Algorithmische Kryptographie (WS2013/14) Kapitel 5 Zero-Knowledge Walter Unger
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(2) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Formales. Hinterlegung. (5:2.3). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Inhalt I 1. Einleitung Motivation Anschauliches Beispiel Grundlagen Hamilton-Kreis. 2. Viele weitere Beispiele Perfektes Matching Stabile Menge Graphenisomorphismus Kenntnis der Faktoren 3-Färbung eines Graphen 3-SAT Set-Partition-Problem. 3. Formales Idee zur Beweisführung Definition von Zero-Knowledge Verfahren von Shamir. Z. Anwendungen. 4. Hinterlegung: Verschließbare Kästen (Lockable Boxes) Einleitung Ein-Weg-Funktionen und verschließbare Kästen Kästen mittels quadratischen Resten Kästen mittels diskreten Logarithmus Vergleich der Sicherheitsaspekte. 5. Beweise und Aussagen Einfache Protokolle Protokolle auf Graphen Sonstige Protokolle Zero-Knowledge-Proof und Komplexitätsklassen Komposition von Zero-Knowledge-Proofs. 6. Anwendungen Identifikation mit Zero-Knowledge-Proofs Einfache Identifikation nach Shamir Unterschriften mit Zero-Knowledge-Proofs.
(3) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.1). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Einleitung Bekanntlich gibt es nur ein weiteres Edelgas 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(4) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.2). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Einleitung Bekanntlich gibt es nur ein weiteres Edelgas 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(5) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.3). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur ein weiteres Edelgas 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(6) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.4). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(7) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.5). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(8) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.6). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(9) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.7). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(10) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.8). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(11) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.9). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(12) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.10). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(13) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.11). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(14) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.12). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(15) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.13). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(16) Einleitung Motivation. Viele weitere Beispiele. Formales. (5:1.14). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einleitung „Bekanntlich“ gibt es nur. Z. Anwendungen. Jemand (Peter) behauptet: Es gibt ein weiteres Edelgas. 6 Edelgase. eine weitere Wilson-Primzahl. 3 Wilson-Primzahlen. eine weitere Aminosäure. 20 Aminosäuren Nun muss Peter seine Behauptung beweisen. I Beteiligt sind P (Prover, Peter) und V (Verifizierer, Viktor). I P, der Prover, möchte Behauptung beweisen. I V , der Verifizierer, will Beweis sehen. I Wenn P ein neues Objekt kennt, dann kann er dessen Existenz beweisen. I Eine Lüge von P soll erkannt werden. I P will aber keine weitere Information preisgeben. I Lösung: Zero-Knowledge-Proof.
(17) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.1). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(18) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.2). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(19) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.3). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(20) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.4). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(21) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.5). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(22) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.6). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(23) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.7). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(24) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.8). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(25) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.9). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(26) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.10). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(27) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.11). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(28) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.12). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(29) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:2.13). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Idee am Beispiel Viktor und Peter haben viele Karten geerbt. D.h. viele identische Kartensätze.. Peter behauptet nun, er hat unter den Kartensätzen einen Joker gefunden. Peter will Viktor von der Existenz dieser Karte überzeugen, ohne die Karte zu zeigen. Vorgehen: 1 2 3 4. 5. Peter bereitet zwei kleine Kartenstapel vor: In einem ist der Joker. Viktor fügt zu jedem Stapel viele weitere Karten hinzu. Die Kartenstapel werden gemischt. Die beiden Stapel kommen in zwei Kästen und werden dabei gegebenenfalls von Viktor vertauscht. Peter öffnet die Kästen, entnimmt seine Karten und teilt Viktor mit, ob die Kästen vertauscht wurden.. Dieses Verfahren wiederholen beide jeden Tag einmal. Jeden Tag steigt damit die Überzeugung, dass Peter einen Joker hat..
(30) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.1). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(31) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.2). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(32) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.3). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(33) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.4). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(34) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.5). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(35) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.6). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(36) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.7). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(37) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.8). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(38) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.9). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(39) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.10). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(40) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.11). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(41) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Anschauliches Beispiel. Formales. (5:3.12). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Das Protokoll oder der Nutzen eines Betrugs Viktor geht nun vor Gericht: Er will den halben Wert des Jokers aus dem Erbe haben. Als Beweis präsentiert er Filmaufnahmen, von jedem Tag eine. Kann er den Beweis der Existenz des Jokers führen und den Prozess gewinnen? Peter behauptet nun aber, er hat immer nur geraten.. Denn das waren alles Tests; also eine statistische Untersuchung, wie viele Betrugsversuche fehlschlagen. Und was Viktor hier zeigt, sind nur die Aufnahmen, wo Peter richtig geraten hat. Es müsste noch weitere Aufnahmen geben, die Viktor verheimlicht. Damit steht Aussage gegen Aussage. Damit ist der Beweis, den Viktor erhielt, nicht an das Gericht “übertragbar”. Das ist eine wichtige Eigenschaft von Zero-Knowledge-Proofs..
(42) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.1). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Phase 2: Phase 3: P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(43) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.2). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Phase 3: P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(44) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.3). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Phase 3: P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(45) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.4). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Challenge (Herausforderung) Phase 3: P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(46) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.5). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Challenge (Herausforderung) Phase 3: P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(47) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.6). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Challenge (Herausforderung) Phase 3: Response (Antwort) P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(48) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.7). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Challenge (Herausforderung) Phase 3: Response (Antwort) P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(49) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.8). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Challenge (Herausforderung) Phase 3: Response (Antwort) P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(50) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:4.9). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Muster beim Zero-Knowledge-Proof Phase 1: Commitment (Hinterlegung) Phase 2: Challenge (Herausforderung) Phase 3: Response (Antwort) P: kennt W und x wählt Co. V : kennt W Co a. bestimmt ReCo,a. ReCo,a. Z. Anwendungen. wählt a Testet (Co, a, ReCo,a , W ). Wichtig Wiederhole das Verfahren zur Verkleinerung der Betrugswahrscheinlichkeit..
(51) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.1). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(52) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.2). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(53) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.3). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(54) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.4). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(55) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.5). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(56) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.6). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(57) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.7). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(58) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.8). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(59) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.9). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(60) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.10). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(61) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.11). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(62) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.12). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(63) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.13). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(64) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Grundlagen. (5:5.14). Formales. Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Einfache verschließbare Kästen Wir benötigen nun erst einmal einen einfachen verschließbaren Kasten. Die klassische Anwendung für „lockable boxes” ist die Testamentshinterlegung bzw. -eröffnung. A: EA , DA , w c := EA (w ). B: EA c w , DA. Teste, ob D −1 = ˆ EA A w := DA (c). Später werden wir bessere Kästen sehen: P: m ∈ {2, . . . , p − 1}, p, g, v. V : p, g, v. wähle r ∈ {2, . . . , p − 1} c := g r v m mod p. c r, m. ? Test c ≡ g r v m (mod p). Z. Anwendungen.
(65) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:6.1). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Hamilton-Kreis v18. v17. 18. 17. v16. v1 v2. Ein Graph G = (V , E ) hat einen Hamilton-Kreis, gdw. es existiert C|V | als Teilgraph von G.. 2. v15. v3. 3 15. 4. v14. v4. 14 5. v13 13 6 v12 12. v6 7. 11 v11. 10 v10. 9 v9. 8 v8. WS2013/14. Definition. 1. 16. Z. Anwendungen. v7. v5. Beachte: Ck ist ein Kreis der Länge k (mit k Knoten). Das Problem, festzustellen, ob G = (V , E ) einen Hamilton-Kreis hat, ist NP-vollständig..
(66) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:6.2). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Hamilton-Kreis v18. v17. 18. 17. v16. v1 v2. Ein Graph G = (V , E ) hat einen Hamilton-Kreis, gdw. es existiert C|V | als Teilgraph von G.. 2. v15. v3. 3 15. 4. v14. v4. 14 5. v13 13 6 v12 12. v6 7. 11 v11. 10 v10. 9 v9. 8 v8. WS2013/14. Definition. 1. 16. Z. Anwendungen. v7. v5. Beachte: Ck ist ein Kreis der Länge k (mit k Knoten). Das Problem, festzustellen, ob G = (V , E ) einen Hamilton-Kreis hat, ist NP-vollständig..
(67) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:6.3). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Hamilton-Kreis v18. v17. 18. 17. v16. v1 v2. Ein Graph G = (V , E ) hat einen Hamilton-Kreis, gdw. es existiert C|V | als Teilgraph von G.. 2. v15. v3. 3 15. 4. v14. v4. 14 5. v13 13 6 v12 12. v6 7. 11 v11. 10 v10. 9 v9. 8 v8. WS2013/14. Definition. 1. 16. Z. Anwendungen. v7. v5. Beachte: Ck ist ein Kreis der Länge k (mit k Knoten). Das Problem, festzustellen, ob G = (V , E ) einen Hamilton-Kreis hat, ist NP-vollständig..
(68) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.1). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(69) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.2). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(70) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.3). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(71) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.4). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(72) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.5). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(73) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.6). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(74) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.7). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(75) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. Hinterlegung. (5:7.8). Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. WS2013/14. Hamilton-Kreis (Idee) v2. v4. 2. 4. v3. Bereite den Graph vor.. v10 10. v6. Erzeuge Nicht-Kanten.. 6. 3 v8. Verschließe Kanten.. v5. 5. Verschließe Knoten.. 8 15 v15. v17 17. 9. v18 18 12 v11 11. v12 14. 16 v16. 7 v7. 1 v1. 13 v13. Z. Anwendungen. v14. v9. Auf Anfrage zeige den Graphen. Für eine weitere Anfrage ist alles neu zu verschließen. Oder zeige bei alternativer Anfrage die Kanten eines Kreises..
(76) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.1). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(77) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.2). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(78) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.3). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(79) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.4). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(80) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.5). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(81) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.6). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(82) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.7). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(83) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.8). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(84) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.9). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(85) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.10). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(86) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.11). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(87) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.12). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(88) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.13). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(89) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.14). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(90) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.15). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(91) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.16). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(92) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.17). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
(93) Einleitung. Viele weitere Beispiele. Hamilton-Kreis. Formales. (5:8.18). Hinterlegung. Beweise, Aussagen. <> Walter Unger 15.11.2013 14:32. Z. Anwendungen WS2013/14. Hamilton-Kreis Knotenboxen: Bi , 1 6 i 6 t, mit δ(Bi ) ∈ V und ∪16i6t δ(Bi ) = V .. Kantenboxen: Bij , 1 6 i 6 j 6 t, mit δ(Bij ) = 1 : ⇐⇒ (δ(Bi ), δ(Bj )) ∈ E . Die Funktion δ gibt also den Inhalt der Boxen frei. Kenntnis eines Hamiltonkreises P: G = (V , E ), |V | = t und H mit:. V : G = (V , E ), t. H = (V , F ) ∼ = Ct bestimmt B1 , . . . , Bt mit: δ(B1 , . . . , Bt ) = V bestimmt Bij , 1 6 i < j 6 t mit: δ(Bij ) = 1 ⇐⇒ {δ(Bj ), δ(Bi )} ∈ E. Falls x = 0. Bij , Bi 16i <j 6t x δ(Bi ), δ(Bij ) 1 6 i 6 t, i < j 6 t. wähle x ∈ {0, 1} testet G. Falls x = 1 F 0 = {{i, j} | {δ(Bi ), δ(Bj )} ∈ F }. δ(Bij ) i < j, {i, j} ∈ F 0. testet Ct.
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