Lesung 8

(1)

Lesung ⁸

Steffen Reith

8.12.16

(2)

1

Andere

Angriffs

möglichkeiten^:

• Small ^- Message ^- Space ^Attacke ^: ^{Ist die} ^Anzahl ^d. Nachrichten

klein _, ^so berechnet Erich alle Paare _von

Plain

^- ^und _Cipher ^-

texten ( pucr

)

_,

lpz.cz

⁾ ^, ^. ^... ^und ^kann ^durch Vergleich entschlüsseln

• Common ^- Modulus Attacke ^: Angenommen Bob ^und

Bridget

haben den öffentlichen ^Schlüssel

(

_enn

)

^und

lean

⁾ _, ^wobei

ggtlen

^,

^e.)

⁼ ¹

Sei mehr ^die Nachricht

,

die

^an ^Bob ^und

Bridget _geschickt

wird _, d. h

ci ^±

meimodn für ^iehh

² ^}

(3)

berechnet rest

gilt

,

Fall

Gefehlt

^: ^Erich ^kann

nfahtorisicren

^, ^da

ggtlcnn

⁾ ^> ¹

§ {

^⇒ ^Alle _System_parameter bekannt

es

Fall

GEZF

^: ^Erich ^berechnet

^cite ^ZF

_, ^dann

gilt

(

cijr.cz

^± ^l

^mehr

^.

(

^mez

)

sei

^rt ^lz ^.^S

± m #

= m modn

⇒ Nachricht bekannt

(4)

3

2.7 , Primzahlen

zeugung

Zur Schlüssel

erzeugung ^werden ^C^große) Primzahlen

benötigt

Frage

^: ^Gibt ^es ^unendlich ^viele ^Primzahlen

^?

Satz

^l ^{Eu hlid}

⁾

^Es

gibt

^unendlich ^viele ^Primzahlen

Beweisen Annahme ^: Es

gibt

^nur ^endlich ^viele ^, ^etwa ^pupz ^, ^. ^, pr Sei ⁿ ⁼aegpepz^. ^.^. ^, ^dann

prtt ^{gilt pitn} für

¹ ^E ^ihre

D. h^. entweder n ist _eine neue

Prim

zahl oder ⁿ

enthält

neue

Prim _faktoren

^Gp Widerspruch

⇒ Annahme falsch ^⇒ ^es

gibt

^unendlich viele Primzahlen

#

(5)

Vielleicht sind Primzahlen selten ! ^?

Def

^: ^Sei ÎT ^: ÎN ^→ ÎN ^mit

Tlxkaeg

^# ²

pl

^p ^ist ^Primzahlen

psnx

^}

„

Primzahl

^zähl

funktion

^"

Satz

(

Hadamard _, de la Vallee^'

Poussin )

^:

Tlx ) ^×

Xlnx

Beweis^:

Hardy

^,

Wright

, An Introduction to ^the

Theory of

Numbers #

(6)

5

gerung

^Zahl^Ist ^x

^groß

^eine ^Prim^,

⇐

^dann^Zahl ^ist ^im ^Schnitt

^jede

^In ^lxtk

Beispiel

^Sei ^x. ²⁵ ^" ^, ^dann ^ist ^{In 4)} ^z ³⁵⁵ ^, ^{d. h}^.

es müssen im Schnitt 178 Zahlen untersucht werden_, bis ^eine Prim ^Zahl gefunden ^wird

Defm

^: ^Sein ^> ¹ ^, ⁿ

ungerade

^und ⁿ ^-1=2 ^st ^, ^{wobei t}

ungerade

^.

Dann

ist

MRZN _t.mg

2

^ae ^2nF ^I

at ¥1

^modus

AÜT _¥

_-1 _modn

für ^Otj

^Es ^-1

^}

(7)

Die _{Menge MRZN} ^die _{Menge der}

Miller ^- Rabin

Zeugen

_gegen ^die ^Prim _eigen

schaft

^von

nbezeicht

.

Satz ^CMiller ^-

Rabin

1980

)

^: ^Ist ⁿ ^eine

^Primzahl

_, ^dann

gilt

MRZN

⁼

0

^. Îst ⁿ êine _ungerade ûnd Zusammengesetzen Zahl ,

dann

gilt

^# ⁽ ^MRZU

⁾ ^7,2T

^Kn ⁾ ^,

Beweisen ^Eine vereinfachte ^Variante

findet

^sich ⁱⁿ

Delfs

^& ^knebel^,

Introduction to Cryptography ^, Springer ^- Verlag ^. ^#

Anschaulich ^: ^Ist ⁿ ein Prim Zahl

, so

finden

^wir keinen Zeugen gegen die

Primal

itüt von ⁿ^. Ist n ungerade ^und

(8)

keine

Prim

zahl

, ^so ist die Wahrscheinlichkeit sehr hoch

,

7

dass

für

^ein

zufällig

_gewähltes ^ae

2¥

^auch ^ae ^MRZU

gilt

^,

Lesung 8

Lesung 8

Steffen Reith

Angriffs

Plain

)

lpz.cz

Bridget

(

)

lean

ggtlen

e.)

die

Bridget geschickt

meimodn für iehh

gilt

Gefehlt

nfahtorisicren

ggtlcnn

§ {

GEZF

cite ZF

gilt

cijr.cz

mehr

(

)

sei

zeugung

benötigt

Frage

?

Satz

)

gibt

gibt

prtt gilt pitn für

Prim

enthält

Prim faktoren

gibt

#

Def

Tlxkaeg

pl

psnx

Primzahl

funktion

(

Poussin )

Xlnx

Hardy

Wright

Theory of

gerung

groß

⇐

jede

Beispiel

Defm

ungerade

ungerade

Dann

2

at ¥1

AÜT ¥

für Otj

}

Zeugen

schaft

nbezeicht

Rabin

)

Primzahl

gilt

MRZN

0

gilt

) 7,2T

Lesung ⁸

^e.)

Bridget _geschickt

meimodn für ^iehh

^cite ^ZF

^mehr

^?

⁾

prtt ^{gilt pitn} für

Prim _faktoren

^groß

^jede

AÜT _¥

für ^Otj

^}

^Primzahl

⁾ ^7,2T