Technische Universit¨at Wien WS 2009/10 Institut f¨ur Analysis u. Scientific Coumputing
Prof. Dr. A. Arnold / Dipl.-Math. J. Geier
7. ¨Ubungsblatt zur VL
“Zeitabh¨angige Probleme in Physik und Technik”
(Reynoldszahl,Wirbelgleichung)
1. Aufgabe
Betrachten Sie die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen f¨ur ein homogenes Fluid ohne ¨außere Kr¨afte
ut + ∇ ·(u⊗u) + 1 ρ0
∇p = ν0∆u , divu = 0, mit ν0 = ρµ
0. Bringen Sie dieses System auf dimensionslose Form durch Einf¨uhrung von dimensionslosen (skalierten) Variablen
ξ= x
L , τ = t
T , v(ξ, τ) = u(Lξ, T τ)
U , p(ξ, τ˜ ) = p(Lξ, T τ) p0
.
Hierbei sei p0 =ρ0U2 und T = UL. Erl¨autern Sie damit, dass ”¨ahnliche Str¨omungen” nur von der Reynoldszahl Re := LUν
0 und der Geometrie abh¨angen.
Bemerkung: Das Konzept von ¨ahnlichen Str¨omungen erlaubt verkleinerte Windkanalm- odelle. In den meisten Anwendeungen gilt Re1.
2. Aufgabe
Betrachten Sie als Anfangsbedingung ngleiche Wirbel auf den Ecken eines regelm¨aßigen n-Ecks (z.B. um den Ursprung) im R2. Zeigen Sie, dass es eine selbst¨ahnliche L¨osung gibt.
3. Aufgabe
Betrachten Sie drei gleiche Wirbel im R2, die sich auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks befinden. Zeigen Sie f¨ur dieses System lineare Stabilit¨at der ”diskreten Wirbel- gleichung”. Eigenwerte m¨ussen nicht per Hand ausgerechnet werden!
Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass das System invariant unter (zeitunabh¨angigen) Trans- lationen und Rotationen ist und betrachten Sie ein Referenzdreick mit den zwei Eck- punkten (0,0)T und (0,1)T. Wie lassen sich unterschiedlich große Dreiecke auf diesen Fall zur¨uckf¨uhren?
4. Aufgabe
Es seiD={x∈R2|x2 >0}die obere Halbebene. Geben Sie die Bewegung eines Wirbels inDan. L¨osen Sie hierzu ein passendes Ganzraumproblem mit zwei Wirbeln und zeigen sie, dass die Einschr¨ankung der L¨osung auf D die Randbedinungung u·ν= 0 erf¨ullt.
