Thermodynamisches Modell eines äußeren Eisschelfs

Thermodynamisches Modell eines äußeren Eisschelfs

Von M. S. Krass und P. A. Sumskij *

Pe31-OMe:Hpaeeaa aaaava.Ql1A H8fH-1H8HHOro HHTerpO-.QH4><pepeHUHallbHOrO ypaBH€Hl-1A QTHQCI·-n811bHQ np>1߀AeHHOH T8MnepaTypbl 8 KBa31-1CTaUHOHapHOM 8H8WH8M W811b<POBOM ne,QHHK€peuraercnMeTOAOM CWI-1SaeMblX aCHMnTOH11.leCIH1Xpa31l0H{eHH~.nOI\33aHO, 4TO YCTOH4HBOCTb TepMH48CKoro peltlHMa HM€8T Meero M1Wb npl-1 yCI10BHH,-rroIlHHI-H1 TOKa npOXO,lUlTvepea06enoeepxuocr«

n8l\HHKa, TaKKaKrcrnaa.QS8KUIHI BblHOCI1TztacanupvevoeTenno HapyltlY.npHBCTpe4HOM .QBJ.11t18HHH Jlblla ceepxaeä H HHI'RH8fl nOBepXHOCT€fl ne,llHHKa pel-HHM HeYCTOH4I-1B, TaK KaKeenärK BHYTpeHHeflaKKyMyllflWH1renna.

Zusammeniassung: Das Randwertproblem für die nicht-linearen Integrodiffcrentialgleichungen, welche die Temperatur in einem quasi-stetigen äußeren Eisschelf kontrollieren, wird gelöst durch Anpassen asymtoti- scher Expansionen. Es wird gezeigt, daß thermische Stabilität nur besteht, wenn die Stromlinien elurch beide Schelfoberflächen austreten, da in diesem Fall die innere Verformungswärme durch Advektion ab- qef uh rt wird. Im Falle, daß Eis von der oberen und unteren Grenzfläche in entgegengesetzter Richtung fließt, würde das System wegen der Anhäufung innerer Wärme instabil sein.

Summary: Tbc boundary pr ob lern for th e non-linear integro-differential e qu ati on govcrning the tempe- ral.ure in Cl quasi-steaely extern al ice shelf is solved by me an s of matching asymtotic exp ans io ns . It is shown ^{t h a t} stabilitiy of the thermal regime ^{e xt s t s} only if ^st r e a m li^{n e s} pass through bolh ^{t he} glacier surfaces, because in thi s case th e advection removes the heat dissipation by internal deformation. In th e case of lcc moving in opposite directions from the upper an d l ower surfaces the regime would be unsteady becnuse of internal he at accumulaticn.

Einleitung

Eine frühere Arbeit [1] enthält eine Klassifikation von Gletschern und zeigt die grund- legenden Unterschiede zwischen Landgletschern und schwimmenden Gletschern auf, Ins- besondere fehlt bei schwimmenden Gletschern praktisch jede Reibung auf der Unter- seite, was dazu führt, daß beide Grenzflächen - sowohl die obere als auch die un- tere - mit den Hauptebenen der Oberflächenspannung zusammenfallen, Die Uber- tragung der Zugspannung vom Rande auf den Gesamtkörper des Gletschers, seine flache Form und die verhältnismäßig hohe Geschwindigkeit des Eises hängen zusammen mit dem Fehlen der horizontalen Tangentialspannung. Die wesentliche Besonderheit der schwimmenden Gletscher besteht in ihrem nicht-isothermen Temperaturfeld: dem Vorhandensein eines großen vertikalen Temperaturgradienten.

Schwimmende Gletscher werden unterteilt in äußere Schelfgletscher - sie grenzen mit der einen Seite fest ans Ufer und dehnen sich frei auf der Wasseroberfläche aus - und innere Schelfgletscher - sie sind von verschiedenen Seiten durch Ufer umgeben, mit denen sie dynamisch in Wechselwirkung stehen.

In der vorliegenden Arbeit wird ein dreidimensionales, thermodynamisches Modell für den äußeren Schelfgletscher aufgestellt.

Die Neigung der oberen und unteren Grenzflächen von äußeren Schelfgletschern ist in der Regel sehr gering. Deshalb kann man den Gletscher - mit Ausnahme der Rand- zone - mit ausreichender Genauigkeit als flächenparallele Platte ansehen und physi- kalische Unterschiede zwischen den horizontalen Richtungen vernachlässigen, außer in Fällen, wo Deformationen zur Bewegung des Eises relativ zur Randzone führen. So wird die Aufgabe eindimensional.

Wir legen die horizontale Achse 01; eines affinen Systems dimensionsloser Koordinaten den Meeresspiegel entlang vom inneren zum äußeren Rand des Gletschers in Richtung der Gletscherbewegung und eine Achse O~ vertikal nach oben (Abb. 1). Die charakteri-

* Prof. Dr. M. S. Krass und Prof. Dr. P. A. Sumskij. Institut Iür Mechanik der Universität, 117234, Michurinskij pr. 1, Moskau (UdSSR),

Zu danken ist Herrn H. Klüter, Münster, für die freundliche Ubern ahme der Ubersetzung und Herrn Prof.

Dr. U, Radok, Melbourne, Iür die Durchsicht des deutschen Manuskripts.

Abb. 1: Koordinatensystem im Eisschelf.

Fig. 1:Coordm ate s vs tcms inthe ice sheIf.

4!~~----,-

°1---3'

I

stische lineare Horizontalabmessung L ist wesentlich größer als die mittlere Dicke H, so daß

(1) Der Gletscher ist oben und unten durch die folgenden Flächen begrenzt:

s

^{= Zl (T) und}

S

=cZ2 (T) (r-dimensions lo sc Zeit). Die Dichte des Eises wird mit (?, die des Wassers mit 0]; bezeichnet.

Auf Grund der verhältn.smäß iq geringen Dicke des Gletschers (1) ist die schwimmende Eisschicht lokal im Vertikalgleichgewicht:

(2)

sieht das System für 1 Die Gruruiqlcichunqer; - Die ALlfgabenstellLlng

Vernachlässigt man den kleinen Einfluß der Trägheitsglieder, Gleichgewicht folgendermaßen aus:

ap

8C1jk

- aXj +-

ä"X'k -

^{pgj =}

^0,

wobei p = Druck, Gik = Komponenten des Spannungsdeviators, g gung. Als Randbedingungen der Aufgabe nehmen wir:

(1.1) Schwerbeschleuni-

(1.2)

(1.3) wobei T die auf den Druckschmelzpunkt bezogene Temperatur ist. Die Beziehungen 11 2) stellen die Bedingungen auf der freien, an die Luft grenzenden Oberfläche dar;

die Beziehungen (1.3) sind die Bedingungen unter Wasser, sofern die Reibungskräfte der VVasserradhäsion vernachlässigt werden.

Die zweiten Bedingungen in (1.2) und (1.3) haben zur Folge, daß mit Genauigkeit bis auf Glieder höherer Ordnung keine horizontale Scherspannung in einem schwimmenden Gletscher auftritt; die horizontalen Spannungen sind dann äquivalent:

(1.4) Infolgedessen ergeben sich unter Berücksichtigung der Horizontalität der Eisoberfläche

<lUS dem Gleichungssystem (1.1) zwei Gleichungen:

a ^{al' (-} .. ^P

⁺ pC1gOH C1l' l'. )

.... = 0, .-.2.- (- al:;

p +

~

pgH

^o

ce -

^{) - 1}

.

(1.5)

Hierzu kommt noch die Inkompressibilitätsgleichung, die sich unter BerÜcksichtigung von (1. 4) in der Form

(16) schreibt, außerdem die Gleichung der WärmeÜbertragung [1] unter Vernachlässigung der horizontalen Temperaturveränderung,

ar

Vt

ar a

^{2 T}

- + - -

= ö

C -;:;-r;-ay + N

e i k 0 i k

(1.

7)

aT ^ö at

^C1Cl::

und die rheologischen Beziehungen (unter Verwendung eines Potenzgesetzes) , die in dimensionaler Form

(1. 8) zu schreiben sind. Dazu setzen wir noch die Ausdrücke für die Tensorkomponenten der Deformierungsrate

aV _t

- -

at ;

E,'k= 0 j"'"^r k. ^{(1. 9)} Da das Eis nicht zusammendrÜckbar ist, folgt aus der Gleichung (1.4)

(1.10) Die kinetischen Bedingungen der Grenzverlagerungen haben die Form

t=Z" --a-r=v t

az.

⁺ 0:1' ^{(1. 11)}

t =

ZZ,

-a:r-=V azz _{t -}

0:2,

wobei (/.1 und U.2die Zuwachsraten an der oberen und unteren Grenze sind.

heit der Gleichungen und Grenzbedingungen (1.5) - (1. 12) stellt das Problem der Thermodynamik des schwimmenden Schelfgletschers dar.

(1.12) Die Gesamt- vollständige

2. Die Lösung der dynamischen Probleme

Die Integration der Gleichungen (1.5) unter Erfassung der ersten Grenzbedingungen (1.2) und (1.3) führt zu den Beziehungen

-i:)+~

_pgH ⁰_~~ ^=f(t)_, ^-P+

~

_pgH ^0yy=-(Z-O._~~

Damit erhält man unter Verwendung von (1.10)

2 pgH [(Z, _ t)

+f (0]

1 (2.1)

0,,=-"3 00 '

0~~=-20tt,

wobei f eine unbekannte Funktion des Arguments ~ ist.

Der Ausdruck Iür die Schub spannung ist unter BerÜcksichtigung von (1. 10):

0=

l(3

0

~~.

(2.3)

OStS

Zl'

Z2

^S 1;~0,

Betrachten wir jetzt die Bedingungen an der Kante, wo der Gletscher an das Wasser grenzt [1]

,.---., 00

{O, ^Fr"

~ =~; ⁰

i

~ ⁼

0, P -

pgH 0~~^{= _} Pa T=

T

p _~,

Z'

wobei Tl und T2 die Temperaturen der Luft und des \Nassers sind. Aus der zweiten Gleichung (1.4) erhält man unter BerÜcksichtigung von (1. 10)

.----, pg H { Z, -: 1: . O.51:5.Z"

(2.4)

1'.:=e-:...,,0~~= er;;- Z, -('-~)1:,Z2~ 1:~O.

PB

Folglich entsteht am Gletscherrand ein horizontale Dehnungsspannung, die ihr Maximum

~(1 H ^- ~)Z

3

⁰₀ PB

an der Wasserlinie (~=0) erreicht und linear gegen 0 sowohl am oberen als auch am unteren Rand der Kante geht. Deshalb entsteht am Rand das Moment

~ J 1: a~~ ^{(1::) Cd C.}

o

das ausgeglichen wird durch die zusammengesetzte Spannung der Gletscherrandzone.

In einiger Entfernung vom Rand ist die Spannung jedoch in einer Eisschicht so bestimmt, daß eine gleichmäßige Horizontalausbreitungsgeschwindigkeit der Eisplatte im Vertikal- schnitt [2J gewährleistet ist:

E, = - 26 1 E3•

^(2.5)

Diese Geschwindigkeit ist in der ganzen Platte konstant und verändert sich nur wäh- rend einer Veränderung der Z= Zj - Z'!. Die durchschnittliche Größe der Ausdehnungs- spannung im Vertikalschnitt ergibt sich aus der Formel

_ 1 '") ('H P

a =' _..:.-.

cr :: -'=-L (1 - _ ) Z

(2. 6)

e;t; 2

er.

6°₀ ^' PB

Aus den Bedingungen (1. 11) und (1. 12) folgt, daß unter der Bedingung (2) eines verti- kalen Gleichgewichtes die vertikale Geschwindigkeit die folgende Abhängigkeit von der Vertikalkoordinate und den Zuwachsraten hat:

PB - P P

VI'

= E 3 ^1:

^{+ - -}

a ₂ - - a l

'" Pe P s '

Aus der rheologischen Beziehung (1.8) erhalten wir

1 00n HK 3n/2 on -x e

EI =-26' E 3=Ef:l;, =

^V_o

~~ e

wobei 0= 1 - T, 0 <::: 0

<

1. DaEI und 23 nicht von der t,Koordinate abhängen, ist a -

C",xe

~~

-

~

(2.7)

Die Konstante C läßt sich leicht bestimmen, wenn man den Ausdruck Iür die durch- schnittliche Vertikalspannung kennt (2.6). So gilt:

(2.9)

3. Die Tempercüurverhiiltnisse des Gletschers

Substitution in der WärmeÜbertragungsgleichung (1.7) der Beziehungen (2.7), (2.8) und (2.9) führt Iür den stationären Fall zur Integro-Differentialgleichung

wobei

K

P P P de 2 -(n+l).ge

(-f

_I-n1:+~a

- - o ) - = ö

d-e

-f

21 e

^I (3.1)

1 Ps 2 Pa 1 d 1: c d (2

Z,

x

1= fe ^{n 8 d 1:,}

Z2

(3.2)

_ -(n·'·1)?-(n·,1)/2 JHf< ( H)n+l(1_i'.-)n+1 Z2(n+1)

12-2 ^{J Pb<::}

voTo

^{Pg PB}

Die Gleichung (3. 1) beschreibt ein quasi stationäres Temperaturfeld T

Ce,

T) ~~ 1 - 0

(t"

T) im Gletscher (insofern die dimensionslose Zeit T parametrisch in die Gleichung eingeht).

Die Temperaturgrenzbedingungen folgen aus (1.2) und (1.3)

8 = 1 - T

2

(1')

=

e~(T).

L '

(3 3)

(3.4) Die Lösungsmethode der Randwertaufgabe (3.1), (3.3), (3.4) beruht darauf, daß die Größe Oe Iür Schelfgletscher sehr gering ist:

Infolgedessen gehört diese Aufgabe zur Klasse der singulären Grenzaufgaben, deren Lösungsmethoden gut genug erforscht sind [3]. Wir werden eine Lösung der Gleichung (3. 1) getrennt Iür die Haupteisgebiete suchen, wobei von einer Entwicklung der Lösung in eine Reihe nach dem kleinen Parameter Cl" ausgegangen wird

(3.5) mit der Grenzbedingung (3.3) und Iür die Grenzschicht mit der Grenzbedingung (3. 4).

\A/o die Grenzschicht an das äußerste Gebiet anschließt, müssen die Lösungen in Uber- einstimmung gebracht werden. Wir führe nun den Lösungsprozeß vor.

Vor allem muß bemerkt werden, daß die Temperaturverteilung mit der Tiefe wesentlich von den Stromlinien abhängt; mit anderen Worten: die Lösung der Aufgaben (3.1), (3.3), (3. 4) hängt von den Beziehungen zwischen den Größen ab, die in den Ausdruck (2.7) für die Geschwindigkeit eingehen. Es sind 2 Varianten der vertikalen Geschwin- digkeitsveränderung mit der Tiefe möglich:

(3.6)

(3 7) A) Fall (3. 6) bedeutet, daß die untere Gletscherfläche im Schmelzen begriffen ist (u:!

<

^{0, 23} Z,

<

gatlgh). Der Einsatz von (3.5) in Gleichung (3. 1) nach Zusammenstellung

ähnlicher Glieder mit den gleichen Potenzen von <>c ergibt eine Folge von Differenzial- gleichungen

wobei

(3 8)

aus der Bedingung (3. 6) folgt, daß U

>

O. Die Grenzbedingungen Iür das System (3. 8) sind

c=z,. 8

_{, 0=8}

1

^{( T )}_,

8,=0

_{I t}

i=123· ..

_{I J J}

FÜr die Nullannäherung nimmt die Lösung daher die Form

(3.9)

(3. 10)

an. Da t

s:

Zi ist. ist es klar, daß bei Abnahme von ~, die Größe n., wächst, d. h. die Temperatur steigt von der oberen zur unteren Grenzfläche.

Die Gesamtheit der Lösungen der Differenzialgleichungen (3. 8), die zusammen die Ent- wicklung (3.5) ergeben, qenüqt nicht der Grenzbedingung (3.4). Daher muß in der Nähe der Grenze ~= Z2 unbedingt eine Grenzschicht mit großem Temperaturgradienten ent- stehen, an deren Unterseite die Temperatur der Bedingung (3.4) genÜgt.

Um "steuernde Glieder", d. h. Ausdrücke mit Ableitungen zu erhalten, führen wir die Grenzschicht auf folgende VIfeise ein:

C -Z2

X

= - - -

.. Öe

Betrachten wir die innere Reihenentwicklung:

e ^{= 9}

₀ ^{(x .. )+}

ö

_e

91

(x.... )+

6~ ⁹²

(x .... ) ...

Durch (3. 11) sind folgende Beziehungen gerechtfertigt:

(3. 11)

(3. 12)

-.9.- __

1 ~

d C - Oe dx .. ;

Einsetzen der Gleichung (3.12) in (3. I) mit BerÜcksichtigung der Differenzierbarkeit Iührt nach der Einführunq ähnlicher Glieder zu einer Folge von Differenzialgleichungen

-u _{... dx ~}

..

(3.13)

u _~

... d x .. ^{= 2,3" .}

wobei

u - ⁿ

^{P PB - P}

... = f 1 I Z2+ Pa 01 - ----p;- ^{0 2 >0}

Die Grenzbedingungen für diese Folge von Gleichungen ist unmittelbar aus den Be- dingungen (3.4) unter Berücksichtigung von (3. 11) herzuleiten:

(3.14)

Für die Nullannüherunq ergibt sich die Lösung als

9

₀

= C, e-

^{U" X"} +

C2.

Die Konstanten Cl und C2 ergeben sich aus der Grenzbedingung bei X,. = 0, ebenso wie die Bedingung des .Anp assens" der Entwicklungen (3.5 und 3.12); dieses An- passen läßt sich in seiner einfacheren Form gliedweise über die innere Grenze aus- führen. Die Ubergangsstellen für die Nullglieder der Entwicklungen haben die Form:

(3.15) Die Bedingungen (3.14) und (3.15) ergeben die endgültige Lösungsform der Aufgaben (3. 1) - (3.4) in erster Annäherung als

a) im Gebiet der Grenzschicht der Größenordnung l)c

9

₀

= [8 2 (r ) - Go (Z2,'r)] e -u.. x..

⁺

8

₀

(Z2,T);

(3.16) b) im Hauptteil des Gletschers ergibt sich die Lösung aus der Beziehung (3.10). Die Lösung (3.10L (3.16) ist genau bis auf Glied der Größenordnung Oe und mehr. Man kann diese Berechnung genauer aus den entsprechenden Gleichungssystemen (3.8L (3. 15) machen. Die den Gleichungen (3.10L (3. 16) entsprechende Temperaturkurve ist in Abb.

2 gezeigt.

i T

o

Abb. 2: Die Temperaturverteilung im EisscheIf mit der Tiefe unter der Annahme von Schmelzen an der Unterseite.

Fig. 2: Temperature d is trfbu ticn in an ice sh elf assuming bottom meltinq.

B) Fall (3.7) bedeutet, daß auf der Gletscherunterseite Eis anfriert (02 >

o.

^POl

¹

^{PB<E 3 Z2 ).}

Innerhalb der Eisschicht existiert eine Linie, bei deren Uberschreitung die Vertikal ge- schwindigkeit ihr Vorzeichen ändert. Daraus ergeben sich 2 Reihenentwicklungsgebiete (3.5); im oberen

t., :;;

~

:;;

ZI hat die Lösung00die Form (3. 10). im unteren entsprechend

(3.18) (3.17) [

X

f I - n 1:

+

P

0 PB- P 0

j-1

9 = II In e -il 9 2 +x ^{...!Lln 1} PB ^1- PB 2

o x n f I f I

-n

Z L _

p,,-p •

1

^{1 2+ P}a⁰1 Pa O2

Z2 s C~1:*.

Von der Unterseite b is

t,.

steigt also die Temperatur, von ~... nach Zj sinkt sie. Das An- passen der Zweige (3. 10) und (3.17) wird erreicht mit Hilfe der Grenzschicht

_ 1: - ' ...

x = - - - ör:'/2

Da innerhalb der Grenzschicht die Funktion U die Entwicklung U=(1:-1:..)U 1+(1:-1:..) U2+ .... U1 >0,2

hat, führt eine Entwicklung der Art (3.12) in (3.1) unter BerÜcksichtigung

..sL=_,_ .s, ~=_, ~

und der Differenzialbeziehungen

d 1:

Ö

c

'/2

d

X·

d 1:2 ^Öc d

X

2^I (2.7) zum Gleichungssystem

~-xE ~=O

_{dx 2}2 _{3 dx .}

von (3. 18) sowie von

x

j

^{r f2 I -(n+1)}

^{e n}

^{ho .}

^{i =}

¹

E _{3 d} ~= _{X O. i}

_>

₁

FÜr die Nullannäherung hat die Lösung die Form

n

ho(öc'x)

=

B

1

e r t (I -2' f'/2

X) +B 2.

(3. 19)

(3.20)

Abb. 3: Die Temperaturverteilung im Eisschelf bei Annahme von Anfrieren an der Unterseite.

Fig. 3: Temperature distribution in an ice shelf assuming bottom freezing.

o

~

' - - -'-1....1-_-+-_ _____"

t.

i

Die Konstanten BI und B2 werden durch die Anpassungsbedingungen der Zweige (3. 10) und (3. 17) an der inneren Grenze entlang bestimmt [3J, Die Tiefenkurve der Tempe- ratur ist in Abb. 3 dargestellt. Nachdem die Temperaturfunktion bestimmt ist, kann die

1

T

(3. 21)

d t

Crö ßc I aus der transz endentalen Gleichung ableiten, die man durch Einsatz der Be- ziehungen (3.10) oder (3.17) in die erste der Gleichungen (3.2) erhält

Zl 1= i-"

Z2

4 DIe 13ecUngungen der th etmodvncunischen Stobilitiit des Gletschers

Aus Vergleichen der vorgelegten Resultate (Abb. 2 und 3) mit den vorhandenen Daten folgt, daß die Temperaturverteilung der Mehrzahl der äußeren Schelfseisgletscher mit dem Fall A des vorangehenden Abschnitts Übereinstimmt. Das bedeutet, daß die vertikale Flicßqcschwiud iqkeit des Eises entsprechend der Beziehung (3. 6) Eisteilchen von der Oberfludre durch die ganz.e Dicke zur Unterseite uberfü hrt. Die dabei befreite 'Wärme der inneren Reibung Überträgt sich mit dieser Advektionsgeschwindigkeit von den oberen zu den unteren Schichten. Da der Koeffizient der dissipativen Wärmeab- sonderung durch innere Reibung äußerst klein ist (bei K ^{c e} 0.15 cm^en Jahr ^-r kg "n, v" = 10" cm I Jahr, er"

==

^(0.5-1) kq/cm ', g/gll

==

^0.92, J ~~ 42.7 leg cm/kal, H = 3/.;

10' cm [4], erhält man f2 ^N 10"), ist der Tcmperaturqrudicnt in dem lIauptc isk.örper ebenfalls unbedeutend. Er wächst wesentlich in der Bodenschicht 2). Ein solches Glet- scherverhalten kann als stabil angesprochen werden, da es keine Clet schcrschwankun-

~Jen mit erhöhter Temperatur hervorruft.

dt:

dc;,

Konkreter läßt sich der Transportweg der inneren Reibungswärme an den bestimmen: dafür haben wir entsprechend (2.5), (2.7) folgendes Verhtiltrris:

p - p P

E

3 t: - --se- ^{°2 - PB °1}

2ö

1

^E ₃ C: - v c: (O )

Daraus erhält man die Gleichung der Stromlinien:

Stromlinien

(4. 1)

~ _ A 1 (Pa-P P

I

l, -

[_1 ^c:- l

^V

(O)J26 - E

3 l---p;-°2 - P; °1) .

^(4.2)

26 E3

c:

wobei A ein Konstante ist und E:Jaus (2.9) bestimmt wird. Ein Bild der Stromlinien - unter Berücksichtiqunq von (3. 6) - zeigt Abb. 4.

Abb. 4: Stromlinien im Eisschelf nach Fall A (3.6).

Fig. 4: Stro amlines in an ic:e she lf according 10 cas e A f3.6).

:~-

^LAbb . 5: Stromlinien im Eisschelf nach Fall B (3.7).²

c ^T

Fig. 5: Streamlines in an ice s helf according to case B (3.7).

1)\Nie in (3.13) vernnchlesstqen wir bei der Nullannäherung den Effekt der WärmeIeitunq in der Grenz- s chi cht selbst.

-} In strengerem Sinne folgt, daß sich von den Gletschergrenzen relativ dünne Eisschichten absondern, wo grundlegende jahreszeitliche Tempcruturschwenkunqen vorkommen und Ph esenüberqänqe slattfinden,

(4.3) In den Cletscherteilen, in denen es einen horizontalen Temperaturgradienten gibt, kön- nen laterale Ternperaturtluktationcn durch advektive vVärmeÜbertragung auftreten.

Der Fall B des vorigen Kapitels, welcher der Beziehung (3.7) entspricht, bedeutet einen instabilen Zustand des Schclfgletschers. In der Tat Überträgt sich die abgesonderte 'Närme zu der inneren Fläche

s

⁼

^S,

auf der die vertikale Geschwindigkeit 0 ist (die entsprechenden Stromlinien zeigt Abb. 5), So ist die Fläche

s

^'c',' des Vorzeichen- wechsels von eine Fläche, auf der sich die in der ges:nnten Eisdicke abgesonderte vVärme ansammelt. Obwohl der Koeffizient der inneren Reibungswärmeerzeugung, wie schon oben bemerkt, Überaus gering ist, so kann sich jedoch der summierte Effekt der l'\lärme" auswahl " im Laufe eines größeren Zeitraumes und in der ganzen Eisdicke als bedeutsam Iür die relativ enge Zone in der Umgebung von

S

==

S'"

erweisen, Infolge- dessen liegt b ci den in diesem Abschnitt iiufgezeigten Parameterbedeutungen die Vvär- meerzeugung eines cm" Eises im Mittel in der Größenordnung 10-'1 bis 10'2 cal/Jahr.

In der engen l'\lärmeill1sammlungszone mit einer Dicke von nur einigen Dezimetern aus einer Eisschicht von beispielsweise 100 m Dicke werden 0,1 bis 1 cal/Jahr je crn" ab- gesondert. Bei einer spezifischen Wärme des Eises von 0,4 cal/cm" reicht diese l'\lärme dazu aus, in einigen Jahren die Temperatur in der Wänneansammlungszone bis zum Schmelzpunkt zu erhöhen und damit den Phascnuber qanq Wasser - Eis einzuleiten, Die Rolle der vVärmeabfÜluung durch Leitung aus der Ansernmlunqszonc ist vergleichs- weise gering: Bei einem vVärmeleitfähigkeitskoeffizienten k ~ 5 · 1 0 ' " - - - -cal cm . Jahr' sec, einer spezifischen Wärme von

c

~ 0.45 ca1lg und einer Dichte von Q = 0,9-0,92 q/crn' beträgt der effektive Radius der 'Närmeleitung Iür ein Jahr

r cond =

~

_{pkc t '} ^{rv 1 bis 2 m}

Aber die l'\lärmeadvektion ist gegen die\tVärmeleitung gerichtet und versiegelt die Ii\Tärme innerhalb der Grenzen der Ansammlungszone; der Effekt der l'\länneleitung verschwindet fast völlig, weil der Radius des advektiven vVärmetransports

rconv=vt (4.4)

ist und bei u ~ (1 bis 2) m/Jahr, rcouud ~ rconv ungefähr gleich groß sind.

Die Dicke der Ansammlungszone bestimmt sich aus der Aquivalanz der Y,'ärl1letransporte durch Leitung und Advektion und ist, wie schon erwähnt, einige Dezimeter breit.

Die Temperaturbedingungen von Schelfgletschern wurden auch von ZOTIKOV [5J be- handelt. Jedoch wurde dort nur die Temperuturverteilunq nach der Tiefe analysiert, ohne Betrachtung der Eisdynamik - die vertikale Geschwindigkeit in der WärmeÜber- traqunqsqlci chunq wurde parametrisch vorgeschrieben - und ohne Berechnung der vvürmeentwicklunq.

In derselben Arbeit [5J wurde ein ziemlich unerwarteter Schluß Über die Möglichkeit einer der Oberfläche entgegengesetzten Eisbewegung gezogen, das sog. S-fönnige Tern- pcraturfs ld. Das widerspricht, wie oben gezeigt, der physikalischen Realität der Wärme- ansammlunq. Der Grund für die fehlerhafte Folgerung in [5] liegt vor allem in cler Vernachlässigung der inneren Wärmeerzeugung, die bei der Analyse eines quasistationä- ren Feldes nicht gestattet ist. Infolgedessen fehlt auf dem Diagramm mit der S-förmigen Temperaturkurve das unerläßliche Maximum in der Umgebung des Punktes, welcher der neutralen Fläche entspricht. Tatsächlich erhält man als Temperaturgradienten bei Vorhandensein von inneren Wärmequellen q, die gleichmäßig Über die Gletscherdicke verteilt sind, nach Formel (80) der Arbeit [5], unter BerÜcksichtigung des Ausdrucks Iür die Massenübertraqunq im Fall B

W(Z)=-w

B[(n"'1)z-n],

z=~-,

(4.5)

dT

dz -

(WB und WJl sind die absoluten Größen der Geschwindigkeit auf der Gletscherober- und -unterseite, n = WH 1WB), den Ausdruck

'IX' exp[~(n+1)(z ^- r;S)2J

<P (z)= .,1 b '

2 V-1- ⁽ⁿ⁺¹⁾

Tl - T2 - Pb2(~+1) [EC{W'~) ^{+ E} Cr;.~)]

= Jpb' n Y.P.E. '

1

erf(V2°-yn+") +erf (

2

'-yn+l')

l(it q I [~P2b'. ~r;:; ^{(z -} ~)]

p b t n

st )

V n+l n"'1

^I

wobei

qH2 q

=-A-

y

I (y) = J ^{e z 2 dz,}

o

y

P. 2

E (yh J ^e-

^Z

^{I (z) d z}

o

Mit den vorher angegebenen Werten der hier eiuqehcn dcn Parameter erhalten wir pb = 5

+

25, q 2,5

+-

20, so daß q/pb

==

(0,5

+

1,2)° ist. Da b ai z< 1 die Funktion I (z) außerordentlich schnell ansteigt, erhalten wir hier Iür Gletscher von hinreichender Dicke (mehrere Hektometer) bedeutende Werte von pb; aber dann wird das Vorzeichen der Abteilung dl!dz durch den letzten Summanden in (4.5) bestimmt. Bei n

=

^{1 (die}

vertikale Geschwindigkeit geht auf 9 etwa im mittleren Teil der Eisschicht) ergibt sich auf den Gletschergrenzflächen:

a) _Z=OI(Y ^P 2 b

' 1~)>>1 ^{d.h . .9.l>O}

, V

n+1 ' dz ;

b) z ^{= 1, I} (~P2b' "'\~)>> 1 d.h. dT <0

vn+1 • d z .

Folglich ähnelt die Tiefenverteilungskurve der Temperatur der in Abb. 3 dargestellten.

Auf ihr fällt das Maximum etwa in die Umgebung der Ebene z = nl (n

+

1), des Vorzeichenwechsels der vertikalen Eisgeschwindigkeit.

Bei einer langen Lebenszeit (Dauer der Eiswanderung durch den Gletscher) muß Schmel- zen des Eises in der \Afärmeansammlungszone auftreten. Da das vVasser nicht abfließen kann, müßte in dieser Zone eine Wasserschicht entstehen; das ist aber unvereinbar mit der Stabilität eines Gletschers, der z. B. Biegungsspannungen durch lange Wellen aus- gesetzt ist. Daraus folgt, daß der Gletscheroberfläche entgegengesetzte Eisbewegungen in nahezu flachen Platten mit parallelen Seiten unmöglich sind. Das Anfrieren des Eises am unteren Rand des Schelfgletschers ist immer mit einer bedeutsamen Anderung der Eisdicke und der Grenzbedingungen in Längsrichtung verbunden, die dann den Zu- stand des Gletschers wesentlich verändern.

Folgerungen

Das oben Gesagte läßt sich wie folgt zusammenfassen:

1. Kein Modell eines Schelfgletschers ist mit Isothermie vereinbar. Der Temperatur- gradient spielt eine wesentliche Rolle in der Dynamik,

2, Das SchelfgletschermodeJl muß unbedingt den Massenhaushalt auf den Gletscher- grenzflächen in Betracht ziehen,

3. Das Verhältnis zwischen den grundlegenden Kennzahlen des Gletschers - Zuwachs- rate auf der oberen und unteren Grenzfläche sowie Eisdicke - muß eine verhält- nismäßig gleichmäßige Richtung der Advektionsgeschwindigkeiten von oben nach unten bedingen. Dann wird das thermodynamische Regime des Gletschers stabil sein,

Literatur

{1J Grin0 rjCln, S. S., KrCl Ss, M. S. u ncl SUInskij, P. A.: Maternaticeskie modelt osnovnych ttpor le dn ik o v. [Mathematische Modell e der Oletscuerqrundtypen.] Tl'. Instituta mechaniki MGV, Bel. 47, 1975,

121 \V e e rtInCl TII J.: Deformation of floating ice shclves. J. of Glaciology, vol. 3, Da. 21, 1957.

[3] Co Ie, J. D.: Perturbation Mcthods in Appliec1 Mathemattes. California Institute of Technology.

Bl ais de ll Pubhslunq Co. Walth em. Masa.. Toronto, Loridon. 1968.

[4J SU 111skii . P. A.' Di n am iceskaja qljaci ol oqi]a. L Hagi n auk l, Gidrologija susl. Gljaciologia.

[Dynamische Glaziologie. 1, Hydrolcqie der Trockenheit, Glaziologie.] M., 1969.

[5]Z0tik0 v, J. A.: 0 tomper ctm-ach v tolsce l edn ik ov Antarktidy. [Temp er a tu ren im Irinern der Gletscher der Antarktidcn.] "AnLuktika", izd.-vo AN SSSR, 1963.

45