Rauschen (unvollständig)

4 ^ei

* kann Spuren von Katzen enthalten nicht für Humorallergiker geeignet alle Angaben ohne Gewehr ^*

Rauschen

Rauschen ist ein stochastisches, gleichanteilfreies Signal, welches keiner Regelm¨aßigkeit folgt.

1. Rauschen im Zeitbereich

Allgemeine rauschende Gr¨oßeA(t)mit MittelwertA(t) = lim

T→∞

1 2T

T´

−T A(t) dt

Rein rauschende Gr¨oßea(t) =A(t)−A(t) a(t) = 0 F¨ur kleineτl¨asst sich absch¨atzen in welchen Bereich das Signal verlaufen wird. (Max. Freq.)

1.1. Schwankungsquadrat (2. zentrales Moment, Varianz)

Ein Maß f¨ur die Rauschleistung ist die Varianz oder

Schwankungsquadratσ²=a²=A²−A² mit GesamtleistungA²und GleichleistungA²

A²

Gesamtleistung= A²

Gleichleistung+ a² Rauschleistung Effektivwert (RMS)σ=

p a²

H¨ohere Momente:Aⁿ=

∞´

−∞

AⁿP(A) dA

1.2. Scharmittel

BeiNgleichen Verst¨arker hAi= lim

N→∞

1 N

PA

FallshAi ≡A, dann egodisches Rauschen

Fast alle Rauschen in dieser VL sind station¨ares Rauschen

1.3. Korrelation

Korrelationskoeffizientc₁₂=q^a1a2 a2

1 q

a2 2

c₁₂= 0notwendig aber nicht hinreichend f¨ur unkorrelierte Gr¨oßen.

1.4. Korrelation

Ein Maß f¨ur die ¨Ahnlichkeit zweier Signalex(t), y(t)bei Verschiebung.

Korrelationskoeffizientc_xy= √^Exy

Ex·Ey = q ^ϕxy(0) ϕx(0)·ϕy(0) Es gilt: Korreliertc= 1, Orthogonalρ= 0, Antipodischρ=−1 Kreuzkorrelationsfkt.zwischen zueinander verschobenen Signalen:

ϕ_xy(τ) =ϕ_yx(−τ) = ˆ∞

−∞

x(t)·y(t+τ) dt

Zusammenhang mit Faltung:ϕ_xy(τ) =x(−t)∗y(t)|_t=τ Autokorrelationsfkt. AKFist Kreuzkorrelation mit sich selbst (y=x):

ϕx(τ) =ϕxx(τ) Anwendung: Erkennen von Perioden Energiebeziehung:E_x,y=ρ_x,yp

E_xE_ymit EnergieE_x=

∞´

−∞

x(t)²dt=

∞´

−∞

Φ_xdf=ϕ_xx(0) (endl. Sig.)

LeistungP_x=E[X²] =_2T¹ T´

−T

x(t)²dt (period. Sig.) LeistungsdichtespektrumΦ_x(f)ist definiert alsϕ_x

b r

^F Φ(f) Periodische Signale:ϕ_xy(τ) =_2T¹ ´_T

−Tx(t)y(t+τ) dt Stochastische Signale:ϕ_{X Y}(τ) =E[X(t)·Y(t+τ)]

ρ_X,Y= ^{Cov[X Y]}_σ XσY

∞´

−∞

Φ_X(f) df=ϕ_X(0) =Var[X] +E[X]²=σ_X²+µ²_X

1.5. Grenzwerte

ρa(0) =a²=σ² ρa(∞) = 0 ρ_A(τ) =A(t)A(t+τ) =A²+ρa(τ) ρ_A(0) =A²+a²=A²

ρ_A(∞) =A²

1.6. Folge identischer unabh¨ angiger Impulse

ImpulsefolgeA(t) =P

i

A_i(t) A_i(t) =g₀(t−t_i)

Campbellsches Theoremσ²=z +∞´

−∞

g₀²(t) dt

zist die Rate. Summe der Energie der Einzelimpulse ist die Energie der Fluktuation.

Ankommende Impulse als Poisson-Prozess

2. Arten von Rauschen

Weißes Rauschen: Konstante Frequenzverteilung.

Rosa Rausche: F¨allt mit_f¹ab.

Effektive RauschspannungU_eff= q

U₁²+U₂²

2.1. Thermisches Rauschen

Durch die thermische Gitterschwingungen in einem Leiter erfolgt die Be- wegung der Ladungstr¨ager chaotisch.

Effektivwert des Rauschens:In=p

4k_B·T·R·∆f Spektrale DichtefunktionW_i(f) = 2eI₀ f¨urf <10¹²Hz LeistungsdichtespektrumW

Widerstand Leitwert

u²= 4k_B·T·R·∆f i²= 4k_B·T·G·∆f W_u(f) = 4k_B·T·R W_i(f) = 4k_B·T·G Blindwiderst¨ande (C, L) geben keine Rauschleistung ab!!

W_u(f) = 4k_BTRe{Z(f)} W_u(f) = 4k_BTRe{Y(f)}

BeispielRkC:Wu= ^{4kBT R} 1+(2πf RC)2

u_c2= ^kB₂^T (Bandbegrenztes weißes Rauschen)

Schwarzer Strahler:k_BT≥h·fDaraus folgt beiT= 300 Kweißes Rauschen bis6 THz

2.1.1 Rauschleistung am Widerstand Maximale LeistungR=R_L P_V=P(R) =^U_4R² =k_BT∆f 2.1.2 Modell von Drude Annahmen:

•isotrope Geschwindigkeitsverteilung

•Freie Flugzeit zwischen St¨oßenτ_C= const.

•Energie ist^kB₂^T

•unabh¨angige Bewegung i_q= ^e_l·v_xq

W₀(f) = 4 τC´

0

i²_τC−τ τC

dτ= 2i²τ_C i²=e^2n·A_l ·^kB_m^T

Leitwert:W₀(f) = 4k_BT G

2.2. Schrotrauschen

Ursache: Quantisierung der Ladung.

Schrotrauschen tritt bei StromflussI₀¨uber eine Potentialbarriere auf.

Tunnelndes Teilchen, Poisson-Prozess, Rate bekannt, Zeitpunkte zuf¨allig.

Effektivwert des Rauschens:I_n=p i²=√

2e·I₀·∆f Spektrale DichtefunktionW_Schrot(f) = 2^I_e⁰

F_g(f) ² W0= 2eI0 (mit Impulsformg)

2.3. Generations-Rekombinations-Rauschen im TDGGW

τ₀mittlere Lebensdauer im Zustand 0. Mit WSL P₀=_τ^τ0

0 +τ1 τ₁mittlere Lebensdauer im Zustand 1. Mit WSL P₁=_τ^τ1

0 +τ1 dτmuss so klein sein, dass nur ein ¨Ubergang stattfindet.

Uberg¨¨ ange P10+P11= 1 P₁₁(τ+ dτ) =P₁₁(τ)h

1−^dτ_τ 1 i

+P₁₀(τ)^dτ_τ 0 DGL:^{P11 (τ+dτ)−P11 (τ)}

dτ =^dP11

dτ = _τ¹

0−P₁₁(τ)· ¹ τρ L¨osung:ρ_A(τ) =P₁(1−P₁) exp

−^τ τρ

+P²₁

Maximales Rauschen falls Besetzung der Niveaus P₁(1−P₁) = 0.25 Onsager Prinzip: Betrachtet man die Relaxation einer St¨orung einer be- stimmten Gr¨oße, so ist der zeitlicher Ablauf dieser Relaxation gleich der AKF des Rauschens dieser Gr¨oße

2.4. Rauschen stromdurchflossener Widerst¨ ande

Leitf¨ahigkeit ¨anderrt sich durch G/RW_I(f) = ^I

20 N2 0

W_N(f)

2.5. 1/f Rauschen

Generell: ¨Uberlagerung von Bandbegrenzten, gleichm¨aßigen Rauschen.

System mit begenzten Energiegehalt in welchem nichtlineare Prozesse f¨ur eine Verteilung der Energie auf einem breiten Frequenzbereich sorgen. Dar- aus folgt 1/f-Rauschen. W¨armeleitung, RC-Rauschen, Diffusionsvorg¨ange, verteilte Netze

1/f-Rauschen ist energetisch sehr g¨unstig.

2.6. Zeitskaleninvarianz

Leistung in einem Frequenzintervall zwischenf₁undf₂: P=cln_f

2 f1

allg. Konstantec Leistung konstant im relativen Frequenzintervall.

2.7. Geometrische Abh¨ angigkeit des Rauschens

Bei einem homogenen VolumenVist die relative Schwankung proportio- nal zu_V¹

Bsp. Spannungseinpr¨agung: ^Wi I2 0

= _V¹ Wj j

2 Mit ∆U = 0 und

∆E= 0

Bei einer homogenen Fl¨ache A sind die Schwankungen proportional zu_A¹

2.8. Hooge-Modell (Mathematisches Modell)

Anzahl der freien Ladungstr¨agerNschwankt

∆I2 I2

0 ∆U=0

= ^∆U2 U2

0 ∆I=0

=^∆R2 R2

0

=^∆N2 N2

Uberlagerung mehrerer Zeitkonstanten.¨ W_N∝∆N² W_N∝_f¹

2.9. McWhorter-Modell (Physikalisches Modell)

3. Ubertragung von Rauschen ¨ ¨ uber elektrische Netzwerke

3.1. ¨ Ubertragungsfunktion

Achtung: Bei Rauschen betrachten wir LeistungsspektrenW∝a² Phaseninformationene gehen verloren.

Wa(f) =|G(f)|²·We(f)

Bei Filterung von weißem Rauschen sieht man die ¨Ubertragungsfunktion (δ

b r

^F 1)

Aquivalente Rauschbandbreite:¨ B_eq=

∞´ 0

|G(f)|2 df

|G(f)|2 max ρa(0) =a²=We· |G(f)|²_max·Beq

3.2. Impedanzfeldmethode

R¨aumlich verteilte Rauschquellen (nicht homogenen und statistisch un- abh¨angig)

Rauschquellen sind linear verkn¨upft

Analytisch Stochastisch

Mittelwert Erwartungswert

Schwankungsquadrat Varianz

Abweichung Standardabweichung Elektronentemperatur:w_i= 4k_BTeG= 4k_BTeAen

L µ

4. Praktikum

Op-Amps als invertierender Verst¨arker

Homepage: www.latex4ei.de – Fehler bittesofortmelden. von LaTeX4EI - Mail:info@latex4ei.de Stand: 4. Dezember 2013 um 14:00 Uhr 1