Algebraische Approximation von Kählermannigfaltigkeiten

Kählermannigfaltigkeiten

Von der Universität Bayreuth zur Erlangung des Grades eines

Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung

von

Florian Schrack

geboren am22. Dezember 1982in Bayreuth

1. Gutachter: Prof. Dr. Thomas Peternell 2. Gutachter: Prof. Dr. Frédéric Campana Tag der Einreichung: 24.09.2010

Tag des Kolloquiums: 17.12.2010

Die vorliegende Arbeit wurde von der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Rahmen der Forschergruppe790Classification of Algebraic Surfaces and Compact Complex Manifoldsunterstützt.

Ich danke meinem Betreuer Herrn Prof. Dr. Thomas Peternell für die in- teressante Themenstellung und vor allem für die zahlreichen Gespräche, in denen er sich immer Zeit nahm, alle auftretenden Probleme ausführlich mit mir zu diskutieren.

Einführung 6

Problemstellung . . . 6

Resultate . . . 7

1 Allgemeines 10 1.1 Begriffe und Konventionen . . . 10

1.2 Variation von Hodgestrukturen . . . 11

1.3 Kählermannigfaltigkeiten . . . 12

1.4 Dimension2 . . . 13

1.5 Höhere Dimensionen . . . 14

2 Funktorialitätsfragen 16 2.1 Projektivitätskriterien . . . 16

2.2 Deformationstheorie von holomorphen Abbildungen . . . 17

2.2.1 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten . . . 18

2.2.2 Abbildungen zwischen komplexen Räumen . . . 18

2.3 Anwendungen . . . 19

2.3.1 Aufblasungen . . . 19

2.3.2 Endliche Abbildungen . . . 21

2.3.3 Surjektionen . . . 22

2.3.4 Einbettungen . . . 24

2.3.5 Morikontraktionen . . . 24

2.3.6 Flips . . . 27

3 Konikbündel 28 3.1 Allgemeine Beschreibung . . . 28

3.2 Deformationstheorie . . . 36

3.3 Konikbündel mit relativer Picardzahl1 . . . 41

4 Konikbündel über Flächen 42 4.1 Allgemeines . . . 42

4.2 Konikbündel über K3-Flächen . . . 43

4.3 Geometrie des Diskriminantenorts . . . 44

4.4 Konikbündel über Flächen mit algebraischer Dimension0 . . . 46 4.5 Konikbündel über Flächen mit algebraischer Dimension1 . . . 47 4.6 Konikbündel über nichtalgebraischen Flächen . . . 50 4.7 Fujiki-Klassifikation . . . 52

5 Deformationstheorie elliptischer Flächen 54

6 Deformationstheorie von K3-Flächen und Tori 55

6.1 Geradenbündel . . . 55 6.2 Extensionen . . . 59 6.3 Rang-2-Bündel . . . 62

7 Weitere Resultate 64

7.1 Projektivierte Rang-2-Bündel . . . 64 7.2 Konikbündel über Flächen mit algebraischer Dimension1 . . . 65 7.3 Konikbündel über K3-Flächen . . . 67

A Chernklassen 68

A.1 Gewisse Chernklassen . . . 68 A.2 Folgerungen für Eulercharakteristiken über Flächen . . . 69

B Nichtalgebraische Mannigfaltigkeiten 70

Literatur 71

Gegenstand der komplex-analytischen Geometrie ist das Studium (kompakter) komplexer Mannigfaltigkeiten. Eine wichtige Klasse solcher Mannigfaltigkei- ten bilden die sogenanntenprojektivenMannigfaltigkeiten, d. h. die kompakten Untermannigfaltigkeiten eines projektiven RaumesPN. Die Bedeutung der projektiven Mannigfaltigkeiten rührt daher, dass sie einen wichtigen Ver- knüpfungspunkt zwischen komplex-analytischer und komplex-algebraischer Geometrie liefern: Nach dem Satz von Chow ist jede projektive Mannigfal- tigkeit im PN eine algebraische Varietät, d. h. das Nullstellengebilde einer endlichen Menge von homogenen Polynomen in N+ 1 Variablen. Dieses Resultat erlaubt zum einen die Anwendung algebraischer Methoden zur Un- tersuchung von projektiven Mannigfaltigkeiten, ermöglicht zum anderen aber auch den Einsatz von analytischen Methoden zur Lösung gewisser Probleme in der algebraischen Geometrie.

Eine differentialgeometrische Verallgemeinerung der projektiven Mannig- faltigkeiten sind die sogenannten Kählermannigfaltigkeiten. Die kompakten Kählermannigfaltigkeiten bilden eine Oberklasse der projektiven Mannigfaltig- keiten, die sich unter gewissen analytischen Operationen besser verhält als die Klasse der projektiven Mannigfaltigkeiten. So sind etwa kleine Deformationen von Kählermannigfaltigkeiten wieder Kählermannigfaltigkeiten, während die Projektivität bereits bei kleinen Deformationen verloren gehen kann. Dennoch gelten viele Eigenschaften projektiver Mannigfaltigkeiten auch für kompakte Kählermannigfaltigkeiten, wie etwa die Existenz einer Hodgezerlegung für die komplexe Kohomologie.

Eine in weiten Teilen noch ungeklärte Frage ist, „wie weit“ kompakte Kähler- mannigfaltigkeiten von projektiven Mannigfaltigkeiten „entfernt“ sind. Welche Kählermannigfaltigkeiten können beispielsweise in projektive Mannigfaltigkei- ten deformiert werden?

Problemstellung

In diesem Zusammenhang untersucht die vorliegenden Arbeit den Begriff der algebraischen Approximierbarkeit. Dabei heißt eine kompakte komplexe Mannig-

faltigkeitXalgebraisch approximierbar, wenn eine Familie von Deformationen (Xt)_t∈∆ derart existiert, dassX0=∼ Xist und es eine Folge(t_k)⊂∆(∆⊂C^N die Einheitskreisscheibe) mitt_k →0gibt, so dass alleXtk projektiv sind.

Obwohl der Begriff der algebraischen Approximierbarkeit auf den ersten Blick sehr natürlich anmutet, ist es im Allgemeinen sehr schwer, für eine gegebene komplexe Mannigfaltigkeit zu entscheiden, ob diese algebraisch approximierbar ist.

Die ersten Approximierbarkeitsresultate für Flächen (d. h. komplexe Man- nigfaltigkeiten von Dimension2) gehen auf K. Kodaira zurück: In [Kod63b]

konnte er zeigen, dass jede kompakte Kählerfläche eine projektive Deforma- tion (die aber eventuell im Deformationsraum weit von der Ausgangsfläche entfernt liegt) besitzt. In der Tat lässt sich mit seinen Methoden aber auch die algebraische Approximierbarkeit jeder kompakten Kählerfläche beweisen (vgl. z. B. [FM94]).

Kodairas Beweis funktioniert unter Zuhilfenahme der Flächenklassifikations- theorie: In jeder auftretenden Klasse von Kählerflächen muss die algebraische Approximierbarkeit mit jeweils speziell an die Situation angepassten Metho- den separat gezeigt werden. Erst kürzlich hat N. Buchdahl in [Buc06] und [Buc08] einen neuen Beweis für die Approximierbarkeit von Kählerflächen vorgestellt, der nur sehr grobe Flächenklassifikationsresultate verwendet.

Da die Klassifikationstheorie höherdimensionaler Kählermannigfaltigkeiten noch weit weniger entwickelt ist als die Flächenklassifikationstheorie, und eine Verallgemeinerung von Buchdahls Beweis für höhere Dimensionen nicht ohne Weiteres möglich scheint, gibt es derzeit kaum erfolgversprechende Methoden, die algebraische Approximierbarkeit größerer Klassen höherdimensionaler kompakter Kählermannigfaltigkeiten zu zeigen.

Dennoch wurde lange Zeit vermutet, dass jede kompakte Kählermannig- faltigkeit algebraisch approximierbar ist. Diese Vermutung wurde allerdings von C. Voisin in [Voi04] widerlegt: In jeder Dimension>4existieren kompak- te Kählermannigfaltigkeiten, die nicht algebraisch approximierbar sind. In Dimension3hingegen bleibt die Situation weiterhin offen.

Resultate

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die algebraische Approximierbarkeit ge- wisser Klassen von Kählerdreifaltigkeiten zu untersuchen.

In Kapitel1wird der Begriff der algebraischen Approximierbarkeit zunächst von einem allgemeinen Standpunkt aus betrachtet. So wird etwa die Methode der Variation von Hodgestrukturen eingeführt. Anschließend werden die

bekannten Resultate für Flächen und höherdimensionale Mannigfaltigkeiten zitiert, wobei das Resultat für glatte Kählerflächen auf gewisse singuläre Flächen ausgedehnt wird.

In Kapitel2werden gewisse Funktorialitätsfragen im Zusammenhang mit algebraischer Approximierbarkeit untersucht. Es geht dabei darum, für eine gegebene holomorphe Abbildungf:X→ Y Zusammenhänge zwischen der algebraischen Approximierbarkeit vonXund der algebraischen Approximier- barkeit vonY zu finden. Zur Untersuchung dieser Problemstellung werden zunächst einige Projektivitätskriterien für Quell- bzw. Bildräume holomorpher Abbildungen diskutiert. Anschließend werden die wesentlichen Aussagen von Horikawas Deformationstheorie von Abbildungen zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten bzw. Rans Verallgemeinerung für komplexe Räume zitiert.

Die allgemeine Theorie wird schließlich verwendet, um das Funktorialitätspro- blem am Beispiel einiger spezieller Typen von Abbildungen zu erörtern. So werden Aussagen über Aufblasungen, endliche Abbildungen, Surjektionen, Einbettungen, Morikontraktionen und Flips gewonnen.

Glaubt man an das Moriprogramm für Kählermannigfaltigkeiten, so ist jede kompakte Kählerdreifaltigkeit X bimeromorph zu einem kompakten Kählerraum ˜Xderart, dass entwederK_X˜ nef ist oder eine Morifaserungϕ:X˜ → Y existiert, so dassϕentweder ein Konikbündel über einer Fläche oder eine Del-Pezzo-Faserung über einer Kurve ist. IstXnichtalgebraisch, so kann der letzte Fall nicht auftreten.

In Kapitel3wird deshalb die allgemeine Theorie von Konikbündeln entwi- ckelt, vor allem im Hinblick auf deformationstheoretische Aussagen.

Kapitel4behandelt den für die vorliegende Arbeit interessanten Fall von Konikbündeln über Flächen. Hier geht es vor allem darum, die Geometrie des Diskriminantenorts von Konikbündeln mit relativer Picardzahl1zu verstehen.

Dies sind gerade die aus der Moritheorie stammenden Konikbündel. Für solche Konikbündel können Chernklassenungleichungen gezeigt werden, die den Beweis eines der Hauptresultate dieser Arbeit ermöglichen:

Satz(4.14,4.15). Seif:X→Sein Konikbündel über einer nichtalgebraischen kom- pakten KählerflächeSmitρ(X) =ρ(S) +1. Dann ist

H¹(T_X)6=0,

d. h. es gibt infinitesimale Deformationen von X. Es existiert sogar eine positiv- dimensionale Familie von Deformationen vonX, außer evtl. in den folgenden Fällen:

(i) Sist ein Torus undE:=f_∗(K^∗_X/S)ist projektiv flach, d. h.P(E)ist durch eine Darstellung π₁(S) → PGL(3,C) gegeben; des Weiteren ist X nicht von der FormP(V)für ein Rang-2-BündelVaufS.

(ii) S ist minimal eigentlich elliptisch (κ(S) = 1) und alle singulären Fasern der eindeutig bestimmten elliptischen Faserungr:S→Bsind multiple elliptische Kurven.

Kapitel 5 zitiert in komprimierter Form die für die vorliegende Arbeit relevanten Resultate aus der Deformationstheorie von elliptischen Faserungen auf Flächen.

In Kapitel6wird die Fortsetzbarkeit von Vektorbündeln über K3-Flächen und Tori auf gewisse Familien von Deformationen untersucht. Durch genau- es Studium der Periodenabbildung werden verschiedene Fortsetzungssätze bewiesen, die letztlich die algebraische Approximierbarkeit projektivierter Rang-2-Bündel über K3-Flächen und Tori implizieren.

Kapitel7verwendet die Resultate der vorangehenden Kapitel, um einige weitere Approximierbarkeitssätze zu formulieren. Zunächst liefert das Studi- um von Aufblasungen von Flächen folgende Verallgemeinerung der Ergebnisse von Kapitel6:

Satz(7.2). SeiSeine kompakte Kählerfläche mitκ(S) =0undVein Rang-2-Bündel aufS. Dann istP(V)algebraisch approximierbar.

Schließlich werden unter Verwendung der zuvor entwickelten Theorie noch folgende Sätze über die Approximierbarkeit von Konikbündeln bewiesen:

Satz(7.3). Sei f:X →S ein Konikbündel über einer kompakten KählerflächeSmit a(S) = 1, E := f_∗(K^∗_X/S) und r:S → Cdie elliptische Faserung von S. Falls für eine allgemeine FaserFvonr

E|F =∼ O^⊕3_F ist, so istXalgebraisch approximierbar.

Satz(7.5). Sei Seine K3-Fläche, f: X → S ein Konikbündel und E := f∗(K^∗_X/S).

Falls GeradenbündelL₁,L₂,L₃ ∈PicSexistieren mit E=∼ L₁⊕L₂⊕L₃, dann istXalgebraisch approximierbar.

1.1 Begriffe und Konventionen

In der gesamten Arbeit bewegen wir uns meist innerhalb der Kategorie der komplexen Räume; mit Abbildung bzw. Morphismus ist deshalb im Folgen- den, sofern nicht explizit anders spezifiziert, stets ein Morphismus in dieser Kategorie, d. h. eine holomorphe Abbildung zwischen komplexen Räumen, gemeint.

Unter einer komplexen Varietätverstehen wir einen irreduziblen und redu- zierten komplexen Raum, unter einer komplexen Mannigfaltigkeit eine glatte komplexe Varietät. AlsFlächebezeichnen wir stets eine komplexe Mannigfal- tigkeit der Dimension2.

Sei f:X→ Y eine Abbildung undy∈Y ein Punkt bzw.W ⊂Y ein Unter- raum. Wenn keine Verwechslungsgefahr bezüglich der gemeinten Abbildung besteht, verwenden wir oft die abkürzenden SchreibweisenX_y:=f⁻¹({y})für dieFaser vonybzw.X_W :=f⁻¹(W)für dasUrbildvonW unterf.

Sei X ein kompakter komplexer Raum. Unter einer Deformation von X verstehen wir eine eigentliche und flache Abbildung π: X → T von einem komplexen RaumXin einen komplexen RaumT mit ausgezeichnetem Punkt 0 ∈ T derart, dass X0 =∼ X ist. Da wir nur an „kleinen“ Deformationen interessiert sind, werden wirT stets als Keim(T, 0)auffassen, d. h. wir werden oft stillschweigend annehmen, dassT bereits durch eine hinreichend kleine Umgebung U ⊂ T von 0 und π durch die Einschränkung π|XU: XU → U ersetzt wurde.

Die allermeisten der im Folgenden auftretenden Deformationen werden glatte Basen T besitzen; es ist dann (T, 0) = (∆, 0)∼ als Keim, wobei ∆ die Einheitskreisscheibe inC^Nist (N=dimT).

Wir formulieren nun die zentrale Definition dieser Arbeit:

Definition1.1(Algebraische Approximation). SeiXein kompakter komplexer Raum. Eine Deformationπ:X→∆vonX=X0 über der Einheitskreisscheibe

∆⊂C^Nheißtalgebraische Approximation vonX,wenn es eine Folge(t_k)_k∈N⊂∆ derart gibt, dass limk→∞t_k = 0ist und Xtk für jedesk ∈Nprojektiv ist. X heißtalgebraisch approximierbar,wenn eine algebraische Approximation vonX

existiert.

1.2 Variation von Hodgestrukturen

Das Studium von Deformationen von kompakten komplexen Mannigfaltig- keiten ist erst dann interessant, wenn man wirklich an der Veränderung der komplexenStruktur des deformierten Raumes interessiert ist; die zugrundelie- gendeC^∞-Struktur ändert sich bei Deformationen nämlich nicht:

Satz1.2(Ehresmann). Seif:X→Yeine eigentliche Submersion vonC^∞-Mannig- faltigkeiten. Dann istflokal trivial, d. h. jeder Punkty∈ Y besitzt eine Umgebung U⊂Y derart, dass einC^∞-Diffeomorphismus Φ: f⁻¹(U) → f⁻¹(y)×Uexistiert mitpr₂◦Φ=f|f⁻¹(U).

Satz1.2liefert beispielsweise sofort topologische Einschränkungen für alge- braisch approximierbare Mannigfaltigkeiten:

Proposition 1.3. Sei Xeine algebraisch approximierbare kompakte komplexe Man- nigfaltigkeit. Dann istXdiffeomorph (also insbesondere auch homöomorph) zu einer projektiven Mannigfaltigkeit.

Sei nunXeine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit,∆⊂C^Ndie Einheits- kreisscheibe undπ:X→∆eine Deformation von X=X0. Dann haben wir nach Satz1.2 einen C^∞-DiffeomorphismusΦ:X→ X×∆über ∆(wobei∆ wie immer als Keim(∆, 0)aufgefasst wird). Dieser induziert für jedesk∈N0

und jedest∈∆einen Isomorphismus

ϕ^k_t:H^k(Xt,C)−→^=∼ H^k(X,C).

Wir betrachten nun den Spezialfall, dassXeine kompakte Kählermannig- faltigkeit ist. Dann sind die FasernXt für alle benachbartent∈∆ebenfalls Kähler und wir bekommen eine Hodgezerlegung

H^k(Xt,C)=∼ M

p+q=k

H^p,q(Xt).

Ein klassisches Ergebnis aus der Deformationstheorie besagt, dass die Dimen- sionen h^p,q(Xt) := dimH^p,q(Xt) unabhängig von tsind ([Voi02, Propositi- on9.20]). Wir bekommen damit eine sogenanntePeriodenabbildung

P^p,q:∆→Grass h^p,q(X), H^p+q(X) , t7→ϕ^p+q_t H^p,q(Xt)

.

Die AbbildungP^p,q ist holomorph ([Voi02, Théorème10.9]) und kann ver- wendet werden, um die gegebene Deformationπgenauer zu studieren (siehe z. B. den Beweis von Satz6.1für ein Anwendungsbeispiel).

1.3 Kählermannigfaltigkeiten

Sei Xeine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Eine positive reelle (1, 1)- Formωauf XheißtKählerform, wenndω= 0ist. Jede Kählerformωliefert eine Kohomologieklasse

[ω]∈H^1,1(X)∩H²(X,R) =:H^1,1(X,R).

Die Teilmenge

KX:={[ω]|ωKählerform auf X}⊂H^1,1(X,R)

ist ein offener konvexer Kegel, der KählerkegelvonX. Im Fall, dass KX eine rationale Klasse enthält, d. h. ein

ζ∈KX∩H²(X,Q)

existiert, gibt es nach dem Satz von Lefschetz ein GeradenbündelL∈PicX, so dass

c1(L) =mζ

für eine natürliche Zahlmist. Daζvon einer positiven(1, 1)-Form repräsen- tiert wird, ist L positiv, also ist X nach dem Kodairaschen Einbettungssatz projektiv.

Ist X eine Kählermannigfaltigkeit, so ist KX 6= ∅. Sei in diesem Fall ω eine Kählerform aufX. DaH²(X,Q) dicht inH²(X,R)ist, existiert eine Folge (α_k) ⊂ H²(X,Q) mit α_k → [ω]. Für genügend große k kann α_k von einer positiven reellen2-Form repräsentiert werden, allerdings kann im allgemeinen nicht α_k ∈H^1,1(X) erreicht werden (ist z. B. Xnicht projektiv, so haben wir oben gesehen, dassKX∩H²(X,Q) =∅ist).

Man kann allerdings versuchen, im Geiste von Abschnitt 1.2 durch eine Deformation vonXdie Lage vonH^1,1(X)inH²(X,C)so abzuändern, dass die α_k getroffen werden. Dies ist die Philosophie hinter dem folgenden Kriterium für algebraische Approximierbarkeit von Buchdahl:

Satz1.4([Buc08, Proposition1]). SeiXeine kompakte Kählermannigfaltigkeit und π:X → ∆ eine Deformation von X = X0 über der Einheitskreisscheibe ∆ ⊂ C^N. Seiωeine Kählerform aufX. Falls die Komposition der Kodaira-Spencer-Abbildung T₀∆ → H¹(T_X) mit der Kontraktionsabbildungyω: H¹(T_X) → H²(OX) surjektiv ist, so istπeine algebraische Approximation.

Man kann Buchdahls Kriterium beispielsweise verwenden, um das folgende klassische Resultat über Deformationen von K3-Flächen und zweidimensiona- len Tori zu beweisen:

Korollar1.5. SeiSeine K3-Fläche oder ein zweidimensionaler Torus undπ:S→∆ eine Deformation vonS=S0 über der Einheitskreisscheibe∆⊂C^Nderart, dass die Kodaira-Spencer-AbbildungT₀∆→H¹(T_S)nicht die Nullabbildung ist. Dann istπ eine algebraische Approximation.

Beweis. AufSexistiert eine globale nirgends entartete holomorphe2-Formσ mitH⁰(K_S) =Cσ.

Sei 0 6= v ∈ im[T₀∆ → H¹(T_S)]. Die Kontraktion mit v induziert eine Abbildung

ϕ:H¹(Ω¹_S)→H²(OS).

Wir zeigen zunächst, dassϕsurjektiv ist. Dies ist äquivalent dazu, dass die duale Abbildung

ϕ^∗:H²(OS)^∗→H¹(Ω¹_S)^∗

injektiv ist. Serredualität liefert Isomorphismen H²(OS)^∗ =∼ H⁰(K_S) und H¹(Ω¹_S)^∗=∼ H¹(T_S⊗K_S)=∼ H¹(Ω¹_S), bezüglich derer ϕ^∗ gegeben ist durch

ϕ^∗(σ) =vyσ.

Daσnirgends entartet ist, liefert die Kontraktion mitσeinen Vektorbündeliso- morphismusT_S −→^=∼ Ω¹_S, der insbesondere einen IsomorphismusH¹(T_S)−→^=∼ H¹(Ω¹_S) induziert. Da v 6= 0 ist, bedeutet dies, dass auch vyσ 6= 0 ist und somitϕ^∗ injektiv ist.

Sei nun [ω] ∈ H^1,1

R (S) := H¹(Ω¹_S)∩H²(S,R) eine Kählerklasse auf S. Da ϕ surjektiv ist und H^1,1

R (S) den Raum H¹(Ω¹_S) als C-Vektorraum erzeugt, existiert in jeder Umgebung vonωeine reelle(1, 1)-Formω⁰mitvy[ω⁰]6=0. Liegtω⁰ nahe genug beiω, so istω⁰ eine Kählerform aufS, bezüglich derer die Voraussetzung von Satz1.4erfüllt ist.

1.4 Dimension 2

Für Flächen ist die Approximierbarkeitsfrage vollständig geklärt:

Satz 1.6 ([Kod63b], [Buc06; Buc08]). Jede kompakte Kählerfläche ist algebraisch approximierbar.

Bemerkung1.7. Eine kompakte FlächeSist genau dann Kähler, wennb₂(S) gerade ist. Nach Proposition1.3 impliziert damit die algebraische Approxi- mierbarkeit vonSdie Existenz einer Kählermetrik aufS.

Unter Verwendung des folgenden Resultats von Artin können wir Satz1.6 auf gewisse singuläre Flächen ausdehnen:

Satz 1.8 ([Art62, Theorem 2.3]). Sei S ein normaler kompakter komplexer Raum der Dimension 2 mit rationalen Singularitäten. Dann ist S genau dann projektiv, wenna(S) =2ist.

Wir bekommen damit unter Zuhilfenahme der in Kapitel 2 behandelten Deformationstheorie für Abbildungen:

Korollar1.9. SeiSein normaler kompakter komplexer Raum der Dimension2 mit rationalen Singularitäten. IstSbimeromorph zu einer kompakten Kählerfläche, so ist Salgebraisch approximierbar.

Beweis. Seip:S˜ → Seine Auflösung von S, wobei ˜Seine kompakte Kähler- mannigfaltigkeit ist. Nach Satz1.6existiert eine algebraische Approximation π:S˜ → ∆von ˜S = S˜0. Da nach Voraussetzung p∗OS˜ = OS und R¹p∗OS˜ = 0 ist, existiert eine Deformation ψ: S → ∆ vonS = S0 und eine holomorphe Abbildung P: S˜ → Smit π◦P = ψ und P|S˜0 = p(siehe Korollar 2.27). Für t∈∆nahe bei0 hatSt rationale Singularitäten (siehe [Elk78, Théorème4]).

Ist ˜St projektiv, so ista(St) =2. Nach Satz1.8ist dannSt projektiv. Damit ist gezeigt, dassψeine algebraische Approximation ist.

1.5 Höhere Dimensionen

Satz1.6inspirierte zur Vermutung, dass jede kompakte Kählermannigfaltigkeit algebraisch approximierbar sei. Dies wurde jedoch vor wenigen Jahren von Voisin widerlegt:

Satz 1.10 ([Voi04]). In jeder Dimension > 4 existieren kompakte Kählermannig- faltigkeiten, die nicht den Homotopietyp einer komplex-projektiven Mannigfaltigkeit haben.

In Voisins Gegenbeispiel wird die algebraische Approximierbarkeit sozusa- gen „künstlich“ durch Aufblasung gewisser Untervarietäten eines Produktes komplexer Tori zerstört (vgl. in diesem Zusammenhang auch Satz2.15). Man könnte also die Approximierbarkeitsvermutung aufrecht erhalten, wenn man geeignete Minimalitätsvoraussetzungen hinzufügt. Allerdings muss man dann auch singuläre Modelle zulassen, wie das folgende spätere Resultat von Voisin zeigt:

Satz1.11 ([Voi06]). In jeder geraden Dimension> 10existieren kompakte Kähler- mannigfaltigkeiten X mit der Eigenschaft, dass kein glattes bimeromorphes Modell X⁰ vonXden Homotopietyp einer komplex-projektiven Mannigfaltigkeit hat.

Die Situation in Dimension 3ist weitgehend unbekannt. Abgesehen von Buchdahls Approximationskriterium (Satz 1.4), das allerdings nur in sehr speziellen Situationen anwendbar ist, gibt es bisher keine Resultate zur alge- braischen Approximierbarkeit Kählerscher Dreifaltigkeiten. In den folgenden Kapiteln soll die Frage nach der Approximierbarkeit gewisser Typen von Dreifaltigkeiten näher beleuchtet werden.

Sei ϕ: X → Y ein Morphismus zwischen kompakten komplexen Räumen.

Man kann für spezielle Typen solcher Morphismen die Frage stellen, welcher Zusammenhang zwischen der algebraischen Approximierbarkeit vonXund der algebraischen Approximierbarkeit vonY besteht.

2.1 Projektivitätskriterien

Ein erster Schritt zur Beantwortung dieser Frage besteht darin, ein besse- res Verständnis für den Zusammenhang zwischen Projektivität von Xund Projektivität vonYzu entwickeln.

Ein wichtiges Hilfsmittel dazu ist das folgende klassische Resultat:

Satz2.1(Moishezon). SeiXeine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit mita(X) = dimX. Dann istXgenau dann projektiv, wennXKähler ist.

Damit bekommen wir:

Proposition 2.2. Sei f:X → Y ein surjektiver Morphismus von einem projektiven komplexen RaumXauf eine kompakte KählermannigfaltigkeitY. Dann istY projek- tiv.

Beweis. Ohne Einschränkung istXirreduzibel und reduziert. Dann ist nach [Uen75, Theorem3.8]

a(Y)>a(X) −dimX+dimY=dimY.

Nach Satz2.1istY projektiv.

Die Projektivität des Quellraums folgt nur unter sehr speziellen Bedingun- gen aus der Projektivität des Zielraums. Einfach ist beispielsweise der Fall endlicher Abbildungen:

Proposition 2.3. Sei f: X → Y ein endlicher Morphismus zwischen kompakten komplexen Räumen. IstYprojektiv, so auchX.

Beweis. Sei A ein amples Geradenbündel auf Y, dann ist f^∗A ein positives Geradenbündel aufX. Grauert hat gezeigt, dassXdann projektiv ist.

Im Falle positiv-dimensionaler Fasern benötigt man zusätzliche Bedingun- gen:

Satz2.4. SeiXeine kompakte Kählermannigfaltigkeit, Yeine projektive Mannigfal- tigkeit undf:X → Y eine surjektive holomorphe Abbildung mit zusammenhängen- den Fasern. IstH¹(OXy) =0für allgemeinesy∈Y, dann istXprojektiv.

Beweis. [Fuj83b, Proposition7]

Bemerkung2.5. Die Bedingung von Satz 2.4 ist insbesondere erfüllt, wenn die allgemeine Faser vonfrational zusammenhängend ist.

2.2 Deformationstheorie von holomorphen Abbildungen

Seif: X→Y eine holomorphe Abbildung zwischen kompakten komplexen Räumen. Unter einerDeformation vonfverstehen wir ein Tripel(π, ψ, F), wobei π:X→T 30eine Deformation vonX=X0,ψ:Y→T eine Deformation von Y=Y0 undF:X→Yeine holomorphe Abbildung mitψ◦F=πundF|_X0 =f ist.

Eine interessante Fragestellung ist, ob zu einer gegebenen Abbildungf:X→ Yjede Deformation vonXbzw.Y von einer Deformation vonfinduziert wird.

Dazu führen wir nach [Ran91] folgende Sprechweisen ein:

Definition2.6. Eine holomorphe Abbildungf:X→Y zwischen kompakten komplexen Räumen heißtzielstabil,wenn zu jeder Deformationψ:Y→T 30 vonY = Y0 eine Deformation π:X → T vonX = X0 und eine holomorphe AbbildungF:X→Yderart existieren, dassψ◦F=πundF|_X0 =fist.

Definition2.7. Eine holomorphe Abbildungf:X→Y zwischen kompakten komplexen Räumen heißtquellstabil,wenn zu jeder Deformationπ:X→T 30 vonX = X0 eine Deformation ψ:Y → T vonY = Y0 und eine holomorphe AbbildungF:X→Yderart existieren, dassψ◦F=πundF|_X0 =fist.

Im Folgenden werden zunächst die allgemeinen Kriterien für Ziel- bzw.

Quellstabilität von Horikawa und Ran besprochen; im nächsten Abschnitt wer- den dann einige Anwendungen auf spezielle Typen von Abbildungenf:X→Y diskutiert und Auswirkungen auf die algebraische Approximierbarkeit der beteiligten RäumeXundY untersucht.

2.2.1 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten

Für den Fall, dassXundY glatt sind, beweist Horikawa folgende Kriterien für die Stabilität vonf:

Satz2.8([Hor74, Theorem6.1]). Seif:X → Y eine holomorphe Abbildung zwi- schen kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. Falls die von f induzierte Abbil- dung

Hⁱ(X, T_X)−→^f∗ Hⁱ(X, f^∗T_Y) füri=1surjektiv und füri=2injektiv ist, so istfzielstabil.

Satz2.9([Hor76, Theorem8.1]). Seif:X → Y eine holomorphe Abbildung zwi- schen kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. Falls die von f induzierte Abbil- dung

Hⁱ(Y, T_Y) ^f

∗

−→Hⁱ(X, f^∗T_Y)

füri=1surjektiv und füri=2injektiv ist, so istfquellstabil.

2.2.2 Abbildungen zwischen komplexen Räumen

Obwohl in späteren Kapiteln meist nur der Fall relevant sein wird, dassX und Y glatt sind, sollen hier kurz die Verallgemeinerungen der Sätze von Horikawa für singuläre Räume durch Ziv Ran vorgestellt werden, um das Themengebiet der algebraischen Approximierbarkeit in einen größeren Zu- sammenhang zu stellen.

Zunächst benötigen wir geeignete Verallgemeinerungen der Kohomologie- gruppen des Tangentialbündels einer komplexen Mannigfaltigkeit. Für einen reduzierten kompakten komplexen RaumXdefinieren wir

T_Xⁱ :=Extⁱ(Ω¹_X,OX).

Es ist bekannt, dass infinitesimale Deformationen vonXdurchT_X¹ parametri- siert werden, wobei Obstruktionen inT_X² liegen.

Analog werden in [Ran89] für eine holomorphe Abbildungf:X→Y zwi- schen reduzierten kompakten komplexen RäumenXundY VektorräumeT_fⁱ konstruiert, so dass infinitesimale Deformationen vonfdurchT_f¹ klassifiziert werden und Obstruktionen inT_f² liegen.

Die RäumeT_fⁱsitzen in einer langen exakten Sequenz 0−→T_f⁰ −→T_X⁰⊕T_Y⁰ −→Ext⁰_f(Ω¹_Y,OX)

−→T_f¹ −→T_X¹⊕T_Y¹ −→Ext¹_f(Ω¹_Y,OX)

−→T_f² −→T_X²⊕T_Y² −→Ext²_f(Ω¹_Y,OX),

(2.1)

wobei Extⁱ_f(·,·)die abgeleiteten Funktoren von Hom_OX(f^∗·,·) =Hom_OY(·, f_∗·) sind.

Die beiden Kriterien von Horikawa lassen sich damit wie folgt auf singuläre Räume übertragen:

Satz2.10 ([Ran91, Criterion0.2]). Seif:X→Y eine holomorphe Abbildung zwi- schen reduzierten kompakten komplexen Räumen. Falls die von der Sequenz (2.1) induzierte Abbildung

T_fⁱ→T_Yⁱ

füri=1surjektiv und füri=2injektiv ist, so istfzielstabil.

Satz2.11 ([Ran91, Criterion0.1]). Seif:X→Y eine holomorphe Abbildung zwi- schen reduzierten kompakten komplexen Räumen. Falls die von der Sequenz (2.1) induzierte Abbildung

T_fⁱ→T_Xⁱ

füri=1surjektiv und füri=2injektiv ist, so istfquellstabil.

Bemerkung2.12. Eine einfache Diagrammjagd ergibt, dass die Bedingung aus Satz2.10äquivalent ist zur Bedingung, dass die Abbildung

T_Xⁱ →Extⁱ_f(Ω¹_Y,OX)

aus Sequenz (2.1) füri=1surjektiv und füri=2injektiv ist. Analog ist die Bedingung aus Satz2.11äquivalent zur Bedingung, dass die Abbildung

T_Yⁱ →Extⁱ_f(Ω¹_Y,OX)

aus Sequenz (2.1) füri=1surjektiv und für i=2injektiv ist.

Bemerkung 2.13. Sind X undY glatt, so ist T_Xⁱ =∼ Hⁱ(X, T_X), T_Yⁱ =∼ Hⁱ(Y, T_Y) und Extⁱ_f(Ω¹_Y,OX)=∼ Hⁱ(f^∗T_Y). In diesem Fall liefern die reformulierten Bedin- gungen aus Bemerkung2.12 gerade die Bedingungen von Horikawa aus den Sätzen2.8und2.9.

2.3 Anwendungen

2.3.1 Aufblasungen

Es soll hier ein Kriterium für die algebraische Approximierbarkeit von aufge- blasenen Kählermannigfaltigkeiten bewiesen werden. Dazu wird noch nicht die allgemeine Deformationstheorie aus Abschnitt2.2benötigt, da die relevan- ten Stabilitätsaussagen bereits von Kodaira in [Kod63c] bewiesen wurden.

Definition2.14. SeiXein komplexer Raum,Y⊂Xein kompakter komplexer Unterraum. Eine Deformationπ:X→T 30vonX=X0 heißtY-stabil, wenn es einen komplexen UnterraumYvonXderart gibt, dassY∩X0 =Y ist und π|_Yein eigentlicher und flacher Morphismus ist.

Damit erhalten wir folgende Aussage für Aufblasungen von Untermannig- faltigkeiten von Kählermannigfaltigkeiten:

Satz2.15. SeiXeine kompakte Kählermannigfaltigkeit,Xˆ →Xdie Aufblasung von X in einer kompakten Untermannigfaltigkeit Y ⊂ X von Kodimension> 2. Dann ist Xˆ genau dann algebraisch approximierbar, wenn es eine Y-stabile algebraische Approximation vonXgibt.

Beweis. Sei ˜π: X˜ → ∆eine algebraische Approximation von ˆX = X˜0, wobei

∆⊂C^N die Einheitskreisscheibe sei. Es seiE⊂X˜0 der exzeptionelle Divisor der Niederblasung ˆX→X. Nach [Kod63c, Theorem5] istEstabil bzgl. ˜π, d. h.

es existiert eine UntermannigfaltigkeitE⊂X˜ mitE∩X˜0 =Ederart, dass ˜π|_E eine eigentliche Submersion ist. Es ist dann Eexzeptionell relativ zu ˜π. Sei p:X˜ →Xdie Niederblasung vonEundπ:X→∆die induzierte eigentliche Submersion mit π◦p = π˜. Für jedes t ∈ ∆ ist dann die Einschränkung p_t :=p|X˜t:X˜t→Xt die Niederblasung des exzeptionellen DivisorsEt ⊂X˜t

auf die Untermannigfaltigkeit p(Et) ⊂ Xt. Insbesondere ist die Abbildung p_t für alle t∈ ∆bimeromorph. Da XKähler ist, sind alle benachbarten Xt

ebenfalls Kähler, deshalb ist ˜Xt genau dann projektiv, wennXt projektiv ist (Proposition2.2 und Satz2.4). Somit istπeine algebraische Approximation vonX0. Das BildY:=p(E)ist eigentlich und flach über∆und es giltY∩X0=∼ Y. Insbesondere istX0=∼ XundπistY-stabil.

Sei umgekehrt π:X → ∆eine Y-stabile algebraische Approximation von X=X0 undY⊂Xgemäß Definition2.14. Seip:Xˆ →Xdie Aufblasung von XinY. Dann ist die Komposition ˆπ:=π◦peine algebraische Approximation von ˆX=Xˆ0.

Da im Allgemeinen nicht jede Deformation bezüglich jeder Untermannig- faltigkeitY ⊂Xstabil ist, wird oft der Fall eintreten, dass der aufgeblasene Raum ˆXweniger Deformationen besitzt alsX. Eine interessante, aber völlig offene Fragestellung ist, wann durch sukzessive Aufblasungen geeigneter Untermannigfaltigkeiten erreicht werden kann, dass der aufgeblasene Raum starr wird. Wäre dies für eine nichtalgebraische Mannigfaltigkeit möglich, so hätte man insbesondere ein Beispiel einer nicht algebraisch approximierbaren Mannigfaltigkeit gefunden.

2.3.2 Endliche Abbildungen

Ohne die allgemeine Theorie aus Abschnitt2.2zu verwenden, lässt sich zeigen, dass sich algebraische Approximationen auf étale Überlagerungen hochheben lassen:

Satz2.16. SeiXeine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. IstXalgebraisch appro- ximierbar, so auch jede endliche étale Überlagerung vonX.

Beweis. Seiϕ:Y →Xeine endliche étale Überlagerung vonXundπ:X→∆ eine algebraische Approximation von X = X0. Nach Satz 1.2 können wir annehmen, dass

X ∼=_C∞ X×∆

über∆ist. Setzen wir nunY:=Y×∆(alsC^∞-Mannigfaltigkeit), so induziert ϕeineC^∞-Abbildung

Φ:Y→X, (y, t)7→ ϕ(y), t

.

DaΦ ein lokaler Homöomorphismus ist, gibt es eine eindeutige komplexe Struktur auf Y derart, dass Φ holomorph ist. Die Komposition ψ := π◦ Φ: Y → ∆ ist dann eine Deformation von Y = Y0 derart, dass für jedes t∈∆die EinschränkungΦ|_Yt:Yt→Xt eine endliche étale Überlagerung ist.

Insbesondere istYt projektiv, wennXt projektiv ist (Proposition2.3), also ist ψeine algebraische Approximation vonY.

Für verzweigte Überlagerungen wird die Situation komplizierter, da nicht mehr klar ist, dass man Deformationen eines Raumes zu Deformationen von verzweigten Überlagerungen dieses Raumes „hochheben“ kann (schon die Fortsetzung des Verzweigungsdivisors auf beliebige Deformationen ist im Allgemeinen nicht möglich).

Die umgekehrte Fragestellung, d. h. unter welchen Umständen die algebrai- sche Approximierbarkeit eines Raumes die algebraische Approximierbarkeit eines von ihm überlagerten Raumes impliziert, kann im Rahmen der allge- meinen Deformationstheorie holomorpher Abbildungen aus Abschnitt 2.2 behandelt werden:

Seif:X→Y eine endliche Überlagerung kompakter komplexer Mannigfal- tigkeiten. In dieser Situation gibt es eine kurze exakte Sequenz

0−→OY −→f_∗OX−→E−→0,

wobei E ein Vektorbündel auf Y ist. Tensorieren mit T_Y liefert die exakte Sequenz

0−→T_Y −→T_Y ⊗f_∗OX−→T_Y ⊗E−→0. (2.2) Dafendlich ist, folgt aus der Leray-Spektralsequenz, dass

Hⁱ(T_Y⊗f_∗OX)=∼ Hⁱ(f^∗T_Y) für allei>0

ist. Aus der langen exakten Sequenz zu (2.2) folgt daher mittels Satz2.9: Satz2.17([Weh86, Corollary11.1]). Seif:X→Yeine endliche Überlagerung von kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. SeiE :=ker[f_∗OX → OY]der Kern der Spurabbildung. IstH¹(T_Y⊗E) =0, so istfquellstabil.

Mit Proposition 2.2bekommen wir:

Korollar 2.18. Sei f: X → Y eine endliche Überlagerung von kompakten Kähler- mannigfaltigkeiten und E := ker[f∗OX → OY]. Ist X algebraisch approximierbar undH¹(T_Y ⊗E) =0, so ist auchYalgebraisch approximierbar.

2.3.3 Surjektionen

Sei f:X → Y eine surjektive holomorphe Abbildung zwischen kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. Wir haben dann eine kurze exakte Sequenz

0−→f^∗Ω¹_Y −→Ω¹_X−→Ω¹_X/Y −→0.

Anwendung des Funktors Hom(·,OX)liefert die exakte Sequenz

H¹(T_X)−→H¹(f^∗T_Y)−→Ext²(Ω¹_X/Y,OX)−→H²(T_X)−→H²(f^∗T_Y).

Daraus ergibt sich mittels Satz2.8sofort:

Proposition 2.19. Sei f: X → Y eine surjektive holomorphe Abbildung zwischen kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. IstExt²(Ω¹_X/Y,OX) =0, so istfzielsta- bil.

Bemerkung2.20. Istfeine Submersion, so istΩ¹_X/Y lokalfrei, also insbeson- dere Ext²(Ω¹_X/Y,OX)=∼ H²(T_X/Y).

Bemerkung2.21. Ist dimX=n, so ist nach Serredualität Ext²(Ω¹_X/Y,OX)=∼ Hⁿ⁻²(Ω¹_X/Y ⊗K_X).

Wir erhalten ein Approximierbarkeitskriterium für Faserungen, das später noch im Kontext der Konikbündel eine Rolle spielen wird:

Satz2.22. Sei Xeine kompakte Kählermannigfaltigkeit,Y eine algebraisch approxi- mierbare kompakte Mannigfaltigkeit undf: X→ Y eine holomorphe Surjektion mit zusammenhängenden Fasern derart, dassH¹(OXy) = 0 ist für allgemeinesy ∈ Y. IstExt²(Ω¹_X/Y,OX) =0, so ist auchXalgebraisch approximierbar.

Beweis. Sei ψ:Y → ∆ eine algebraische Approximation von Y = Y0. Nach Proposition2.19existiert eine Deformationπ:X →∆vonX = X0 und eine holomorphe Abbildung F:X → Y mit ψ◦F = π und F|_X0 = f. Aus Halb- stetigkeitsgründen ist H¹(OF⁻¹(y)) = 0 für allgemeines y ∈ Y. Da kleine Deformationen von Kählermannigfaltigkeiten wieder Kähler sind, istπnach Satz2.4eine algebraische Approximation vonX.

Als Beispiel für die Anwendung dieses Kriteriums sei hier folgende Situation untersucht: Y sei eine algebraisch approximierbare kompakte Kählermannig- faltigkeit,V ein Vektorbündel vom RangraufY. Wir wollen ein hinreichendes Kriterium für die algebraische Approximierbarkeit vonX:=P(V)finden. Sei π:P(V)→Y die natürliche Projektion. Wir haben dann die relative Eulerse- quenz

0−→O_P(V)−→O_P(V)(1)⊗π^∗V^∗−→T_P(V)/Y−→0 aufP(V), deren Pushforward mittels πdie exakte Sequenz

0−→OY −→V⊗V^∗−→π∗T_P(V)/Y −→0 (2.3) aufY sowieR^qπ∗T_P(V)/Y =0fürq>1liefert. Die Sequenz (2.3) spaltet via

V⊗V^∗=∼ End(V)3φ7→ ¹_rtr(φ)∈OY.

Damit spalten auch die zugehörigen Kohomologiegruppen und wir erhalten mittels Satz2.22sofort:

Satz 2.23. Sei Y eine algebraisch approximierbare kompakte Mannigfaltigkeit und V ein Vektorbündel auf Y mitH²(V⊗V^∗) =∼ H²(OY). Dann ist P(V) algebraisch approximierbar.

Daraus ergibt sich mittels Serredualität die Approximierbarkeit gewisser projektivierter Vektorbündel über K3-Flächen und zweidimensionalen Tori (siehe Satz7.2für ein allgemeineres Ergebnis für Rang-2-Bündel):

Korollar2.24. Sei S eine K3-Fläche oder ein zweidimensionaler Torus, V ein ein- faches Vektorbündel aufS (z. B.V stabil bzgl. einer Kählermetrik auf S). Dann ist P(V)algebraisch approximierbar.

Beweis. WegenK_S =∼ OSfolgt nach SerredualitätH²(V⊗V^∗)=∼ H⁰(V⊗V^∗)=∼ C undH²(OS)=∼ H⁰(OS)=∼ C.

2.3.4 Einbettungen

Als nächstes seiX⊂Y eine Inklusion von kompakten komplexen Mannigfal- tigkeiten. Wir bekommen dann die kurze exakte Sequenz

0−→T_X−→T_Y|X−→N_X|Y −→0,

aus deren langer exakter Kohomologiesequenz wir die exakte Sequenz H¹(T_X)−→H¹(T_Y|X)−→H¹(N_X|Y)−→H²(T_X)−→H²(T_Y|X)

erhalten. Satz 2.8 liefert daraus folgendes Ergebnis, das unabhängig von Horikawas Theorie schon von Kodaira in [Kod63c] bewiesen wurde:

Korollar2.25. Sei X⊂ Y eine Inklusion von kompakten komplexen Mannigfaltig- keiten. IstH¹(N_X|Y) =0, so ist die InklusionsabbildungX,→Y zielstabil.

Da kompakte Untermannigfaltigkeiten einer projektiven Mannigfaltigkeit wieder projektiv sind, bekommen wir folgendes Ergebnis zur algebraischen Approximierbarkeit:

Proposition 2.26. Sei X ⊂ Y eine Inklusion von kompakten komplexen Mannig- faltigkeiten. Ist Y algebraisch approximierbar und H¹(N_X|Y) = 0, so ist auch X algebraisch approximierbar.

2.3.5 Morikontraktionen

Als Anwendungsbeispiel für Rans Deformationstheorie von Abbildungen zwischen singulären Räumen sollen hier Morikontraktionen studiert werden.

Wir beweisen zunächst ein hilfreiches Kriterium für Quellstabilität: Sei f:X→Y eine holomorphe Abbildung zwischen reduzierten kompakten kom- plexen Räumen. Dann existiert für alle kohärenten Garben F auf Y undG aufXdie Grothendieck-Spektralsequenz

E^p,q₂ =Ext^p(F, R^qf∗G)⇒Ext^p+q_f (F,G), aus der wir die lange exakte Sequenz

0−→Ext¹(F, f_∗G)−→Ext¹_f(F,G)−→Hom(F, R¹f_∗G)

−→Ext²(F, f_∗G)−→Ext²_f(F,G) (2.4) erhalten. Wir nehmen nun an, dass f_∗OX = OY ist und setzen F := Ω¹_Y, G := OX. Dann ist Extⁱ(F, f_∗G) = T_Yⁱ und die exakte Sequenz (2.4) liefert folgende Folgerung aus Satz2.11und Bemerkung2.12:

Korollar2.27. Seif:X→Y eine holomorphe Abbildung zwischen reduzierten kom- pakten komplexen Räumen mitf_∗OX=OY undR¹f_∗OX=0. Dann istfquellstabil.

Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung eines Resultats über die Sta- bilität von Faserstrukturen aus [Kod63c]. Wir möchten das Kriterium auf Morikontraktionen anwenden. Dazu benötigen wir eine relative Version des Kodairaschen Verschwindungssatzes. Für Mannigfaltigkeiten gilt folgendes Verschwindungsresultat für höhere direkte Bildgarben:

Satz 2.28 ([Nak87, Corollary 3.5]). Sei f: X → Y eine projektive holomorphe Abbildung von einer komplexen Mannigfaltigkeit X auf eine komplexe Varietät Y und seiHeinf-amplerQ-Divisor aufX, so dasssupphHinormale Kreuzungen hat (hHi:=H−bHc). Dann ist

Rⁱf_∗OX(K_X+dHe) =0 füri>1.

Bemerkung 2.29. Für eine normale komplexe Varietät X der Dimension n können wir diedualisierende Garbeω_X als

ω_X:=

^ⁿ Ω¹_X

∗∗

definieren.ω_Xist reflexiv, aber für nichtalgebraischeXgibt es im Allgemeinen keinenWeildivisorK_Xmitω_X=∼ OX(K_X). Haben wir allerdings eine projektive Abbildungf:X→Yauf einen Steinschen RaumY, so seiL∈PicXeinf-amples Geradenbündel. Für jeden Punkty∈Y können wir dann eink∈Nfinden, so dassH⁰(L^⊗k|Xy)6=06=H⁰(ω_X⊗L^⊗k|Xy) ist. DaY Stein ist, folgtH⁰(L^⊗k) = H⁰ f_∗(L^⊗k)

6=0undH⁰(ω_X⊗L^⊗k) =H⁰ f_∗(ω_X⊗L^⊗k)

6=0, also existieren WeildivisorenD₁ undD₂ aufXmitL^⊗k=∼ OX(D₁) undω_X⊗L^⊗k=∼ OX(D₂) und wir bekommenω_X=∼ OX(D₂−D₁).

Als Folgerung aus Satz2.28ergibt sich folgender Rationalitätssatz für Mori- kontraktionen:

Korollar 2.30. Es seien X und Y normale komplexe Räume und D ein effektiver Weildivisor auf X derart, dass das Paar (X, D) klt ist (siehe den Beweis unten für die Definition). Sei f: X → Y eine projektive holomorphe Abbildung derart, dass

−(K_X+D)f-ample ist. Dann ist

Rⁱf_∗OX=0 füri>1.

Beweis. Da die Aussage lokal bezüglichYist, können wir ohne Einschränkung annehmen, dassY Stein ist. Nach Bemerkung 2.29 ist dann ω_X =∼ OX(K_X)

für einen WeildivisorK_Xund wir können die aus der algebraischen Situation bekannten divisoriellen Schreibweisen verwenden.

Sei alsop:Xˆ →Xeine Log-Auflösung von (X, D). Nach Definition von klt istK_X+DQ-Cartier und es existierena_i∈Q,a_i>−1mit

K_Xˆ +p⁻¹_∗ D≡p^∗(K_X+D) +X

i

a_iE_i,

wobei dieE_idie irreduziblen exzeptionellen Divisoren vonpsind.

Wähleδ_i> 0derart, dassa_i−δ_i>−1und definiere H:= −K_Xˆ +X

i

(a_i−δ_i)E_i−p⁻¹_∗ D≡−p^∗(K_X+D) −X

i

δ_iE_i.

Da

K_Xˆ +dHe=X

i

da_i−δ_ieE_i−bp⁻¹_∗ Dc=X

i

da_i−δ_ieE_i

wegen der klt-Bedingung ein effektiver exzeptioneller Divisor ist, ist p∗OXˆ(K_Xˆ +dHe) =OX.

Offensichtlich istH p-ample, also ist nach Satz2.28 Rⁱp_∗OXˆ(K_Xˆ +dHe) =0 füri>1; somit ergibt sich aus der Grothendieck-Spektralsequenz

Rⁱf_∗OX=Rⁱf_∗ p_∗OXˆ(K_Xˆ +dHe)

=Rⁱ(f◦p)_∗OXˆ(K_Xˆ +dHe).

Da−(K_X+D)f-ample ist, istHaber auch(f◦p)-ample, also liefert Satz2.28 Rⁱ(f◦p)∗OXˆ(K_Xˆ +dHe) =0 füri>1.

Damit bekommen wir:

Proposition2.31. SeiXeine normale komplexe Varietät mit log-terminalen Singu- laritäten undf:X→Yeine Morikontraktion. Dann istfquellstabil.

Beweis. Wegen Korollar2.30können wir Korollar2.27anwenden.

2.3.6 Flips

Die Quellstabilität von Flips wurde explizit von Kollár und Mori nachgewiesen:

Satz2.32 ([KM92, Theorem11.7]). SeiXeine dreidimensionale normale komplexe Varietät mit terminalen Singularitäten,f:X→Yeine kleine Morikontraktion. Dann existiert zu jeder Deformationπ:X→T 30vonX=X0eine Deformationψ:Y→ T und eine holomorphe AbbildungF: X → Y mit ψ◦F = π und F|_X0 = f. Des Weiteren existiert der Flip vonF, d. h. eine Deformationπ⁺:X⁺ →TvonX⁺₀ =:X⁺ und eine eigentliche birationale AbbildungF⁺:X⁺→Ymit exzeptionellem Ort von Kodimension>2derart, dassK_X+ F⁺-ample ist.

Als Gesamtresultat bekommen wir:

Satz 2.33. Sei X eine dreidimensionale normale komplexe Varietät mit terminalen Singularitäten,f:X99KX⁰ eine Komposition von Morikontraktionen und Flips. Ist dannXalgebraisch approximierbar, so auchX⁰.

Beweis. Morikontraktionen sind nach Proposition2.31und Flips nach Satz2.32 quellstabil. IstXprojektiv, so auch der Zielraum jeder Morikontraktion und jedes Flips vonX. Damit liefert jede algebraische Approximation vonXeine algebraische Approximation vonX⁰.

Insbesondere haben wir:

Korollar2.34. Falls das Moriprogramm für eine algebraisch approximierbare nor- male komplexe Varietät X mit terminalen Singularitäten ein minimales Modell X˜ liefert, so ist auchX˜ algebraisch approximierbar.

In diesem Kapitel werden Konikbündel allgemeiner Dimension untersucht.

Nach einigen allgemeinen Aussagen über die Geometrie von Konikbündeln und ihrer Diskriminantenorte stehen dabei vor allem deformationstheoreti- sche Aussagen im Mittelpunkt. Am Ende des Kapitels wird noch kurz auf Konikbündel mit relativer Picardzahl1eingegangen, die in der Moritheorie eine wichtige Rolle spielen.

3.1 Allgemeine Beschreibung

Definition3.1(Konikbündel). Eine eigentliche Abbildungf:X→Yzwischen komplexen MannigfaltigkeitenX,Y heißtKonikbündel,wenn jede Faser vonf isomorph zu einer Kurve vom Grad2(einerKonik) inP2 ist. Wir nennen ein Konikbündelf:X→Ykompakt,wennX(oder äquivalent dazu Y) kompakt ist.

Für das Studium von Konikbündeln ist folgende Beschreibung hilfreich:

Proposition 3.2 (vgl. [Bea77, Proposition1.2]). Seif:X → Y ein Konikbündel.

Dann ist fflach und für jede Faser Q ⊂ Xvon f ist N_Q|X trivial. Des Weiteren istE :=f∗(K^∗_X/Y)lokalfrei vom Rang3 und es existiert ein Schnittσ∈H⁰(S²E⊗ detE^∗)derart, dassXdas Nullstellengebilde vonσinP(E)ist.

Beweis. DaXundYglatt sind, folgt die Flachheit vonfdirekt aus der Äquidi- mensionalität. Seiq∈Y undQ:=f⁻¹(q)die zugehörige Faser vonf. Wir wäh- len eine KarteU⊂Y umqmit Koordinateny_i:U→C. SindD_i:= (y_i=0) die Koordinatendivisoren aufU, so istQ⊂f⁻¹(U) vollständiger Durchschnitt der Divisorenf^∗D_i. Dies impliziert die Trivialität des Normalenbündels vonQ inX.

Nach Definition eines Konikbündels können wir Qals Hyperfläche vom Grad2in denP2 einbetten. Es gilt dann nach Adjunktionsformel:

K^∗_X/Y|Q=K^∗_Q=∼ K^∗

P2|Q⊗N^∗_Q|P

2 =OP2(1)|Q. Aus

0−→O_P2(−1)−→O_P2(1)−→O_P2(1)|Q−→0

erhalten wir somit

h⁰(K^∗_X/Y|Q) =3.

Damit istE=f_∗(K^∗_X/Y)lokalfrei vom Rang3. Da die EinschränkungK^∗_X/Y|Q

sehr ample aufQist, ist die kanonische Abbildungf^∗E→K^∗_X/Y surjektiv und liefert eine Einbettung X ,→ P(E) mitK^∗_X/Y =∼ OP(E)(1)|X. Da X ein Divisor in P(E) ist, existiert ein Geradenbündel L ∈ PicP(E), so dass X isomorph zum Nullstellengebilde eines Schnittes ˜σ ∈ H⁰(L) ist. Sei π:P(E) → Y die kanonische Abbildung. Nach Konstruktion der Einbettung von X in P(E) muss für jede FaserF=∼ P2 vonπdie EinschränkungL|F isomorph zuO_P2(2) sein. Aus der Beschreibung der Picardgruppe vonP(E)ergibt sich, dass ein GeradenbündelL⁰∈Pic(Y)existieren muss, so dass

L=OP(E)(2)⊗π^∗L⁰

ist. Zur Bestimmung vonL⁰ bemerken wir zunächst, dass das relative kanoni- sche Bündel aufP(E)gegeben ist durch

K_P(E)/Y =OP(E)(−3)⊗π^∗detE.

Die Adjunktionsformel liefert

K_X/Y =OP(E)(−1)|X⊗f^∗detE⊗f^∗L⁰. Damit erhalten wir mitK_X/Y =O_P(E)(−1)|X

L⁰ =detE^∗. Der Isomorphismus

H⁰ P(E),O_P(E)(2)⊗π^∗detE^∗=∼ H⁰(Y, S²E⊗detE^∗) liefert den gewünschten Schnittσ∈H⁰(Y,S²E⊗detE^∗).

Eine einfache, aber für unsere Zwecke wichtige Folgerung:

Korollar3.3. Seif:X → Y ein Konikbündel über einer projektiven Mannigfaltig- keitY. Dann ist auchXprojektiv.

Projektivierte Rang-2-Bündel liefern einen speziellen Typ von Konikbündeln, für den das BündelEaus Proposition3.2explizit berechnet werden kann:

Proposition3.4. Seif:X →Y ein Konikbündel derart, dass ein Rang-2-BündelV aufY existiert, so dassf:X→Yisomorph zuP(V)→Yist. Dann ist

f_∗(K^∗_X/Y)=∼ S²V⊗detV^∗.

Beweis. Aus der relativen Eulersequenz erhalten wir K_P(V)/Y=∼ OP(V)(−2)⊗detV,

was nach Dualisieren und Pushforward die Behauptung liefert.

Für allgemeine Konikbündel definiert der in Proposition 3.2konstruierte Schnittσ∈H⁰(S²E⊗detE^∗)vermöge der kanonischen Einbettung

S²E⊗detE^∗⊂E⊗E⊗detE^∗=∼ Hom_OY(E^∗, E⊗detE^∗) einen Schnitt

detσ∈H⁰

Hom_OY detE^∗,(detE^∗)^⊗2

=∼ H⁰(detE^∗).

Proposition3.5. In der Situation von Proposition3.2ist die FaserX_y genau dann glatt, wenndetσ(y)6=0ist.

Beweis. Offenbar istX_ygenau dann glatt, wennσ(y)eine quadratische Form vollen Ranges aufE(y)darstellt. Dies ist genau dann der Fall, wenn detσ(y)6=

0ist.

Da die allgemeine Faser eines Konikbündels glatt ist, liefert detσ einen wohldefinierten Divisor aufY:

Definition3.6. Seif:X→Yein Konikbündel,E:=f_∗(K^∗_X/Y). Dann heißt der durch den eben konstruierten Schnitt detσ∈H⁰(detE^∗)definierte Divisor

∆_f := (detσ=0)∈|detE^∗| derDiskriminantenortvonf.

Für den Diskriminantenort eines Konikbündels gelten folgende Eigenschaf- ten:

Proposition3.7([Sar82, Proposition1.8]). Seif:X→Y ein Konikbündel,m:=

dimY,E :=f_∗(K^∗_X/Y), und∆_f ∈ |detE^∗|der Diskriminantenort von f. Dann gilt für die definierende quadratische Formσ∈H⁰(S²E⊗detE^∗)vonX(vgl. Propositi- on3.2) für jeden Punkty∈Y:

(i) rkσ(y) =3⇒y∈Y\supp∆_f, (ii) rkσ(y) =2⇒y∈supp∆_f\sing∆_f,

(iii) rkσ(y) =1⇒y∈sing∆_fund es existieren lokale Koordinaten(z₁, . . . , z_m) um den Punkt yderart, dass entweder

detσ(z₁, . . . , z_m)≡z²₁+z²₂ (mod m³_y) (3.1) oder

detσ(z₁, . . . , z_m)≡z²₁+z²₂+z²₃ (mod m³_y) (3.2) in einer Umgebung vony.

Insbesondere ist∆_f reduziert.

Beweis. (i) Klar nach Definition von∆_f.

(ii) Wir wählen eine offene UmgebungU⊂Y vonyderart, dass P(E|U)=∼ P2 ×U über U. Nach evtl. Verkleinerung von U und einer geeigne- ten Koordinatentransformation inP2 können wir erreichen, dass holo- morphe Funktionen A, B∈ O^∗(U), C∈ m_y(U) derart existieren, dass X_U ⊂P(E|U)=∼ P2×Ugegeben ist durch

X_U=

(x₀ :x₁:x₂), z

∈P2×U

A(z)x²₀+B(z)x²₁+C(z)x²₂=0 . Offenbar ist dann

∆_f|U= (C=0).

Setzen wir für(x₀ :x₁:x₂)∈P2,z∈U F (x₀ :x₁ :x₂), z

:=A(z)x²₀+B(z)x²₁+C(z)x²₂, so ist

dF=2Ax₀dx₀+2Bx₁dx₁+2Cx₂dx₂+x²₀dA+x²₁dB+x²₂dC. (3.3) Wegen C(y) = 0 ist p := (0 : 0 : 1), y

∈ X_U. Da X glatt ist, muss dF_p6=0sein. Nach (3.3) ist aberdF_p=dC_y, also ist∆_fim Punktyglatt.

(iii) Wir wählen eine offene UmgebungU⊂Y vonyund einen geeigneten IsomorphismusP(E|U)=∼ P2×Uderart, dass holomorphe Funktionen A∈O^∗(U),B,C,D∈m_y(U) existieren mit

X_U =

(x₀ :x₁ :x₂), z

∈P2×U

A(z)x²₀+B(z)x²₁+2C(z)x₁x₂+D(z)x²₂ =0 .