zeitliche Vergleich des Streuvorgangs am kreiszylindrischen Streuer. . . 56
3.4 Differenz zwischen der analytischen und der numerischen Methode . . . . 57
3.5 Vergleich zwischen der Dirichlet Randbedingung und der PML . . . 58
3.6 Vergleich zwischen einer OWWE- und AFIT-Simulation . . . 60
3.7 Zerlegung des Volumens für die OWWE . . . 61
3.8 Exakte Dispersionskurve und die parabolische Dispersionskurve . . . 67
3.9 Wellenfronten der exakten Lösung und der parabolischen Näherung . . . . 68
3.10 Vergleich der exakten Slowness mit der parabolischen, dritten, fünften und siebten TA . . . 70
3.11 Wellenfront der dritten, dritten optimierten, fünften und siebten TA . . . 71
3.12 Differenz zwischen der exakten und der approximierten slowness . . . 72
3.13 Verstärkungs- und Dämpfungsfaktor . . . 73
3.14 Wellenbilder am kreiszylindrischen Streuer. . . 79
3.15 Der zeitliche Vergleich des Streuvorgangs am kreiszylindrischen Streuer. . . 80
3.16 Exakte und approximierte Phasengeschwindigkeit eines TI-Mediums . . . . 89
4.1 Diffraktionskurve eines Punktstreuers . . . 97
4.2 Die Voxel- und A-Scan-orientierte Variante von SAFT . . . 98
4.3 Inversion durch AFIT . . . 99
4.4 Vergleich der Inversionsmethoden . . . 101
5.1 Aufbau einer Brückenkomponente aus Spannbeton . . . 104
5.2 Spannbetonbrückentypen . . . 105
5.3 Messprinzipien . . . 106
5.4 Linear-Array-Prinzip . . . 106
5.5 Vergleich zwischen der Linear-Array und monostatischen Messung. Sowie der Einfluss der Bewehrung bei der Rückausbreitung. . . 109
5.6 Vergrößerung des Hüllrohres aus der Abbildung 5.5. . . 110
5.7 Vergrößerung des Hüllrohres für den Fall der schlaffen Bewehrung. . . 111
5.8 Geometrie zur Erzeugung von EFIT-“Messdaten“ . . . 113
5.9 SAFT Rekonstruktion . . . 114
5.10 Inhomogene OWWE Rückausbreitung. . . 115
5.11 Vergleich zwischen der Linear-Array und monostatischen OWWE Rück- ausbreitung fürF2ohne Lufteinschluss undF3mit Lufteinschluss . . . 117
5.12 Vergleich zwischen der Linear-Array und monostatischen OWWE Rück- ausbreitung fürF10ohne Lufteinschluss undF11mit Lufteinschluss . . . . 118
5.13 Phasenauswertung . . . 119
5.14 Phasenauswertung am leeren Hüllrohr in unterschiedlichen Tiefen . . . 120
mörtelgefülltes Hüllrohr bei der Rückausbreitung . . . 122
5.16 Phasenauswertung des FallesF11für ein homogenisiertes Medium und der vollständigen Streugeometrie bei der Rückausbreitung. . . 123
A.1 Geschlossener Integrationsweg. . . 134
A.2 Hyperbel in der komplexenp−Ebene . . . 134
A.3 τ,q−Ebene . . . 135
A.4 Auswertung der Kopfwelle durch Umwegintegral. . . 137
A.5 Grafische Darstellung der Integrationsvariablenp1undp2. . . 139
Kurzzusammenfassung
Diese Arbeit befasst sich mit der Lösung des direkten und inversen Streuproblems im An- wendungsbereich der zerstörungsfreien Prüfungen von Materialien mittels Ultraschall- -echo-Verfahren. Am Modell eines Spannbetonbauteils werden mit Hilfe numerischer Methoden “Messdaten“ erzeugt. Diese Messdaten werden mit verschiedenen Inversi- onsalgorithmen unter Berücksichtigung von Materialinhomogenitäten analysiert und zur Abbildung von Materialfehlern verwendet.
Die “konventionellen“ Inversionsalgorithmen Synthetic Aperture Focusing Technique (SAFT) und Fourier Transform-SAFT können die Messdaten sehr schnell zu einem Rekon- struktionsergebnis verarbeiten. Sie besitzen allerdings nicht die Fähigkeit, Materialinho- mogenitäten in den Rückausbreitungsvorgang mit einzubeziehen. Abhilfe hierfür schaffen numerische Methoden, die das direkte Streuproblem lösen, wie z.B. die Akustische Finite Integrationstechnik (AFIT) oder die One-Way Wave-Equation-Methode (OWWE). Die- se Methoden werden anhand eines kanonischen Streuproblems validiert. Der gewählte OWWE-Algorithmus basiert auf dem Ansatz der Thiele Approximation. Als Inversions- algorithmus stellt er einen Mittelweg in puncto Schnelligkeit und Speicherallokierung zwischen SAFT und AFIT dar. Zudem besitzt die OWWE-Methode den Vorteil, die Wel- lenfelder nur in eine bevorzugte Richtung auszubreiten. Der SAFT und OWWE Algo- rithmus werden anhand von Impuls-Echo- und Linear-Array-“Messdaten“ gegenüberge- stellt. Der Vergleich der Ergebnisse zeigt eine sehr gute Übereinstimmung zwischen den beiden Algorithmen. Die Berücksichtigung des kreiszylindrischen Streuers im Rückaus- breitungsvorgang bildet die Unterseite des Streuers örtlich in der richtigen Tiefe ab. Das Linear-Array-Experiment erkauft sich auf Kosten der Zeit, im Vergleich zum Impuls-Echo- Experiment, den Vorteil, die nichtlinearen Effekte aus den Rekonstruktionen richtig zu verarbeiten, wodurch störende Mehrfachreflexionen in den Rekonstruktionen verschwin- den.
Die Betrachtung verschiedener Litzen- und Lufteinschlusskonstellationen im Hüllrohr für die elastischen Impuls-Echo-Daten veranschaulichen, dass der Lufteinschluss unter Umständen nicht eindeutig identifiziert werden kann. Die Reduzierung dieser Beispiele auf das skalare Streuproblem zeigt einen deutlichen Hinweis auf einen Lufteinschluss vor
tischen Daten machen deutlich, dass der Lufteinschluss, der direkt zur Messebene liegt, in Abhängigkeit von der verwendeten Mittenfrequenz des gesendeten Impulses und des Einbettungsmaterials erst in einer bestimmten Tiefe klassifiziert werden kann. Die Pha- senauswertung kann einen Lufteinschluss der, hinter einer komplexen Streugeometrie liegt, nicht identifizieren.
Abstract
This thesis presents solutions of the direct and inverse scattering problem for application in non destructive testing of materials by use of ultrasonic echo methods. For a given model of a prestressed concrete component ultrasound ’measurement data’ are generated by numerical modeling. Applying different inversion algorithms, the data are converted to images, which are analyzed taking into account the material inhomogeneities.
The ’conventional’ inversion algorithms Synthetic Aperture Focusing Technique (SAFT) and Fourier Transform-SAFT process measurement data very fast to obtain images. Ne- vertheless they do not have the ability to include material inhomogeneities in the back propagation process. Remedial action include numerical methods that solve the direct scattering problem, such as Acoustic Finite Integration Technique (AFIT) or the One-Way Wave-Equation-method (OWWE). The methods presented in this work are validated on the basis of a canonical scattering problem. The chosen OWWE algorithm is based on the Thiele approach. As an inversion algorithm it is a compromise between SAFT and AFIT in terms of speed and memory allocation. In addition to that the OWWE-method has the ad- vantage that the wave field propagates only in a preferred direction. The SAFT and OWWE algorithms are compared on the basis of impulse-echo- and linear-array-data examples.
The latter include generation of cylindrical scatterers in a sample structure. Comparison of the results shows a very good match between both algorithms. Both model depict the correct depth position of the bottom part of the cylindrical scatterers. The linear-array ex- periment, though more time consuming, has the advantage to process the non-linearities on the image correctly as compared to the impulse-echo experiment. Whereby disturbing multiple reflections will be suppressed in the reconstruction.
The consideration of different braid and air defect groups in the duct, modeled by elastic impulse-echo data, show that under certain conditions the air defect cannot be fully identified. The reduction of this example to the scalar scattering problem in the linear- array experiment already shows the air inclusions. The phase value evaluation results of the elastic data make clear that the air inclusion, that is directly located to the measuring plane, can be classified in a certain depth in dependency of the used impulse center frequency and the background material. The air inclusion that lies behind a complex
Einleitung
Die zerstörungsfreie Prüfung von Materialien und andere Disziplinen wie z.B. die geophy- sikalische Exploration oder die Computertomographie aus der Medizintechnik ermögli- chen dem Menschen, unter Zuhilfenahme von technischen Mitteln das Frequenzspektrum so zu nutzen, dass eine Untersuchung der inneren Struktur eines Objektes, ohne es zu öffnen oder zu zerstören, abzubilden. Im wesentlichen unterscheiden sich die Disziplinen durch die verwendete Frequenz und dem vorliegenden Medium; daher wird zwischen der akustischen, elektromagnetischen und der elastischen Wellenausbreitung unterschie- den.
Die inverse Beugungstheorie ermöglicht es Daten zu verarbeiten und ein Abbild des In- nenlebens des Objektes zu generieren. Bekannte Verfahren zur Lösung des inversen Streu- problems sind der heuristisch begründete SAFT-Algorithmus und der auf demFourier Dif- fraction Slice Theorem[32, 66] hergeleitete FT-SAFT1-Algorithmus2[57, 51]. Ein Vorteil dieser Verfahren ist die schnelle Verarbeitung der Daten. Vor allem bei 3D-Problemen ist der FT- SAFT-Algorithmus aufgrund der verwendeten Fouriertransformationen sehr schnell. Als Nachteil ist bei beiden Verfahren zu nennen, dass in dem Inversions-Algorithmus die Be- rücksichtigung von Inhomogenitäten nicht möglich ist. Alternativ hierzu gibt es eine huy- gensbasierte SAFT-Variante, die eine Berücksichtigung von Inhomogenitäten zulässt [60].
Seit den 1980ern werden in der Seismik u.a. die Split-Step- [78], Phase-Screen-Methode [37] und ein auf einem Polynomansatz basierendes Verfahren [22] erfolgreich verwendet und fortlaufend erweitert [38, 39, 14, 29, 74, 30, 86, 31, 43, 75, 34, 53, 47, 95, 93].
Diese Algorithmen werden aus der Wellengleichung hergeleitet und ermöglichen ein einfaches Miteinbeziehen von Inhomogenitäten zur Lösung des inversen Streuproblems.
In [96] zeigt der Vergleich zwischen der modernen Variante der Phase-Screen-Methode [75, 93] und des Polynomansatzes [86, 47], dass das Verfahren mit dem Polynomansatz beim Übergang von zwei Medien mit einem großen Materialunterschied ein besseres Er- gebnis liefert. Daher wird in dieser Arbeit der Ansatz von [86] verfolgt, erweitert und auf die Problematik der Ultraschalluntersuchungen an Betonkomponenten angepasst.
1Die Abkürzung steht fürFourierTransformSyntheticApertureFocusingTechnique.
2In der Seismik ist dieser Ansatz unter dem Namen Kirchhoff-Migration bekannt [79].
H¨ullrohr Spannlitzen
Messebene
Abbildung 1Aufbau einer Brückenkomponente aus Spannbeton.
In Deutschland gibt es etwa 36.000 Brücken des Bundes und kommunal weitere 80.000 Brücken. Für die Erhaltung dieser Brücken wird mit mindestens einer Milliarde Euro Kosten pro Jahr gerechnet. Tendenz steigend, da mit einem wachsenden Verkehrsauf- kommen zu rechnen ist. Bildgebende Ultraschallecho-Prüfverfahren wie sie in dieser Ar- beit verwendet werden, dienen als Unterstützung zur Zustandsermittlung von Brücken und um deren Qualität zu sichern (das beinhaltet u.a. die Überprüfung von Bau- und Bestandsplänen, Lokalisierung von Verdichtungsmängeln im Beton, Zustandsermittlung von Spanngliedern und Verpressfehlern in Hüllrohren) und notwendige Reparaturen zu planen [60].
In der Abbildung 1 ist der skizzenhafte Aufbau einer Brückenkomponente aus Spann- beton dargestellt. Der Vorteil der Spannbetonbrücken im Vergleich zur konventionellen Betonbrücke liegt darin, dass die Zugzone weitgehend rissfrei ist und geringere Durch- biegungen im Beton entstehen. Es können größere Spannweiten erreicht und schlankere Tragwerke verwendet werden [77]. Das Herzstück dieser Brückenkomponente ist das Hüllrohr; hier werden Stahllitzen durchgespannt und anschließend mit Mörtel verpresst.
Bei diesem Vorgang können Lufteinschlüsse, sogenannte Verpressfehler entstehen. Auf- grund dessen können die Stahllitzen korrodieren und letztlich reißen, womit die Sicherheit der Brücke nicht mehr gewährleistet werden kann.
In dieser Arbeit wird die Frage nach der Detektierbarkeit des Lufteinschlusses in dem Hüllrohr gestellt. Dazu werden unterschiedliche Stahllitzenanordnungen und verschie- dene Lagen der Luftlinse relativ zur Messfläche betrachtet. Die modernen Verfahren der Seismik erlauben es Inhomogenitäten mit in die Rückausbreitung der Daten einzubezie-
den Objekte erwartet. Ein weiteres Problem ist die schlaffe Bewehrung (siehe Abbildung 1), sie verhindert sozusagen die direkte Sicht auf das Hüllrohr. In [7] wurde bereits mittels analytischer und numerischer Methoden der Einfluss der schlaffen Bewehrung auf das Hüllrohr erfolgreich untersucht. Dieser Ansatz soll hier mit Hilfe moderner Verfahren aus der Seismik [22, 86] erweitert und weiterverfolgt werden.
Auf das Rekonstruktionsergebnis kann zusätzlich eine Analyse der Phase vorgenommen werden, die einen weiteren Hinweis auf einen Lufteinschluss im Hüllrohr liefern kann [58]. Hierzu werden elastische und akustische “Messdaten“ an verschiedenen Beispielen untersucht.
Diese Arbeit ist wie folgt gegliedert:
• Im ersten Kapitel werden die physikalischen Grundlagen der akustischen und elas- tischen Wellenausbreitung erläutert. Es wird begründet, warum die Wellenausbrei- tung auf das skalare Potential reduziert wird. Weiterhin werden die Grundlagen für das direkte und das inverse Streuproblem gelegt.
• Im zweiten Kapitel wird das direkte Streuproblem am Beispiel der analytischen Lösung der ebenen Welle am kreiszylindrischen Streuer erläutert. Die Erweiterung des letztgenannten Ansatzes ist die spektrale Zerlegung nach ebenen Wellen; sie ist die Basis für das numerische Verfahren One-Way Wave-Equation.
• Das dritte Kapitel zeigt die Herleitung der numerischen Methoden AFIT (Acoustic Finite Integration Technique) und OWWE (One-Way Wave-Equation). Sie werden mit der analytischen Lösung aus dem zweiten Kapitel validiert bzw. verglichen. Die numerischen Methoden sind weitaus flexibler als die analytischen Lösungen und dienen in erster Linie zur Lösung des direkten Streuproblems.
• Wie das vierte Kapitel zeigen wird, können neben den bekannten Inversionsal- gorithmen, wie SAFT oder FT-SAFT, die Verfahren, die das direkte Streuproblem bewältigen, auch das inverse Problem lösen.
• Das fünfte Kapitel stellt das hier verwendete monostatische (Impuls-Echo-) und das Linear-Array-Messprinzip vor und vergleicht diese anhand mit AFIT und EFIT er- zeugter “Messdaten“. Es werden praxisrelevante Hüllrohrkonstellationen und ver- schiedene Lufteinschlüsse mit Hilfe der Rekonstruktionsmethoden und der Phasen- analyse untersucht.
Grundlagen 1
1.1 Akustische Wellenausbreitung
Die akustische Wellenausbreitung beschreibt Wellen, wie sie in Gasen und idealen visko- sen Flüssigkeiten vorkommen. Die Massendichteρdes akustischen Mediums wird durch die Masse des Moleküls bezogen auf das Volumen definiert. Die Massendichte ist keine Materialkonstante, sondern eine zeit- und ortsabhängige Größe, da sich die Moleküle innerhalb des Volumens mehr oder weniger frei bewegen können. Verursacht wird die Bewegung der Moleküle durch eine Wärmezufuhr oder durch eine von außen wirkende Kraft. Jedes Molekül bewegt sich somit in eine definierte Richtung R1und mit einer be- stimmten Geschwindigkeitc. Dies wird als der Geschwindigkeitsvektor v(R ,t)definiert, der ebenfalls von der Zeittals auch von dem Ort R abhängig ist. Um die Wellenaus- breitung in akustischen Medien vollständig beschreiben zu können, ist noch eine weitere Größe notwendig, der zeit- und ortsabhängigen Druckp(R ,t). Dieser definiert sich durch auf eine Fläche wirkende Kraft, welche durch die Bewegung der Teilchen entsteht. Euler hat bereits im Jahr 1755 aus den oben genannten Größen die Bewegungsgleichung
ρ(R ,t)∂t∂v(R ,t) =−∇p(R ,t) +f(R ,t) (1.1)
1Es wird ein rechtshändiges kartesisches Koordinatensystem verwendet. Die Ortsabhängigkeit wird durch den Ortsvektor R=xex+yey+zezbeschrieben.
aufgestellt [51, 42, 64]. Die Bewegungsgleichung besagt, wenn innerhalb des Mediums an bestimmten Raumpunkten ein geringerer Druck herrscht als an einem anderen Punkt, dann liegt ein Druckgefälle in dem Medium vor. Andere in der Nähe befindliche Teilchen werden durch das Druckgefälle in das Druckgebiet hinein beschleunigt. Mathematisch wird dies durch den negativen Gradienten des Druckes−∇p(R ,t)ausgedrückt. Die Be- schleunigung wird durch die zeitliche Ableitung2des Geschwindigkeitsvektors∂tv(R ,t) ausgedrückt. Die Beschleunigung der Teilchen in dem akustischen Medium wird durch eine Kraft f(R ,t)verursacht. Zudem unterliegen die akustischen Medien der Kontinui- tätsgleichung
∇ ·ρ(R ,t)v(R ,t) =−∂tρ(R ,t). (1.2) Sie besagt, dass die Quelle einer Teilchenbewegung gleich der zeitlichen Änderung einer Dichte ist [42]. Die drei Größen Teilchenverschiebung, Massendichte und Druck sind durch die Bewegungsgleichung und die Kontinuitätsgleichung miteinander verkoppelt.
Das Gleichungssystem wird durch die Einführung der Kompressibilität entkoppelt κ(R):= 1
ρ(R)
∂ρ(R ,t)
∂p(R ,t) = 1
ρ(R)∂p(R ,t)ρ(R ,t). (1.3)
Sie gibt an, wie sich die Dichte innerhalb des Mediums verhält, wenn sich der Druck verändert. Für jedes Medium muss dieses Verhältnis zeitlich konstant sein [42].
Die Hydrodynamik beschreibt alle physikalischen Vorgänge – wie z.B. die Wellenausbrei- tung – in Gasen und Flüssigkeiten und ist mathematisch durch die nichtlineare Eulersche Bewegungsgleichung (1.1), die Kontinuitätsgleichung (1.2) und die Kompressibilität (1.3) gegeben. In der zerstörungsfreien Materialprüfung sind die Amplituden der zeitverän- derlichen Größen im Allgemeinen klein, sodass die nichtlinearen Grundgleichungen der Hydrodynamik – in der Regel ohne Verletzung der physikalischen Gesetze – linearisiert werden können [42, 98, 51]
∇p(R ,t)−f(R ,t) = −ρ(R)∂tv(R ,t), (1.4)
∇ ·v(R ,t) +h(R ,t) = −κ(R)∂tp(R ,t). (1.5) Die Wellengleichung für die beiden akustischen Feldgrößenp(R ,t)und v(R ,t)wird für ein homogenes Medium hergeleitet, d.h.ρundκsind von R unabhängig. Die hydrody- namischen Grundgleichungen für das homogene Medium lauten dann:
∇p(R ,t)−f(R ,t) = −ρ∂tv(R ,t), (1.6)
∇ ·v(R ,t) +h(R ,t) = −κ∂tp(R ,t). (1.7)
2Die partiellen Ableitung werden in dieser Arbeit verkürzt durch∂i =∂i∂ dargestellt, dabei kannidie Größe der Zeittoder eine der drei Ortskoordinatenx,y,zannehmen.
Von der linearisierten Bewegungsgleichung wird die Divergenz gebildet und die Kon- tinuitätsgleichung wird zeitlich differenziert. Aus dem so erhaltenen Gleichungssystem lässt sich jetzt die Teilchengeschwindigkeit eliminieren, und es ergibt sich die skalare inhomogene Wellengleichung für den Druck
Δ−c−2∂2t
p(R ,t) =∇ ·f(R ,t) +ρ∂th(R ,t). (1.8) Auf eine ganz analoge Weise wird die vektorielle inhomogene Wellengleichung für die Geschwindigkeit hergeleitet
∇∇ · −c−2∂2t
v(R ,t) =−∇h(R ,t)−κ∂tf(R ,t). (1.9) In den Gleichungen (1.8) und (1.9) istc=1/√ρκdie Ausbreitungsgeschwindigkeit, mit der sich Wellen im Raum ausbreiten.
Es ist festzuhalten, dass die beiden Wellengleichungen immer noch über die primären Quellterme, die Volumenkraftdichte f(R ,t)und die injizierte Deformationsrateh(R ,t), miteinander verkoppelt sind, und sie sind sogar dann noch miteinander verkoppelt, wenn die primären Quellen gleich null sind. Wird beispielsweise die Wellengleichung für den Druck gelöst, so ergibt sich der Teilchengeschwindigkeitsvektor über die zeitliche Integration der Bewegungsgleichung. Und umgekehrt ist der Druck über die zeitliche Integration der Kontinuitätsgleichung zu erhalten, wenn zuvor die Wellengleichung für die Geschwindigkeit gelöst worden ist.
In einem idealen akustischen Medium hat die Teilchengeschwindigkeit die Eigenschaft, rotationsfrei zu sein. Aufgrund dessen kann der Teilchengeschwindigkeitsvektor als Gra- dient eines Geschwindigkeitspotentials v(R ,t) =: −∇φ(R ,t)aufgefasst werden. Wei- terhin wirdh(R ,t) =φh(R ,t)und das Volumenkraftdichtepotentialφf als f(R ,t) =:
−∇φf(R ,t)definiert. Dies führt auf die skalare Wellengleichung für das Potentialφ(R ,t) Δ−c−2∂2t
φ(R ,t) =−φh(R ,t) +κ∂tφf(R ,t). (1.10) Die Zweckmäßigkeit, die Zeitabhängigkeit aus den Gleichungen durch die Fourier-Trans- formation zu eliminieren, wird zu einem späteren Zeitpunkt ersichtlich. In dieser Arbeit wird zur Bestimmung des Zeit-Spektrums3einer Zeitfunktion die Fourier-Transformation gemäß
f(ω) =Ft f(t)=
∞
−∞
f(t)ejωtdt (1.11)
3Von einem Zeit- oder Orts-Spektrum ist immer dann die Rede, wenn bezüglich der Zeit bzw. des Ortes eine Fouriertransformation durchgeführt wurde.
benutzt, dabei istωdie Kreisfrequenz als Fourier-Variable zur Zeittund j die imaginäre Einheit. Die inverse Fourier-Transformation definiert sich durch
f(t) =Fω
f(ω)= 2π1 ∞
−∞
f(ω)e−jωtdω. (1.12)
Die Funktion der Zeitspektrenf(ω)wird nicht zusätzlich gekennzeichnet, da die Unter- scheidung zuf(t)durch die Angabe des Argumentes eindeutig ist.
Durch Anwenden der Fourier-Transformation bezüglich der Zeit auf die skalare Wellen- gleichung (1.10) führt dies zur skalaren Helmholtz-Schwingungsgleichung4
Δ+k2
φ(R ,ω) =−φh(R ,ω)−jωκφf(R ,ω) (1.13) mit der Wellenzahlk=ω/c.
Die Fourier-Transformation bezüglich der Ortskoordinatexwird nach
f(Kx) =Fx f(x)=
∞
−∞
f(x)e−jKxxdx (1.14)
durchgeführt, dabei istKxdie Fourier-Variable zur Ortskoordinatex.
Die inverse Fourier-Transformation der Ortskoordinatexdefiniert sich durch f(x) =FKx
f(Kx)= 1 2π
∞
−∞
f(Kx)ejKxdKx. (1.15)
1.2 Elastische Wellenausbreitung
Ausgangspunkt für die Betrachtungen der elastischen Wellenausbreitung ist ein infini- tesimales Masseteilchen eines Festkörpers. Durch eine zeit- und ortsabhängige Einwir- kung von außen, wie z.B. einer Kraft f , wird das Teilchen aus seiner Ruhelage heraus bewegt. Aufgrund mikroskopischer Bindungskräfte zwischen den Teilchen ist die Bewe- gung des Teilchens stark abhängig von der Bewegung seiner Nachbarteilchen. In der Regel verändert sich die relative Position der Teilchen zueinander, dies entspricht der Deforma- tion des Festkörpers. Die Deformation ihrerseits wirkt rückwirkend auf die Bewegung der betroffenen Teilchen. Aus den Gesetzen der Physik lässt sich aus der Massenerhaltung, der Drehimpulserhaltung und der Impulserhaltung eine mathematische Formulierung der eben beschriebenen Vorgänge, ein nichtlineares Gleichungssystem aufstellen [11]. Die Ausbreitung von Wellen in Festkörpern wird durch die nichtlineare Newton-Cauchy’sche Bewegungsgleichung und die Deformationsratengleichung beschrieben. In der Regel sind
4Die Helmholtz-Schwingungsgleichung wird auch als reduzierte Wellengleichung bezeichnet.
die auftretenden Deformationen sehr klein, sodass auch die Volumenschwankung und daraus die Massedichteschwankungen und die Teilchenbewegung klein sind [35]. So darf, ohne dass die Physik verletzt wird, auf die lineare Newton-Cauchy’sche Bewegungsglei- chung und die Deformationsratengleichung5 6vereinfacht werden
∂tj(R ,t) = ∇ ·T(R ,t) +f(R ,t), (1.16)
∂tS(R ,t) = 1 2
∇v(R ,t) + [∇v(R ,t)]21+h(R ,t). (1.17) Mit den Feldgrößen
• Impulsdichtevektor j(R ,t),
• symmetrischer Spannungstensor T(R ,t),
• symmetrischer Deformationstensor S(R ,t),
• Teilchengeschwindigkeitsvektor v(R ,t). Die eingeprägten primären Volumenquellen
• Volumenkraftdichtevektor f(R ,t),
• symmetrischer Tensor zweiter Stufe h(R ,t)der injizierten Deformationsrate sind als physikalische Ursache für das elastodynamische Feld anzusehen.
Die Gleichungen (1.16) und (1.17) liefern in dieser Form noch keine Lösung. Daher sind Materialgleichungen erforderlich, die die beiden Gleichungen verknüpfen. Der Impuls- dichtevektor j ist mit der Massendichteρ(R)und dem Geschwindigkeitsvektor v wie folgt verknüpft
j(R ,t) =ρ(R)v(R ,t). (1.18)
Des Weiteren wird der Deformationstensor S und der Spannungstensor T über den mate- rialspezifischen Steifigkeitstensor vierter Ordnung c(R)verknüpft
T(R ,t) =c(R): S(R ,t). (1.19)
5Die obere Indexnotation für transponierte Tensoren wurde von Ben-Menahem und Singh [11] einge- führt. Es gilt:[∇v(R ,t)]21= exi∂xiuxjexj
21
=exj∂xiuxjei =exi∂xjuxiexj.
6Formal ergeben sich die Grundgleichungen für die Akustik aus den Gleichungen der Elastodynamik (1.16) und (1.17), indem der Spannungstensor T(R ,t)durch den isotropen Drucktensor T(R ,t)⇒P(R ,t) =
−p(R ,t)I ersetzt werden kann. Durch die Spurbildung von (1.17) ergibt sich die skalare kubische Dilatation S(R ,t)und die skalare injizierte Dilatationsrateh(R ,t). Es wird also S(R ,t)⇒S(R ,t) =spur S(R ,t) und h(R ,t)⇒h(R ,t) =spur h(R ,t) ersetzt. Mit den Materialgleichungen j(R ,t) =ρ(R)v(R ,t) und S(R ,t) =−κ(R)p(R ,t)ergeben sich schließlich die linearen Grundgleichungen der Hydrodynamik.
Die Gleichung (1.19) ist als Hooke-Cauchy’sches Gesetz der linearen Elastodynamik bekannt und beschreibt, wie stark sich bei vorgegebener Verzerrung die rücktreibende Spannung einstellen wird. D.h. bei einer vorgegebenen Verzerrung wird die innere Span- nung umso höher, je steifer das Material ist. Die Materialgleichungen (1.18) und (1.19) beschreiben ein lineares zeitinvariantes augenblicklich lokal reagierendes inhomogen- anisotropes Material [51]. Das Ineinandersetzen der Deformationsratengleichung (1.17) in die Bewegungsgleichung (1.16) und Ausnutzung von den Symmetrieeigenschaften des Spannungstensors c(R)führen auf die Navier-Gleichung [51]
∇ ·
⎡⎢⎢⎢⎢
⎣c(R):∇v(R ,t)
⎤⎥⎥⎥⎥
⎦−ρ(R)∂2tv(R ,t) =−∂tf(R ,t)− ∇ ·
⎡⎢⎢⎢⎢
⎣c(R): h(R ,t)
⎤⎥⎥⎥⎥
⎦. (1.20) Für ein homogen isotropes Medium lautet der Steifigkeitstensor
c=λII+μ I I 1342
+ I I 1324
, (1.21)
dabei ist I die Einheitsdyade7,λundμsind die Lamé’schen Elastizitätskonstanten, die ex- perimentell bestimmbar sind [98]. Daraus ergibt sich für den Spannungstensor (1.17) nach einer zeitlichen Integration, und wenn die injizierte Deformationsrate h der Nulltensor ist:
T(R ,t) =λI∇ ·u(R ,t) +μ
∇u(R ,t) +∇u(R ,t)21, (1.22) wobei u(R ,t)den Teilchenverschiebungsvektor gemäß v(R ,t) = ∂tu(R ,t)bezeichnet [51]. Wird der Ausdruck (1.22) in die Bewegungsgleichung (1.16) eingesetzt und einige Differentialoperationen durchgeführt, so führt dies zur Navier-Gleichung für homogene isotrope Materialien im Zeitbereich
(λ+μ)∇∇ ·+μΔ−ρ∂2t
u(R ,t) =−f(R ,t). (1.23)
Die Navier-Gleichung lässt elastische Wellen als Lösung zu [51]. Dies kann mit einem Potentialansatz gezeigt werden. Der Teilchenverschiebungsvektor wird dazu in einen divergenz- und einen rotationsfreien Anteil aufgespalten. Es wird gemäß der Helmholtz- Zerlegung ein skalares PotentialΦund ein VektorpotentialΨeingeführt
u(R ,t) =∇Φ(R ,t) +∇ ×Ψ(R ,t) und ∇ ·Ψ(R ,t) =0 . (1.24) Mit dem Potentialansatz entkoppelt die Navier-Gleichung in die Helmholtzschen Wellen- gleichungen
Δ−c−2P ∂2t
Φ(R ,t) = −fΦ(R ,t), (1.25)
Δ−c−2S ∂2t
Ψ(R ,t) = −fΨ(R ,t). (1.26)
7Mit I I 1342
=δi jδkl exiexjexkexl 1342
=δi jδklexiexkexlexj, wobeiδdas Kronecker-Symbol ist.
Die Volumenkraftdichte wird entsprechend der Helmholtz-Zerlegung in
f(R ,t) = (λ+2μ)∇fΦ(R ,t) +μ∇fΨ(R ,t). (1.27) zerlegt. Die Wellen des skalaren PotentialsΦund des VektorpotentialsΨbreiten sich mit den Geschwindigkeiten
cP=
λ+2μ
ρ und cS=
μ
ρ (1.28)
aus; dabei istcP>cS.cPwird als Druck- oder Primärwelle (P-Welle) bezeichnet und ist in den meisten Fällen8größer alscS, die Scher- oder Sekundärwelle (S-Welle). Die einfachsten Lösungen der Wellengleichungen (1.25) und (1.26) ergeben sich für den quellenfreien Raum als ebene Druck- und Scherwellen. In diesem Fall ist die Druckwelle bezüglich der Ausbreitungsrichtung longitudinal und die Scherwelle transversal polarisiert. Liegt eine Inhomogenität und/oder eine Anisotropie im Ausbreitungsmedium vor oder die Wellengleichungen sind über den Quellterm (1.27) miteinander verkoppelt, so ist eine eindeutige Zuordnung in longitudinale und transversale Polarisation für P- und S-Wellen nicht mehr möglich [51, 98, 45].
1.3 Beschreibung der elastischen Wellenausbreitung durch das skalare Potential
In dem letzten Abschnitt wurde gezeigt, dass ein Teil der elastischen Wellenausbreitung durch ein skalares Potential dargestellt werden kann. Allerdings gilt dies nur für den dreidimensionalen Freiraum oder den Halbraum mit einer spannungsfreien Ebene. Im zweidimensionalen Raum kann für eine Shear-Horizontale Anregung für ein isotropes und anisotropes inhomogenes Medium eine skalare Lösung angegeben werden [51]. Bei der Anwendung des skalaren Potentials auf elastische Wellenausbreitungsvorgänge – wie die Lösung des direkten oder des inversen Problems – werden nicht alle physikali- sche Phänomene korrekt wiedergegeben. So werden die modenkonvertierten Wellen an Materialübergängen in der Elastodynamik durch das skalare Potential überhaupt nicht berücksichtigt. Bei der skalaren Inversion elastischer Daten kann es daher zu Fehlabbil- dungen, sogenannten Geisterbildern, kommen; bestenfalls interferieren die elastischen Daten destruktiv [98]. Zu erwähnen ist die Möglichkeit der Separation der beiden elasti- schen Wellentypen auf folgenden Wegen:
8In anisotropen Medien, wie z.B. orthorhombischen Medien kann die Scherwelle schneller sein als die Druckwelle [20].
• Durch eine Nahfeld-Fernfeld-Transformation der elastischen Daten kann eine Sepa- ration der Scherwelle und der Druckwelle durchgeführt werden, da die Scherwellen divergenzfrei und die Druckwellen rotationsfrei sind. In [45] wird eine neue Variante eingeführt, in der die Nahfeld-Fernfeld-Transformation in den Inversionsalgorith- mus mit eingearbeitet ist, sodass ein explizites Ausrechnen der Nahfeld-Fernfeld- Transformation entfällt.
• Eine andere Möglichkeit, die Separation nach P- und S-Wellen zu erreichen, erfolgt unter der Annahme einer einfallenden ebenen Welle und der Aufspaltung in ebene Wellen durch eine Filterung imK-Raum [98].
• Messtechnisch erfolgt die Trennung der P- und S-Wellen im Allgemeinen durch das Time-Gating[98].
Die Separation der Wellentypen erlaubt eine getrennte Weiterverarbeitung, wodurch eine Verbesserung in den Ergebnissen der Inversion erzielt wird [45, 98].
Trotz dieses Wissens werden die skalaren Algorithmen, die in dieser Arbeit verwendet werden, auf elastodynamische “Messdaten“ angewendet werden. In den nächsten Ab- schnitten werden die Übergangs- und Randbedingung, die Objektfunktion sowie die Green’sche Funktion für den skalaren Fall angeben. Für den elektromagnetischen Fall wird diesbezüglich auf die Arbeiten [16, 98, 50] und für den elastischen Fall auf [45, 98, 51]
verwiesen.
1.4 Übergangs- und Randbedingungen
Die Wellenausbreitung wurde bisher nur für ein homogenes, unendlich ausgedehntes Me- dium diskutiert. Wird hingegen ein Objekt betrachtet, das endlich groß ist und Inhomo- genitäten besitzt, so müssen die Wellen an dem Rand des Objektes und an Trennschichten zwischen zwei verschiedenen Medien Rand- und Übergangsbedingungen erfüllen. Beim Übergang von beispielsweise dem Mediumn1zu dem Mediumn2muss der Druck und die Normalkomponente der Teilchengeschwindigkeit stetig sein. Für den Fall, dass keine eingeprägten Quellen in der Trennschicht sitzen, lauten die Übergangsbedingungen für das Potential
limR↑Sφ(R ,t) − lim
R↓Sφ(R ,t) =0 , (1.29)
limR↑Sn· ∇φ(R ,t) − lim
R↓Sn· ∇φ(R ,t) =0 , (1.30)
wobeiSdie Trennschicht bezeichnet. Als Randbedingung wird der Übergang von einem Medium zu einem anderen bezeichnet, wenn die Wellenausbreitung aufgrund seiner
Materialeigenschaften in dem einen Medium nicht mehr möglich ist. Hierbei wird zwi- schen der ideal schallweichen und schallharten Randbedingung unterschieden. Die ideal schallweiche Randbedingung liegt vor, wenn ein akustisches Medium auf ein Vakuum trifft. Hier kann das Vakuum den sich an der Oberfläche frei bewegenden Teilchen kei- ne Kraft entgegensetzen. Der Druck wird aus diesem Grund an der Trennschicht Null.
Mathematisch wird dies durch die Dirichlet’sche Randbedingung ausgedrückt
φ(R ,t) =0 R∈S. (1.31)
Für die ideal schallharte Randbedingung liegt dem akustischen Medium ein unendlich dichtes Medium gegenüber. Die Teilchen können sich an der Trennschicht nicht frei bewe- gen, da ihr durch das Medium eine unendlich große Kraft entgegenwirkt. Mathematisch wird dies durch die Neumann’sche Randbedingung ausgedrückt
n· ∇φ(R ,t) =0 R∈S. (1.32)
n ist der Oberflächeneinheitsvektor, er steht senkrecht auf der BerandungS.
1.5 Direktes und inverses Streuproblem
Direktes Streuproblem
Im letzten Abschnitt wurde die Wellengleichung bzw. Schwingungsgleichung für den homogenen Raum vorgestellt. In der Praxis sind aber gerade die Fälle von Interesse, wenn der Raum mit Inhomogenitäten gefüllt ist. In diesem Abschnitt wird als erstes das direkte Streuproblem und im zweiten Schritt das inverse Streuproblem erläutert. Das direkte Streuproblem befasst sich mit der Lösung der Wellengleichung zur Bestimmung des Potentials bzw. des gestreuten Feldes. Dabei sind die bekannten Größen (siehe dazu Abbildung 1.1): die Lage und Materialeigenschaften des Streuersc(R), das Materialc0
in das der Streuer eingebettet ist und das einfallende Feldφ(i)9. Zudem ist die jeweilige Position des Senders und des Empfängers auf der OberflächeSMdes Objektes bekannt.
Für den homogenen Raum genügt das einfallende Feldφ(i)der inhomogenen skalaren Wellengleichung
Δ−c−20 ∂2t
φ(i)(R ,t) =−q(i)(R ,t) mitq(i)(R ,t) =0 für RVq. (1.33) Wird dem homogenen Raum eine Inhomogenität (Streuer) hinzugefügt, so kann das Potentialφ(i)die Rand- bzw. Übergangsbedingungen an seiner Oberfläche alleine nicht erfüllen, da diese Bedingungen in der Gleichung (1.33) nicht mit eingearbeitet sind. Die
9Wird auch als primäres Feldφ(p)bezeichnet.
SM
c0
φ(s) VS
c(R) Sender
φ(i) q(i)
φ=φ(i)+φ(s) Empf¨anger
Abbildung 1.1Das direkte und inverse Streuproblem. Bei dem direkten Streuproblem wird bei bekannter Lage und Materialzusammensetzung des Streuers und des einfallenden Feldes das sekundäre Feld berechnet. Beim inversen Streuproblem wird versucht, mit Hilfe des bekannten einfallenden Feldes und des gemessenen Streufeldes Rückschlüsse auf die Materialparameter, die Lage und die Geometrie des Streuers zu schließen.
Konsequenz daraus ist, dass der Streuer ein sekundäres Feldφ(s)erzeugt, das sich dem einfallenden Feld in der Form
φ(R ,t) =φ(i)(R ,t) +φ(s)(R ,t) (1.34) so überlagert, dass das Gesamtfeldφdie Rand- oder Übergangsbedingungen am Streu- er erfüllt [42]. Der Streuer wird also durch das einfallende Feld zu einer sekundären Quelle. Die Inhomogenität kann problemlos in die Wellengleichung durch ortsabhängige Materialparameter mit eingearbeitet werden10
Δ−c−2(R)∂2t
φ(R ,t) =−q(i)(R ,t) mitc(R) =c0für RVs. (1.35) Es liegt nun eine partielle Differentialgleichung mit ortsabhängigen Koeffizienten vor, deren Lösung sich schwieriger gestaltet als in dem Fall der homogenen Wellengleichung [42]. Die Gleichung können zu einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten umgeformt werden, indem auf beiden Seiten der Gleichung die zweite zeitliche Ableitung des Feldes dividiert durch das Quadrat der Ausbreitungsgeschwindigkeit subtrahieren [42] wird. Es ergibt sich somit eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
Δ−c−20 ∂2t
φ(R ,t) =−q(i)(R ,t)−q(s)(R ,t,φ), (1.36)
10Bei der Herleitung der Gleichung (1.35) fallen zusätzliche Terme in der Form∇lnκ(R)an, um das Problem zu vereinfachen wird die Kompressibilitätκ(R)als konstant angenommen. Die Ortsabhängigkeit inc(R)kommt durch die Massendichteρ(R).
wobeiq(s)die feldabhängige sekundäre Quelle darstellt:
q(s)(R ,t,φ) = 1 c20
⎛⎜⎜⎜⎜
⎝1− c20 c2(R)
⎞⎟⎟⎟⎟
⎠∂2t φ(R ,t). (1.37)
Sie berücksichtigt die Wechselwirkung des Feldes – wie z.B. Mehrfachreflexionen – zwi- schen den Inhomogenitäten. Für das sekundäre Feld erhält man die inhomogene Wellen- gleichung
Δ−c−20 ∂2t
φ(s)(R ,t) =−q(s)(R ,t,φ), (1.38) deren Quelltermq(s) allerdings von dem Gesamtfeldφ = φ(i)+φ(s)– also von dem einfallenden und dem gestreuten Feld – abhängt.
Inverses Streuproblem
Das inverse Streuproblem besteht darin, aus dem bekannten einfallenden Feldφ(i), dem gemessenen Feldφ(s)und dem Einbettungsmaterialc0die Lage und die Materialeigen- schaften des Streuers zu ermitteln. Bei der Lösung des inversen Streuproblems ergibt sich die Schwierigkeit, dass das Streufeld nur außerhalb des zu messenden Objektes zu- gänglich ist. Die Messung erfolgt, oftmals aus Gründen der Zugänglichkeit, nur auf einer zweidimensionalen Fläche. Das dreidimensionale Objekt soll aus einem zweidimensiona- len Messdatenfeld rekonstruiert werden. Devaney formuliert für die Inversion folgende Regel11:Die Dimensionalität der Daten muss mindestens so groß sein wie die Dimensionalität der Unbekannten, damit das inverse Quellen- und Streuproblem eine eindeutige Lösung besitzt[42].
D.h. dem Datenfeld fehlt eine Dimension. Diese Regel kann ohne weiteres erfüllt werden, indem die Position der Quelle variiert (angular diversity) und/oder mehrere Frequen- zen (frequency diversity) gemessen werden. Die Abbildung 1.1 wird durch einen zweiten Streuer erweitert. Das einfallende und das gestreute Feld wird zur einfacheren Darstellung durch Pfeile angedeutet. Das Bild 1.2 verdeutlicht die Nichtlinearität der Wellenausbrei- tung, die durch einen zusätzlichen Streuer entsteht. Die Nichtlinearität bedeutet, dass das Streufeldφ(s)1 nicht einzeln, ohne die Kenntnis des jeweils anderen Streuers berechnet werden kann, um es dann anschließend zu einem Gesamtfeld zu überlagern [42]
q(s)c1,c2(R ,t,φ) = 1 c20
⎛⎜⎜⎜⎜
⎝1− c20 c21(R) +c22(R)
⎞⎟⎟⎟⎟
⎠∂2tφ(R ,t)
q(s)c1 (R ,t,φ) +q(s)c2 (R ,t,φ). (1.39) Im Abschnitt 4 wird sich zeigen, dass sich eine Linearisierung anbietet, um die gesuchten sekundären Quellenq(s)als vergleichsweise einfache Lösung zu finden.
11Die sogenannte “golden rule“.
SM
c0
φ(s)1 VS1
c1(R) VS2
c2(R) φ(i)
Abbildung 1.2Das Streufeldφ(s)1 , verursacht durch das einfallende Feldφ(i), trifft auf den StreuerS2und wird zum StreuerS1reflektiert usw. Die Nichtlinearität entsteht aufgrund der Wechselwirkung zwischen den Streuern.
1.6 Lösung skalarer Quellenfelder mittels Green’scher Funk- tion
Die inhomogene Helmholtz-Schwingungsgleichung lässt sich für eine Punktquelle, die sich am Ort Rbefindet, leicht mit Hilfe der Green’schen Funktion lösen. Mathematisch wird dies durch
Δ+k2
G(R−R,ω) =−δ(R−R) (1.40)
ausgedrückt. Dieδ−Distribution stellt das mathematische Modell der Punktquelle dar und das Minuszeichen ist Konvention [51]. Die Lösung dieser Gleichung ist die dreidi- mensionale skalare Freiraum-Green-Funktion
G(R−R,ω) = ejk|R−R
|
4π|R−R|. (1.41)
Sie liefert zeitharmonische Kugelwellen, die der Sommerfeld’schen Ausstrahlungsbedin- gung genügen [50, 42]. Mit Hilfe der Green’schen Funktion kann die Lösung für die Gleichung (1.13) sofort hingeschrieben werden
φ(R ,ω) =
∞
−∞
q(i)(R,ω)G(R−R,ω)dR (1.42) bzw. für die Differentialgleichung mit der sekundären Quelle aus der Gleichung (1.36)
φ(R ,ω) =
∞
−∞
q(i)(R,ω) +q(s)(R,ω,φ)G(R−R,ω)dR. (1.43) Dabei beinhaltetq(i)die Quellgrößenφh+jωκφf. In (1.43) istq(s)immer noch von dem Gesamtfeld φ = φ(i)+φ(s) abhängig. Die physikalische Interpretation von (1.42) ist
eine gewichtete Synthese der akustischen Punktquelle mit auslaufenden Kugelwellen der Green’schen Funktion [51]. Es lässt sich leicht zeigen, dass die Integraldarstellung (1.42) Lösung der inhomogenen skalaren Wellengleichung (1.13) ist. Die Anwendung des Operators
∇+k2
auf (1.42) kann unter das Integral gezogen werden, da sie dort nur auf die R−Variable der Green’schen Funktion wirkt. Mit der Siebeigenschaft der Delta- Distribution aus (1.40) ergibt sich wieder die Gleichung (1.13). Die Lösung der Punktquelle lässt sich auf beliebige Quellverteilungen erweitern, indem alle Quellpunkte mit den Ku- gelwellen der Green’schen Funktion gewichtet und superponiert werden [51]. Dies spielt insbesondere bei dem inversen Streuproblem eine wichtige Rolle. Das primäre Feldφ(i) kann unabhängig vom gestreuten Feldφ(s)berechnet werden, sodass es aus der Gleichung (1.43) eliminiert werden kann. Für das Streufeld ergibt sich somit die Integralgleichung
φ(s)(R ,ω) =
∞
−∞
q(s)(R,ω)G(R−R,ω)dR
= −k20
∞
−∞
O(R)φ(R,ω)G(R−R,ω)dR; (1.44)
dabei istq(s)die Fourier-Transformierte zu (1.37) undO(R)die Objektfunktion [16, 42]
O(R) =1−k2(R)
k20 . (1.45)
Bei der Lösung der Gleichung (1.44) besteht die Schwierigkeit darin, dass das Streufeld φ(s)nochmals im Integral auftaucht. Das Gesamtfeld ergibt sich durch die Addition von φ(i)auf beiden Seiten von (1.44):
φ(R ,ω) =φ(i)(R ,ω)−k20
∞
−∞
O(R)φ(R,ω)G(R−R,ω)dR. (1.46) Die Integralgleichung (1.46) wird als Lippmann-Schwinger-Integralgleichung [42, 98, 51, 33] bezeichnet und kann für kanonische Probleme analytisch gelöst werden, für kompli- ziertere Streugeometrien müssen numerische Methoden herangezogen werden [42].
1.7 Das Huygens’sche Prinzip
Huygens formulierte 1690 verbal das nach ihm benannte Prinzip im Zeitbereich [44]. Es wurde aber erst 1859 von Helmholtz im Frequenzbereich und 1882 durch Kirchhoffim Zeitbereich mathematisch beschrieben. Es besagt,dass jeder Punkt auf einer Wellenfront als Punktquelle einer Kugelwelle wirkt, die sich mit der Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet. Zu einem
späteren Zeitpunkt ist das Feld an einem vorgegebenen Punkt die Summe der Felder jeder einzel- nen Punktquelle; die Einhüllende aller Kugelwellen von allen Punkten ist die nächste Wellenfront [63, 50]. In der Herleitung von [50] zeigt sich, dass zusätzlich zu den Elementarkugel- wellen Dipolwellen mit richtungsabhängiger Phase und Amplitude zu berücksichtigen sind (representation theorem[50]). Dabei werden auf der einen Seite der FlächeSggemäß dem Helmholtz-Integral die Elementarwellen superponiert und auf der anderen Seite interferieren sie zu Null (extinction theorem) [50]. Die Grundlage für die mathematische
Quelle Vq
V
Sg
n
Einh¨ullende
Abbildung 1.3Das Huygens’sche Prinzip.
Herleitung des Helmholtz-Integrals ist der zweite Satz von Green. Durch Umformungen findet sich das Oberflächenintegral
Sg
[φ(R,ω)∂nG(R−R,ω)−G(R−R,ω)∂nφ(R,ω)]dR (1.47)
=
⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪⎪
⎪⎩
−φ(R ,ω) +
V
q(i)(R,ω) +q(s)(R,ω,φ)G(R−R,ω)dR, R∈V
V
q(i)(R,ω) +q(s)(R,ω,φ)G(R−R,ω)dR, RV,
das als Helmholtz-Integral bezeichnet wird [42]. Dabei unterscheidet sich der Wert des Helmholtz-Integrals, je nachdem ob der Beobachtungspunkt R außerhalb oder innerhalb vonVliegt. Das Huygens’sche Prinzip löst das direkte Streuproblem durch eine Punkt- quellensynthese – also der Superposition von Elementarwellen – unter der Kenntnis der Green’schen Funktion des Einbettungsmaterials. Hierbei besteht das Problem, dass Streu- körper mit sich selbst oder mit anderen Streukörpern in Wechselwirkung stehen. Dieses
nichtlineare Problem wird durch die Kirchhoff’sche oder die Born’sche Näherung linea- risiert [51].
Der linearisierte SAFT-Algorithmus (Synthetic Aperture Focusing Technique), der in ei- nem späteren Abschnitt noch genauer beschrieben wird, ist beispielsweise eine auf eine ebene Fläche oder eine beliebige Fläche vereinfachte bzw. spezialisierte Form des Huy- gens’schen Prinzips zur Rückausbreitung von Messdaten.
Anregungsimpuls
In den Simulationen für die skalare und elastische Wellenausbreitung wird in dieser Arbeit für das einfallende Feldφ(i)ein Raised Cosine (RCn)-Impuls als Anregungsgröße verwendet [55]. Im Zeitbereich wird der (RCn)-Impuls durch
RCn(t) =
⎧⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎩
(−1)n+1 2
1−cosω
0 nt
cos(ω0t) 0<t<n2π/ω0
0 sonst (1.48)
beschrieben. In der Abbildung 1.4 ist der Zeitverlauf und das dazugehörige Betragsspek- trum des RC2-Impulses zu sehen. Im Frequenzbereich wurde die Amplitude auf den Maximalwert normiert.
RC2(t)
t·f0
0 1 2 3 4 5
1
0
−1
|RC2(ω)|
2πfω0
0 1 2 3 4 5
1
0
Abbildung 1.4RC2-Impuls im Zeitbereich (links) und Frequenzbereich (rechts). Die Abszisse ist auf die Mittenfrequenzf0normiert.
Direktes Streuproblem 2
In den nachfolgenden Kapiteln werden vermehrt kreiszylindrische Streuer auftauchen, daher wird das direkte Streuproblem anhand der analytischen Lösung der Streuung einer ebenen Welle mit dem Ansatz der spektralen Zerlegung nach ebenen Wellen am unendlich langen kreiszylindrischen Streuer für das skalare Potential veranschaulicht.
Die analytischen Lösungen dienen zum einen dem besseren Verständnis des direkten Streuproblems und des Streuvorgangs am Kreiszylinder, zum anderen dienen sie der Validierung und dem Vergleich numerischer Methoden.
2.1 Streuung einer ebenen Welle am Kreiszylinder
Der kreiszylindrische Streuer stellt ein kanonisches Streuproblem dar, das sich analytisch im zweidimensionalen Raum lösen lässt. Die Lösungen sind daher einfacher und der Rechenaufwand reduziert sich im Vergleich zu dreidimensionalen Streuproblemen.
Der kreiszylindrische Streuer wird so in das Koordinatensystem gedreht, dass er von der y-Koordinate1unabhängig wird. Der dreidimensionale Ortsvektor R=xex+yey+zez reduziert sich somit auf r=xex+zez und durch die Unabhängigkeit vonyist∂y≡0.
Die inhomogene Schwingungsgleichung (1.33) geht bei der Betrachtung des Feldes außer- halb des Streukörpers- und des Quellvolumens in die homogene Schwingungsgleichung
1Es kann auch die Ortskoordinatexoderzals unabhängige Koordinate gewählt werden.
