Mengenlehre ALGEBRA

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Mengenlehre

ALGEBRA Kapitel 1 WRProfil & NProfil - Mittelstufe

Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch

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Vorname:

26. September 2019

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Inhaltsverzeichnis

1 Mengenlehre 1

1.1 Die Menge im mathematischen Sinne . . . 1

1.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen . . . 4

1.3 Darstellungsformen . . . 5

1.3.1 Teilmengen . . . 9

1.4 Rechnen mit Mengen . . . 10

1.5 Mengen im Koordinatensystem . . . 17

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1 Mengenlehre

Eine zentraler Begriff in der Mathematik ist dieMenge. Aufgrund ihrer grossen Bedeutung werden wir unseren ALGEBRA-Lehrgang mit der Repetition der Mengenlehrebeginnen. Repetition deshalb, weil die Menge sowohl im Lehrplan des Untergymnasiums als auch im Lehrplan der 1. - 2. Sekundarschule vor- kommt. Wir werden die notwendigen Grundlagen kurz und schnell wiederholen.

Da eure Vorkenntnisse je nach vorheriger Schule eine unterschiedliche Tiefe haben wird, ist es von entscheidender Bedeutung, dass wenn etwas zu kurz oder zu schnell geht, ihr euch meldet und nachfragt.

Beachtet bitte:Wenn keine Fragen kommen, gehe ich davon aus, dass ihr den Stoffinhalt verstanden habt und ich im Thema weitergehen kann und wer- de.

Wir beginnen mit derDefinition der Mengeim mathematischen Sinn und werden uns dann intensiv mit denDarstellungsformenbefassen.

Das anschliessende Kapitel ¨uber das Rechnen mit Mengen wird uns die M¨oglichkeit bieten, die Darstellungsformen zur Anwednung zu bringen und uns insbesondere mit der mathematischen Schreibweise weiter vertraut zu machen.

Als abschliessendes Beispiel werden wir uns mit denMengen im Koordina- tensystembefassen.

1.1 Die Menge im mathematischen Sinne

Wir beginnen mit einem ¨Uberblick ¨uber (bekannte) mathematische Mengen:

1. N := . . .

= . . . 2. Ng := . . .

= . . . 3. Nu := . . .

= . . .

(4)

4. Vn := . . . Bsp.: V4 = . . .

V12 = . . .

5. Tn := . . . Bsp.: T4 = . . .

T12 = . . . 6. Z := . . .

= . . .

7. Z≤n := . . . Bsp.: Z≤−4 = . . .

Z>22 = . . . 8. Q := . . .

= . . .

9. Q⁺ := . . . 10. R := . . .

11. R⁻_≥5 = . . .

Doch was unterscheidet die obigen Mengen von

• der Menge aller netten Menschen,

• einer Menge Zucker ?

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Wir wollen nun den Begriff einer mathematischen Menge definieren:

Def.: Eine (mathematische) Mengeist . . .

Einige Bemerkungen :

• Die Objekte einer Menge heissen . . .

• eindeutig bestimmtbedeutet . . .

• wohlunterscheidbarbedeutet . . .

• Schreibweisen:

Beispiel 1.1 • die Menge aller ungeraden nat¨urlichen Zahlen

• die Menge aller netter Menschen

• Die Menge aller Sch¨ulerInnen einer Klasse

Algebra-Aufgaben:Mengenlehre 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)

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1.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen

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1.3 Darstellungsformen

Um eine (mathematische) Menge darzustellen verwenden wir drei verschiedene Formen, die

• aufz¨ahlende Form,

• die (mathematisch) beschreibende Form,

• Mengendiagramme.

Beispiel 1.2 An den folgenden Beispielen werden wir diese Darstellungs- formen besprechen:

1. Die Menge aller Teiler von 12

= { }

= {x|x ist ein T eiler von12}

. . . und als Mengendiagramm:

2. Die Menge aller Vielfachen von 7

= { }

=

. . . und als Mengendiagramm:

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Mit den folgenden Beispielen wollen wir die mathematisch beschreibende Formder Darstellung etwas ¨uben:

Beispiel 1.3 Stelle die folgenden Mengen in aufz¨ahlender Form dar:

1. {x|xist ein Teiler von 33}= . . . 2. {x|xist ein Vielfaches von 21}= . . . 3. {c|cist ein Vielfaches von 21}= . . . 4. {x|x <4}= . . .

5. {x∈N|x <4}= . . . 6. {r∈Z|r <4}= . . .

7. {x∈N| −5.3< x≤3.5}= . . . 8. {w∈Z| −5.3< w≤3.5}= . . . 9. {x∈V6|x∈T54}= . . . 10. {q∈N|x·q <25}= . . .

11. {q∈N|x·q <25 undx∈T4}= . . . 12. {t∈N|x^t≥25 undx∈T4}= . . . 13. {x∈N|x^t≥25 undt∈T4}= . . . 14. {t∈T12|x^t≥250 undx∈N≥8}= . . . 15. {s∈N|2^s−1≤15}= . . .

16. {q∈Z|q³<64}= . . . 17. {q∈Z| −q³<−64}= . . .

18. {a∈N|a= 5g undg∈T20}= . . . 19. {y∈N|y= 2t+ 12 undt∈V3}= . . . 20. {h∈Z|h= 3x−210 undx∈N≤12}= . . . 21. {h∈N|h= 3x−210 undx∈N≤12}= . . . 22. {b∈N|b=r² undr∈N0}= . . .

23. {f ∈N|20>5f}= . . . 24. {j∈Z|20>5j}= . . . 25. {f ∈Z|20< j}= . . .

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Beispiel 1.4 Stelle die folgenden Mengen in der mathematisch beschrei- benden Form dar:

1. {1,2,3,4,5, . . .}= . . . 2. {1,3,5,7,9, . . .}= . . . 3. {17,18,19,20,21}= . . . 4. {. . . ,17,18,19, . . .} = . . . 5. {4,8,12,16, . . .}

6. {64,68,72,76,80, . . .}

7. {333,336,339,342, . . .660,663,666}

8. {1,2,3,6}

9. {117,130,143, . . .} = . . . 10. {−4,−3,−2, . . .4,5} = . . . 11. {3,17,31,45,59, . . .}= . . . 12. {10,17,24,31, . . .} = . . . 13. {4,15,26,37, . . .114}= . . . 14. {. . . ,88,68,48,28}= . . . 15. {10,9.5,9,8.5, . . .0} = . . . 16. {1,1.2,1.44,1.728, . . .}= . . . 17. {2,−3,4.5,−6.75,10.125, . . .}= . . . 18. {2,3,5,7,11,13,17,19,23, . . .} = . . . 19. {1,4,9,16,25, . . .}= . . .

20. {10,40,90, . . .810,1000} = . . . 21. {¹₁,¹₂,¹₃,¹₄, . . .}= . . .

22. {¹₁,¹₄,¹₉,₁₆¹, . . .}= . . . 23. {¹₂,²₃,³₄,⁴₅, . . .}= . . . 24. {₁₃⁵,₁₄⁵,₁₅⁵,₁₆⁵, . . .}= . . .

25. {0.1,0.01,0.001,0.0001, . . .}= . . .

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Algebra-Aufgaben:Mengenlehre 2b (Zugeh¨orige L¨osungen)

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1.3.1 Teilmengen

Def.: Eine Menge Aheisst eine Teilmengeder Menge B, genau dann wenn jedes Element vonAauch ein Element vonBist.

Einige Bemerkungen:

• Schreibweise:

•

• Mengendiagrammdarstellung:

Beispiel 1.5 • N⊂N0⊂Z⊂Q

• V² . . . V⁴

• T6 . . . T12

Aufgaben : SeiA:={a, b, c}.

Bestimme alle Teilmengen vonA.

Abschliessend noch einige Bemerkungen:

•

(12)

1.4 Rechnen mit Mengen

Ahnlich zu den bekannten Rechenoperationen . . . , . . . , . . . und . . . , welche uns¨ das Rechnen mit Zahlen ermöglichen, existieren Mengenverknüpfungen, welche uns das Rechnen mit Mengen ermöglichen:

•

Aufgaben : Schraffiere die entsprechenden Mengenverk¨upfungen und erg¨anze analog:

• A∪B

heisst die VereinigungsmengevonAundB Sprechweise: ”A vereinigt mit B”

und beinhaltet alle Elemente, die zuAoderzuBgeh¨oren.

• A∩B

heisst . . .

Sprechweise: ” . . .

und beinhaltet alle Elemente, die . . .

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• A\B

heisst . . .

und beinhaltet alle Elemente, die . . .

• B\A

heisst . . .

und beinhaltet alle Elemente, die zu . . .

Einige Bemerkungen •

•

und zwei neue Begriffe:

•

(14)

Es gibt nicht nur in Analogie zum Rechnen mit Zahlen die Mengenver- kn¨upfungen, sondern auch Rechengesetze, wovon wir gerade eine kennengelernt haben:

Mit den folgenden beiden Mengendiagrammen (ohne Grundmenge) wollen wir noch auf zwei weitere Regeln aufmerksam machen, welche beimVerkn¨upfen von mehreren Mengenzu beachten sind:

Stelle die folgende Vekn¨upfung im nebenstehenden Diagramm dar:

A\B∩C

Stelle die schraffierte Fl¨ache im nebenstehenden Diagramm durch Mengenverkn¨upfungen dar:

⇒zu beachten:

•

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Beispiel 1.6 Die Diagrammdarstellung hilft uns auch Fragen von folgen- dem Typ zu beantworten:

• SeiA⊂B ⇒ 1. A∩B= 2. A\B=

• SeiA=B ⇒ 3. A∩B= 4. A\B=

• SeienAundBdisjunkt ⇒ 5. A∩B= 6. A\B= 7. B\A=

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Bevor wir zu weiteren Anwendungen und Aufgaben schliessen wir den theo- retischen Teil mit den Definitionen von Differenz-, Schnitt-, Vereinigung- und Komplement¨armenge in der sehr kurzen und elegantenmathematisch beschrei- benden Form:

Def.: SeienAundBzwei nicht-leere Mengen undGeine Grundmenge.

A\B:=

B\A:=

A∩B:=

A∪B:=

A^c:=

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Aufgaben : In einem Wohnblock mit 20 Familien finden wir die folgende Verteilung von CD-Player, Radios und Fernsehger¨aten vor:

• Zw¨olf Familien besitzen ein Radio.

• Ein Fernseher steht bei elf Familien im Wohn- zimmer.

• Eine Familie besitzt einen CD-Player, aber kein weiteres Unterhaltungsger¨at.

• Vier Familien besitzen alle drei Ger¨ate.

• Zwei Familien besitzen Radio und Fernseher, aber keinen CD-Player.

• Sieben Familien haben einen Radio und einen CD-Player.

• F¨unf Familien besitzen mindestens einen Fern- seher und einen CD-Player.

Wir definieren weiter:

C:= Menge aller Familien, mit einem CD-Player.

R:= Menge aller Familien, mit einem Radio.

F:= Menge aller Familien, mit einem Fernseher.

Stelle die obigen Bedingungen mit Hilfe von Men- gen/ Mengenverknüpfungen dar und bestimme die zugehörige Mächtigkeit.

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Stelle die vorherige Situation in einem Mengendiagramm dar

und die folgenden Fragen in einer Mengenverkn¨upfung und beantworte sie:

1. Wie viele Familien besitzen keinen Radio ?

2. Wie viele Familien besitzen keinen Fernseher ?

3. Wie viele Familien besitzen keinen CD-Player ?

4. Wie viele Familien besitzen keines dieser drei Ger¨ate ?

5. Wie viele Familien besitzen nur genau ein Unterhaltungsger¨at ?

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1.5 Mengen im Koordinatensystem

In diesem Abschnitt wollen wir dasKoordinatensystem mengentheoretisch be- trachten und beginnen mit einer kurzen Wiederholung der wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit einem KS.

Um ein (ebenes) Koordinaten- system eindeutig festlegen zu k¨onnen ben¨otigen wir

•

Bem.: • Ein Koordinatensystem heisstkartesisch:⇔ . . .

• Ein Beispiel f¨ur ein nicht-kartesisches Koordinatensystem:

(20)

Mit der Hilfe eines Koordinatensystems k¨onnen wir Punkte undMengen von Punkteneindeutig festlegen.

Mengentheoretisch betrachtet ist ein (2-dimensionales) Koordinatensystem eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer, eindeutig bestimmter Punkte der Ebene zu einem Ganzen (also eine . . . ) und dieses Ganze l¨asst sich mathematisch elegant wie folgt beschreiben:

E:={(x/y)|x, y∈R} Sprechweise: . . .

Vereinbarung: . . .

Diese Darstellung ermöglicht uns auch geometrische Objekte wie Geraden, Strecken, Flächen . . . mengentheoretisch zu beschreiben und zwar als eine Men- ge von Punkten (x/y) deren Koordinaten gewisse Eigenschaften erfüllen, d.h.

als

{(x/y)| Eigenschaften f¨ur xundy}

Beispiel 1.7 Stelle die im folgenden KS eingezeichneten Geraden und Strecken mengentheoretisch dar:

- 6

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Beispiel 1.8 Stelle nun umgekehrt die folgenden Mengen im untenstehenden KS graphisch dar:

1. A={(x/y)|x= 5∧y= 2}

2. B={(x/y)|x=−3∧y= 0}

3. C={(x/y)|x= 2∧y∈N} 4. D={(x/y)|x=−2∧y∈R} 5. E={(x/y)|y=−4∧x∈R} 6. F={(x/y)|y= 0∧x∈Z⁻}

(22)

Aufgaben : Die folgenden Mengen sind gegeben:

A={(x/y)|x= 1.5}

B={(x/y)|y=−2}

Schraffiere die folgenden Mengen im untenstehenden KS:

1. C=A∩B 2. D=A∪B 3. E=A\B

4. F={(x/y)|x≤ −1}

5. G={(x/y)|y >3.4}

- 6

Vereinbarung:

(23)

Aufgaben : Schraffiere die folgenden Mengen im untenstehenden KS:

1. H={(x/y)|x >3}

2. I={(x/y)|y≤1}

3. J={(x/y)|y >2}

4. K={(x/y)|x >4∨y= 4}

5. L={(x/y)|x= 4∧y >2,5}

- 6

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Aufgaben : Stelle die im untenstehenden KS schraffierten Fl¨achen durch eine Menge dar:

- 6

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