−√ic(ei√ct+e−i√ct) 1c(e−i√ct−ei√ct) ei√ct−e−i√ct −√ic(ei√ct+e−i√ct

Gew¨ohnliche Differentialgleichung: NWI -Sophiane Yahiatene-

Aufgabe 11.1 Die Differentialgleichung y⁰⁰(t) = −cy(t) mitc >0 ist ¨aquivalent zu folgendem System 1. Ordnung

z₁(t) z₂(t)

0

=

0 1

−c 0

z₁(t) z₂(t)

.

Nun gilt

0 t

−ct 0

=

−^√i_c ^√i_c

1 1

i√

ct 0 0 −i√

ct

−^√i_c ^√i_c

1 1

⁻¹

=

−^√i_c ^√i_c

1 1

i√

ct 0 0 −i√

ct i√

c 2

1 −^√i_c

−1 −^√i_c

!

und somit ist

Φ₁(t) =−2i

√cexp

0 t

−ct 0

=

−^√i_c ^√i_c

1 1

e^i√ct 0 0 e⁻ⁱ

√ct

1 −^√i_c

−1 −^√i_c

!

= −^√i_c(e^i√ct+e^−i√ct) ¹_c(e^−i√ct−e^i√ct) e^i√ct−e^−i√ct −^√i_c(e^i√ct+e^−i√ct)

!

eine Fundamentalmatrix.

Man kann auch folgende ¨ubersichtlicheren Fundamentalmatrizen w¨ahlen Φ₂(t) =

e^i√ct e^−i√ct i√

ce^i√ct −i√ ce^−i√ct

oder die relle Matrix

Φ3(t) =

cos(√

ct) sin(√ ct)

−√ csin(√

ct) √ ccos(√

ct)

welche man durch linear Kombinationen der beiden Spalten von Φ1 erh¨alt. Die Spalten der Matrizen sind verschiedene Basen f¨ur den selben L¨osungsraum.

Nun ist also die allgemeine L¨osung des Systems z₁(t)

z₂(t)

=

αe^i√ct+βe^−i√ct αi√

ceⁱ

√ct−βi√ ce⁻ⁱ

√ct

und die der Differentialgleichungy⁰⁰(t) =−cy(t) y(t) =αeⁱ

√ct+βe⁻ⁱ

√ct,

wobeiα, β Konstanten sind.

Aufgabe 11.2 Die Lagrange Funktion lautet

L=T−U = m

2r˙²+γM m r . Die Euler-Lagrange Differentialgleichungen lautet nun

m¨r= d dt

∂

∂r˙L

(t, r,r) =˙ ∂

∂rL(t, r,r) =˙ −γM m r² . F¨urm6= 0 erh¨alt man nun die explizite Differentialgleichung 2. Ordnung

¨

r=−γM r² . 1

Der AusdruckT(r,r) +˙ U((r,r) ist eine Erhaltungsgr¨˙ oße, denn es gilt d

dt(T(r,r) +˙ U((r,r)) =˙ d dt(m

2r˙²−γM m r )

=m¨rr˙+ ˙rγM m r²

=−r˙γM m

r² + ˙rγM m r²

= 0.

Aufgabe 11.3 Berechne die Fluchtgeschwindigkeit der Massemaus Aufgabe 11.2 in Abh¨angigkeit vom Abstandr.

Durch folgenden Trick kann die Differentialglichung ¨r=−^γM_r2 von Aufgabe 11.2 in eine Differentialglei- chung 1. Ordnung transformieren.

Betrachte die Differentialgleichungy⁰⁰=f(y) und setze z(x) = (y⁰(x))². Nach der Kettenregel gilt z⁰(x) = 2y⁰(x)y⁰⁰(x) = 2y⁰(x)f(y(x)) = 2(F(y(x)))⁰,

wobei F eine Stammfunktion von f ist. Durch Integration folgt schließlich z(x) =y⁰(x)²= 2F(y(x)) +C, wobeiC eine Konstante ist.

F¨urf(r) =−^γM_r2 istF(r) = ^γM_r +C eine Stammfunktion und mit dieser erh¨alt man nun die Differenti- algleichung 1. Ordnung

˙

r²= 2γM r + ˜C,

also die Geschwindigkeit zum Quadrat in Abh¨angigkeit des Abstands.

Alternativ kann man auch die Erhaltungsgr¨oßeT+U nutzen und erh¨alt dasselbe Ergebnis.

C=T+U = m

2r˙²−γM m r

⇔r˙²= 2γM r + ˜C

Seien nunr(0) =R >0 und ˙r(0) =v0≥0 die Anfangswerte der Differentialgleichung ¨r=−^γM_r2 , so gilt v²₀= ˙r(0)²= 2γM

r(0)+ ˜C= 2γM R + ˜C

⇔C˜=v₀²−2γM R .

Bemerkung: Es ist ˜C=^2·∆E_m , wobei ∆E die Differenz der kinetischen und potentiellen Energie des Sys- tems ist.

Betrachte nun folgende F¨alle:

1. ˜C= ^2·∆E_m <0:

Wenn die potentielle gr¨oßer als die kinetische Energie ist, also ˜C <0, so beschreibt

˙ r=





 q

2^γM_r + ˜C ; 2^γM_r ≥ |C|˜

−q

−(2^γM_r + ˜C) ; sonst

die Geschwindigkeit des K¨orpers min Abh¨angigkeit des Abstandsr. Der Abstandr_U =−^2γM_C˜ ist der Umkehrpunkt, d.h. die Geschwindigkeit ist 0 und ab da an bewegt sich die MassemaufM zu.

Der Schwung reicht also nicht aus.

2. ˜C= ^2·∆E_m >0:

Hier ist die potentielle kleiner als die kinetische Energie, also ˜C >0 und man erh¨alt damit

˙ r=

r 2γM

r + ˜C.

Es gilt also ˙r(t)≥p

C >˜ 0, d.h. der Schwung ist ausreichend.

2

3. ˜C= ^2·∆E_m = 0:

Bei gleich großen Energien, gilt

˙ r=

r 2γM

r .

Diese Differentialgleichung ist vom Typ ’Trennung der Variablen’, so gilt 2

3(r³² −R³²) = 2

3u³²

r

R

= Z r

R

√u du= Z t

0

p2γM dτ =tp 2γM

⇒r= 3 2

p2γM t+R³²²₃

⇒r˙= 3 2

p2γM t+R³²−¹₃p 2γM . Die Fluchtgeschwindigkeit lautet alsov0= ˙r(0) =

q2γM R .

Aufgabe 11.4 Die Euler-Lagrange Differentialgleichung f¨ur ein ebenes Pendel lautet:

φ⁰⁰(t) =−g

rsin(φ(t)) Die linearisierte Differentialgleichung lautet:

φ⁰⁰(t) =−g rφ(t)

F¨ur g = r = 1 und φ(0) = ^π₃, φ⁰(0) = 0 ist auf folgender Grafik die exakte L¨osung der linearisierten φ(t) = ^π₃cos(t) und eine Approximation mit Hilfe des klassischen Runge-Kutta Verfahrens dargestellt.

Man erkennt, dass mit fortschreitender Zeitt die beiden L¨osungskurven auseinanderlaufen. Dies liegt daran, dass der Sinus nur f¨ur ’kleine’ Argumente von der Identit¨at gut approximiert wird.

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