Iteration methods with incomplete corrections and solution of nonlinear equations

Iterationsverfahren mit unvollstandigen Korrekturen und die Losung nichtlinearer

Gleichungen

M. A. Krasnosel'skii¹⁾, N. A. Kuznetsov¹⁾, D. J. Rachinskii¹⁾, R. Marz²⁾

Auf der Grundlage der Theorie dynamischer Systeme mit unvollstandigen Kor- rekturen 1-2] werden verschiedene Methoden vom Gau -Seidel-Typ zur nume- rischen Losung nichtlinearer Gleichungen formuliert und analysiert. Fur spe- zielle Klassen von Gleichungen ist eine Reihe dieser Methoden schon fruher diskutiert worden (z. B. 3-5]).

Die Ergebnisse der vorliegenden Arbeit liefern zugleich auch Aussagen uber die asymptotische Stabilitat von Gleichgewichtszustanden fur neue Klassen nichtlinearer dynamischer Systeme.

1) Russische Akademie der Wissenschaften Institut fur Probleme der Informationstrans- mission, Moskau

2) Humboldt-Universitat Berlin, Institut fur Mathematik

1 Die Methode der sukzessiven Approximati-

1.1 on

Wir befassen uns mit der naherungsweisen Losung der Gleichung x=F(x) x=^f1 ::: N^g2IR^N:

(1)

Dabei sei F(x) = ^ff¹(x) ::: fN(x)^gaufIR^N deniert mit skalaren Funktionen fi(x) =fi(¹ ::: N) . Der RaumIR^N sei halbgeordnet (vgl. 6-8]) in bezug auf den Konus K⁺ = ^fx=^f1 ::: N^g:i 0 i= 1 ::: N^g der nichtnegativen Vektoren, das hei t, wir denieren xyfur x y²IR^N, fallsy^;x²K⁺ gilt.

Sei auf IR^N eine Norm ^k:^k gegeben. Zu x =^f1 ::: N^{g 2} IR^N bezeichne ^jx^j den Vektor ^fj1j ::: ^jN^{jg 2}IR^N. Fur die Funktion F setzen wir voraus, da die Bedingung

jF(x)^;F(y)^jA^jx^;y^j x y²IR^N (2)

gelten moge mit einer N N Matrix A= (aij) mit nichtnegativen Eintragen und einem Spektralradius

r(A)<1: (3)Koordinatenweise formuliert, hat (1) die Gestalt

i =fi(¹ ::: N) i= 1 ::: N (4)

und (2) entspricht der Lipschitz-Bedingung

jfi(¹ ::: N)^;fi(&¹ ::: &N)^jai^1j1;&^1j++aiN^jN ^;&N^j

(5)

fur die skalaren Funktionen fi

1.2

Fur das klassische Iterationsverfahren nach Picard xn =F(xn^;1) n= 1 2 :::

(6)

in Koordinatenform geschrieben als

_ni =fi _i^n;1 ::: _N^n;1 i= 1 ::: N n= 1 2 :::

(7)

mit xn = ^f1n ::: _nN^g sind die folgenden Konvergenzaussagen wohlbekannt (z. B. 9-11]).

2

Theorem 1

^:

(i) Die Gleichung (1) besitzt genau eine Losung x ² IR^N. Fur beliebigen Startwert x^{0 2}IR^N konvergiert die Folge (6) imIR^N gegen x.

(ii) Die Abschatzung

kxn^;x^kC(")(r(A) +")^nkx^0;x^k n = 1 2 :::

(8)

gilt fur beliebiges " > 0 mit einer von " und der gewahlten Norm ^k:^k abhangigen Konstanten C(")<¹.

(iii) Wenn es zu denjenigen Eigenwerten der MatrixA mit^jj=r(A) keine Hauptvektoren gibt, so gilt die strengere Abschatzung

kxn^;x^kC(r(A))^nkx^0;x^k n = 1 2 :::

(9)

mit einer Konstanten C <¹, die nur von der Norm ^k:^k abhangt.

Die Ungleichung (9) ist z. B. dann gultig, wenn die Vektoren Ay oder A^ky, bei einem xiertem k, fur jedes nichttriviale y ² K⁺ lauter positive Kompo- nenten haben. Speziell gilt (9) fur fokusierende oder akute Matrizen A (8]).

Unter diesen Bedingungen ist r(A) ein einfacher Eigenwert vonA und fur alle anderen Eigenwerte von A gilt^jj< r(A).

Die Berechnung des Spektralradiuses r(A) ist bei gro em N sehr aufwendig, es gibt jedoch eektive einfache Algorithmen, die geeignete Abschatzungen fur r(A) liefern (z. B. 7-8]). Die Ungleichungen (8) und (9) fur die einfache Picard-Iteration (6) sind scharf und konnen nicht verbessert werden. Deshalb bemuhen wir uns um schneller konvergente Iterationsverfahren.

2 Hauptergebnis

2.1

SeiM = (ij) eine NN Matrix mit Eintragen 0ij 1 i j = 1 ::: N. Weiter unten werden wir Iterationsverfahren studieren, bei denen die Naherung xn=^f1n ::: _nN^g aus den Gleichungen

_ni=fi (i¹¹ⁿ+ (1^;i¹)^1n;1 ::: iN_nN + (1^;iN)_N^n;1 (10)

bestimmt wird. Der Startwert x⁰ = ^f01 ::: _N^{0g 2} IR^N kann dabei beliebig gewahlt werden. Die Gleichungen (10) schreiben wir ubersichtlicher in der Form

_ni='i ¹ⁿ ::: _nN ^1n;1 ::: _N^n;1 (11)

3

i= 1 ::: N indem wir die Funktionen

'i(&¹ ::: &N ¹ ::: N)

=fi(i¹&¹ + (1^;i¹)¹ ::: iN&N + (1^;iN)N) (12)

einfuhren.

Bei numerischen Verfahren (10) erfordert der Ubergang von xn^;1 zu xn die Losung der N skalaren Gleichungen (11) bezuglich der N unbekannten Kom- ponenten ¹ⁿ ::: _nN des Vektors xn.

Aus (11) entsteht wieder die Picard-Iteration (7), falls M die Nullmatrix ist.

2.2

Wir nennen eineNN MatrixG= (gij) positiv (bezuglich des Konus K⁺) und notieren dies als G 0, wenn alle Eintrage gij nichtnegativ sind.

Man schreibt G² G¹, fallsG^1;G² 0 gilt.

Zu den Matrizen A undM konstruieren wir eine HilfsmatrixB = (bij) mittels der Festlegung bij =aijij. Aus aij 0 und 0ij 1 folgt dann

0B A:

(13)

Bekanntlich impliziert (13) die Beziehung r(B) r(A) . Damit gilt naturlich r(B)<1, und die MatrixI^;B ist regular. Hierbei bezeichnet I die Einheits- matrix. Wir fuhren nun noch die Matrix

A⁰ = (I^;B)^;1(A^;B) (14)

ein. Aus den Ungleichungen (3) und (13) folgt die Abschatzung (vgl. 8]) r(A⁰)r(A)

(15)

die im folgenden Hauptsatz eine Rolle spielen wird.

Theorem 2

^:

(i) Das System

&i ='i(&i ::: &N¹ ::: N) i= 1 ::: N (16)

besitzt fur beliebigesy=^f1 ::: N^g2IR^N je genau eine Losungx(y) =

f¹ ::: N^g. Daher ist durch (10) die Folge der xn = ^f1n ::: _nN^g bei beliebig vorgegebenem Startwert x⁰ =^f10 ::: _N^0g eindeutig bestimmt.

(ii) Fur jeden Startwert x^{0 2}IRⁿ konvergiert die durch (10) de nierte Folge der xn gegen die einzige Losung x der Gleichung (1).

4

(iii) Fur das Verfahren (10) gelten analoge Aussagen zu Theorem 1 (ii) und (iii), wenn r(A) durch den Spektralradius r(A⁰) der Matrix (14) ersetzt wird. Dabei gilt stetsr(A⁰)r(A). WennAzusatzlich irreduzibel ist und M ⁶= 0 gilt, so ist die strenge Ungleichung

r(A⁰)< r(A) (17)

gultig.

Die Ungleichung (17) folgt aus einem Resultat von V. J. Stetsenko (12]).

Man nennt eine Matrix A irreduzibel, wenn aus Ax x > 0 x =

f¹ ::: N^{g 2} K⁺ x ⁶= 0, folgt, da alle Eintrage i des Vektors x positiv sind.

Der Beweis zu Theorem 2 wird im Anhang ausgefuhrt.

2.3

Nach Theorem 2 wird die Konvergenzgeschwindigkeit des Iterations- verfahrens (10) durch die Ungleichung

kxn^;x^kC(q)q^nkx^0;x^k n = 1 2 ::: x^{0 2}IR^N (18)

charakterisiert, wobei als q eine beliebige Zahl aus dem Intervall (r(A⁰) ¹) dienen kann.

Sei nun Q die Menge aller solchen Zahlen q >0, fur die die Ungleichung (18) jeweils gleichma ig fur alle Startwerte x^{0 2}IR^N gultig ist. Oensichtlich istQ entweder das oene Intervall (q ¹) oder das halboene Intervall q ¹) mit q = infQr(A⁰).

Wir setzen vorubergehend voraus, Gleichung (1) habe die spezielle Gestalt x=Ax+d

(19)

mit d=^fd¹ ::: dN^g2IR^N. Wegen

jAx^;Ay^jA^jx^;y^j x y²IR^N

ist die Bedingung (2) hier erfullt. In diesem Fall vereinfacht sich Formel (10) zu _ni = ai¹ i¹¹ⁿ+ (1^;i¹)^1n;1+

+aiN iN_nN + (1^;iN)_N^n;1+di

(20)

i= 1 ::: N:

5

Theorem 3

: Sei die Folge der Naherungenxn =^f1n ::: _nN^gfur die Losung x des linearen Systems (19) durch (20) de niert.

Dann bildet der Spektralradius r(A⁰) der Matrix (14) das In mum der Menge Q, also q = r(A⁰). Dabei gilt r(A⁰) ² Q genau dann, wenn r(A⁰) positiv ist und es daruber hinaus zu keinem der Eigenwerte der Matrix A⁰ mit

j^j=r(A⁰) Hauptvektoren gibt.

Im folgenden verwenden wir die in der Behauptung bereits benutzte Spektral- bedingung noch haug kurz als Bedingung

(a): Zu jedem der Eigenwerte der Matrix A⁰ mit der Eigenschaft ^jj=r(A⁰) gibt es keine Hauptvektoren.

Nach Theorem 3 ist die aus den Ungleichungen (2), (3) resultierende Abschat- zung

kxn^;x^kC(")(r(A⁰) +")^nkx^0;x^k n= 1 2

(21)der Konvergenzgeschwindigkeit der Iterierten aus (10) gegen die Losungx der nichtlinearen Gleichung (1) nicht zu verbessern. " ist in (21) wie ublich eine beliebig kleine positive Zahl. Falls die Bedingung (a) gegeben ist, gilt Abschat- zung (21) mit "= 0.

Der Beweis zu Theorem 3 wird im Anhang aufgefuhrt.

2.4

Vergleichen wir nun die Konvergenzgeschwindigkeit von Iterationsver- fahren (10) mit verschiedenen Matrizen M.

Zu M = (_ij) M = (_ij) mit _{ij ij} ² 0 1] konstruieren wir die Hilfs- matrizen B = (b_ij) B = (b_ij) mit b_ij = aij_ij b_ij = aij_ij, sowie A⁰ = (I^;B)^;1(A^;B) A⁰ = (I^;B)^;1(A^;B).

Falls r(A⁰)r(A⁰ ), so ist die durch die nicht zu verscharfende Abschatzung (21) garantierte Konvergenzgeschwindigkeit des Iterationsverfahrens

_ni=fi(_i¹¹ⁿ+ 1^;_i¹)^1n;1 ::: _iNnN + (1^;_iN)_N^n;1 (22)

i= 1 ::: N n= 1 2 ::: :

nicht geringer als die garantierte Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens _ni=fi(_i¹¹ⁿ+ 1^;_i¹)^1n;1 ::: _iNnN + (1^;_iN)_N^n;1

(23)

i= 1 ::: N n= 1 2 ::: :

Theorem 4

^{: Sei} M < M . Dann gilt r(A⁰)r(A⁰ ) (24)

und folglich liefert Verfahren (22) keine langsamere Konvergenz als Verfahren (23).

6

Da die Gleichung (10) fur M = 0 in die Gleichung (7) ubergeht, ist das Ver- fahren (10) nicht langsamer konvergent als die Picard-Iteration (7).

Fur irreduzible MatrizenAund M ⁶= 0 wird die strenge Ungleichung (17) gultig und (10) liefert schneller konvergente Folgen als (7).

Der Beweis zum Theorem 4 bendet sich im Anhang.

3 Iterationsverfahren vom Gau-Seidel-Typ

3.1

Das klassische Gau -Seidel-Verfahren fur das nichtlineare System (4) besteht aus den Gleichungen

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

ⁿ¹ = f^{1 1n 2n;1} ::: _N^{n;1 n2} = f^{2 1n 2n 3n;1} ::: _N^n;1 :::_nN = fN(¹ⁿ ::: _nN)

(25)

zur Bestimmung der Iterierten xn=^f1n ::: _nN^g . Der Startwert x^{0 2}IR^N ist beliebig. Der Ubergang von xn^;1 zu xn erfordert die Losung von N skalaren Gleichungen mit je einer skalaren Unbekannten. Mit

M =

0

B

B

B

B

@

1 0 0 1 1 0 ... ... ... ...

1 1 0

1

C

C

C

C

A

(26)

ist der Ansatz (25) in unserer allgemeinen Formel (10) enthalten. Das Gau - Seidel-Verfahren (25) wird u. a. in 3-5] detailliert untersucht.

3.2

Mit wachsender Entwicklung der Rechentechnik wurden auch Block- varianten der klassischen numerischen Iterationsverfahren interessant. Bei der blockweisen Version des "Gau -Seidel-Verfahrens\ (25) wird der Ubergang von xn^;1 =^n1n;1 ::: _N^n;1o zu xn=^f1n ::: _nN^g durch das folgende System rea-

7

lisiert

¹ⁿ = f^{1 1n} ::: _nN^{1 n}_N^;11+1 ::: _N^n;1

_nN¹ = fN^{1 1n} ::: _nN¹ _N^n;11+1 ::: _N^n;1

_nN¹⁺¹ = fN^{1+1 1n} ::: _nN¹⁺_N² _N^n;11+_N²⁺¹ ::: _N^n;1

_nN¹⁺_N² = fN¹⁺N^{2 n1} ::: _nN¹⁺_N² _N^n;11+_N²⁺¹ ::: _N^n;1 _nN¹⁺⁺_N^{k ;1+1} =... fN¹⁺⁺N^{k ;1+1}(¹ⁿ ::: _nN)

_nN = fN(¹ⁿ ::: _nN) (27)

mit 0 < N¹ < N¹+N² << N¹+N²++Nk =N.

Zur Berechnung vonxnausxn^;1 werden nunknichtlineare Systeme aus jeweils N¹ ::: Nk skalaren Gleichungen (mit je ebenso vielen skalaren Unbekannten) gelost. Fur k =N erhalt man aus (27) wieder die klassische Variante (25) . Im Schema (10) ist die Blockversion (27) enthalten, wenn man die Matrix

M=

0

B

B

B

B

@

JN¹N¹ 0 0 JN²N¹ JN²N² 0 ... ... ... ...

JN^kN¹ JN^kN² JN^kN^k

1

C

C

C

C

A

(28)

verwendet, wobei die rechteckigen Blocke JNⁱN^j aus Ni Zeilen und Nj Spal- ten bestehen und alle ihre Eintrage Einsen sind. Die Eintrage der Matrizen 0 sind Nullen. Da fur die in (26) und (28) festgelegten Matrizen die Ungleichung M M gilt, konvergiert nach Theorem 4 das Blockverfahren (27) nicht langsamer als das klassische Verfahren (25). In der Regel ist die Blockversion (27) wesentlich schneller konvergent.

3.3

Bei beiden Verfahren (25) und (27) sind zur Bestimmung der Iterierten xn nichtlineare Gleichungssysteme zu losen. Dies entlt bei der Verfahrensvor- schrift

¹ⁿ = f^{1 1n;1} ::: _N^{n;1 2n} = f^{2 1n 2n;1} ::: _N^n;1

_nN = fN ¹ⁿ ::: _nN^{;1 n}_N^;1 (29)

8

der im allgemeinen Ansatz (10) die Matrix M = (gij) entspricht mitgij= 1 fur i > j und gij = 0 fur i j. Da oensichtlich M M M gilt, konvergiert jede der Methoden (25) und (27) nicht langsamer als (29).

Anhang

Beweis von Theorem 2.:

Wir zeigen zuerst, da Aussage (i) gilt. Fur xiertes y = ^f1 ::: N^{g 2} IR^N schreiben wir das System (16) kompakt als

x= (x y) x=^f1 ::: N^g2IR^N (A.1)

mit =^f'¹ ::: 'N^g.

Zunachst weisen wir eine IR^N-Norm nach, in der fur die Gleichung (A.1) die Bedingungen fur das Prinzip der kontrahierenden Abbildungen erfullt sind.

Bezeichne ^k:^ke die Euklidische Norm ^kx^ke = ^q12++_N² . Wegen Eigen- schaft (3) gibt es ein " >0, das die Ungleichungr(A) +"=q <1 erfullt. Wir legen nun die Norm

kx^km =^Xm

k⁼⁰q^;kkA^kjx^jke

(A.2)

fest. Wegen (5) genugen die in (12) denierten Funktionen 'i der Lipschitz- Bedingung

j'i(x¹ y)^;'i(x² y)^jai¹i^1j1;&^1j++aiNiN^jN ^;&N^j

fur x¹ =^f1 ::: N^g x² =^f&¹ ::: &N^g2IR^N: Da 0ij 1 gilt, folgen auch die Ungleichungen

j'i(x¹ y)^;'i(x² y)^j ai^1j1;&^1j++aiN^jN ^;&N^j

i= 1 ::: N oder in kompakter Form

j(x¹ y)^;(x² y)^jA^jx^1;x^2j: (A.3)

Wegen der Positivitat der Matrix A impliziert die Ungleichung (A.3) die wei- teren Ungleichungen

A^kj(x¹ y)^;(x² y)^jA^k+1jx^1;x^2j k = 1 2 ::: : Au erdem folgt aus 0z¹ z² sofort^kz^1ke ^kz^2ke, und darum auch

kA^kj(x¹ y)^;(x² y)^jke ^kA^k+1jx^1;x^{2j k}e: 9

Damit haben wir

k(x¹ y)^;(x² y)^km = _k^Pm

=0

q^;kkA^kj(x¹ y)^;(x² y)^{j k}e

m

P

k⁼⁰q^;kkA^k+1jx^1;x^2jke

und deshalb

k(x¹ y)^;(x² y)^km q^kx^1;x^2km^;q^kjx^{1 ;}x^{2j k}e

+q^;mkA^m+1jx^1;x^{2j k}e:

Fur durch beliebige IR^N-Normen ^k:^k induzierte Matrix-Normen ^k:^k gilt be- kanntlich

r(A) = lim_n!1 n q

kA^nk (A.4)

mit ^kA^nk = max^fkAⁿx^k : ^kx^k = 1^g: Bei hinreichend gro em m garantiert (A.4) die Beziehung

kA^m+1jx^1;x^{2j k}e =^kA^m+1ke^{k j}x^1;x^{2j k}e (r(A) +")^{m+1k j}x^1;x^{2j k}e

= q^{m+1k j}x^1;x^{2j k}e

woraus wir weiter

k(x¹ y)^;(x² y)^kmq^kx^1;x^2km

ableiten, d. h. die Bedingungen fur das Prinzip der kontrahierenden Abbil- dungen sind gegeben. Die Fixpunktgleichung (A.1) besitzt zu jedem y ² IR^N genau eine Losung x(y)²IR^N. Damit ist Theorem 2 (i) veriziert.

Kommen wir zu den Behauptungen (ii) und (iii). Bezeichne x =^f1 ::: _N^g die gema Theorem 1 einzige Losung des Systems (4).

Zieht man von (10) die Gleichung _i =fi(¹ ::: _N) ab, ergibt sich

_ni^;_i =fi(i¹¹ⁿ+ (1^;i¹)^n1;1 ::: iN_nN + (1^;iN)ⁿ_N^;1)^;fi(¹ ::: _N) und daraus unter Berucksichtigung der Lipschitz-Bedingung (5)

j_ni^;_i^j ai^1ji¹¹ⁿ+ (1^;i¹)^1n;1;1j +

+aiN^jiN_nN + (1^;iN)_N^n;1;_N^j also

j_ni^;_i^j_j^PN

=1

aijij^j_nj^;_j^j+aij(1^;ij)^j_j^n;1;_j^j i= 1 ::: N:

(A.5)

10

In kompakter Form geschrieben, hat (A.5) die Gestalt

jxn^;x^jB^jxn^;x^j+ (A^;B)^jxn^;1;x^j bzw. (I^;B)^jxn^;x^j(A^;B)^jxn^;1;x^j (A.6)

mit der in Punkt 2.2 eingefuhrten Matrix B = (bij) bij = aijij . Da wegen 0 B A auch r(B) r(A) < 1 gelten mu , ist die Matrix I ^;B regular und ihre Inverse (I^;B)^;1 ist mit der Neumannschen Reihe darstellbar als

(I^;B)^;1 =I+B++B^k+ :

Aus B 0 folgt (I ^; B)^;1 0 . Wird die positive Matrix (I ^;B)^;1 auf beide Seiten von (A.6) angewandt, ergibt sich ^jxn^;x^j A^0jxn^;1;x^j mit A⁰ = (I^;B)^;1(A^;B)0 .

Damit haben wir

jxn^;x^jA^0jxn^;1;x^jA^20jxn^;2;x^jA^n0jx^0;x^j

und da fur z ²IR^N stets ^kz^ke=^kjz^jke gilt sowie^kz^1kkz^2k fur 0z¹ z², folgt nun unmittelbar

kxn^;x^ke =^kjxn^;x^jke ^kA^n0jx^0;x^jke ^kA^n0ke^kx^0;x^ke: (A.7)

Wegen ^qnkA^n0ke ^! r(A⁰) fur n ^{! 1} , gibt es zu jedem " > 0 eine Nummer n", so da

kxn^;x^ke (r(A⁰) +")^nkx^0;x^ke

(A.8)

fur n=n" n"+ 1 :::

erfullt ist. Dann ndet sich auch ein Ce(")<¹mit der Eigenschaft, da

kxn^;x^keCe(")(r(A⁰) +")^nkx^{0 ;}x^ke

fur n= 1 2 :::

gilt.

Mit (15) und genugend kleinen " > 0 wird r(A⁰) + " r(A) +" < 1 , und folglich gilt ^kxn^;x^ke ^! 0 fur n ^{! 1}. Da alle IR^N-Normen untereinander aquivalent sind, konvergiert xn in jeder beliebigen Norm gegen x und auch die Abschatzung (21) ist schon veriziert.

Als nachstes zeigen wir, da unter der zusatzlichen Bedingung (a) die Abschat- zung

kxn^;x^keC(r(A⁰))^nkx^0;x^k n = 1 2 :::::

(A.9)

11

die starker als (21) ist, gultig wird. Seien dazu ¹ ::: m diejenigen Eigen- werte der Matrix A⁰ , fur die ^jj^j = r(A⁰) zutrit, wahrend fur alle anderen Eigenwerte m⁺¹ ::: N die Ungleichung ^jj^j < r(A⁰) , j = m+ 1 ::: N gilt. Das bedeutet u. a.

²j^;1 = r(A⁰)e^{ij 2}j =r(A⁰)e^;ij j = 1 ::: k ²k⁺¹ = =` =r(A<sup>0</sup>) `⁺¹ ==m =^;r(A⁰) (A.10)

mit j ⁶= 0 ^{2 32} ::: :

Sei Bedingung (a) gegeben, d. h. zu den Eigenwerten (A.10) gibt es keine Hauptvektoren. Dann kann furIR^N eine Basis^fe¹ ::: eN^gkonstruiert werden, in der A⁰ uberfuhrt wird zu

A¹ =r(A⁰)

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

R¹ 0 0 0 0 0

0 R² ... ... ... ...

... ... ... ... ... ...

0 0 R^k 0 0 0

0 0 0 I`^;2k 0 0

0 0 0 0 ^;Im^;1 0

0 0 0 0 0 G

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

d. h. A¹ =r(A⁰) diag ^fR¹ R² R^k I`^;2k ^;Im^;1 G^g. Dabei bezeichnet

R^j =

2

6

4

cosj sinj

;sinj cosj

3

7

5

und I`<sup>;2</sup>k Im<sup>;1</sup> sind Einheitsmatrizen der Gro en `^;2k und m^;1.G ist eine Matrix der OrdnungN^;mund besitzt das Spektrumm⁺¹=r(A⁰) ::: N=r(A⁰) und den Spektralradius

r(G) = max^fjj=r(A⁰)^j:j =m+ 1 ::: N^g<1 :

Wegen ^qnkG^nke ^! r(G)<1 furn ^{! 1}, gilt^kG^nke <1 fur alle n, die gro er als ein gewisses n⁰ sind.

Aus der Eigenschaft R_n^j =Rn^j ergibt sich die Darstellung

Aⁿ¹ = (r(A⁰))ⁿ diag ^fRn¹ ::: Rn^k I`<sup>;2</sup>k (<sup>;</sup>1)<sup>n</sup>Im<sup>;</sup>` G^ng au erdem

(Aⁿ¹)^TAⁿ¹ = (r(A⁰))²ⁿ diag ⁿIm (Gⁿ)^TG^no: 12

Aus der wohlbekannten Beziehung ^kA^n1ke = ^qr((Aⁿ¹)^TAⁿ¹) wird klar, da

kA^n1ke = (r(A⁰))ⁿ fur alle n > n⁰ gilt.

Bezeichnen ^f1 ::: N^gdie Koordinaten der Vektoren x²IR^N bezuglich der Basis ^fe¹ ::: eN^g und ist die Norm^k:^k0 festgelegt als^kx^k0 =^q12++_N², so fallt die Norm ^kA^n0k0 der Matrix Aⁿ⁰ nach Konstruktion mit ^kA^n1ke zusam- men.Es gilt dann ^kA^n0k0 =^kA^n1ke = (r(A⁰))ⁿ fur n > n⁰ .

Wegen der Normaquivalenz gibt es Konstantenc¹ c² >0 mit^kx^kec^1kx^k0 c^2kx^ke x ² IR^N und es folgt u. a. die Ungleichung ^kA^n0ke c^2kA^n0k0. Fur n > n⁰ erhalten wir also ^kA^n0ke c²(r(A⁰))ⁿ und nach (A.7) auch

kxn^;x^ke c²(r(A⁰))^nkx^0;x^ke:

Falls r(A⁰)>0 ist, so gibt es einc <¹, so da die Ungleichung

kxn^;x^ke c(r(A⁰))^nkx^0;x^ke fur n= 1 2 :::

fur beliebige Startwerte x^{0 2} IR^N gilt. Nach der Normaquivalenz gilt damit auch die Ungleichung (A.9).

Verschwindet r(A⁰), d. h. r(A⁰) = 0, so sind alle Eigenwerte der Matrix A⁰ gleich Null. Da keine Hauptvektoren existieren, mu A⁰ = 0 sein, folglich

kA^n0ke = 0 und wegen (A.7) xn = x fur n = 1 2 ::: : In diesem Falle gilt (A.9) trivialerweise.

Theorem 2 ist damit bewiesen. ²

Beweis von Theorem 3:

Zunachst formulieren wir die Gleichung (20) kompakt als xn = Bxn + (A^; B)xn^;1+dund mitx = (I^;A)^;1dalsxn=Bxn+(A^;B)xn^;1+x^;Ax . Wir konnen auch

xn^;x =B(xn^;x) + (A^;B)(xn^;1;x)

schreiben, oder xn^; x = (I ^;B)^;1(A^;B)(xn^{;1 ;}x) , d. h. xn ^;x = A⁰(xn^;1;x) . Folglich gilt

xn^;x =Aⁿ⁰(x^0;x) n= 0 1 2 : (A.11)

Wegen der Positivitat der Matrix A⁰ ist r(A⁰) ein Eigenwert A⁰, zu dem es einen Eigenvektor e ² K⁺ gibt. Fur x⁰ = x +e resultiert daraus xn^;x = (r(A⁰))ⁿ(x^0;x) , und folglich r(A⁰) infQ , wobei Qper denitionem die Menge aller q > 0 ist, fur die die Abschatzung (18) gilt. Andererseits liefert

13

die Ungleichung (21) die Relation r(A⁰)infQ, d. h. es giltr(A⁰) = infQ. Qbesteht aus positiven Zahlen, weshalb furr(A⁰) = 0 trivialerweiser(A⁰)⁶²Q gelten mu . Ist r(A⁰)>0 und ist die Bedingung (a) erfullt, so gilt r(A⁰)²Q wegen Theorem 2 und Abschatzung (A.9). Wenden wir uns nun dem Falle zu, wenn es zu mindestens einem der Eigenwerte (A.10) der Matrix A⁰ einen Hauptvektor h gibt. Sei ⁰ dieser Eigenwert. Wenn ⁰ reell ist, d. h. entweder ⁰ = r(A⁰) oder ⁰ = ^;r(A⁰) , so gehoren zu ⁰ Vektoren e h ² IR^N mit A⁰e=⁰e A⁰h=⁰h+eund weiterAⁿ⁰h=ⁿ⁰h+n^n0;1e. Fur den Startwert x⁰ =x+h erhalten wir unter Beachtung von (A.11)

kxn^;x^k=^kn0h+n^n0;1e^kn(r(A⁰))ⁿ

ke^k r(A⁰) ^;

kh^k n

!

folglich^kxn^;x^kn(r(A⁰))ⁿ²_r^k(e_A^k0

) fur alle hinreichend gro enn. Darum kann die Abschatzung (18) nur fur q > r(A⁰) zutreen und es gilt r(A⁰)⁶²Q . Wenden wir uns nun dem Falle komplexer Eigenwerte ⁰ zu, Re^{0 6}= 0 ⁰ = r(A⁰)e^{i 6}= 0 ² ::: .Nun existieren Vektorene¹ e² h¹ h^{2 2}IR^N mit den Eigenschaften

A⁰e¹ = r(A⁰)(e¹cos^;e²sin) A⁰h¹ = r(A⁰)(h¹cos^;h²sin) +e¹

A⁰e² = r(A⁰)(e¹cos^;e²sin) A⁰h² = r(A⁰)(h¹cos^;h²sin) +e²: aus denen wir

Aⁿ⁰h¹ = (r(A⁰))ⁿ(h¹cos(n)^;h²sin(n))+

n(r(A⁰))^n;1(e¹cos((n^;1))^;e²sin((n^;1))) errechnen. Mit x⁰ =x+h¹ ergibt Formel (A.11) schlie lich

kxn^;x^kn(r(A⁰))ⁿ _r⁽_A¹0 )

k e¹cos((n^;1))^;e²sin((n^;1))^k

;

1n^kh¹cos(n)^;h²sin(n)^k

n(r(A⁰))ⁿ _r⁽¹_A^{0; kh1k+k}_n ^h2k

wobei wir = min^fke¹cos ^;e²sin^k: 02^g>0 eingefuhrt haben.

Fur gro en ist dann ^kxn^;x^kn(r(A⁰))ⁿ²_r⁽_A0

) , woraus wiederr(A⁰)⁶²Q folgt. ²

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Beweis von Theorem 4.:

Hier verwenden wir die Bezeichnungen aus Punkt 2.4. Wegen 0 B Agilt r(B) r(A), daher auch r(B) < 1 und (I ^;B)^;1 0 . Aus M M folgt 0 B B Aund weiter

0B^;B A^;B : (A.12)

Fur die MatrixD= (I^;B)^;1(B^;B) gilt 0D A⁰, was sofort zu sehen ist, wenn man (A.12) mit (I ^;B)^;1 multipliziert. Wegen r(A⁰) < 1 konnen wir die Matrix G= (I^;D)^;1(A^0;D) bilden, fur deren Spektralradius die zu (15) analoge Beziehung

r(G)r(A⁰) (A.13)

gilt.

Andererseits berechnen wir G = (I^;D)^;1(A^0;D)

= (I^;(I^;B)^;1(B^;B))^;1((I ^;B)^;1(A^;B)^;(I ^;B)^;1(B^;B))

= ((I^;B)^;1(I^;B))^;1(I^;B)^;1(A^;B)

= (I^;B)^;1(A^;B) =A⁰

woraus mit (A.13) sofort die behauptete Ungleichung (24) folgt. ²

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