Rekursionstheorie und Komplexitätstheorie auf effektiven CPO-S

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Mathematik und

Informatik

Informatik-Berichte 09 – 09/1980

Rekursionstheorie und Komplexitätstheorie

auf effektiven CPO-S

K. Weihrauch

...

Abstract:

Effective cpo-s are a useful tool for introducing computability on a large class of sets. In this report Blum¹s theory of computational complexity is generalized to certain effective cpo-s with effective weight. At first, as a generalization of Rogers ¹s Isomorphism Theorem

for Gödel numberings of the partial recursive functions i t is proved that two "admissible numberings" of the recursively enumerable ele- ments of an effective cpo are recursively isomorphic. The concept of effective weight on an effective cpo is introduced and recursive cpo-elements are defined. In analogy to Blum¹s approach two axioms for cpo-complexity are introduced. For cpo-elements with zero weight a hierarchy theorem, the speedup theorem and the gap theorem are proved. Using "extended" cpo-s the results can be applied to the recursive elements of a cpo.

1. EinleitU!:!9:

In einer frühen Arbeit schlug D. Scott [1] vor, Berechenbarkeits- theorie auf vollständigen Verbänden mit effektiver Basis zu betrei- ben. Er wies bereits darauf hin, daß mit diesem allgemeinen Ansatz insbesondere die partiell-rekursiven Funktionen und die berechenba- ren reellen Zahlen behandelt werden können. Es zeigte sich, daß an Stelle vollständiger Verbände sinnvollerweise vollständige Halbord- nungen, cpo-s,benutzt werden sollten. Egli und Constable [2] konn- ten für Funktionen zwischen "effektiven" algebraischen cpo-s den Satz von Myhill und Shepherdson [3] in ziemlich allgemeiner Form beweisen. Effective w-algebraische cpo-s wurden weiter von Kanda

und Park [4] untersucht. Stetige cpo-s mit abzählbarer Basis, "ccp"-s, wurden von Smyth [5] untersucht. Die in der vorliegenden Arbeit zu Grunde gelegten cpo-s kommen denen von Smyth am nächsten. Zur Formu- lierung von Berechenbarkeitseigenschaften wird konsequent das Nume- rierungskonzept benutzt. Die Komplexitätstheorie auf cpo-s wird dann entsprechend der Blumschen Komplexitätstheorie [6] auf berechenbaren Funktionen aufgebaut. Zunächst werden die rekursiv-aufzählbaren Ele- mente D (entspricht den partiell-rekursiven Funktionen) definiert.

ra

Mit zwei Axiomen werden zulässige Numerierungen von D definiert und ra

es wird bewiesen, daß je zwei zulässige Numerierungen rekursiv iso- morph sind (Verallgemeinerung des Isomorphiesatzes von Rogers [7]).

Für effektive cpo-s wird definiert, was ein effektives Gewicht ist.

In Abhängigkeit vom Gewicht werden dann die rekursiven Elemente einer cpo definiert. In Kapitel 5 wird axiomatisch zu jeder Nummer i einer zulässigen Numerierung eine Komplexitätsfunktion ^{i<:. :} ~ ~ JN zugeord-

1.

net. Die beiden Axiome entsprechen sinngemäß den beiden Axiomen von Blum [6]. In Kapitel 6 werden dann als wichtige Beispiele ein Hierar- chiesatz, das Speedup-Theorem und das Gap-Theorem bewiesen. Diese Sätze gelten in "großen" cpo-s, sie sind insbesondere anwendbar auf die be- rechenbaren reellen Zahlen. In Kapitel 7 wird dann gezeigt wie die Theorie, die bislang nur cpo-Elemente mit Gewicht O klassifizierte, auch Komplexitätssätze über alle rekursiven Elemente einer cpo liefert.

Es werden die folgenden Bezeichnungen durchgehend benutzt:

P(k)

=

k-stellige partiell-rekursive Funktionen, R(k)

=

k-stellige total-rekursive Funktionen,

cp ist eine Standardnumerierung von P(1),

~ ist eine Blumsche Komplexität zu cp, W. _l.

=

^{Def (j) . ,} _l.

D.

=

i-te endliche Teilmenge von JN (Standardnumerierung) ,

l.

\) Q ist eine Standardnumerierung von

Q

:

=

^{Q u {- 00 I 00} I}

<>

ist die Standard-Tupelfunktion auf JN ,

n 2

1 und n

2 sind die Umkehrungen von

<,> :

IN ~ JN.

Für zwei Numerierungen vi: IN~ Si (i = 1,2) heißt f:S

1~

s

2 (v1,v

2 )-berechenbar, gdw. fv 1

=

v

2g für eing ER (1).

2. CPO-s mit effektiver Basis

Er werden allgemein "effektive" cpo-s definiert. Anschließend werden Standardbeispiele für effektive cpo-s angegeben.

Sei D

=

(D,=) eine Halbordnung. A ~ D heißt gerichtet, gdw. A *~und (Va,b E A) (3c E A) (a=CAb=c)

D heißt vollständig, gdw.

LJ

A:

=

sup A existiert für jede gerichtete Menge As D.

D :

... =

(D,

=,

^.1) heißt cpo, gdw. (D, =) vollständige Halbordnung und .1

Minimum von D.

Sei~ auf D definiert durch:

x ~ y gdw. (ysLJ A

=>

(3a E A)x!:a) für jedes gerichtete A !:: D.

(Sprich: "stark kleiner".) B s;; D heißt Basis der cpo D, gdw.

-

{b E Blb ~ x} gerichtet und x

= LJ

{b E Blb ~ x} für alle x ED.

Eine cpo D heißt stetig, gdw. sie eine Basis hat.

-

Wir werden folgende Eigenschaften benutzen.

Lemma 2.1 Sei D stetige cpo mit Basis B. Dann gilt:

( 1 ) .l E B , (2) .1 ~ x,

(3) X-<y=>(3aEB) X-<a-<Y,

(4) {b E Blb-< x} i s t ~ - gerichtet, (5) Sei X~ D, X gerichtet. Dann gilt

y -<

LJ

^X <=> ( ^3X E X) y -< ^{X •}

Beweise kann man z.B. bei Scott [8] finden.

Mit Lemma 2.1 läßt sich leicht ein weiteres nützliches Lemma bewei- sen.

Lemma 2.2 Sei D stetige cpo, sei Beine Basis von D.

-

Sei X~ D gerichtet, für x ED sei B : = {b E Blb-< x}.

X

Dann ist M : =

LJ

{B I x E X} = {b E BI b -<

LJ

^{X} ,} also

LJ

x =

LJ

M.

X

Ein Tupel D = (D,=,~,ß) heißt effektive cpo, gdw. (D,=,~) eine ste-

-

tige cpo ist und ß : I N ~ B Numerierung einer Basis Bist, so daß:

(B1) {(i,j) lß(i) -< ß(j)} rekursiv-aufzählbar.

Es gibt eine Anzahl wichtiger Beispiele für effektive cpo-s. Wir führen einige an. Dabei werden die Symbole=,~,-< usw. meist ein- heitlich für alle cpo-s benutzt.

x =Y : <=> x~y,

B = {a~IN la endlich},

=

I: {2i I i E a} (d h . . ßl(l.)=Di. · ) Es gilt x-< y<=> (x=y und x endlich)

Bsp. 2:

-

D2 D2 ^:

=

=

( D2 , = , J. , ß2 ) ,

{f : JN --> JN} (Menge der partiellen Funktionen von lN nach JN ) ,

f=g:<=>g setzt f fort,

J. (x) divergent für alle x E JN , B •

2 • = {f E D

2 IDef(f) endlich},

ß2 : = eine Standardnumerierung von B

2•

Es gilt f~ g<=>(f=g und Def(f) endlich)

Bsp. 3:

-

D3 ^: = ( D3 ,

= ,

^{J. , ß3 ) ,}

D3 ^: = {[r;s]sJR lr,s E JR ,rs;s} u {JR} (abgeschlossene Intervalle), x:y:<=>ysx,

J. :

=

JR

B3 ^: = {[ r; s] E D

3 I r , s E CD} U {1.}

ß3 ^: = eine Standardnumerierung von B 3. Es gilt J. ~ x für alle x E D

3 , und [r;s]~ [r';s']<=>

(r<r' und s'<s).

Eine Funktion zwischen zwei effektiven cpo-s D und D' heißt berechen- bar, gdw.

{(i,j) lß' (j)~ fß(i)}

rekursiv aufz~hlbar ist.

3. Der Isomorphiesatz von Rogers für zulässige Numerierungen Es werden die zulässigen Numerierungen der rekursiv-aufzählbaren Elemente einer cpo definiert, und es wird eine Verallgemeinerung des Isomorphiesatzes von Rogers [7] für zulässige Numerierungen bewiesen. Angewendet auf unser Beispiel 2 ergibt sich daraus sofort der ursprüngliche Isomorphiesatz von Rogers. Wir definieren zunächst die rekursiv-aufzählbaren (r.a.) Elemente einer effektiven cpo.

Wir setzen von nun an voraus, daß D

- =

(D,~,~,ß) eine effektive cpo ist.

Def. 3.1 x ED heißt rekursiv-aufzählbar (r.a.), gdw.

{ilß(i)~ x} rekursiv-aufzählbar ist.

Es sei D die Menge der r.a. Elemente von D.

ra

In unseren Beispielen ergibt sich:

Bsp. 1 : Bsp. 2:

Bsp. 3:

Bsp. 4:

D

=

Menge der r. a. Teilmenge von IN . lra

D

=

^P(l)

=

Menge der (einstelligen) partiell-rekursiven

2ra

Funktionen.

[r;r] E D

3 , gdw. r berechenbare reelle Zahl ra

z.B. im Sinne von Grzegorczyk [9]

x E D

4

<=>:

x "links-berechenbar".

ra

Wegen Bsp. 1 scheint die Bezeichnung "rekursiv-aufzählbar" geeigne- ter als die in der Literatur übliche "berechenbar". Die rekursiven Elemente von D werden später in Abhängigkeit vom Gewicht definiert.

Das folgende Lemma liefert uniform andere Charakterisierungen der Elemente von D

ra

Lemma 3.2

(1) Es gibt p E R (ll, so daß für alle k E ^JN gilt:

( a) (b) ( C)

E R (l) (!)p (k) ,

ß(!)p(k) (i) ~ ß(!)p(k) (i+1) (für ßW gerichtet _.k ::;>

LJ

^{ßW = LJ} _{k .}

1.

alle i ) , (!)p(k)(i),

(2) Es gibt q E RO\ so daß für alle k E :rn gilt:

(a) ßWq(k) i s t gerichtet,

(b) ßWk gerichtet 9Wq(k)= {ilß(i)~LJ ß~}.

Beweis:

(1) Es gibt f E R (l) so daß alle k E JN gilt:

E R (l) und

<.pf (k)

Bild <.pf(k)

=

^{{i.L} U {j 1 (3i) (i E Wk/\ß(j) ~ ß(i)},}

denn "i E W" und "ß(j)~ ß(i)" sind r.a. Prädikate.

k

Sei W

= {

^{<i, j}

>

I ß ( j) ~ ß ( i)} •

m

Berechne g und r wie folgt g(k,o) :

=

i ,r(k,o):

=

0

.L

Aus g(k,n) und r(k,n) werden g(k,n+1) und r(k,n+1) wie folgt berechnet (wobei n

=

<n

1 , n 2 ^{>) •}

dann g ( k , n + 1 )

=

cp f (k) ( n

1 ) ; r ( k , n + 1 )

=

r ( k , n) + 1 sonst g(k,n+1)

=

g(k,n); r(k,n+1) :

=

^r(k,n).

Offensichtlich gilt g E R (2).

Stets gilt ßg(k,n)~ ßg(k,n+1).

Sei ßWk gerichtet. Nach Lemma 2.2 und Lemma 2.1 (4) i s t

ß(Bild cpf(k)) ~-gerichtet und

LJ

ßWk

= LJ

ß(Bild cpf(k)). Es folgt,

-·----

An. r(k,n)wird nicht schließlich konstant,und für alle j E Bild cpf(k) gibt es j ' E Bild An.g(k,n) mit ß(j) ~ ß(j').

Daraus und mit g(k,n) E Bild cpf(k) folgt

LJ

ßg(k,n)

= LI

ß Bild cpf(k)=

LJ

ßg(k,n), also

LI

^ßWk

= LJ

ßg(k,n) •

n n n

Falls wk

= ~,

dann gilt Bild cpf (k)

=

{i .L} also

LJ

^{ßg (k, n)}

=

^.L.

n

Wir haben damit eine~ -monotone Folge ßg(k,n) erhalten.

Wir konstruieren nun eine~ -monotone Folge.

Es gibt h ER ⁽¹⁾ so daß für alle k ⁽¹⁾ E R(l) und h(k)

- - ~ - - - - ~ - - - ----·- ---··

Bild(l)h(k) = {jl(:ln)ß(j)~ßg(k,n)}

Nach Lemma 2.2 und Lemma 2.1 (4) ist diese Menge~ -gerichtet und

LJ

ßg (k,n) =

LJ

ß Bild (l)h (k).

n

Wir zählen eine~ -monotone Teilmenge auf:

e(k,o) e(k,n+1)

= (l)h (k) (O) '

= (l)h(k) (j

0) , wobei

= n

1µ<j,t>[~m<e(k,n) ,(l)h(k)(j)> :St und

~ m <(l)h (k) (n+ 1 ) '(ph (k) ( j) > :s; t

J

Es gilt ße(k,n) ~ ße(k,n+1) und

LJ

ße ( k , n) =

LJ

ßg ( k , n)

n n

Da e ER (2

), gibt es p E R(l) mit e(k,n) = (l)p(k) (n) Also erfüllt p alle geforderten Eigenschaften.

(2) Sei p wie in (1).

Es gibt q ER (l)mit

Wq(k) = {il(:ln) ß(i)~ß(l)p(kl(n)}

Damit ist ßWq(k) gerichtet. Sei ßWk gerichtet.

Dann gilt i E Wq (k)

<=> (:ln) ß (i) ~ ß<pp(k) (n)

<=>ß(i) ~

';J

ß(l)p(k) (n) (Lemma 2.1 (4))

<=>ß(i) ~

LJ

ßWk. (Lemma 3.2(1))

Q.E.D.

Als nicht effektive Form erhält man Folgendes:

Korollar 3.3: Die folgenden Aussagen sind äquivalent.

(1) x ist r.a.,

(2) (:JA~ IN) (A r.a. /\ ßA gerichtet /\ x= LJ ßA), (3) (:lfER(l))((Vn) ßf(n)-<ßf(n+1)/\x= LJßf(n)).

n

Wir kommen nun zur Definition der "zulässigen" Numerierungen von

D ra

Definition 3.4:

Sei D effektive cpo. Sein eine Numerierung von D. n heißt zulässig, ra

gdw. (Z1) und (Z2) erfüllt sind.

(Z1) {(i,j) ¹ ß(i)-< n(j)} ist r.a. ("effektive Analyse").

(Z2) Es gibt

f

ER ^(l), so daß für alle i gilt z

ß W. gerichtet=? nf (i) =

LJ

ßW. ("effektive Synthese").

1. z 1.

Man überlegt sich leicht, daß im Beispiel 1 die Numerierung Wund im Beispiel 2 die Numerierung~ zulässig sind. Wir zeigen zunächst, daß es stets eine zulässige Numerierung gibt.

Satz 3.5: (Existenz zulässiger Numerierungen) Sei p wie in Lemma 3.2(1) .,sei

n (k) := ~ ß~p(k) ( i ) . 1.

Dann ist n zulässig.

Beweis:

Es gilt (Z1): ß(i)~ n(k)

<=>

(:lj)ß(i) ~ ß<Pp(k)(j)

(mit Lemma 2.1 (5)). Mit (B1) und dem Projektionssatz folgt (Z1).

Es gilt (Z2): wähle f

=

idJN. Sei ßW. gerichtet.

z ⁱ

Es folgt nf

2 (i)

=

^Tl (i)

= LI

ß<Pp(i) (n)

= LJ

ßWi.

n Q.E.D.

Für Numerierungen v 1,v

2 sei

v

1 ~ v

2:

<=>

(:lfE R(l))

v

1

=v

2f (m - Reduzierbarkei t) •

Man kann (Beispiel 2) die "effektiven Gödelnumerierungen" von P(l)

wie

folgt definieren. nE Nm(P (1)) i s t effektiv

:<=>

(G1) und (G2) gelten.

(G1) /\ij. Tl (i) (j) E p( 2

l,

(G2) (Vn ^I E Nm(P(l))) (n ^I erfüllt (G1) =;:,, Tl ¹ ~ n).

Das heißt, n i s t maximal in der Klasse aller Numerierungen, die (G1) erfüllen. Man sieht leicht, daß im Beispiel 2 (G1) zu (Z1) äquivalent i s t , d.h. Z1 i s t eine Verallgemeinerung des "utrn"-Theorems. (Z2) i s t die Verallgemeinerung von (G2):

Lemma 3.6: Es gilt:

(Z2)

<=>

^{(Vn I E Nm(D} _ra ^{) ) (n I} erfüllt (Z1)

=>

^{Tl 1 ~ n)}

Beweis:

"=>":n'

erfülle (Z1). Dann gibt es gE R (l)mit wg(j)

=

{i I ß(i)~ n' (j)}. Es i s t ßWg(j) gerichtet

' t

LI

ßW ¹ ( ' ) Mit (Z2) für n folgt

m1 g ( j )

=

^Tl J • , ,

T] I ( j) = ^T] f g ( j) ^f also ^{T] I} ~ T] •

z

"~":Sein die in Satz 3.5 definierte zulässige

0

"Standardnumerierung". Sei ßW. gerichtet. Es folgt

--- --- l.

Q.E.D.

Wir wollen nun als Verallgemeinerung des Isomorphiesatzes von Rogers zeigen, daß je zwei zulässige Numerierungen rekursiv isomorph sind.

Wir benutzen dazu einen Satz aus der Theorie der Numerierungen von Ershov [ 10].

Eine Numerierung v heißt fastvollständig, gdw.

(Vf E P(1)) (3gE R(1)) (Vx EDef(f)) vf(x) = vg(x).

Es gilt nun der folgende Satz: Seien v

1,v

2 fastvollständige Numerierungen einer Menge S und seine v

1 und v

2 äquivalent, (d.h. ineinander übersetzbar). Dann sind v

1 und v

2 isomorph.

Wir haben also für zulässige Numerierungen Fastvollständigkeit und Äquivalenz zu beweisen.

Lemma 3.7:

n zulässig =>n fastvollständig

Beweis: Sei fEP(l)_ Es gibt hER(l) mit Wh(j)= {il (3x)(f(j)=x/\ß(i)~n(x)}

Setze g := f h.

z

...

Falls j E Def(f), dann gilt Wh(j)= {i I ß(i) ~ nf(j)}, also ßWh(j) gerichtet und

n f z h ( j )

= u

^{ßW h ( j )}

⁼

^{n f ( j ) .}

Falls j EE Def (f), dann gilt wh(j) = ~' also n f z h ( j )

= LJ

<P ph ( j ) ( n )

=

^.L

n

Q.E.D.

Wir haben damit sogar bewiesen, daß n vollständig ist mit ausgezeich- netem Element~ [10].

Lemma 3.8:

Seien n

1 und n

2 zulässig. Dann gibt es fE R(l) mit n 1 = n

2f Beweis: Wegen ( Z 1) für n

1 gibt es g E R (1) mit wg(k) = {il ß(i)-< nl (k)} ·_ Mi_t (Z2) für n2 folgt

n2f

2g(k) =

LJ

^{ßWg(k)= n}₁ (k). Setze f := f

2g.

Q.E.D.

Es folgt damit die verallgemeinerte Form des Isomorphiesatzes von Rogers.

Satz 3.9:

Seien n,n' Numerierungen von D . Sein zulässig. Dann gilt:

ra n' zulässig<=> n und n' isomorph.

Beweis:

"<=": (leicht zu zeigen) "=>": Wegen Lemma 3.6 sind n und n' äquivalent, also nach dem bisher Gesagten auch isomorph.

Q.E.D.

Es sei angemerkt, daß sich für zulässige Numerierungen und berechenbare Funktionen der Satz von Myhill/Shepherdson ([2],[3]) beweisen läßt,

s. Weihrauch/Deil [12].

§ 4 Gewichtete cpo-s, rekursive Elemente

In der herkömmlichen Berechenbarkeitstheorie kann man mit einem Programm i für fE R(l) den Wert von f, c.p_ (x) = f(x), an jeder Stelle

l.

x berechnen. Man kann ebenfalls den Rechenaufwand für jede Stelle x, ~- (x), bestimmen. Auf beliebige cpo-s läßt sich diese Betrachtungs-

1.

weise nicht verallgemeinern. Im Beispiel 2 kann zu einem rekursiv- aufzählbaren cpo-Element fE R(l) eine aufsteigende Folge von Funktio- nen mit endlichem Definitionsbereich mit einem Programm i berechnet werden, deren Limes f ist. Wir können nun nach dem Aufwand fragen, der nötig ist, um f für alle Werte bis zur Stelle x zu kennen. Eine Rechenaufwandsdefinition dieser Art läßt sich immer noch nicht auf

~eliebige cpo-s verallgemeinern, da im Beipiel 4 das "bis zur Stel- le x" nicht formulierbar ist.

Es wird deshalb für jedes cpo-Element eine "Genauigkeit" definiert.

Im Beispiel 2 wäre der Stelle x die Genauigkeit 2-xzugeordnet, im Beispiel 3 einem Intervall sein Durchmesser. Wir können dann nach

dem Aufwand fragen, um ein cpo-Element mit Genauigkeit e zu berechnen.

Die Genauigkeit werden wir durch das Konzept "Gewicht" präzisieren.

In diesem Kapitel sollen cpo-s mit Gewicht betrachtet werden. In spä- teren Kapiteln wird dann die Blumsche Komplexitätstheorie auf effek- tive cpo-s mit Gewicht verallgemeinert.

Def. 4. 1 :

(1) Sei D= (D, ~, .1) eine cpo, sei JR := (IR, ~,ex,) • ..:.

Ein Gewicht zu D ist eine (D,JR~)-stetige Abbildung I I : D

->

IR .

(2) Sei D effektive cpo, sei

-

JR:::: :=

(m,

~,co,vQ).

Ein effektives Gewicht zu D ist eine (D,JR~)-berechenbare

-

Funktion 1 1 : D

->

JR •

Ein Gewicht auf einer cpo ist also antiton auf (IR,~) und stetig, und für ein effektives Gewicht ist insbesondere

{ (i,j) 1 VQ(i)

>

1 ß(j) 1}

rekursiv-aufzählbar.

Von nun an sei D= (D,'=,J.,ß, 1 1) eine effektive cpo mit effektivem Gewicht. Für jedes unserer Beispiele gibt es ein effektives Gewicht.

Beispiel 1 : IX l : = 2 - E { 2 -i I i EX} ,

- i

Beispiel 2: lfl := 2- E {2 1 i EDef(f)}, Beispiel 3: IJRI := ⁰⁰, 1 [p,q] 1 := q-p, Beispiel 4: lxl := -x

In Beispiel 2 erhalten genau die totalen Funktionen das Gewicht

o,

in Beispiel 3 genau die Intervalle der Länge O. Ist in Beispiel 2

1 f 1

<

2-n, dann ist f ( i) definiert für alle i::; n. In Beispiel 1 er-

hält nur JN das Gewicht

o.

Wir wollen in Abhängigkeit vom Gewicht definieren, wann ein cpo-Element rekursiv heißen soll.

Dazu definieren wir zunächst explizit Berechenbarkeit für reelle Zahlen.

Definition 4. 2: Sei x E JR.

(1) x heißt links-r.a., gdw. es fER(l)gibt mit (Vi) vQf(i) ::; vQf (i+1) und x= sup vQf(i).

(2) x heißt rechts-r.a., gdw. (-x) links-r.a.

(3) x heißt rekursiv, gdw. x links-r.a. und x rechts-r.a . . (4) Die Elemente -^{00, eo} E m. sollen sowohl links-r.a., rechts-r.a.

und rekursiv heißen.

Offensichtlich sind die links-r. a. Elemente aus m. - { -^{00 }} genau die r.a. Elemente aus Beispiel 4 und xE m. ist rekursiv, gdw.

[x;x] r.a. in Beispiel 3, d.h. ein r.a. Element in Beispiel 3 mit Gewicht

o.

Das folgende Lemma soll uns zur Definition der rekursiven cpo-Ele- mente führen.

Lemma 4. 3: In Beispiel 1 gilt für alle X~ 1N : (1) X r.a. =>

IXI

rechts-r.a.,

(2) X rekursiv<=>

IXI

rekursiv.

Beweis:

(1) Falls X endlich, dann

IXI

rechts-r.a . . Sei X unendlich: Dann gibt es h ER

O),

h injektiv, mit X

=

Bild h.

Es gilt

IXI =

2 - I:{ 2-h(i)

1

iE :IN}. Definiere gE R(1), so daß vQg(k) = 2 - I:{ 2-h(i) 1 i:::; k}.

(2) Sei X rekursiv. Dann sind X und

m-

X r.a., also IXI rechts-r.a.

und

I

^{JN -}

XI

rechts-r. a.

Es gilt

IX

I + 1 JN - XI = 4 - E { 2-i I i EIN}= 2

Da nun I JN - XI rechts-r. a., folgt IX I links-r. a. . Also ist

!XI

rekursiv.

Sei nun

IXI

rekursiv.

- - - - ^---·---

- - - --- --

Es gibt also g 1 ,g

2 E R(l) mit vQgl (i):::; vQgl (i+1)

s

vQg₂ (i+1)

s

vQg₂ (i) für alle i und sup v g (i)

=

inf v g (i) = I: { 2-i, iE X} =2 - !XI.

Q 1 Q 2

Falls X endlich oder JN - X endlich, dann ist auch X rekursiv.

Seien also weder X noch 1N - X endlich.

Dann gilt sicher O

<

I: { 2-i I i

>

k, i EX}

<

2-k, also

a

<

2k E { 2 - i I i E X} < a+1 für ein a E JN und es

gilt a ungerade, gdw. kEX.

Sei

h ( k) :

=

^µ

<

i , a

> [

a

<

2 kg

1 ( i) und 2 kg

2 ( i) < a + 1 ] . Damit gilt h E R (1) und h (k) mod 2 = 1 gdw. k E X.

Damit ist X rekursiv.

Q.E.D.

Eine rekursiv aufzählbare Teilmenge X~ JN ist damit rekursiv genau dann, wenn ihr Gewicht eine rekursive reelle Zahl ist.

Lemma 4.3 führt uns zu einer Definition der rekursiven Elemente einer cpo mit Gewicht. Es sei weiterhin

6

eine effektive cpo mit effektivem Gewicht.

Definition 4.4:

Sei xE D. x heißt rekursiv, gdw. xE D und lxl rekursiv.

ra Aus den Definitionen folgt leicht:

...

Lemma 4.5:

Sei x ED. Dann gilt:

(1) x E D =;> 1 x I rechts-r. a., ra

(2) x rekursiv

<=>

(x ED und !xi links-r.a.) ra

Wir werden später zunächst Komplexitätstheorie auf den rekursiven cpo-Elementen mit Gewicht o betreiben. Eigenschaft (2) aus Lemma 4.5 werden wir benutzen, um mittels einer "erweiterten cpo" Kom- plexität auf allen rekursiven Elementen zu untersuchen.

In die Definition 4.4 der rekursiven Elemente geht das Gewicht ein. In der Tat kann ein anderes Gewicht andere rekursive Elemen- te liefern.

Lemma 4. 6: Es gibt ein Gewicht 1 1 : 2JN • IR ,

0

so daß für die gewichtete cpo D = ( ~ , s;, ~ ^, D , 1 1 ) gilt:

0 0

JN ist nicht rekursiv bzgl.

i5 •

0

Beweis: Sei As JN r. a. und nicht rekursi_v. Sei f ER (l) injektiv mit A= Bild (f). Sei

IXI :=2-Z{2-f(i)liEX}. Dann ist IJNI =I: {2-jljEA},

0 0

also nicht rekursiv nach 4.3. 1 1 ist ein effektives Gewicht.

0

Q.E.D.

Zu jeder effektiven cpo gibt es ein effektives Gewicht, das sogar injektiv ist:

lxl := -I: {3 -i 1 ß(i) ~ x}.

Ob es zu jeder effektiven cpo ein "ausgezeichnetes" effektives Gewicht gibt, ist noch nicht geklärt.

§ 5 Komplexität, Definition und einfache Eigenschaften

Ein Blumsches Komplexitätsmaß ist ein Paar (~,~),wobei~ eine zulässige Numerierung von P ( 1) ist und ~ eine Abbildung von ^JN nach pO), so daß die beiden Blumschen Axiome erfüllt sind:

( 1 ) (2)

(Vi) Def ~- = Def ~-,

1. 1.

(<i,j,k> 1 ~- (j) =k} ist rekursiv.

1.

PO) ist die Menge der rekursiv-aufzählbaren Elemente einer effek- tiven cpo (Beispiel 2). Die Definition der Komplexität~- eines

1.

11Programms¹¹ i hängt in diesem Beispiel stark mit der Struktur der Elemente von P (1) zusammen und läßt sich nicht ohne Weiteres auf andere cpo-s übertragen. Das Beispiel 3 der Intervall-cpo gibt uns einen Hinweis auf eine mögliche Verallgemeinerung. Hier ist es sinn- voll zu fragen, mit welchem Rechenaufwand ein "Programm" i den

Wert n(i) mit Genauigkeit 2-n berechnet.

Man könnte allgemeiner statt n die positiven rationalen Zahlen als Variablen nehmen. Allerdings dürfte es i.A. genügen nur eine ver-

-n /

nünftige fallende Nullfolge ^E zu betrachten, z.B. 2 oder 1 (1+n).

n

Die "Genauigkeit" eines cpo-Elements haben wir bereits als sein Ge- wicht definiert.

Wir haben somit die Möglichkeit das Konzept "Komplexität" auf effek- tive cpo-s mit effektivem Gewicht zu verallgemeinern.

Zunächst legen wir die Folge (E ) fest.

n

Definition 5.1:

Sei E: JN • ~eine Abbildung. E heißt Raster, gdw. (1), (2) und (3) gelten {wobei ^E := s(n)):

n

(1) E:.

>

E:.

1

> o,

1. 1.+

(2) lim e:.

= o,

1.

( 3) s . = v f ( i) für ein f E R (1).

1. Q

Sei von nun ans ein fest gewähltes Raster. Es sei weiterhin

-

D = (D,~,J.,ß, 1 1) eine fest gewählte effektive cpo mit effektivem Gewicht. Die folgende Definition soll die Definition der Blumschen Komplexitätsmaße verallgemeinern.

Definition 5.2:

Ein Paar (n,K) heißt cpo-Komplexitätsmaß zu D und s, gdw. n eine zulässige Numerierung von D ist und K : JN • P(l) die Axiome (C1)

ra

und (C2) erfüllt (wobei K. := K (i))

1.

(C1) K. (n) existiert

<=>

1 n (i} 1

<

e: ,

i n

(C2)

{ <

i , j, t

>

1 ^{K. (} j)

=

t} ist rekursiv.

1.

Das Axiom C1 verknüpft K mit n, und zwar den Definitionsbereich von K. mit der Genauigkeit von n('i). Genau das tut auch das Axiom

1.

Def ~. =Def ~- von Blum. Axiom C2 ist die direkte Verallgemeinerung

1. 1.

des 2. Blumschen Axioms. Man könnte die formale Analogie noch weiter treiben, indem man n ersetzt durch A : JN • P Cl), wobei ßA. (n) der

1.

"erste" durch das Programm i definierte Näherungswert von n ( i} mit Gewicht

<

s . Dann nämlich könnte (C1) ersetzt werden Def A. = Def K . •

n 1. 1.

Offensichtlich gilt ^K. E R < 1

} gdw. 1 n ( i) 1 s; O. In unserer neuen Komple-

1.

xitätstheorie werden daher die Elemente mit Gewicht s;o eine ausge- zeichnete Rolle spielen. I~ Beispiel 2 sind das genau die total-re- kursiven Funktionen, in Beispiel 3 genau die berechenbaren reellen Zahlen.

-

Wir wollen Ki (n) deuten als denjenigen Aufwand, der zum Beweis von ln(i) 1 < e:n und zur Berechnung eines endlichen Näherungswertes dieser Genauigkeit erforderlich ist.

Wir müssen zunächst zeigen, daß es überhaupt ein cpo-Komplexitäts- maß gibt.

Satz 5.3:

Es gibt ein cpo-Komplexitätsmaß. (s. Satz 3.5) Beweis: Sei n(k) := ~ ß(J)p(k)(i) (siehe Satz 3.5)

J.

Es ist M:= {<k,n> ¹ (3i) ¹ ß(J)p(k)(i) ¹ <e:n}

rekursiv-aufzählbar. Sei M= Bild h, hE R(l).

Dann sei Kk (n) := µt [ h(t)

=

<k,n>].

Die Gültigkeit von_(C1) und (C2) folgt sofort.

Q.E.D.

Es sei angemerkt, daß nicht notwendig K. (m) :::; K. (n)

J. J.

für m:::, n gilt, obwohl diese Eigenschaft naheläge.

Mit Berechnung des Wertes von K. (m) wird auch bewiesen, daß

J.

ln(k) 1 < e:. ist. Diese Relation ist jedoch i.A. nur rekursiv-

1

aufzählbar und nicht rekursiv. Der Aufwand für diesen Nachweis geht in die Komplexität ein, wie im Beweis von Satz 5.3 deutlich wird.

Wir zeigen zunächst, daß sich zwei verschiedene cpo-Komplexitäts- maße durch eine rekursive Funktion gegeneinander abschätzen lassen.

Satz 5.4:

Seien (n,K) und (n' ,K') cpo-Komplexitätsmaße zu D und e:.

Dann gibt es fE R(l) und rE R( 2), so daß für alle iE IN (1) und (2) gelten.

(1) n(i)=n'f(il,

(2) K' f(i) ⁽ⁿ⁾ :5 r(n,Ki (n)) (für fast allen)

Beweis: Nach dem Isomorphiesatz (Satz 3.8) gibt es f ER (1) mit n (i) = n ' f (i). Definiere r : 'JN 2

--->

JN durch r ( n , m) :

=

max { K ' f ( i) ( n) 1 i :5 n A K i ( n) ::; m } .

Dabei sei max ~ := 0. Nach (C2) ist ^K. (n)::; m entscheidbar.

l.

Es gelte K i (n) ::; m. Dann existiert K i (n) , also ist

1 n (i) 1

<

e:n, also In' f (i) 1

<

e:n, also existiert ^K 'f(i) (n) wegen (C1) für K bzw. K'. Damit gilt rER<²

>.

Sei iEJN. Dann gilt (2) für alle n~i.

Q.E.D.

Man kann analog zur klassischen Definition Komplexitätsklassen einführen.

Definition 5.5:

Für t E R ( 1) sei

C(t) := {n(i) ^{1 K.} (n) ::;t(n) für fast allen}

l.

Der Zusatz "K. E R(l)" erübrigt- sich, da K. (m) existiert, falls

l. l.

K. (n) existiert für ein n mit m

<

n.

l.

Jede schwach n-rekursiv-aufzählbare Menge von cpo-Elementen mit Gewicht::; o ist in einer geeigneten Komplexitätsklasse enthalten.

Die Schranke läßt sich uniform bestimmen.

Satz 5.6:

Es gibt fE R(ll, so daß für alle i mit (XE nW. ::;>

l.

! x ! ::; O) gilt: <Pf (i) E R (1) und

Beweis: Es gibt gER{l)mit W. U {i} = Bild g, (n(i )=.1.).

i .l. .l.

Es gibt fER(l)mit

(J) f ( i) ( n) = max { Kg ( j ) ( n) 1 j :$; n } • f hat die gewünschte Eigenschaft.

Q.E.D.

Umgekehrt i s t jede Klasse C(t) schwach n-rekursiv-aufzählbar, sofern t nur genügend groß ist.

Satz 5.7:

Es gibt t ER

O\

so daß C(t) schwach n-rekursiv-aufzählbar ist,

0

sofern t (n) :$; t(n) für fast alle n.

0

Beweis: Sei tE R(l)_ Nach Lemma 3.2 und ~iom (Z1) gibt

( 1) (1)

es q E R , so daß cp q (i) E R , daß

ßcpq(i) (n)-( ßcpq(il (n+1) und n (i) =

LJ

ßcpq(i)(n) für alle i E JN.

n Es gibt g E R(2 ) mit

(J)g(i,n) (n) = cpq(i) max { k I n

0 :$; k:$; n A (Vk' ,n

0 :$; k' :$; k) Ki (k') :$; t(k') },

0

wobei max ~:=O. Es gilt cp (' _{g i,n} )ER (1) und ßcp (' )(n)

=

0 g i,n

0

ßcp (' _g i,n )(n+1).

0

Falls K. {n) :$; t (n) für alle n ~ n , dann folgt

i 0

n ( ].. ) -_-

LJ

^ßm _{'t' ( ' )} ⁽ⁿ⁾ _• Sonst wird m _'t' (. ) schließlich konstant und , n g ⁱ ,n

0 g ⁱ ,n

0

-

damit

LJ

^{ßcp (.} ) (n) E B, wobei B die Basis von D ist.

n g i,no ~

Wegen (Z2) gibt es hE R(l)mit nh<i,n

>

⁼

LJ

^{ßcp (' ) (n).}

o n g i ,n

0

Es folgt: { nh <i,n

>

I i,n E JN} s C(t) U B.

0 0

Es i s t B schwach n-rekursiv-aufzählbar, also B s C (t ) für ein

0

geeignetes t . Also C(t) UB=C(t) falls t (n):$;t(n) für fast allen.

0 0

Q.E.D.

Schließlich ergibt sich das Gap-Theorem (A. Borodin [11]) ohne Mühe:

Satz 5.8:

Seien g, h ER ( 1

), g wachsend. Dann gibt es f E R (1) rni t C(gf)

=

C(f) und (Vn) h(n) $ f(n).

Beweis:

Sei f (n) := µt [h(n) $t und (Vi$ n) nicht (t$ ^K. (n) $ g(t))].

l.

Dann erfüllt f die geforderten Eigenschaften.

Q.E.D.

§ 6 Diagonalisierung in CPO-S

Es wurden bisher keine Sätze mittels Diagonalisierung bewiesen.

Beim Diagonalisieren konstruiert man ein unendliches Objekt, indem man sich auf einem unendlichen Weg unendlich oft für eine von zwei Möglichkeiten entscheidet. Damit das möglich ist, damit also über- haupt solch ein Diagonalobjekt konstruiert werden kann, muß die cpo

"genügend groß" sein. Wir formulieren nun eine Bedingung, die effek- tives Diagonalisieren ermöglicht. Sie besagt ungefähr, daß sich die Präfix-Halbordnung über {O, 1}

*

(x ~ y :

<=>

x Präfix von y) geeignet in die cpo einbetten läßt.

Sei von nun an D

- =

(D,=,.L,ß, 1 1) eine effektive cpo mit effektivem --·--. ^"

Gewicht mit B = Bild (ß-)-. Zusätzlich zu Forderung (B1) (s.Kap. 2) fordern wir:

(B2) {( i, j) 1 {ß ( i) , ß ( j)} unbeschränkt} ist rekursi v-aufzählbar.

Diese Eigenschaften werden wir in Beweisen benötigen. Unsere Bei- spiel-cpo-s erfüllen (B2). Wir definieren nun spezielle Raster, die "d-Raster".

..

Definition 6.1:

Ein Raster ö zu

D

heißt d-Raster, gdw. es eine Abbildung

T : {O, 1}

* ->

B und V~ BxB gibt, so daß ( 1) , ... , ( 6) gelten.

(1) , ist (v ,ß)-berechenbar (wobei v eine Standardnumerierung

O 0

* .

von {O, 1} ist) ,

(2) , ist monoton,

(3) o::s; 1, (x) 1 ::s;ö falls lg x

=

^n+1,

n

(4) (b,-r (XO)) E V oder (b,-r (X1)) E V,

falls bEB mit lbl<o und lg x

=

n, n

(5) (a,b) E V =;> {a,b} unbeschränkt, ( 6 ) { ( i , j ) 1 ( ß ( i ) , ß ( j ) ) E V} ist r . a . .

Das Raster o seid-Raster zu D. Dann kann man wie folgt über eine

-

aufzählbare Menge von Elementen y

0 ,y

1, ••• mit Gewicht O diagonali- sieren. In Schritt n wird y mit Genauigkeit < o berechnet. Man

n n

bestimmt ein b E B mit b -( y und I b 1 < ö • x E {O, 1} n sei bereits

n n n n n n

bestimmt. Mit (4), (5) und (6) aus Definition 6.1 kann nun

x _n+ 1 E {xO, x1} so bestimmt werden, daß nicht -r (x _{n+ 1} )

=

^{y .} _n ^{Es wird}

also x :=

LJ

-rx.

*

^y für allen.

• l. n

l.

Als Beispiel betrachten wir die cpo-s D

-

2 und D

3 aus §2 mit Gewichten wie in §4 angegeben.

In beiden Fällen wählen wir V = { (a,b) 1 {a,b} unbeschränkt}.

Beispiel 2 (Fortsetzung): on : = 2 ^-n • Für a , a , . . . , a

1 E {O, 1} und j E IN sei

o 1 n-

. · - { a j , falls O

~

^j

~

-r(aa

1 ••• a

1)(J) . -

0 n- div sonst.

n-1

Eigenschaft (1) ist klar, ebenfalls (2) und (3).

Sei b E B mit lb 1 < 2-n. Es folgt n E Def (b).

Wegen -r(xo) (n)

=

O und -r(x1) (n) = 1 ist

{b,-r(xo)} unbeschränkt oder {b,-r(x1)} unbeschränkt.

-n-1 Beispiel 3 (Fortsetzung): on := 3 ,

-r(s) := [0;1].

Sei -r(x) := [l;r]. Dann sei [l'. 21

3

1" (XO) := +r]

[ 1+3

2r;r]

-r(x1):=

(linkes Drittel von -r ^(X)), (rechtes Drittel von -r(x)).

Man sieht leicht, daß (1) bis (3) gelten. (4) gilt, weil ein Inter- vall einer Länge< ön nicht T(xo) und T(x1) überlappen kann, denn

T(xo) und T(x1) haben einen Abstand von o •

n

Diese Beispiele verdeutlichen noch einmal die Definition des d-Rasters.

i\

^{und Ö}₃ sind also "groß" und damit werden alle folgenden Sätze auf diese wichtigen Beispiele anwendbar.

Es sei von nun an ö ein d-Raster zu

D.

In Beispiel 2 sieht man auch, daß hier ein feineres Raster als 2

-n,

z.B. -

1

1 , wenig sinnvoll wäre, da zwischen den meisten Raster-

+n

punkten gar keine Gewichte existieren. Wir wollen nun unter Benutzung einer d-Struktur "fast-überall"- Diagonalisierungen ausführen.

Zunächst beweisen wir einen Hierarchiesatz für Komplexitätsklassen

(M. Blum [6]).

Satz 6.2: Es gibt hER(l), so daß für &lle m mit <P ER(l) gilt:

m

( 1) 1 n h (m) 1 =

o ,

(2) <P (n) < K. (n) für fast alle n, falls n (i)

=

^nh(m).

m J..

Insbesondere gilt also nh (m) E C (

11

^{(m)) - C} (<Pm) , falls <Pm E R ( ¹ )_

Beweis: Wir konstruieren ein Programm, das in Stufen n= 0,1, ...

rechnet und in Stufe n ein a E {0,1} liefert.

n

Das Programm rechne wie folgt.

Eingabe: m E IN . begin

X := Ei M := ~;

for n

=

0,1, ... do begin

end end

s

^{:= { i} 1 i s; n, K, (n)

J.

s; _cp (n l

m } ;

T :=

s -

^M;

i f T

=

~ then begin a :=

n O; goto ENDE end;

j := min T;

M :=Mu {j};

{ Es gilt nun K. (n)

<

ö (wegen (C1) und j E S),

J n

also ß ( j

1 )--< n ( j ) und I ß ( j

1 ) 1

<

ö n für ein j

1 E JN }

j 1 := "das erste i E JN mit (ß(il--< n(j) und lß(i) 1

<

^on)";

{ Da die Relation r.a. ist, kann ein j

1 durch systematische effektive Suche gefunden werden. Es gilt hier lg x = n, also ('r(xo),ß(j

1J) E V oder ('r(x1),ß(j

1)) E V

nach Def. 6. 1 ( 4) . }

"Zähle V auf, bis (t,j

1) gefunden mit ß(t) =1:(xo) oderß(t) =-r(x1).";

If t mit ß(t) = 1:(xo) zuerst gefunden then an ENDE: X:= xa

n

:= O else a

n

: =

1 ;

Falls~ E R(l), dann durchläuft das Programm alle Stufen

m

n=0,1,2, ..• der Reihe nach, anderenfalls wird in einer Stufe

n die Berechnung von S nicht beendet, wenn~ (n) nicht existiert.

o m o

Es sei nun yt der Inhalt des Registers x, nachdem das Programm t Schritte (nicht Stufen!) gearbeitet hat. Da, (v ,ß)-berechenbar

0

ist, gibt es sicher eing ER (2) mit ßg(m,t) = ,(yt). Da

t(yt)

=

,(yt+l ), ist { ßg(m,t) t EIN} gerichtet und mit (Z2) gibt es h E R(l), so daß nh(m) =LJ ßg(m,t) =LJ ,(y ).

t t t

Sei nun ~m E R(l~ Dann ist die Folge lg yt unbeschränkt und mit Def. 6.1. (3) folgt lnh{m) 1 =

o.

Es sei K. (n) ^{~ ~} (n) unendlich oft. Dann gilt i ES in unendlich

1. m

vielen Stufen n, also schließlich j = i = min Tin einer Stufe k.

Für den in Stufe k berechneten Wert xk ist {txk,ß(j

1)} unbeschränkt.

Mit ß(j

1)~ n(j)

=

n(i) und ,xk

=

nh(m) folgt n(i)

*

nh(m).

Q.E.D.

Auch ein Beweis des Speedup-Theorems für cpo-s läßt sich durch pas- sende Abänderung des ursprünglichen Beweises von M. Blum [6] gewinnen.

Satz 6.3: (Speedup-Theorem)

Sei r ER (2). Dann gibt es y ED , lyl = O,mit ra

('v'i E n- 1 y)(3j En-1y) r(n,K.(n)) ~ K.(n) für fast allen.

J 1.

Beweis: Es wird eine Funktion e E R( 3) definiert mit folgenden Eigenschaften.

( 1) Falls ~. {w) existiert für w=O, 1 , ••. , z , dann

1.

lne(u,v,i) 1

<

ö , z+u und falls ~. E R (1), dann:

1.

(2) ne(o,o,i) ^=I= n(k) falls Kk(n) :S ( 3 ) 1 n e ( u , v , i ) 1 =O ,

~- (n-k) für unendlich vielen,

l

(4) (Vu) (:lv) ne(o,o,i) = ne(u,v,i).

Wir geben ein Programm an, das bei Eingabe von u,v,iE JN unbeschränkt lange rechnet und von Zeit zu Zeit das Wort im Register x verlängert.

begin

<v l , V 2 , V

3

> :

= V ;

s := D . V '

1 ^V

x := v

2-tes Wort aus (0,1} 3

(bzgl. Standardnumerierung);

form begin

:=V,

3

end end

M := ( k I u~k~m und Kk(m) ~ ~i (m-k) };

{ Falls einer der Werte~- (m-k) nicht existiert, wird

:1.

hier bereits unendlich lange gerechnet}

T := M - S;

if T

=

^~ then begin X := xO; goto ENDE end;

j := min T;

s ·- ^.-

^{s u {j} ;}

{ es gilt n ( j l

<

⁰ _m ^wegen ( C1 ) , also gibt es _{j 1} E IN mit ß. _{J 1} ^~ n ( i) und 1 ßj 11

<

^ö _m ^}

j 1 := "das erste a E JN mit (ßa~n(j) und lßal

<

cm)";

{ Es gilt bereits lg x = m, also ist (4) aus Def. 6.1 anwendbar, wie im Beweis von Satz 6.2 hält die folgende Prozedur}

11 Zähle V auf , if (1: (xO) ,ßj

1) E V zuerst bewiesen then x := xO else x := x1; ¹¹ ENDE:

Sei xt der Inhalt der Variablen x zur Zeit t. Es ist dann xt Präfix von xt+l' also ,xt '= ,xt+l und xt ist als Funktion von t berechenbar.

~egen Def. 6.1 und Axiom (Z2), s. Def. 3.4, gibt es e E R(3\

so daß

ne(u,v,i) =

LJ { ,

(xt) 1 t EIN}.

Wir weisen die geforderten Eigenschaften für e nach.

( 1) Sei z ~ 0

Der Wert (J). (w) existiere für Os w s z.

'].

Sei v

3 s ms z+u, us ks m. Dann gilt 0

s

m- k

s

m-u

s

z ,

also existiert M für die Werte v

3 s ms z+u.

In der Schleife m

=

z+u wird zu einer Zeit t xt so definiert, daß lg xt

>

m = z+u, also

l,(xt)I

<

öz+u· Es folgt lne(u,v,i)I s l,(xt)I

<

öz+u Sei nun (J). E R (1) •

1.

(2) Betrachte die Berechnung für den Fall u = v

=

^O.

Sei Kk(n) s (J)i (n-k) für unendlich vielen.

In jedem Schritt m ist M definiert und k EM in unendlich vielen Schritten m. Es gibt also einen Schritt m ^{1 ,} in dem j

=

k wird. In diesem Schritt wird so diagonalisiert, daß ne(o,o,i)

*

^n(k)

(vgl. Beweis von Satz 6.2).

(3) Da (J)i E R(l) werden alle Schleifen m ~ v

3 durchlaufen, es folgtwegenDef. 6.1 sofort lne(u,v,i)l=O.

(4) Sei nun u gegeben. Betrachte die Eingabe (o,o,i).

Sei L

= ·r

^{m 1 ( 3 j}

<

u) über j wird in Schleife m diagonalisiert} . u

Setze v := 1 + min L , wobei min ~ := -1. Zu Beginn von

3 u

Schritt m := v

3 hat Seinen Wert D und x ist das v

2-te Wort V3 vl

in {O, 1} für geeignete v 2 , v

3 .

Für m ~ v

3 hat damit Schritt m bei Eingabe von (o,o,i) dieselbe Ausgabe in x wie der Schritt m bei Eingabe von (u,<v

1,v 2,v

3>,i).

Es folgt ne(u,v,i) = ne(o,o,i) für v= <v

1 ,v

2,v

3>.

Unter Benutzung des Rekursionssatzes (Rogers [7], S. 182) zeigt man leicht, daß es l E JN gibt mit

<D,t(O) = 0

<D,t (z+1) = max { r ( z+u, K ( _{0 ) (} z+u)) e u,v ,-<-

(Beachte Axiom (C2) aus Def. 5.1)

1 u,v :$ z }

Durch Induktion zeigen wir: <P.,e_ ER (1). <P.,e_ (O} ,existiert.

<P

1 (w) existiere für w=O, •.. ,z. Mit ( 1 ) f o 1 gt I n e ( u , v , l) < ö , z+u also existiert K ( 0 ) (ö ) nach

e u,v,-<- z+u (C1), und der Wert kann nach (C2) berechnet werden. Also existiert auch <D,t(z+1).

Sei nun y := ne(o,o,l). Also yE D und lyl = 0 wegen (3).

ra Sei i E n -ly. Setze u := i+1 und wähle

(mit (4)) v so, daß y= ne(o,o,l) = ne(i+1,v,l).

Setze j := e(i+1,v,l). In (2) ersetze i durch l und k durch i.

Es folgt Ki(n) > <D,t(n-i) für fast allen.

Für genügend großen können wir in der Rekursionsgleichung

für

<Pl

den Wert z durch (n-i-1) substituieren.

Für genügend großen gilt also

<D,t(n-i) ~ r(n,Kj(n)}.

Damit erfüllt j die Behauptung des Satzes.

Q.E.D.

7. Komplexität auf den rekursiven Elementen

In der bisher entwickelten Komplexitätstheorie spielte das Gewicht O eine ausgezeichnete Rolle.

So, wie die Blumsche Komplexitätstheorie im wesentlichen Aussagen über die total-rekursiven Funktionen macht, so liefert unsere bis- herige Theorie Aussagen über die rekursiven Elemente der cpo mit Gewicht O.

In Beispiel 2 (s. Kap. 2) sind das die total-rekursiven Funktionen, in Beispiel 3 die berechenbaren reellen Zahlen, also jeweils inter- essante Bereiche. Dagegen hat in Beispiel 1 nur ^IN' das Gewicht 0 und in Beispiel 4 nur 0.

zu einer gegebenen cpo D wird nun eine "erweiterte" cpo D' konstru- iert, wobei D'

=

JR x D. Es werden uns diejenigen y'

=

(r,y) ED' interessieren mit r = lyl. Jedes y' besteht aus einem y ED und einer "Hypothese" r E IR über das Gewicht. Wenn die Hypothese

"stimmt", ist lyl =rund r berechenbar.

Sei wieder D

- =

(D,=,i,ß, 1 1) eine effektive cpo mit effektivem Ge- wicht, sei wieder B := Bild (ß).

Definition 7. 1 : Sei D' : = (D' ,

=' ,

^{i ' , ß' , 1 1 ' )}

wie folgt definiert:

D' := IR ^X D, B' := (D

-

X B,

(y1, d

1)

='

^(y ₂^{1 d )} ₂

i ' := (-a,,i)'

ß' sei eine in ß kanonische Numerierung von B',

ldl - y, falls ldl E IR und y E IR;

- 00 , falls (y

* -

⁰⁰ und ldl

=

-oo)

l(y,d)I'

.-

oder (y

=

⁰⁰ und ldl

*

^{00 )}

oo , sonst.

Man sieht leicht, daß D' wieder eine effektive cpo mit effektivem Gewicht ist. Falls ö ein d-Raster zu D ist, dann auch zu D'. Die

-

folgende Eigenschaft ist entscheidend.

Lemma 7.2: Sei (y,d) ED'. Dann gilt

( (y,d) ED 'und I (y,d) I'

=

O)

<=> (

ldl

=

yE IR und d rekursiv in D).

ra

Beweis:

"=>": Es gilt y E JR, y links-r.a., es gilt d E D ra und y

=

ldl, also ist nach Lemma 4.5 d rekursiv.

"<=":

Falls d rekursiv, dann ist auch y rekursiv, also links-r.a.,

also gilt (y,d) ED 'und I (y,d) I'

=

0.

ra Q.E.D.

Wir können auf D' unsere 0-Komplexitätstheorie anwenden. Mit Lemma 7.2 kann die Komplexität für (y,d) in D' als Komplexität von d in D gedeutet werden. Wir haben damit auch eine Komplexitätstheorie für die rekursiven Elemente d ED mit -⁰⁰

<

ldl

<

^{00 •}

Wir wollen unsere Konstruktion auf unsere Beispiele 1 und 4 anwenden.

Beispiel 1 (Fortsetzung):

Sei wieder D die in Beispiel 1 eingeführte cpo über 2lN mit IXI

=

2 - E{ 2-i I i EX}

=

E{ 2-il i ~X}.

Sei D' die zugehörige erweiterte cpo. Als Raster

wählen wir ^E := 2-n. Wir wollen eine Blumsche Komplexität n

der charakteristischen Funktionen mit einer cpo-Komplexität

zu D' und ^E vergleichen (siehe dazu Satz 5.4). Sei X eine rekursive Menge. Sei die charakteristische Funktion von ^X einfach berechenbar.

Dann kann man leicht eine wachsende Folge (y. ,d.) in D' berechnen

l. l.

mit O < 1 ( y i , d i ) I < 2 ^{- i} und

LJ (

y i , d i )

=

(IXl,X),

nämlich y. :

=

I: { 2 ^-n I n ::;; i+2, n EI: X } , d

=

X n {O, ••• , i+2} •

l. i

Damit hat aber (IXI ,X) in

D'

eine kleine Komplexität.

Umgekehrt sei (IXI ,X) in D' leicht mit großer Genauigkeit berechenbar. Um n EX zu entscheiden berechne (y,d) E B' mit 1 (y ,d) 1 < 2-n und (y ,d) '= ( 1 XI ,X). Dann gilt

n Ed=> n EX (klar) und n EE d => n EE X (anderenfalls ergäbe sich IXI < y). Also gilt dann n Ed<=> n EX, somit

ist n EX leicht entscheidbar.

Beispiel 4 (Fortsetzung):

sei

D

= ( JR , ::;; , - 00 , v Q , 1 1 ) mit I x 1 = -x .

Betrachte D'. Man sieht leicht, daß (y,x) ED ra

und 1 (y,x) 1 = O gilt, gdw. x berechenbar und y = -x.

Man überlegt sich auch leicht, daß sich die Komplexität auf

D'

und Komplexität auf der Intervall-cpo (Beispiel 3) einfach gegeneinander abschätzen lassen.

8. Schlußbemerkungen

Wir haben in dieser Arbeit die Blumsche Komplexitätstheorie auf cpo-s verallgemeinert. Zunächst wurden dazu effektive cpo-s und zulässige Numerierungen als Verallgemeinerung der "akzeptablen Gödelnumerierungen" von P(l) eingeführt. Zur Definition von Kom- plexität erwies sich das Gewicht als brauchbares Konzept. Es sei hier jedoch bemerkt, daß die Blumsche Theorie kein echter Spezial- fall unserer Theorie ist. Die Blumsche Komplexität wird "lokal"

gemessen: 'P. an der Stelle x. Für eine nicht "atomare" cpo kann

l.

man Komplexität nur "global" für "endliche" Näherungswerte messen, also im Spezialfall P(l) z.B. der Aufwand jeweils für ein ganzes Teilstück der zu berechnenden Funktion. Offensichtlich sind aber die "lokale" (Blumsche) und die "globale" (cpo-) Komplexität in diesem Fall jeweils einfach gegeneinander abschätzbar.

Der nächste Schritt wäre,nach der hier präsentierten sehr groben rekursionstheoretischen Untersuchung konkrete cpo-Komplexitätsmaße genauer zu untersuchen, so z.B. für die reellen Zahlen.

Literaturverzeichnis

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