13. Übungsblatt zur Vorlesung WS 2016/2017 Einführung in die Elementarteilchentheorie Prof. G. Hiller Abgabe: bis Montag, den 30. Januar 2017 12:00 Uhr
Aufgabe 1: Spontane Symmetriebrechung (5 Punkte)
Die folgende Lagrangedichte beschreibt eine skalare Theorie mit einer globalen O(3)-Symmetrie, unter der das Feldφ=¡
φ1,φ2,φ3¢
wie ein Vektor transfor- miert:
L=1 2
¡∂νφi
¢2
−1
2µ2φ2i−1 4λ¡
φ2i¢2
i=1, 2, 3.(Summenkonvention) (1) Hierbei seienµ2<0undλ>0.
(a) Brechen Sie die Symmetrie hinunter zu einer O(2), indem Sie einen geeigneten Vakuumerwartungswert〈φ〉finden und zeigen Sie, dass ein massives Teilchen und zwei masselose Goldstone-Bosonen entstehen. Geben Sie die Masse des Teilchens in Abhängigkeit von den Parametern des Potentials an.
(b) Beschreiben Sie die möglichen Wechselwirkungen der Teilchen in der (spontan) gebrochenen Theorie, indem Sie die Vertizes skizzieren.
Aufgabe 2: GSW–Theorie:SU(2)×U(1) (8 Punkte)
Die Elemente der EichgruppeSU(2)×U(1)haben die Form U(x)=exp£
iαa(x)ta¤ exp
· iβ(x)
2
¸
, (2)
wobei die Generatoren der SU(2)durch die Pauli-Matrizen σa=2ta gegeben sind. Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. Die Eichsymmetrie der GSW-Theorie soll nun spontan gebrochen werden, indem für ein skalares Dublettfeldφder Grundzustand
φ0= 1 p2
µ0 v
¶
(3) gewählt wird.
(a) Zeigen Sie, dass die Eichtransformation U(x)=exp£
iα3(x)t3¤ exp
· iβ(x)
2
¸
(4) für bestimmte Phasenα3(x)undβ(x) den Grundzustand invariant lässt. Welche Relation muss in diesem Fall zwischen den beiden Phasen gelten?
Die kovariante Ableitung der GSW-Theorie besitzt die Form
Dµ=∂µ−i g Aaµta−i g0Y Bµ. (5)
1
Die FelderAµa undBµ sind jeweils die Eichfelder derSU(2)undU(1). Die zugehörigen Masseneigenzustände lauten:
Wµ±= 1 p2
³
A1µ∓i A2µ´
, (6)
Z0= 1 q
g2+g02
³
g0A3µ−g Bµ´
, (7)
Aµ= 1 q
g2+g02
³
g0A3µ+g Bµ´
. (8)
(b) Zeigen Sie, dass die Massen der FelderW±,Zµ0und Aµdurch MW =gv
2, MZ = q
g2+g02p
v2 und MA=0 (9)
gegeben sind.
(c) Der schwache Mischungswinkelθw verknüpft die Kopplungeng undg0: cosθw= g
q
g2+g02
, sinθw= g0
q
g2+g02
. (10)
Zeigen Sie, dass gilt
µZ A
¶
=
µcosθw −sinθw
sinθw cosθw
¶ µA3 B
¶
. (11)
(d) Wie würden Sie den schwachen Mischungswinkelθw messen?
(e) Erklären Sie, wie die Quark-MassenSU(2)×U(1)die Eichstruktur brechen.
(f) Wie groß ist die Yukawa-Kopplung des Top-Quarks?
Aufgabe 3: Minimum des skalaren Potentials und skalare Massen (7 Punkte) Gegeben sei ein System zweier reeller, skalarer Felderφ1undφ2mit der Lagrangedichte
L=1 2
X
i=1,2
¡∂µφi
¢ ¡∂µφi
¢−V¡ φ1,φ2
¢ (12)
sowie dem Potential V¡
φ1,φ2¢
=1
2µ21φ21+1
2µ22φ22−bφ1φ2+g2 8
¡φ22−φ21
¢2
, (13)
wobeiµ21,µ22,b undg reelle Parameter seien, undb>0. (Dieses System ist dem Higgs- sektor des minimalen supersymmetrischen Standardmodell, dem MSSM, entlehnt.)
(a) Welche Symmetrien hat das PotentialV fürb=0undb6=0?
(b) Diskutieren Sie das PotentialV: Zeigen Sie, dass für spontane Symmetriebrechung gelten muss
b2>µ21µ22 (14) (φ1=φ2=0soll keine stabile Lösung sein) und
2b<µ21+µ22. (15)
Auch für¯¯φ1
¯
¯=¯
¯φ2
¯
¯soll das Potential von unten beschränkt sein, alsoV >0für
¯
¯φ1
¯
¯,¯
¯φ2
¯
¯→ ∞.
2
(c) Minimieren Sie das PotentialV und geben Sie die Gleichungen für die Vakuu- merwartungswerte v1 und v2 von φ1 und φ2 am Minimum, ausgedrückt durch v1=vcosβ und v2=vsinβ, an. Die explizite Lösung dieser Gleichung ist nicht Gegenstand dieser Aufgabe.
(d) Schreiben Sie die Lagrangedichte nach spontaner Symmetriebrechung, d.h.,φ1= v1+h1,φ2=v2+h2und nehmen Sie Terme einschließlich 2. Ordnung in den Higgs- feldernh1undh2, alsoh21,h22undh1,h2, mit. Dieses sind die Massenterme, welche in Matrixform
LMasse= −1
2(h1,h2)M2 µh1
h2
¶
(16) lauten. Bestimmen Sie die MassenmatrixM2und anschließend durch Diagonali- sierung vonM2die MasseneigenzuständeH1undH2, sowie deren MassenM1und M2.
Vorlesungsseite im Internet:
http://people.het.physik.tu-dortmund.de/~ghiller/WS1617ETT.html
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