Kongruenzabbildungen
Geometrie
Kapitel 3
Gymnasiale Unterstufe
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch
Name:
Vorname:
23. April 2020
Uberblick ¨¨ uber die bisherigenGEOMETRIE - Themen:
1 Einf¨uhrung in die Geometrie - Grundbegriffe 1.1 Ein kurzer historischer Abriss
1.2 Pr¨agende Pers¨onlichkeiten 1.3 Warum Geometrie?
1.4 Punkt, Strecke, Strahl & Gerade 1.5 Das Geodreieck
1.6 Der Zirkel
1.7 Winkeleigenschaften
1.8 Winkelkonstruktionen - ein selbst¨andiges Erarbeiten 1.9 Das regelm¨assige 5-Eck & seine Winkel
eineLernaufgabemit Hilfe von Wikipedia 1.10 Das Billardspiel
1.11 Abstandsbestimmungen 1.12 K¨orper,
mit einerLernwerkstattzu den Platonischen K¨orper 1.13 Wo bin ich? Koordinatensysteme
2 Das Dreieck
2.1 Grundbegriffe & Notationen im & am Dreieck 2.2 Die Eulergerade & der Feuerbachkreis
2.3 Spezielle Dreiecksformen
2.4 Notationen & Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks 2.5 Die Kongruenzs¨atze
2.6 Geometrische Orte & weitere Dreieckskonstruktionen
Inhaltsverzeichnis
3 Kongruenzabbildungen 1
3.1 Der Begriff der Abbildung . . . 2
3.2 Achsenspiegelungen (Geradenspiegelungen) . . . 3
3.2.1 MeineErkenntnisse aus der Aufgabenserie 1. . . 5
3.2.2 Bestimmung der Symmetrieachsen . . . 6
3.3 Verschiebungen (Translationen) - der Begriff des Vektors . . . 9
3.3.1 MeineErkenntnisse aus der Aufgabenserie 3. . . 10
3.3.2 Die Darstellung von Vektoren . . . 11
3.3.3 Die Addition von Vektoren -eine Lernaufgabe. . . 15
3.3.4 MeineErkenntnisse aus der Aufgabenserie 4 & 5 . . . 16
3.4 Drehungen (Rotationen) . . . 17
3.4.1 MeineErkenntnisse aus der Aufgabenserie 6. . . 20
3.5 Punktspiegelung . . . 21
3.5.1 MeineErkenntnisse aus der Aufgabenserie 7. . . 23
3.6 GeoGebraund die Geometrie - ein SOL-Projekt . . . 24
3.6.1 Die Arbeit in Gruppen. . . 25
3.6.2 Mein GeoGebra. . . 26
3.7 Die Verkn¨upfung von Kongruenzabbildungen eine Lernaufgabe . . . 27
3.8 Anwendungen bei Dreieckskonstruktionen . . . 29
3.8.1 Repetition von ∆-Konstruktionen . . . 29
3.8.2 Ein neuer Aufgabentyp . . . 40
3.8.3 Anwendungen. . . 43
3.8.4 Aufgaben . . . 45
3.8.5 Die letzten Aufgabentypen . . . 47
3.8.6 MeineErkenntnisse aus der Aufgabenserie 8. . . 50
3.9 Schlussbemerkungen . . . 51
3.9.1 Schlussaufgaben . . . 52
3.9.2 MeineZusammenfassung . . . 53
3 Kongruenzabbildungen
Wir werden uns in diesem Kapitel mit dem Begriff der sog.
Kongruenzabbildungen
auseinandersetzen.
Im Titel sind zwei Begriffe vereint:
wobei wir einen schon kennengelernt haben:
UnsereZielewerden sein,
die einzelnen Begriffe zu erkl¨aren,
die Kongruenzabbildungen und deren Eigenschaften zu diskutieren und sie nat¨urlich in Konstruktionsaufgaben anzuwenden,
GeoGebrakennen und anwenden zu lernen.
den Zusammenhang zwischen den Kongruenzabbildungen in einemSOL- Projekt zu erarbeiten.
Von spezieller Bedeutung sind auch die Aufgabenserien. Es wird jeweils eure Aufgabe sein, die wichtigsten Erkenntnisse aus dem L¨osen der Aufgaben im Theorieheft zusammenzufassen.
3.1 Der Begriff der Abbildung
Wenn wir schon die Kongruenzabbildungendiskutieren wollen m¨ussen wir auch wissen, was eineAbbildungist:
Def.: EineAbbildungf ist
Beispiel 3.1
Bem.: Schreibweise:
Sprechweise:
und eine Abbildung heisstkongruent
Schreibweise:
3.2 Achsenspiegelungen (Geradenspiegelungen)
Beispiel 3.2 KonstruiereSg(P):
Def.: EineAchsenspiegelung
Beispiel 3.3 KonstruiereSh(∆RST):
Aufgaben 3.1 Konstruiere Sh◦Sg(P)
Sg◦Sh(∆ABC)
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 1 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.2.1 Meine Erkenntnisse aus der Aufgabenserie 1
3.2.2 Bestimmung der Symmetrieachsen
Wir werden nun die Fragestellung der Aufgaben umkehren von Wie sieht das Spiegelbild aus ?
auf
Existiert eine Gerade, an welcher durch Spiegelung die zueinander kongruenten Figuren ineinander ¨ubergef¨uhrt werden k¨onnnen ?
Beispiel 3.4 Gegeben sind die PunkteA undB.
Konstruiere eine Gerade g, so dass gilt: Sg(A) =B
Gegeben sind die gleich langen Strecken dunde.
Konstruiere eine Gerade g, so dass gilt: Sg(d) =e
Aufgaben 3.2 Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ∆ABC mit der Seitec als Basis.
Spiegle das Dreieck ∆ABC an der Winkelhalbierendenωγ.
Die festgestellte Eigenschaft wollen wir wie folgt definieren:
Def.:
Bem.:
Aufgaben 3.3 Konstruiere ein beliebiges Quadrat.
Ist ein Quadrat eine achsensymmetrische Figur?
Wenn ja, bestimme die Symmetrieachsen.
Suche im Internet mindestens drei weitere achsen- symmetrische Figuren und sende mir die Links:
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 2 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.3 Verschiebungen (Translationen) - der Begriff des Vektors
Def.: Eine Abbildung, die jeden Punkt einer Figur gleich weit in die gleiche Richtung verschiebt heisst eineTranslation
⇒um eine Translationeindeutigfestlegen zu k¨onnen brauchen wir
Aufgaben 3.4 Konstruiere T~v(P),
T~v(ABCDE).
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 3 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.3.1 Meine Erkenntnisse aus der Aufgabenserie 3
3.3.2 Die Darstellung von Vektoren
Wir wollen versuchen eine Darstellung von Vektoren herzuleiten
welche denverschiebendenCharakter des Vektors vollumf¨anglich beschreibt,
mit welcher sich sp¨ater auch einfach rechnen l¨asst.
Allgemein gilt:
Beispiel 3.5 Wir gehen von folgenden Gr¨ossen aus:
E= (−3/4), F = (2/−2), ~a=
3
−1
und ~b=
4
0
und wollen die Bildpunkte E0 = T~a(E) und F0 = T~b(F) untersuchen.
KonstruiereE, F, E0 undF0,
Bestimme deren Koordinaten,
Was stellst Du fest:
Die Erkenntnisse aus dem letzten Beispiel erm¨oglichen uns auch das L¨osen der folgenden Aufgaben:
Aufgaben 3.5 Wir verwenden die folgenden Punkte und Vektoren:
A= (−5/2), B= (2/4), C= (0/−3), ~a=
1
4
,~b=
−5
−3
~c=
2
0
1. Berechne die Koordinaten folgender Bildpunkte:
(a) T~b(C) = (b) T~a(A) = (c) T~c(B) =
2. Verifiziere deine Berechnungen geometrisch:
Verwende die graphische Darstellung.
3. Bestimme die Komponenten des Vektors, der (a) Aauf B abbildet,
(b) B auf C abbildet, (c) C aufB abbildet,
(d) Aauf den Ursprung abbildet, (e) den Ursprung auf Aabbildet, (f ) B auf B abbildet.
Eine kleine Anwendung:
Aufgaben 3.6 Willi muss zwei Hunde ausf¨uhren, einen Sch¨aferhund, der mit der Kraft ~s in die eine und einen Pudel, welcher mit der Kraft ~pin eine andere Richtung zieht.
Unterwegs sieht er noch einen Eisverk¨aufer.
Skizziere die Situation:
Ziehen die Hunde Willi zum Eisverk¨aufer hin?
Zeichne den Kraftvektor eines dritten Hundes ein, so dass die drei Hunde zusammen Willi zum Ein- verk¨aufer ziehen.
Wie starkt und in welche Richtung m¨usste ein Ele- fant ziehen, damit sich Willi trotz seiner beiden Hun- de nicht bewegen w¨urde?
und wenn wir alle drei Hunde ber¨ucksichtigen?
3.3.3 Die Addition von Vektoren - eine Lernaufgabe
Mit der folgendenLernaufgabesollst du die Zusammenh¨ange zwischen zwei Vek- toren als Summanden und deren Summe geometrisch und analytische untersu- chen:
Konstruiere ein beliebiges∆ABC mit ganzzahligen Koordinaten f¨ur die Eckpunkte und zwei Vektoren~v undw~ mit ganzzahligen Kompo- nenten:
Konstruiere T~v(∆)
Tw~(∆)
T~v◦Tw~(∆)
Tw~◦T~v(∆)
und untersuche die folgenden Aufgabenstellungen:
Ist die Verkn¨upfung zweier Translationen kommutativ und l¨asst sie sich durch eine Translation ersetzen?
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 4 (Zugeh¨orige L¨osungen)
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 5 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.3.4 Meine Erkenntnisse aus der Aufgabenserie 4 & 5
3.4 Drehungen (Rotationen)
Wir kommen zu einer weiteren Kongruenzabbildung, derDrehung, und wollen die Abbildung dazu verwenden, um einen ersten Zusammenhang zwischen den verschiedenen Kongruenzabbildungen aufzuzeigen:
Aufgaben 3.7 KonstruiereSb◦Sa(EF GH)
Aufgaben 3.8 Drehe das Dreieck ∆ABC bez¨uglich dem Zentrum P mit α= 750,
Drehe das Dreieck ∆ABC bez¨uglich dem Zentrum Q mit β =−300.
Untersuche die Verkn¨upfung auf Kommutativit¨at.
Aufgaben 3.9 Konstruiere zwei beliebige, zueinander kongruente Dreiecke
∆ und ∆0 mit gleicher Orientierung.
Konstruiere das DrehzentrumZ, so dass gilt: DZ(∆) = ∆0
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 6 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.4.1 Meine Erkenntnisse aus der Aufgabenserie 6
3.5 Punktspiegelung
Wir haben im vorherigen Abschnitt festgestellt, dass wir
die Verkn¨upfung zweier Achsenspiegelungen an sich schneidenden Spiege- lungsgeraden durch eine Drehung ersetzen k¨onnen,
die Verkn¨upfung zweier Achsenspiegelungen an zu einander parallelen Ge- raden durch eine Translation ersetzen k¨onnen.
Wir wollen nun den Fall untersuchen, wo die Spiegelungsgeraden senkrecht zueinander stehen:
Aufgaben 3.10 KonstruiereSg◦Sh(∆ABC)
Aufgaben 3.11 Spiegele das Viereck EFGH am PunktP, Spiegele das Viereck EFGH am PunktQ.
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 7 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.5.1 Meine Erkenntnisse aus der Aufgabenserie 7
3.6 GeoGebra und die Geometrie - ein SOL-Projekt
Das folgende Skript erm¨oglicht dasselbst¨andige Kennenlernen in kleinen Grup- pender geometrischen Anwendungsm¨oglichkeiten, welche unsGeoGebraf¨ur un- ser aktuelles Thema anbietet:
ICT am UG
Einf¨uhrung in GeoGebra Geometrie
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨urich www.ronaldbalestra.ch
Name:
Vorname:
23. April 2020
3.6.1 Die Arbeit in Gruppen
3.6.2 Mein GeoGebra
3.7 Die Verkn¨ upfung von Kongruenzabbildungen eine Lernaufgabe
Wir verwenden dazu die folgende Lernaufgabe:
Selbst¨andiges Arbeiten UG
Die Verkn¨upfung von Kongruenzabbildungen
Klasse U2g Sept.’14 / R. Balestra
3.8 Anwendungen bei Dreieckskonstruktionen
3.8.1 Repetition von ∆-Konstruktionen
Bevor wir zu den Anwendungen der Kongruenzabbildungen und der Unterst¨uzung vonGeoGebrabei Dreieckskonstruktionen kommen, wollen wir
zuerst repetieren, wie eine Konstruktionsaufgabe angegangen wird
und nat¨urlich einige Aufgaben dazu l¨osen.
Konstruktionsaufgaben - die Vorgehensweise
Einwichtiges Zieldieses Abschnittes ist auch derRichtige Umgangmit Mu- sterl¨osungen.
Ihr kennt die Situation schon im Zusammenhang mit den (Haus-)Aufgaben, wo euch schon jetzt ausf¨uhrliche Musterl¨osungen zur Verf¨ugung stehen. Jetzt gilt diese Situation auch im Umgang mit dem Erarbeiten der Theorieunterlagen.
Mit Hilfe eurer Erfahrungen wollen wir die folgenden Punkte diskutieren:
1. zum richtigen Umgang geh¨oren:
2. v¨ollig falsch ist:
Aufgaben 3.12 Bestimme (ohne zu konstruieren), welche der folgenden Dreiecke warum eindeutig konstruierbar sind:
(a) a= 5cm, b= 6cm, c= 8cm (b) α= 300, β = 450, γ= 1050 (c) c= 10cm, α= 300, β = 450 (d) a= 5cm, b= 8cm, α= 300 (e) a= 5cm, b= 8cm, β= 300 (f ) a= 3cm, b= 5cm, c= 2cm
(g) und konstruiere jetzt noch die Aufgabe (f ).
In den folgenden Aufgaben werden jeweils die ¨ublichen Bezeichnungen f¨ur die Gr¨ossen in einem Dreieck verwendet:
Wir fassen noch unsere schon bekannten Eigenschaften im & am Dreieck zusammen:
Aufgaben 3.13 Konstruiere mit GeoGebra ein beliebiges Dreieck ∆ABC und zeiche (weiterhin mit GeoGebra all die oben bespro- chenen Strecken, Strahlen und Geraden ein.
Aufgaben 3.14 Konstruiere nun die folgenden Dreiecke ∆ABC mit Geo- Gebra und speichere anschliessend deine L¨osung als ggb- file mit Navigationsleiste.
Die Schlusskonstruktion und der Konstruktionsbericht sind als PDF zu speichern, auszudrucken und im Skript einzu- kleben.
1. β= 600, ωβ= 4cm, a= 7cm
2. a= 7cm, b= 8cm, sb= 6cm
3. α= 900, ωα= 4cm, β= 600
4. c= 10cm, hc= 4cm, sc= 5cm
5. a= 5cm, β= 400, b= 4cm
6. rU = 4cm, a= 7.5cm, ha = 1.5cm
7. ein gleichseitiges Dreieck mitρ= 1.5cm
Wie schon angesprochen, stehen euch die L¨osungen zu den Theorie Aufga- ben 3.14 alsggb-file auf meiner homepage zur Verf¨ugung:.
Denkt an denRichtigen Umgang
Nach dem ¨Offnen der files k¨onnt ihr dieNavigationsleiste aktivieren und so den ganzen Konstruktionsablauf abspielen und mit euren L¨osungen vergleichen:
Ansicht - Layout - Eigenschaften - Grafik und das H¨acklein setzen bei
Navgationsleiste f¨ur Konstruktionsschritte Anzeigen
3.8.2 Ein neuer Aufgabentyp
Aufgaben 3.15 Konstruiere die folgenden Dreiecke∆ABC:
Auch hier gilt wieder:
Die Schlusskonstruktion und der Konstruktionsbericht sind als PDF zu speichern, auszudrucken und im Skript einzu- kleben.
1. a+b= 10cm , c= 7cm , α= 400
2. c−a= 2cm , hc= 5cm , β= 500
3. a+b+c= 14cm , α∗= 1100 , c= 6cm
3.8.3 Anwendungen
Die folgenden Anwendungen stammen aus den Internet
http://f.sbzo.de/onlineanhaenge/files/978-3-14-121658-5-3-l.pdf
Eure Aufgaben bestehen nun darin, die SituationmassstabgetreumitGeoGe- brazu konstruieren und jeweils die gesuchten Gr¨ossen mitGeoGebrazu messen:
3.8.4 Aufgaben
1. Gegeben ist das F¨unfeckABCDE mit folgenden Punkten:
A= (−1/5), B= (−1/1) , C= (5/4), D= (2/3), E= (0/3) (a) Bestimme die Innenwinkel & die Seitenl¨angen des F¨unfecksABCDE.
(b) Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte von D(Z,900)(ABCDE) mitZ = (4/1)
(c) Bestimme die Koordinaten der Bildpunkte vonT~u◦D(Z,900)(ABCDE) mit ~u = F G~ und F = (−4/2) und G = (−2/5) und weiter den Fl¨acheninhalt des Bildes und Urbildes und den Umfang des Bildes.
2. Wir wollen uns noch einmal mit derFlussaufgabebefassen und gehen von einem Turm aus, der in einem Anstand von 70mvom linken Ufer steht.
(a) Bestimme die Tiefenwinkel von einem Turm aus mit der H¨ohe 50m, f¨ur eine Flussbreite von
(i) 25m , (ii) 30m , (iii) 40m
(b) Bestimme wieder die Tiefenwinkel von einem Turm aus, der die glei- che H¨ohe hat, aber 200gegen das Ufer geneigt ist. F¨ur eine Flussbreite von
(i) 25m , (ii) 30m , (iii) 40m
(c) Bestimme die notwendige H¨ohe des Turms, um den Fluss mit einer Breite von 32munter einem Sehwinkel von
(i) 50, (ii) 80, (iii) 120 sehen zu k¨onnen.
(d) Erstelle ein GeoGebra-file mit einem Schieberegler f¨ur die H¨ohe des Turms und einem Schieberegler f¨ur die Breite des Flusses, um den Sehwinkel in Abh¨angigkeit dieser beiden Gr¨ossen bestimmen zu k¨onnen.
3. . . . und noch eine Frage zur Pyramide:
Wie weit muss der Betrachter von der Pyramide entfernt sein, um die Spitze unter einem Winkel von 120 zu sehen ?
4. Verifiziere mit Hilfe vonGeoGebradie folgenden Aussagen:
dieEulergerade:
In jedem Dreieck liegen der SchnittpunktH der H¨ohen, der Schnitt- punktSder Seitenhalbierenden (Schwerlinien) und der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten auf einer Geraden. Weiter gilt: HS = 2·M S
Diese Gerade heisstEuler-Gerade.
derFeuerbachkreis:
Die Seitenmitten Ma, Mb, Mc und die H¨ohenfusspunkte Ha, Hb, Hc
eines Dreiecks und die Mittelpunkte A, B, C zwischen den Dreieck- secken und dem H¨ohenschnittpunkt liegen auf einem Kreis.
Dieser Kreis heisstFeuerbach-Kreis oder Neunpunktekreis.
F¨ur weitere Informationen zurEulergeradenund demFeuerbachkreis:
http://www.michael-holzapfel.de/themen/euler-feuerbach/euler- fb.htm
5. Du hast die Musterl¨osungen zu den Aufgaben in der Zwischenzeit erhalten und jetzt die Aufgabe, die L¨osung zur Aufgabe 2(d) wie folgt anzupassen:
(a) Alle Eckpunkte des Turms sollen als schwarzes Kreuz sichtbar sein.
(b) Der Sehwinkel soll violett sein und der eingezeichnete Winkel soll gr¨osser dargestellt werden.
(c) Die Flussbreite soll bis auf 70mw¨ahlbar sein.
(d) Die Turmh¨ohe soll nicht kleiner gew¨ahlt werden k¨onnen, als bis ein Flachdach f¨ur den Turm entsteht.
(e) Zeichne ein Fenster in den Turm.
(f) Bestimme den Abstand vom linken und vom rechten Ufer zur Turm- spitze.
Weitere Aufgaben mit L¨osungen zu Aufgaben mit Anwendungen der Drei- eckskonstruktionen sind auf der folgenden Seite zu finden:
http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1ge/dk/dkindex.html
3.8.5 Die letzten Aufgabentypen
Wir wollen uns in beiden Aufgaben jeweils durchHerantestenein L¨osungsver- fahren erarbeiten:
1. Aufgabe
Gegeben ist eine Gerade g, ein Kreis K mit g∩K = { } und ein beliebiger PunktA.
Konstruiere ein QuadratABCD mitB ∈gundD∈K.
Wir wollen uns nun an die L¨osung herantesten, in dem wir mehrere Quadrat konstruieren, die nureineder geforderten Bedingungen erf¨ullt: B∈g
Skizze:
Wir stellen fest . . .
Die Aufgabe:
Gegeben ist die Gerade g, der Kreis K mit g∩K = { } und der PunktA.
Konstruiere ein QuadratABCD mit B∈g undD∈K.
(Dieggb−Vorlage ist auf meiner homepage zu finden, unterL¨osungen zur Theorie ...)
Als Vorbereitung f¨ur die Aufgabe5)aus der AufgabenserieKongruenzab- bilungen 8wollen wir die folgende Situation diskutieren:
2. Aufgabe
Konstruiere die folgende Situation:
Gegeben sind zwei konzentrische Kreise um den MittelpunktM und ein gleichseitiges Dreieck ∆ABC, so dass auf jedem Kreis genau ein Eckpunkt des Dreiecks liegt.
Skizze:
Wir stellen fest . . .
Geometrie-Aufgaben: Kongruenzabbildungen 8 (Zugeh¨orige L¨osungen)
3.8.6 Meine Erkenntnisse aus der Aufgabenserie 8
3.9 Schlussbemerkungen
Wir haben in den bisherigen Stunden u.a. gelernt,
was Abbildungen sind . . .
was Kongruenzabbildungen sind . . .
was Kongruenzabbildungen f¨ur Eigenschaften haben . . .
und was es heisst, wenn zwei Figuren zueinander kongruent sind: . . .
und zu diesen Kongruenzabbilungen gibt es noch eine wichtige geometrische Eigenschaft, welche wir in folgendemSatz (ohne Beweis) festhalten wollen:
Satz (i) Jede orientierungserhaltende Kongruenzabbildung l¨asst sich durch (maximal) zwei Achsenspiegelungen darstellen.
(ii) Jede nicht-orientierungserhaltende Kongruenzabbil- dung l¨asst sich durch (maximal) drei Achenspiegelun- gen darstellen.
3.9.1 Schlussaufgaben
Aufgaben 3.16 Gib Dir ein beliebiges Dreieck∆ABC vor und
1. verschiebe das∆ABCum einen von Dir vorgegebenen Vektor~vund ersetze Deine Translation durch Achsen- spiegelung(en),
2. drehe das∆ABC um ein von Dir vorgegebenes Dreh- zentrum Z und einen ebenfalls von Dir gew¨ahlten Winkel ϕund ersetze Deine Rotation durch Achsen- spiegelung(en),
3. spiegele das ∆ABC an einem von Dir gew¨ahlten Punkt P und ersetze Deine Punktspiegelung durch Achsenspiegelung(en).
4. spiegele das ∆ABC an einer von Dir vorgegebenen Achsegund ersetze Deine Achsenspiegelung durch ei- ne Verkn¨upfung anderer Achsenspiegelungen.
Geometrie-Aufgaben: Verkn¨upfungen von Kongruenzabbildungen
3.9.2 Meine Zusammenfassung
