ZK M (mit CAS)
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Nur für den Dienstgebrauch!
Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase 2011
Mathematik
Aufgabenstellung
Aufgabe 1: Hochwasser am Rhein
In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Insbesondere die Rheinschiene im Großraum Köln/Bonn war im Dezember 1993 und im Januar 1995 stark von den Rhein- Überschwemmungen betroffen. In den ersten Tagen des Jahres 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze in den Mittelgebirgen den Rhein auf die Rekordhöhe des 20. Jahrhunderts steigen.
Bei diesem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand auf- gezeichnet. Für 0≤t≤12, d. h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar.
Es gilt:
17 , 9
² 04 , 0
³ 0025 , 0 )
(t =− ⋅t + ⋅t + h
t : Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn am 27. Januar 1995 um 0:00 Uhr )
(t
h : Wasserstand in Metern
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Mit dieser Funktion h ist es möglich, die folgenden Aufgabenstellungen zu bearbeiten.
a) Berechnen Sie die Höhe des Wasserstandes am 27. Januar 1995 um 7:30 Uhr.
Berechnen Sie, um wie viele Zentimeter das Wasser in den nächsten 30 Minuten anstieg.
(4 Punkte) b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden
des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.
(3 Punkte) c) Ermitteln Sie rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der höchste Wasserstand an der Messsta-
tion erreicht wurde.
Berechnen Sie diesen Höchststand. (8 Punkte)
d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg.
(6 Punkte) e) Für eine andere Messstation kann die Entwicklung des Wasserstandes im gleichen Beob-
achtungszeitraum durch die Funktion g mit g(t)=−0,002⋅t3 +0,014⋅t2 +0,138⋅t+7,57 beschrieben werden.
(1) Zeichnen Sie in das Koordinatensystem auf Seite 1 den Graphen von g ein.
Bei den Graphen von g und h ist die Lage des jeweiligen Hochpunktes auch ohne Rechnung erkennbar.
Zeichnen Sie diese beiden Hochpunkte ein.
(2) Die Funktion g kann auch in der Form g(t)=a⋅h(t+b) dargestellt werden.
Ermitteln Sie a und b.
[Auch die Ermittlung von Näherungswerten für a und b anhand der Zeichnung ist hier eine zulässige Lösung.]
(7 Punkte)
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Aufgabe 2: Untersuchung ganzrationaler Funktionen
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
9 14 5
)
(x =−21⋅x3 + ⋅x2 − ⋅x+
f .
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion f.
a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph von f die lokalen Extrempunkte T
(
2 −3)
und
(
27)
47 3
H 14 besitzt.
(6 Punkte) b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente g an den Graphen von f im Punkt
( )
25 3
B .
(Zur Kontrolle: g(x)=−23⋅x+9) (3 Punkte)
c) Neben dem Berührpunkt B hat die Tangente g noch einen weiteren gemeinsamen Punkt S mit dem Graphen von f.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten von S. (4 Punkte) d) Der Graph der Funktion f soll so in x-Richtung verschoben werden, dass eine der drei Null-
stellen des verschobenen Graphen an der Stelle x =4 liegt.
Ermitteln Sie, um wie viele Einheiten der Graph von f verschoben werden muss. Geben Sie alle Möglichkeiten auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet an.
(5 Punkte) Abbildung 1
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e) In der Abbildung 2 sehen Sie die Graphen der Funktionen f und F. Dabei ist f die Ablei- tungsfunktion von F.
An der Zeichnung kann man Zusammenhänge zwischen den Graphen von f und F erken- nen.
Nennen Sie zwei unterschiedliche Zusammenhänge, die Sie selbst auswählen können.
(6 Punkte) f) In der Abbildung 3 sehen Sie neben dem Graphen der Funktion f den Graphen einer wei-
teren Funktion H.
Die Ableitung der Funktion H wird mit h bezeichnet. Der Graph von h ist hier nicht einge- zeichnet, er geht aber durch eine Verschiebung in y-Richtung aus dem Graphen von f her- vor.
Geben Sie diese Verschiebung an und begründen Sie Ihre Entscheidung. (4 Punkte) Zugelassene Hilfsmittel:
• CAS (Computer-Algebra-System)
• Mathematische Formelsammlung
• Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Abbildung 2
Abbildung 3
