Metodyka nauczania Rachunku Prawdopodobie´nstwa - zadania na trzecia kartk´, owke.,
1. Z talii 52 kart losujemy 5 kart bez zwracania. Wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze otrzymali´smy co najmniej cztery figury, je´sli wiadomo, ˙ze mamy asa i nie mamy ˙zadnych kier´ow (przyjmujemy, ˙ze as jest figura).,
2. W urnie znajduje sie jedna prawid lowa kostka oraz jedna fa lszywa, z dwoma, sz´ostkami i czterema tr´ojkami. Losujemy kostke, wykonujemy ni, a rzut, a nast, epnie, rzut powtarzamy, je´sli wypad la sz´ostka lub tr´ojka.
Po wykonaniu powy˙zszego do´swiadczenia okaza lo sie, ˙ze w dok ladnie jednym rzu-, cie wypad la sz´ostka. Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze kostka jest prawid lowa?
3. Z urny, zawierajacej, n kul ponumerowanych liczbami od 1 do n, losujemy kolejno ze zwracaniem po jednej kuli i zapisujemy na kartce numer kuli, je´sli nie pojawi l sie on we wcze´, sniejszych losowaniach. Do´swiadczenie kontynuujemy a˙z do momentu, gdy zobaczymy wszystkie mo˙zliwe numery kul. Zbada´c niezale˙zno´s´c zdarze´nAj={j-ty orazj+1-szy numer na kartce pojawi ly sie w wyniku wykonania, dw´och kolejnych rzut´ow},j= 1,2, . . . , n−1.
4. W urnie I znajduja si, e trzy bia le kule i dwie czarne; w urnie, II znajduja, sie dwie bia le kule i trzy czarne., Losujemy kule z urny, I i albo wrzucamy ja, z powrotem, albo przek ladamy do urny II (ka˙zda z tych dw´och mo˙zliwo´sci ma prawdopodobie´nstwo 1/2). Nastepnie, analogiczn, a czynno´, s´c wykonujemy dla urny II. Jakie jest prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze pierwsza z wylosowanych kul by la bia la, je´sli wiadomo, ˙ze po dw´och losowaniach urnaII zawiera dok ladnie dwie bia le kule?
5. Do n-osobowego samolotu wsiada n podr´o˙znych P1, P2, . . ., Pn, zajmujac, kolejno miejsca, osoba po osobie. Pasa˙zer P1 ignoruje informacje na swoim bilecie, i siada na losowo wybranym miejscu. Ka˙zda z nastepnych os´, ob siada na miejscu zgodnie ze swoim biletem, je´sli jest wolne; w przeciwnym razie, wybiera losowo jedno z pozosta lych miejsc. Wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze pasa˙zerPn
usiadzie na miejscu opisanym na swoim bilecie.,
6. W turnieju szachowym uczestniczy 2n graczy, w´sr´od kt´orych sa zawodnicy, X oraz Y. W pierwszej rundzie, gracze sa parowani w spos´, ob losowy; nastepnie,, 2n−1 zwyciezc´, ow ponownie grupuje sie w pary losowo, itd., a˙z do, n-tej rundy, w kt´orej dw´och pozosta lych zawodnik´ow rozgrywa partie o zwyci, estwo w turnieju., Zak ladamy, ˙ze nie ma remis´ow oraz ˙ze gracze graja na tym samym poziomie (w, ka˙zdej partii, prawdopodobie´nstwo zwyciestwa dla ka˙zdego gracza wynosi 1/2)., Wyznaczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze zawodnicy X oraz Y rozegraja parti, e, przeciwko sobie.
7. Trzech graczyX,Y,Zrzuca kostka do gry, w kolejno´, sciXY ZXY Z . . .. Wyz- naczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze pierwsza sz´, ostke wyrzuci, X, druga sz´, ostke, wyrzuciY oraz trzecia sz´, ostke wyrzuci, Z.
8. W urnie znajduje sie 1 bia la i 1 czarna kula. Wykonujemy ci, ag, n losowa´n zgodnie z nastepuj, acym schematem: losujemy kul, e, ogl, adamy j, a, a nast, epnie zwracamy, ja do urny i dok ladamy jeszcze jedn, a kul, e tego samego koloru. Dla, j∈ {1,2, . . . , n+
1}, niechpj oznacza prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze ponlosowaniach urna zawiera dok ladniej kul bia lych. Udowodni´c, ˙zepj = 1/(n+ 1) dla wszystkichj.
