f = + b g ; da die Bildweite b verkleinert wird und die Brennweite f konstant ist, muss die Gegenstandsweite g vergrössert werden. Die Linse wird ein kleines Stück vom Diapositiv weggeschoben.

5.3 Linsen und optischen Instrumente

Linsen 40

a) 1 1 1

f = + b g ; da die Bildweite b verkleinert wird und die Brennweite f konstant ist, muss die Gegenstandsweite g vergrössert werden. Die Linse wird ein kleines Stück vom Diapositiv weggeschoben.

b) b

V = g ; das Bild wird kleiner.

41

1 gf f

f b V

D g f g f

= = =

− − ; –8.0 cm; –0.40

42

a) 1 1 1

f = + b g ; wenn g = 2f ist, muss auch b = 2f sein.

b) Von der Linse weg.

c) Von der Linse weg.

43

a) B b f

A = G = = g g f

−

A > 0 für g > f (reelle Bilder, Diaprojektion) A < 0 für g < f (virtuelle Bilder, Lupe)

b) A 1

g f A

= ⋅ + Projektion: 1.33f Lupe: 0.67f

44

Sei B die Bildgrösse des Mondes. Dieses befindet sich im Abstand f hinter der Linse, weil der Mond sehr weit weg ist:

f b

1 1 1 + =

∞

0 0

B

s f

V B s

f

= = ; 8

a) 2

2

4 df d

g d ± −

= ; (5.41 m); 34.0 cm

b)

g

I

f g

v v

d g f b I

= − − = = ; 3.34 m × 4.77 m, 253

46

B B G

g ≥ f ⋅ ( + ) ; g ≥ 3.6 m bei 4.8 mm Brennweite (g ≥ 19 m bei 25 mm Brennweite)

47

a) b ^{g f} d b

b

g f

= − = − ; 11 mm

b) b d f g ^{b f}

= + = − b f ; 75 cm

c) f

f B g

G = ⋅ − ; 31 cm × 47 cm; 12 cm × 18 cm; 19 cm × 28 cm

48

a) 1

; 55 cm

1 1

g

f b

= −

b) 1

; 66.7 mm

1 1

b

f g

= − , davon benötigt das Objektiv 50 – 55 mm.

Die Zwischenringlänge darf also minimal 11.7 mm und maximal 16.7 mm betragen.

49

Während der Belichtungszeit bewegt sich ein Gegenstandspunkt über die Strecke t

v

G =

⋅ ; 14 cm

Diese Strecke G ergibt als Bild die Unschärfe:

f g G f g G b

B = ⋅ = ⋅ − ; 0.32 mm

50

a) f = 2 ⋅ l ; 4.5 mm b)

2

10

1 1

f g f

b f b

g f f g f

g

= − = ⋅ − ⇒ ∆ = − ; 0.26 mm bzw. 2.0 µm zum Film bzw. zum

Chip.

c) b ^{f g} g f

= −

Gegenstandsweite 0.10 m 0.20 m 0.50 m 1.0 m 2.0 m ∞

Bildweite 4.74 mm 4.63 mm 4.57 mm 4.55 mm 4.54 mm 4.53 mm

d)

51

a)

1 1 1 2

) (

f dg df

f fg dg g df

−

−

⋅

−

= − ; 16.4 m

b) g f

G f

B = ⋅ − ; 2.25 cm

52

2 µm B = ,

G g B G B

g

f B ≈ ⋅

+

= ⋅ ; 2.0 m; 4.5 × 4.5 km

53

δ = Kreisscheibchendurchmesser Z = Blendenzahl

f = Brennweite

a)

) (

1

1

f f g

Z g g

− +

= δ ; 3.53 m und

) (

1

2

f f g

Z g g

−

−

= δ ; 6.20 m

b) ( )

2

f g Z f

= −

∞

δ ^{; 20.4}

Da die Brechung an den Grenzflächen Wasser–Luft geringer ist, ist die Brennweite grösser.

55

2 1 2 1

2

1 1

1 1

1

1 f x x

f x f x f g

b

f ⇒ = ⋅

+ +

= + + ⇒

=

56

r

r

M

M

d

a) Aus _



 



 +

−

=

2 1

1 ) 1

1 1 (

r n r

f erhält man 1 . 56

) 1 (

2 1

2

1

=

+ +

= f r r r n r

b) 1 0

1

r → ; 90 . 0 cm 1

2

=

= − n

f r

57

Aus _



 



 +

−

=

2 1

1 ) 1 1

( n r r

D erhalten Sie

1

1 0.50 m

1 1

r D

n r

= =

− −

. Vorzeichen beachten!

58

Nach der Formel der Brennweite einer Linse folgt für eine symmetrische Linse:

( )

1 2

1

f n r

= −       Somit ist

( )

2 1

r

r

f r

= n

− und

( )

2 1

v

v

f r

= n

− . Subtraktion der beiden Gleichung ergibt:

( ) ( )

2 1 1

v r

v r

n n

f r

n n

∆ = −

− ⋅ − ; 8.55 mm

Linsensysteme 59

Glas Blick- richtung

Die Skizze (Schnittbild) zeigt, dass die Luftblase mit dem Glas darüber und darunter als Kombination zweier plan-konkaver Linsen angesehen werden kann, die zusammen wie eine Zerstreuungslinse wirken.

60

Es ist möglich unter der Bedingung, dass die Brechzahl des Linsenmaterials kleiner als die von Wasser ist. In diesem Fall wäre eine bikonkave Linse unter Wasser als

Kombination zweier plan-konvexer Linsen aus Wasser aufzufassen, deren Zwischen- raum mit einem optisch dünnerem Medium ausgefüllt ist.

Glas

Wasser

Blick- richtung

61

1

1

1

 

 



 + −

=

S

Z

b g f

f ; –120 mm

a) Mit r = –100 mm ist

)

1 (

2

 

 



 −

= r

f n

; –100 mm

b) Die Wasserschicht stellt eine plan-konvexe Linse mit dem Krümmungsradius R = 100 mm dar.

1

) 1 (

2

 

 



 − + −

= R

n r

f n

; –149 mm

63

a), c)

Linse 1 Linse 2

b

d h f

F

– f

F

F

optische Achse

b) Der Brennpunkt F ist das Bild des Punktes F

an der Linse 2. Daher gilt:

2 1 2

1 1 1

b f d

f +

= − .

1

1 2

2

1

1

 

 





− −

= f d f

b ; 45 mm

d) Mit b

= f + h gilt (siehe b)):

h f f d

f + +

= − 1 1 1

1 2

Ausserdem gilt (Strahlensatz):

1 1

f d

f h f

f

−

= − + Aufgelöst:

2 1

2

f f d h df

−

= − ; 25 mm und

2 1

2 1

f f d

f f f

−

−

= − ; 20 mm

64

a)

Linse 1 Linse 2

d h

y x

f

F

f

F

F

b) Abgelesen: h = 27 mm und f = 48 mm

c) Durch die Linse 2 wird der Punkt F

auf F abgebildet. Dabei ist die (negative) Gegenstandsweite g = − ( f

− d ) .

Mit b = f − h gilt

d f h f

f − −

= −

1 2

1 1

1 .

Aus den Strahlensätzen

d f

y f

x

= −

1 1

und

h f

y f x

= − folgt

) ( 1

1 1

d f f

f h

f = −

− .

Oben eingesetzt ergibt das

d f d f f

f

f − −

= −

1 1

1 2

1 ) (

1 .

Auflösen:

2 1 2 1

1 1 1

f f

d f f

f = + −

d), e)

Die Berechnungen werden mit dem Ergebnis von c) durchgeführt:

d 50 mm 200 mm

^{f 58 mm 113 mm}

f–h = Abstand vom Film zur Linse 2 48 mm 38 mm

f) Beide Linsen müssen beim Zoomen relativ zum Film verschoben werden.

65

a) 1 2

1 1 1

blau FK3 rot

FK3

r n

f n  ⋅



 





− −

≈ −

∆ ; 4.5 mm

b) Grundsätzlich kann die Zerstreuungslinse bikonkav, plan-konkav oder konvex- konkav sein.

Beispiele:

Es müssen die beiden folgenden Gleichungen erfüllt sein:

f r n r

n r 1 1 1

) 1 2 (

) 1 (

1 2 blau

SF4 1

blau

FK3

  =

 



 −

− +

− und

f r n r

n r 1 1 1

) 1 2 (

) 1 (

1 2 rot

SF4 1

rot

FK3

  =

 



 −

− +

−

blau rot 1

FK3 FK3

1 blau rot blau rot

SF4 SF4 SF4 SF4

1 1 1 1

2 1 1 1 1

n n

r f

n n n n

 − −   

= ⋅   − − −     ⋅ − − −   oder

( )( ) ( )( )

( ) ( )

blau rot blau rot

FK3 SF4 SF4 FK3

1 rot blau

SF4 SF4

1 1 1 1

2 1 1

n n n n

r f

n n

− − − − −

= ⋅

− − − ; 161.8 mm

1

1 1 blau blau FK3

SF4 2

1 ) 2 1 1 (

1

1

 



 

  +



 



 − −

= −

r n r

f

r n ; 334.0 mm

Die Zerstreuungslinse muss also konvex-konkav sein.

Auge, Lupe, Mikroskop 66

s

= 25 cm: deutliche Sehweite b: Augenlänge

g: Abstand der Zeitung zum Auge f: Brennweite des Auges

Es gilt:

f D b s 1 + 1 = 1 +

0

; g b f 1 1

1 + = mit D = 2.5 dpt und daraus

0

1 g 1

s D

=

−

; 67 cm

67

g

= 50 cm: Gegenstandsweite ohne Brille g

= 30 cm: Gegenstandsweite mit Brille b: Bildweite des Auges (Augapfel)

f: Brennweite des Auges bei Einstellung auf 50 cm f

: Brennweite des Auges bei Einstellung auf unendlich

g: Gegenstandsweite mit Brille, wenn das Auge auf unendlich eingestellt ist.

f

: Brennweite der Brille

a) g b f 1 1 1

1

=

+ und

2

1 1 1 1

g + = + b f f

Daraus:

2 1

1 1 1

g − g = f

Daraus: f

= 75 cm oder 1.33 dpt

b) ^{1 1 1 1}

g b + = f

+ f

und

∞

=

∞ + b f 1 1 1 Daraus: ^{1 1}

g = f

Also g = 75 cm.

68

a) und b)

G: Gegenstandsgrösse des Dornes g: Abstand des Dornes zur Lupe f: Brennweite der Lupe

0 0

G tan

s = α G tan

g = α ; s

V = g ,

Da das Auge auf unendlich eingestellt ist, werden parallel einfallende Lichtstrahlen scharf auf die Netzhaut abgebildet. Deshalb ist der Dorn im Abstand der Brennweite der Lupe g = f, und es spielt auch keine Rolle, wie gross der Abstand von der Lupe zum Auge ist.

c) V = 9.3

69

f ist die Brennweite der Lupe, G die Gegenstandsgrösse.

a) Das virtuelle Bild hat eine Bildweite von − 25 cm (deutliche Sehweite).

Der Gegenstand ist daher näher an der Lupe als der Brennpunkt.

Es gilt

f g s

1 1 1

0

=

− + , also

0

g f s f s

= + und

0

1 G

s f s s

V g

G g f f

s

= = = + = +

b) Nun ist die Bildweite nur noch − 25 cm + d , weil das Auge immer noch auf 25 cm eingestellt ist, aber im Abstand d von der Linse.

Es gilt

f g d s

1 1 1

0

= + +

− , also

d s f

g = + −

0

1 1 1

d s

s f s d s s f

V   = + −

 



 + −

=

0 0 0 0

0

1 1

c) 6.0 bzw. 6.1

α Winkel im Bogenmass = 1 rad 180 60 π _⋅ V

G = s

⋅ α ; 2.91·10

mm = 291 nm

71

g

: Gegenstandsweite des Objektes vor dem Objektiv b

: Bildweite im Mikroskop

Dann ist t = b

− f

. G: Gegenstandgrösse B: Bildgrösse im Mikroskop

a) t = b

− f

und daraus b

= 197 mm,

Ob Ob Ob

1 1 1

f b

g + = und daraus g

= 5.13 mm und

0 Ok Ob

V s t

= f f ; 200 b)

Ob Ob Ob

1 1 1

f b

g + = und b

+ g

= f

+ t + f

und

Ok Ok 0

1 1 1

f g

s + =

− g

= 5.13 mm und b

= 204.7mm; _



 



 +

= 1

Ok 0 Ob Ob

f s g

V b ; 248

72

g ist die Gegenstandsweite und G die Gegenstandsgrösse des Objektes vor dem Objektiv.

b ist die Bildweite und B die Bildgrösse für das reelle Bild im Mikroskop.

Es gilt:

a)

Ok Ok Ob

tan B Gt

f f f

= =

α und

0

tan

s

= G

α und daraus V.

b) Mit

Ob

1 1 1

f b

g + = gilt:

Ob

Ob Ob

f

f g f gf b

t −

= −

−

= ; 25 cm

Ok

Ob

f

f t

L = + + ; 37 cm

0 Ok Ob

V s t

= f f ; 18

c)

B G

Ok.

Ob.

b g

t L

f

f

optische Achse

Fernrohre

73

Newton hat einen um 45° geneigten ebenen Fangspiegel, der die Strahlen seitlich aus dem Fernrohr lenkt. Die Position des Okulars ist vor allem bei langen Teleskopen ungünstig. Es ist für astronomische Beobachtung geeignet.

Gregory hat einen konkaven Hilfsspiegel, der die Brennweite des Fernrohres verlängert und damit die Baulänge verkürzt. Der Brennpunkt des Hauptspiegels liegt vor dem Hilfsspiegel. Das Okular ist hinter dem Hauptspiegel angebracht, was für

Beobachtungen günstig ist. Die Bilder sind aufrecht und seitenrichtig, daher ist es für terrestrische Beobachtungen geeignet.

Cassegrain hat einen konvexen Hilfsspiegel, der die Brennweite des Fernrohres verlängert und damit die Baulänge verkürzt! Das Okular ist hinter dem Hauptspiegel angebracht, was für Beobachtungen günstig ist. Es ist für astronomische Beobachtung geeignet.

Allgemein gilt, dass durch die Hilfsspiegel nur etwa 7% Lichtverlust eintritt.

74

a)

Objektiv Okular

F

F

F

F

Achse

b) B: Bildgrösse des reellen Bildes im Fernrohr Dann gilt:

Ob

tan B

= f

α und

Ok

tan B

= f

α und

Ok Ob

tan

tan f

V = = f

α α

a) cm d

= 32 und d

= 8 . 0 mm ,

2

Fernrohr Ob

Auge Auge

I d ;

I d

 

=      

1.6 10 ⋅

b)

Ob Ob Ok

Ok

f

d f

d = ; 0.37 cm

76

Objektiv: Linse mit f = 50 mm, Okular Doppellinse mit f = 25 mm (eine Linse übrig), V = 2, Baulänge 75 mm

F

F

F

F

Objektiv

Okular

optische Achse

Objektiv: Linse mit f = 50 mm, Okular Tripellinse mit f = 16.7 mm, V = 3, Baulänge 66.7 mm

F

F

F

F

Objektiv

Okular

optische Achse

Objektiv: Linse mit f = 50 mm, Okular Doppellinse mit f = 25 mm und einer Umkehrlinse mit f = 50 mm, V = 2, Baulänge 275 m

77

a) Eine Möglichkeit unter einigen: Sie nimmt eine Kerze und stellt sie so weit vor die Linse, bis das Bild gleich gross ist. (Dies ist im Abstand 4.8 m bei der doppelten Brennweite der Fall.)

b) f

= +2.4 cm oder f

= –2.4 cm c) 2.42 m bzw. 2.38 m

78

Sei G die Bildgrösse im Fernrohr und g die Gegenstandsweite (dieses Bildes) gemessen vom Okular. Sei B die Bildgrösse der Sonne auf dem Schirm und b = 60 cm die

Bildweite, gemessen vom Okular.

0 Ob

tan α f

G = ; 1.5 cm

1

Ok

1

1

 

 



 −

= f b

g ; 2.6 cm

g G b

B = ; 34 cm

79

a) Folgende Überlegung gilt auch für das Galilei’sche Fernrohr:

Sei d

der Durchmesser des eintretenden Lichtstrahles und d

der Durchmesser des austretenden Lichtstrahles.

Ok Ok Ob Ob

f d f

d = und

Ok Ob Ok Ob

d d f

V = f = ; 16

b)

Ok Ok Ob

Ob

d d d

d V

V = ∆ + ∆

∆ ; 10%, also V = 16 ± 1.6

80

a)

F

F

F

F

Objektiv

Okular

optische Achse

b) Sei B die Bildgrösse des reellen Bildes des Objektives bzw. des virtuellen Bildes des Okulars. Dann gilt:

Ob

tan B

= f

α und

Ok

tan B

= f

α und damit

Ok Ob

f V = f .

81

a) Für Randstrahlen gibt es grössere Linsenfehler als für Strahlen im mittleren Bereich der Linse. Das Abdecken des Linsenrandes verbessert also die Qualität der Bilder.

b) t = f

− f

und

Ok

V f

= f

Ok

1

f t V

− ; −10.7 cm, −7.9 cm ;

1 f t V

= ⋅ V

− ; 1.6 m, 1.58 m