visualisierung Informations-

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Informations- visualisierung

Thema: 4. Darstellung von Graphen Dozent: Dr. Dirk Zeckzer

zeckzer@informatik.uni-leipzig.de Sprechstunde: nach Vereinbarung

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Informationsvisualisierung, WS 2016/2017 4-2

Übersicht

4. Darstellung von Graphen

4.1 Einleitung 4.2 Definitionen 4.3 Graph Drawing

4.4 Dynamische Graphen 4.5 InfoVis Techniken

4.6 Ausblick

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4.1 Einleitung

 Zu visualisierende Entitäten besitzen häufig inhärente Relationen (Beziehungen oder Abhängigkeiten)

 Graphen eignen sich als Repräsentation

 Knoten stellen Entitäten dar

 Kanten stellen Relationen dar

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4.1 Einleitung

 Anwendungen

 Szenengraphen in der virtuellen Realität

 Strukturen objektorientierter Systeme

 Klassenhierarchie

 Datenfluss

 Echtzeitsystem (Zustandsdiagramme)

 Schaltkreisentwurf (Very Large System Integration VLSI)

 Taxonomie biologischer Arten

 Bei Abstammung: phylogenetische Bäume

 Biochemische Reaktionen

 Stoffwechselsysteme

 Signalwege

 Organigramm einer Firma

 Soziale Netzwerke

 Semantische Netzwerke und Wissensrepräsentationsdiagramme

 Webseiten und ihre Links

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4.2 Definitionen

Graphen

 Ein (ungerichteter) Graph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus

 𝑉: endliche Menge von Knoten

 𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊆ 𝑉 × 𝑉

 Wenn {𝑢, 𝑣 } eine Kante ist, so heißen u und v adjazent (benachbart)

 Nachbarn von 𝑣 ∈ 𝑉 sind alle adjazenten Knoten

 Anzahl der Nachbarn ist der Grad von 𝑣: |𝑣|

 Ein Weg im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_ℎ) verschiedener Knoten von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1, … , ℎ − 1: {𝑣_𝑖, 𝑣_𝑖+1} ∈ 𝐸

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Graphen (Fortsetzung)

 Ein Graph (𝑉^′, 𝐸′) mit 𝑉′ ⊆ 𝑉 und 𝐸′ ⊆ 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt Teilgraph von G.

 Im Falle 𝐸^′ = 𝐸 ∩ (𝑉′ × 𝑉′) heißt 𝐺′ der durch 𝑉′ induzierte Teilgraph von G.

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Datenstrukturen für Graphen

 Adjazenzmatrix 𝑨

 Für 𝐺 = 𝑉, 𝐸 , V = n hat 𝐴 𝑛 × 𝑛 Einträge

 𝐴_𝑢𝑣 = 1 {𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸 0 {𝑢, 𝑣} ∉ 𝐸

 Die Adjazenzmatrix eines Graphen ist immer symmetrisch

 Adjazenzliste L

 Für jeden Knoten 𝑣 ∈ 𝑉 erzeuge eine Liste mit allen Nachbarn 𝑈 = {𝑢|{𝑢, 𝑣} ∈ 𝐸} von 𝑣

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Digraphen

 Ein gerichteter Graph oder Digraph 𝐺 = (𝑉, 𝐸) besteht aus

 𝑉: endliche Menge von Knoten

 𝐸: endliche Menge von Kanten 𝐸 ⊆ 𝑉 × 𝑉

 Die gerichtete Kante (𝑢, 𝑣) ∈ 𝐸 ^ist

 ausgehende Kante für 𝑢

 eingehende Kante für 𝑣

 Knoten ohne ausgehende Kanten heißen Senken

 Knoten ohne eingehende Kanten heißen Quellen

 Eingangsgrad von 𝑣 : Anzahl eingehender Kanten

 Ausgangsgrad von 𝑣 : Anzahl ausgehender Kanten

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Digraphen (Fortsetzung)

 Ein gerichteter Weg im Graph 𝐺 ist die Folge (𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_ℎ)

verschiedener Knoten von 𝐺, so dass ∀ 𝑖 = 1, … , ℎ − 1: {𝑣_𝑖, 𝑣_𝑖+1} ∈ 𝐸

 Ein gerichteter Weg heißt Zyklus, falls 𝑣_ℎ = 𝑣₁

 Ein gerichteter azyklischer Graph (DAG, directed acyclic graph) ist gerichteter Graph ohne Zyklus

 Zu einem Digraph 𝐺 gibt es immer einen Graphen 𝐺′, der durch

„Vergessen der Orientierung der Kanten“ entsteht

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Digraphen (Fortsetzung)

Eine Knoten-Kanten-Zeichnung (Node-Link-Diagram) eines Graphen oder Digraphen 𝐺 ist eine Abbildung Γ vom Graphen in die Ebene:

 Sie ordnet jedem Knoten 𝑣 einen Punkt 𝑝_𝑣 und jeder Kante eine offene Jordankurve 𝐽_𝑢𝑣 zu, welche die Punkte 𝑝_𝑢 und 𝑝_𝑣 als Endpunkte hat.

 Gerichtete Kanten eines Digraphen werden in der Regel als Pfeile gezeichnet.

1 2 3 4 5 6

1 x x

2 x

3 x

4 x x

5 x

6 x

𝐿₁ (1,2), (1,5) 𝐿₂ (2,3)

𝐿₃ (3,4)

𝐿₄ (4,5), (4, 6) 𝐿₅ (5,2)

𝐿₆ (6,3)

Adjazenzmatrix (nicht symmetrisch)

Adjazenzliste Node-Link-Diagram 1

5 2

4 3

6

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Planarität

 Eine Zeichnung eines Graphen oder Digraphen heißt planar, wenn Kurven zweier verschiedener Kanten außer den Endpunkten keine gemeinsamen Punkte haben.

 Ein Graph oder Digraph heißt planar, wenn es mindestens eine planare Zeichnung gibt.

 Man beachte, dass nicht alle Graphen planar sind.

 Nach der Eulerformel kann ein planarer Graph mit n Knoten höchstens 3n-6 Kanten haben!

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Vier verschiedene Darstellungen desselben planaren Graphen

bett,fig1.6

(13)

Weitere Graphentypen

 Multigraphen:

Sowohl bei gerichteten als auch bei ungerichteten Graphen können mehrfache Kanten zwischen gleichen Knoten und Kanten von einem Knoten zu sich selbst auftreten.

 Hypergraphen:

 Ein Hypergraph ist ein Tupel (𝑉, 𝐸) mit einer endlichen Menge von Knoten 𝑉 und einer endlichen Menge von Hyperkanten 𝐸 ⊆ 𝑃𝑜𝑡(𝑉).

 Eine Kante verbindet mehr als zwei Knoten.

 Jede Hyperkante verbindet eine Ausgangsmenge von Knoten mit einer Eingangsmenge von Knoten.

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Bäume

 Werden auch als Hierarchien bezeichnet.

 Spezielle Beziehungen

 Eltern-Kind Beziehung

 Geschwisterbeziehung

Eigenschaften:

 Spezieller Graph mit Einschränkungen

 Ohne Zyklen

 Ausgezeichneter Knoten: Wurzel

 Knoten mit Grad 1: Blatt

 Alle anderen Knoten: innere Knoten

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Ungerichtete Bäume

 Ungerichtete Bäume müssen zusammenhängend sein

Gerichtete Bäume

 Gerichtete Bäume müssen schwach zusammenhängend sein

 Die Kanten sind immer von der Wurzel zu den Blättern oder von den Blättern zur Wurzel gerichtet

 Es immer nur maximal einen Weg von einem Knoten 𝑢 zu einem anderen Knoten 𝑣

⟹ Es gibt immer genau einen Weg von der Wurzel zu jedem Blatt oder von jedem Blatt zur Wurzel

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Eigenschaften von Graphen, Knoten, Kanten

 Graph

 Gerichtet, ungerichtet

 Zyklisch, azyklisch

 Multigraph

 Hypergraph

 Planar

 Baum

 Knoten

 Typ

 Zusätzliche Informationen

 Kanten

 Gerichtet (Richtung), ungerichtet

 Gewichte

 Typ

 Zusätzliche Informationen

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4.3 Graph Drawing

Graphenzeichnen (Graph Drawing)

 Eigene Forschungsgemeinschaft

 Sehr großes Gebiet

 Literatur

 Graph drawing conference

 Visualization conferences and journals

 Web:

http://graphdrawing.org

 Graph Visualization Software:

http://www.graphviz.org

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Graphenzeichnen (Graph Drawing)

 Literatur:

 Giuseppe Di Battista, Peter Eades, Roberto Tamassia, Ioannis G. Tollis.

Graph Drawing - Algorithms for the Visualization of Graphs.

Prentice Hall Engineering, Science & Math. 1999.

ISBN 0-13-301615-3

 Handbook of Graph Drawing and Visualization Roberto Tamassia, ed.

CRC Press 2014.

 Herman, Melancon, Marshall.

Graph Visualization and Navigation in Information Visualization: A Survey.

IEEE TVCG 6(1): 24-43, 2000

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 Forschungsgebiete

 Graph Layout und Position der Knoten

 Skalierbarkeit

 Navigation (besonders in großen Graphen)

 Fokus & Kontext Methoden

 Dynamische Graphen

 Heterogene Knoten- und Kanten-Typen

 Knoten mit großem Grad

 Einbettung zusätzlicher Information

 Visualisierung von isomorphen Teilgraphen

 Vergleich von Graphen

(20)

Visuelle Darstellung

 Knoten

 Form

 Farbe

 Größe

 Position

 Bezeichnung

(21)

Visuelle Darstellung

 Kanten

 Farbe

 Größe (Dicke)

 Richtung

 Bezeichner

 Form

 Gerade

 Gekrümmt

 Planar

 Orthogonal

(22)

Konventionen

 Es gibt verschiedene Zeichenkonventionen mit entscheidendem Einfluss auf die Auslegealgorithmen (Layout) von Graphen.

 Geradlinige Zeichnung:

Jede Kante wird als gerade Linie gezeichnet.

 Polylinienzeichnung:

Jede Kante wird als Polygonzug gezeichnet.

 Orthogonale Zeichnung:

Jede Kante wird als Polygonzug achsenparalleler Linien gezeichnet.

(23)

Konventionen

 Gitterzeichnung:

Knoten, Schnittpunkte und Kantenknicke haben ganzzahlige Koordinaten bzgl. eines festgelegten kartesischen Gitters.

 Ebene (planare) Zeichnung:

Kanten schneiden sich höchstens an Knoten.

 Aufwärtszeichnung / Abwärtszeichnung:

Für azyklische gerichtete Graphen (DAGs) wird jede Kante als monoton ansteigende / absteigende Kurve gezeichnet.

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(25)

(26)

Ästhetikkriterien

 Ästhetische Kriterien formulieren Wünsche an die Zeichnung eines Graphen, welche die Zeichnung möglichst gut erfüllen soll.

 Ästhetikkriterien widersprechen sich oft.

 Einzelne Kriterien können nicht immer erfüllt werden.

 Da oft sind nicht alle Kriterien - manchmal sogar keines - zu erreichen sind, wird ein guter Kompromiss gesucht.

(27)

 Fläche: Graph wird auf möglichst kleiner Fläche gezeichnet.

 Kantenlänge

 Gesamtkantenlänge: Gesamtkantenlänge wird minimiert.

 Maximale Kantenlänge: Länge der längsten Kante wird minimiert.

 Gleichförmige Kantenlänge: Varianz der Kantenlängen wird minimiert.

 Für die Minimierung von Fläche und Kantenlänge ist es notwendig, ein Gitter festzulegen, auf dem die Knoten liegen können, oder einen

Mindestabstand zwischen den Knoten festzulegen.

(28)

 Kantenschnitte: Minimierung der Anzahl der Schnittpunkte von Kanten

 Knicke

 Gesamtanzahl Knicke: Zahl aller Knicke aller Kanten soll minimiert werden.

 Maximale Knickanzahl: Maximum von Knicken einer Kante wird minimiert.

 Gleichmäßige Knickanzahl: Varianz der Knickanzahl wird minimiert.

 Dies ist besonders bei orthogonalem Zeichnen sinnvoll.

 Winkelauflösung: Kleinster auftretender Winkel zwischen zwei Kanten wird maximiert.

 Seitenverhältnis: Seitenverhältnis des kleinsten umschriebenen Rechtecks soll dem Seitenverhältnis der Zeichenebene entsprechen.

 Symmetrie: Symmetrien des Graphen sollen möglichst gut abgebildet werden.

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Einschränkungen

 Festlegen von Teilgraphen oder Teilzeichnungen, um bestimmte Konventionen einzuhalten:

 Eine Menge von Knoten wird fixiert.

 Die Kantenrichtung wird vorgegeben (links nach rechts, oben nach unten)

(30)

Topologie-Form-Metrik-Ansatz

Dieser Ansatz zielt vor allem auf orthogonale Gitterzeichnungen und basiert auf drei Verfeinerungsebenen:

 Topologie. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Topologie, wenn sie durch

 stetige Deformation ohne Vertauschen von Facetten ineinander überführt werden können

 Form. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Form, wenn sie

 gleiche Topologie haben und

 eine Zeichnung aus der anderen nur durch Längenänderungen der Liniensegmente hervorgeht.

 Metrik. Zwei orthogonale Zeichnungen haben gleiche Metrik, wenn sie

 kongruent sind, also durch

 Verschieben und Drehen ineinander überführt werden können.

(31)

Topologie-Form-Metrik-Ansatz/2

Umsetzung erfolgt durch drei entsprechende Schritte, bei denen nacheinander Topologie, Form und Metrik optimiert werden:

 Planarisierung legt die Einbettung des Graphen, also seine Topologie fest:

 Minimierung der Anzahl der Kantenschnitte:

 Oft wird zunächst ein maximaler planarer Untergraph gesucht und eingebettet.

 Anschließend werden verbleibende Kanten einzeln eingefügt, wobei jeweils möglichst wenig Überschneidungen erzeugt werden.

 An Überschneidungen werden Dummy-Knoten eingefügt.

[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32], [Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph Drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]

(32)

Topologie-Form-Metrik-Ansatz/3

 Orthogonalisierung legt die Form fest:

 Orthogonale Repräsentation des Graphen

 Knoten ohne Koordinaten

 Kanten lediglich Winkellisten, zur Festlegung ihrer Knicke

 Minimierung der Knicke ist in der Regel das Hauptziel

 Kompaktifizierung legt endgültige Koordinaten der Kanten und der Kantenknicke fest:

 In der Regel wird die Fläche des Graphen minimiert

[Jeron, Jard. 3D Layout of Reachability Graphs of Communicating Processes. Graph Drawing '94 Proceedings, 1995, 25-32], [Jünger, Leipert, Mutzel. Pitfalls of using PQ-trees in automatic graph drawing. Graph drawing '97 Proceedings, 1997, 193-204]

[Battista, Eades, Tamassia, Tollis, Graph Drawing, Prentice-Hall, 1999]

(33)

(34)

Sichtbarkeitsansatz

Der Sichtbarkeitsansatz dient dem Auslegen beliebiger Graphen mit Polylinien

 Planarisierung gleicht dem Topologie-Form-Metrik-Ansatz;

Ziel ist Schnittvermeidung

 Der Sichtbarkeitsschritt schafft eine Sichtbarkeitsrepräsentation des Graphen

 Jedem Knoten wird horizontales und jeder Kante {u,v} vertikales Segment zugeordnet

 Kantensegment hat Anfang und Ende innerhalb Knotensegmente

 Kantensegmente schneiden einander nicht

 Ersetzungsschritt erzeugt endgültige Zeichnung des Graphen

 Ersetzen jedes horizontalen Segments durch Punkt

 Ersetzen jedes vertikalen Segments durch Polylinie

 Mögliche Strategien / Ästhetikkriterien: Knickminimierung, Symmetriebetonung, gleichmäßige Verteilung der Knoten

(35)

(36)

Verfeinerungsansatz

Betrachtet Polylinienzeichnungen

 Planarisierung gleicht Topologie-Form-Metrik-Ansatz;

Ziel ist Schnittvermeidung

 Verfeinerung fügt geeignete Anzahl von Kanten (evtl. auch Knoten) in Einbettung ein, um einen maximalen planaren Graphen zu erzeugen:

 Alle Facetten haben dann drei Kanten - Triangulierung

 Qualität des Zeichnens maximaler Graphen hängt in der Regel vom Knotengrad ab

 Minimierung des maximalen Knotengrades

 Triangulierungszeichnung erzeugt Zeichnung durch

 Auslegen aller Dreiecke und

 anschließendes Entfernen der Dummy-Kanten und ggf. Dummy-Knoten

(37)

Verfeinerungsansatz/2

 Alle Algorithmen nutzen spezielle Triangulierungseigenschaften durch

 überschneidende aufspannende Bäume oder

 kanonische Knotenaufzählungen

(Beim Entfernen der Dummy-Knoten können Knicke und Schnitte entstehen.)

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(39)

Kraftbasierter Ansatz

Kraftbasierte Ansätze sind Methoden für geradlinige Zeichnungen ungerichteter Graphen.

 Simuliert System von Kräften auf Eingabegraphen und gibt Zeichnung minimaler Energie aus.

 Zwei Knoten stoßen sich ab

 Eine Kante hält zwei Knoten zusammen („anziehende“ Kraft)

 Oft weitere Kräfte

 Zentrumskraft um Zeichnung im View zu halten

 Energieminimierung: einfache, iterative Ansätze zur Lösung

(40)

 Kraftbasierte Methoden orientieren sich an einem

physikalischen Modell mit Kräften bzw. potentieller Energie

 Energie wird minimiert

 Das Optimierungsproblem wird lokal gelöst

(41)

Spring Embedder

 Im Graph Drawing zuerst von P. Eades eingeführt (1984)

 Zwei ästhetische Kriterien

 Symmetrie

 Einheitliche Länge der Kanten

 Gerade Linien

 Kräfte

 Abstoßende Kräfte (Ladungen) zwischen den Knoten

 Federkraft für die Kanten

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Spring Embedder

 Knoten

 Positiv geladene Teilchen

 𝑔_𝑢𝑣: elektrische Abstoßung von 𝑣 durch 𝑢

 Kanten

 Feder mit vorgegebener Ruhelänge 𝑙_𝑢𝑣

 𝑓_𝑢𝑣: die Kraft durch die Feder zwischen u und v

 𝑔_𝑢𝑣 und 𝑓_𝑢𝑣 wirken jeweils auf 𝑢 und 𝑣

 Kraft auf 𝑣

𝐹 𝑣 =

𝑢∈𝑉, {𝑢,𝑣}∈𝐸

𝑓_𝑢𝑣 +

𝑢∈𝑉

𝑔_𝑢𝑣

(43)

Spring Embedder

 Genauer gilt

𝐹 𝑣

=

𝑢∈𝑉, {𝑢,𝑣}∈𝐸

𝑘⁽¹⁾

𝑢𝑣 𝑑(𝑝_𝑢, 𝑝_𝑣) − 𝑙_𝑢𝑣 𝑝_𝑢 − 𝑝_𝑣

𝑑(𝑝_𝑢, 𝑝_𝑣) +

𝑢∈𝑉

𝑘⁽²⁾

𝑢𝑣

1

(𝑑(𝑝_𝑢, 𝑝_𝑣))²

𝑝_𝑢 − 𝑝_𝑣 𝑑(𝑝_𝑢, 𝑝_𝑣)

 Mit

 Zeichnungspositionen 𝑝_𝑢, 𝑝_𝑣

 Euklidischem Abstand 𝑑(𝑝_𝑢, 𝑝_𝑣)

 Federkonstanten 𝑘⁽¹⁾

(44)

Spring Embedder

 Lösung mit numerischen Verfahren; häufig genutzter Ansatz 1. Plaziere Knoten zufällig in der Ebene

2. Berechne Kraft 𝐹(𝑣) für alle Knoten 𝑣

3. Bewege jeden Knoten 𝑣 ein kleines Stück in Richtung 𝐹(𝑣)

4. Wenn Kräfte nicht annähernd Null sind und das Maximum an Iterationen nicht erreicht ist, gehe zu 2.

 Alternative, schnellere Ansätze liefert beispielsweise die Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen

(45)

Spring Embedder 4.3 Graph Drawing

(46)

Spring Embedder

(47)

Spring Embedder

 Probleme

 Hohe Laufzeit: 𝑂 𝑛²

 Nicht effizient für große Graphen

 Sehr empfindlich gegenüber Veränderungen im Graphen

 Hinzugefügte oder entfernte Knoten

 Hinzugefügte oder entfernte Kanten

(48)

Spring Embedder

 Verbesserungen

 Hinzufügung lokaler minimaler Energien

 Kamada and Kawai, 1989

[T. Kamada and S. Kawai. An Algorithm for Drawing General and Undirected Graphs.

Information Processing Letters, 31(1), pp. 24-38, 1989]

 Iterative, force-directed node placement

 Fruchterman and Rheingold, 1991

[T. Fruchterman and E. Rheingold. Graph Drawing by Force-directed Placement. Software – Practice and Experience, 21, pp. 1129-1164, 1991]

 Simulated Annealing

 Davidson and Harel, 1996

[R. Davidson and D. Harel. Drawing Graphs Nicely Using Simulated Annealing. ACM Transactions on Graphics, 15(4), 301-331, 1996]

(49)

Nachteile der Energie-basierten Ansätze

 Finden nicht immer die beste Lösung

 Sind stark parameterabhängig

(50)

Vorteile der Energie-basierten Ansätze

 Lassen sich gut verbinden mit Einschränkungen (Constraints)

 Festgelegte Positionen einiger Knoten

 Fixierte Teilgraphen

 Als Energie beschreibbare Beschränkungen

Bemerkungen

 Kraftbasierte Methoden benötigen oft viel Rechenaufwand

 Daher effiziente Minimierungsmethoden nötig

 Auf Zufallsbasis (Simulated Annealing, Behandlung steifer Differentialgleichungen, Kombinatorische Vorbehandelung)

 Geeignete Heuristiken

(51)

Divide-and-Conquer Ansatz

Beliebtes Informatikprinzip wird auch bei Zeichnungen von Graphen gerne benutzt

 Zerlegt Graph in Teilgraphen, zeichnet diese und erhält letztlich eine Zeichnung des gesamten Graphen

 Topologischer Ansatz

 verwendet divide-and-conquer

 Teilgraphen haben unterschiedliche Topologie

 Hierarchischer Ansatz

 Insbesondere für Bäume und gerichtete Graphen

 Teilgraphen haben gleiche Eigenschaften

(52)

Topologischer Ansatz

[Archambault, Munzner, Auber. TopoLayout: Multi-Level Graph Layout by Topological Features.

IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics 13(2):305—317, 2006]

 Idee:

1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener Typen

2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung

a) Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus b) Reduziere Kanten-Schnitte

c) Entferne Überlappungen von Knoten

(53)

1. Zerlege den Graphen in Teilgraphen entsprechend verschiedener Typen a) Auswahl der Typen

a) Bäume

b) Bi-Connected Components c) HDE

d) Fast vollständig e) Cluster

b) Reihenfolge der Erkennung wichtig

(54)

1. Beispiel

(55)

2. Berechne das Layout basierend auf der Zerlegung

a. Zeichne jeden Teilgraphen mit dem best-möglichen Algorithmus b. Reduziere Kanten-Schnitte

Rotieren der Subgraphen

c. Entferne Überlappungen von Knoten

(56)

Komplexität

 𝑑: Dimension des Raumes bei HDE

 𝑟_𝑖: maximaler Grad eines Knotens im Teilgraphen der Ebene 𝑖

Algorithmus Komplexität

Erkennung

Baum 𝑂(𝑁_𝑖 + 𝐸_𝑖)

Biconnected Component 𝑂(𝑁_𝑖 + 𝐸_𝑖) Connnected Component 𝑂(𝑁_𝑖 + 𝐸_𝑖)

HDE 𝑂(𝑑 ∙ (𝑁_𝑖 + 𝐸_𝑖))

Vollständig 𝑂(1)

Cluster 𝑂(𝑟_𝑖 ∙ 𝐸_𝑖)

(57)

Komplexität

 𝑑: Dimension des Raumes bei HDE

 𝐿: Anzahl Ebenen um Drehung zu berechnen

Algorithmus Komplexität

Initiales Layout

Bubble Tree 𝑂(𝑁_𝑖 ∙ log 𝑁_𝑖)

Walker Tree 𝑂(𝑁_𝑖)

Zirkulär (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑁_𝑖) GEM (vorgegebene Fläche) 𝑂(𝑁_𝑖³)

(58)

Ergebnisse

(59)

Hierarchischer Ansatz

Der hierarchische Ansatz eignet sich besonders für das Layout von Bäumen und gerichteten azyklischen Graphen (DAGs) und verwendet ebenfalls drei Schritte 1. Schichtungsschritt: der DAG wird in einen geschichteten Digraphen

verwandelt, bei dem jedem Knoten eine Schicht 𝐿_𝑖 zugeordnet wird, so dass für alle Kanten (𝑢, 𝑣) gilt: 𝑢 ∈ 𝐿_𝑖 ∧ 𝑣 ∈ 𝐿_𝑗 ∧ 𝑖 < 𝑗

 Auf Kanten, die Schichten kreuzen (𝑗 > 𝑖 + 1), wird für jede gekreuzte Schicht ein Dummy-Knoten und eine Dummy-Kante eingefügt.

 Dadurch entsteht ein echt geschichteter Digraph:

jede Kante läuft von Schicht 𝑖 zu Schicht 𝑖 + 1.

(60)

Hierarchischer Ansatz

3. Festlegen der x-Koordinaten der Knoten in den Schichten Bemerkungen:

 Für die endgültige Zeichnung ersetzt man Dummy-Knoten durch Knicke

 Knicke können minimiert oder Symmetrien betont werden Gerichtete Graphen mit Zyklen:

 Für gerichtete Graphen mit Zyklen wird eine minimale Anzahl von Kanten umgedreht, um einen DAG zu erzeugen.

 Diese werden am Ende in ihrer ursprünglichen Richtung gezeichnet.

(61)

 Am weitesten verbreiteter Algorithmus:

Sugiyama-Algorithmus [STT1981]

 Entwickelt für gerichtete azyklische Graphen

 Ästhetikkriterien:

 Alle Kanten zeigen in die gleiche Richtung

 Kanten sollen möglichst kurz sein

 Knoten sollen möglichst gleichmäßig verteilt sein

 Kantenschnitte sollen minimiert werden

 Kanten sollte gerade Linien sein

(62)

Algorithmus

1. Weise jeden Knoten einer Ebene zu (vertikale Position, y- Koordinate)

2. Ordne die Knoten einer jeden Ebene so, dass die Zahl der Kantenschnitte minimiert wird

3. Weise jedem Knoten seine horizontale Position zu (x- Koordinate)

(63)

Bett fig 2.7

(64)

 Das Layout von gerichteten Graphen wird in der Regel mit dem Sujiyama Algorithmus und verschiedenen Heuristiken

durchgeführt

 Gleicher Input erzeugt das gleiche Layout (falls dieselbe Heuristik verwendet wird)

 Isomorphe Teilgraphen haben nicht notwendigerweise das gleiche Layout

(65)

3D Graph Drawing

 Klassische 2D Algorithmen werden auf 3D erweitert (siehe auch den Abschnitt über Bäume)

 Probleme

 Navigation

 Überlappungen (Überdeckungen)

 Mental map (kognitive Karte)

(66)

3D Graph Drawing: Linux Kernel

[http://www.pabr.org/kernel3d/kernel3d.html]

(67)

3D Orthogonal graph drawing

(68)

4.4 Dynamische Graphen

 Netzwerke können sich im Laufe der Zeit verändern

 Biochemische Netzwerke werden durch neu entdeckte Pfade ergänzt

 Soziale Netzwerke: neue Kontakte

 Evolution von Software

 Die Darstellungen sollten die „Mental Map“ erhalten

 „Alte Strukturen“ sollten leicht wiedererkannt werden

 [K. Misue, P. Eades, W. Lai, and K. Sugiyama, “Layout Adjustment and the Mental Map”, Journal of Visual Languages and Computing 6 (1995), 183-210.]

(69)

Morphing

 Visualisierung des Übergangs von einem Layout zum nächsten durch stetige, ruckfreie Animationen (‚smooth animations‘)

 Vorteile

 Ästhetisch ansprechend

 Nachteile

 Knoten ändern ihre Position

 Neue oder entfernte Knoten werden unter Umständen nicht erkannt

(70)

Morphing

 Morphing kann auf jedes 2D und 3D Layout angewendet werden

 Wenn ein Knoten eine neue Position im neuen Layout erhält, wir ein Animationspfad berechnet, der zwischen alter und neuer Position interpoliert

 GraphAEL

[C. Erten, P. J. Harding, S. G. Kobourov, K. Wampler, and G. Yee, “GraphAEL: Graph Animations with Evolving Layouts”, 11th Symposium on Graph Drawing (GD), p. 98-110, 2003.]

 Verwendet eine Kraft-basierte Methode

(71)

Morphing

(72)

Morphing

[http://graphael.cs.arizona.edu/graphael/]

(73)

Foresighted Graph Layout

[S. Diehl, C. Görg, and A. Kerren. “Preserving the Mental Map using Foresighted Layout”. In

Proceedings of Joint Eurographics - IEEE TCVG Symposium on Visualization, VisSym’01, Springer Verlag, 2001.]

 Voraussetzung

 Die Graphensequenz ist bekannt

 Die Graphensequenz kann vorab berechnet werden

 Idee

 Berechne den Super-Graphen der Graphensequenz

 Platziere die Knoten optimal entsprechend dem Super-Graphen

(74)

 Vorteile

 Die „Mental Map“ bleibt erhalten

 Kann mit jedem Graph-Layout verwendet werden

 Nachteile

 Oft ist die Graphensequenz nicht vorab bekannt

 Zum Teil schlechte Ästhetik

(75)

(76)

Adaptiv, Kraft-basiert

[Y. Frishman, Dynamic Drawing of Clustered Graphs, InfoVis 2007]

(77)

4.5 InfoVis Techniken

Netzwerkvisualisierung mit Semantic Substrates

u/hcil/pubs/presentations/NVSS-3_files/frame.htm

(78)

Hybride Visualisierung

[N. Henry et al., NodeTrix: A Hybrid Visualization of Social Networks, InfoVis 2007]

(79)

(80)

(81)

Hierarchien

[D. Archambault et al., TugGraph: Path-Preserving Hierarchies for Browsing Proximity and Paths in Graphs, PacificVis 2009]

(82)

Hierarchien

(83)

Hierarchien

(84)

Hierarchien

(85)

Kantenbündel (Edge Bundles)

[Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data, InfoVis 2006]

(86)

Kantenbündel (Edge Bundles)

[Danny Holten, Hierarchical Edge Bundles:Visualization of Adjacency Relations in Hierarchical Data, InfoVis 2006]

(87)

Graph-Motive (Graph Motifs)

[T. von Landesberger et al., Visual Analysis of Graphs with Multiple Connected Components, VAST 2009]

(88)

(89)

(90)

Hybrid Visualisierung und Clustering

[V. Batagelj, Visual Analysis of Large Graphs Using (X,Y)-clustering and Hybrid Visualizations, PacificVis 2010]

(91)

(92)

(93)

(94)

Literatur

 Herman, Melancon, Marshall. Graph Visualization and Navigation in Information Visualization: A Survey. IEEE TVCG 6(1): 24-43, 2000

 G. Di Battista, P. Eades, R. Tomassia, I. G. Tollis. Graph Drawing. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, USA, 1999

 Roberto Tamassia, ed. Handbook of Graph Drawing and Visualization. CRC Press 2014.