Ü b e rs ic h t II : A rb e it s p ro g ra m m i m S F B 8 0 5

(1)

22.07.2009| Lorenz | Optimierung in dynamischer Umgebung| 1

O p ti m ie ru n g i n d y n a m is c h e r U m g e b u n g (D o z e n t: P D D r. U lf L o re n z )

(2)

2.07.2009| Optimierung in dynamischer Umgebung| 2

L it e ra tu r u n d D a n k s a g u n g

Für Anregungen und die Erlaubnis Unterlagen nutzen zu dürfen, möchte ich mich bedanken bei: Prof. Dr. Meyer auf der Heide, Uni Paderborn, Prof. Dr. Schindelhauer von der Uni Freiburg, Prof. Dr. Ziegler, TU Darmstadt

Literatur: s. Webseiten der Veranstaltung Dank

(3)

Folgen der Unsicherheit •große Planabweichungen oder •hoheSicherheitsbeiwerte •Überdimensionierung •große Pufferbildung

Häufige Annahmefür Planung und Entscheidungsfindungen in logistischen Prozessen und in Herstellungsprozessen: •im vorhinein bestimmbare Daten

Ü b e rs ic h t II : A u s g a n g s s it u a ti o n O p ti m ie ru n g

Beobachtende und auf Planabweichungenfexibel reagierende Kontrollstrategie •existiertentweder nichtoder •wird von der Planung getrennt betrachtet.

(4)

Modellierung und Optimierung n-stufige, modulare Prozesskette mit verschiedenen Entscheidungs- alternativen Netz von Entscheidungs- alternativen mehrstufiges stochastisches Optimierungsmodell

Ü b e rs ic h t II : A rb e it s p ro g ra m m i m S F B 8 0 5

n(u,v)11

T(u,v) 21121ymax cy + Erw[Q(y;)] ∈η ()+

(s,v) 1 vy1 s∈δ=∑ ()

( )

()

( )

(,)

T(,)(,)(,) 1tt+11;:maxc + Erw[Q;]nuvtt

uvuvuv ttttttyQyyy −+∈ηω=ωη ()()()()()()+- (u,v)(u,v) tt-1 vyy0 uuv∈δω∈δω−=∑∑

s.t. mit s.t.

RIRI

Montieren jeweilige Prozessvarianten

Rund- kneten

…

Produkt- anforde- rungen

Fräsen Produkt- eigen- schaften

… …

st

(5)

Rundkneten Drehen

Entscheidungsoptimierung unter Unsicherheit Durch nicht vorhersagbare Eingabedaten entstandene Unsicherheiten mit Hilfe mathematischer Modelle und Optimierungsverfahren beherrschen und ihre Auswirkungen minimieren. Ablängen BiegungGeradheitWinkelfehlerStablänge

Fertigungsgeschwindigkeit geschmiedet

stranggegossen Richten Unsicherheiten:

Beschaffungsmarkt

Ü b e rs ic h t II : Z ie l

(6)

Modellierung und Optimierung, Alternativen

Ü b e rs ic h t II : A n d e re M o d e ll ie ru n g e n

st ∃x 1∀x 2∃x 3∀x 4∃x 5... a 11x 1+ a 12x 2+ a 13x 3≤b 1 a 21x 1+ a 22x 2+ a 24x 4≤b 2 a 31x 1+ a 32x 2+ a 35x 5≤b 3

Algorithmen: -ganzzahlig (random / worst case): „von Aussen nach Innen“ mittels backtracking -kontinuierlich (random / worst case): „von Innen nach Aussen“ mittels Variablemelemination∃x 1∀x 2∃x 3∀x 4∃x 5... a 11x 1x 2+ a 13x 3≤b 1 a 21x 1+ a 22x 2x 4≤b 2 a 31x 1+ a 32x 2+ a 35x 5≤b 3

(7)

Ü b e rs ic h t E in fü h ru n g i n K o m p le x it ä ts th e o ri e D y n a m ic G ra p h R e lia b ili ty P ro b le m e S c h a c h : L ö s u n g s a lg o ri th m e n u n d N ä h e ru n g s id e e n G o : U C T L ö s u n g s v e rf a h re n S o k o b a n , R u s h h o u r u n d S ta c k in g p ro b le m e S a tz v o n S a v ic h , s p e z ie ll: N P S P A C E = D P S P A C E S to c h a s ti c P ro g ra m m in g Q u a n ti fi z ie rt e L in e a re P ro g ra m m e

(8)

Ü b e rs ic h t I E in fü h ru n g i n K o m p le x it ä ts th e o ri e

–Unentscheidbarkeit Welche Probleme können mit einem Algorithmus gelöst werden? Was ist überhaupt ein “Algorithmus”, was ist ein “Problem”? –verschiedene Maschinenmodelle und formale Sprachen –Algorithmen, Komplexitätsklassen P, NP, PSPACE –Reduktionstechnik

(9)

Ü b e rs ic h t D a s D y n a m ic G ra p h R e lia b ili ty P ro b le m g e g .: e in D A G ( g e ri c h te te r G ra p h o h n e K re is e ); R e g e ln , n a c h d e n e n K a n te n i m G ra p h e n a u s fa lle n ; S ta rt k n o te n , E n d k n o te n g e s .: G ib t e s e in e G e w in n s tr a te g ie , d ie e in e m W a lk e r im S ta rt k n o te n e rl a u b t, a n d e n E n d k n o te n z u g e la n g e n ?

st

(10)

Ü b e rs ic h t S c h a c h : L ö s u n g s a lg o ri th m e n u n d N ä h e ru n g s id e e n G o : U C T L ö s u n g s v e rf a h re n

top top

(11)

Ü b e rs ic h t S o k o b a n , R u s h h o u r u n d S ta c k in g p ro b le m e S a tz v o n S a v ic h , s p e z ie ll: N P S P A C E = D P S P A C E S to c h a s ti c P ro g ra m m in g Q u a n ti fi z ie rt e L in e a re P ro g ra m m e

Exit n(u,v)11

T(u,v) 21121ymax cy + Erw[Q(y;)] ∈η ()+

(s,v) 1 vy1 s∈δ=∑ ()

( )

()

( )

(,)

T(,)(,)(,) 1tt+11;:maxc + Erw[Q;]nuvtt

uvuvuv ttttttyQyyy −+∈ηω=ωη ()()()()()()+- (u,v)(u,v) tt-1 vyy0 uuv∈δω∈δω−=∑∑

s.t. mit s.t.

RIRI

(12)

E s f ä n g t g a n z h a rm lo s a n E in A lp h a b e t Σ b e s te h t a u s e in e r e n d lic h e n M e n g e v o n Z e ic h e n , z .B .

–Σ 1= {a,b,c} –Σ 2= {0,1} –Γ= {0,1,x,y,z}

E in e Z e ic h e n k e tt e ( S tr in g /W o rt ) is t e in e e n d lic h e F o lg e (T u p e l) v o n Z e ic h e n , z .B .

–w = abba Notation: w 1=a, w 2=b, w 3=b, w 4=a Die Länge eines Worts wird mit |w| beschrieben: |w| = 4

Σ * b e z e ic h n e t d ie M e n g e a lle r Z e ic h e n k e tt e n ü b e r A lp h a b e t Σ

–z.B.: “abba“∈{a,b}* –Die leere Zeichenkette wird mitεbezeichnet. Es gilt: |ε| = 0

E in e T e ilm e n g e v o n Σ * w ir d a ls S p ra c h e b e z e ic h n e t

(13)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n E in e S p ra c h e L ⊆ Σ * m u s s n u n i rg e n d w ie b e s c h ri e b e n w e rd e n .

–z.B. durch einenregulären Ausdruck: (0*10*) ∅ist ein regulärer Ausdruck. εist ein regulärer Ausdruck. ∀a i∈Σist a iein regulärer Ausdruck. Sindxundyreguläre Ausdrücke, so auch x∪y, (xy) undx*. Es gibt keine weiteren regulären Ausdrücke. –z.B. durch eineProblembeschreibung: Definition: EinEntscheidungsproblemist ein input-outputTupelmit geg.: Kodierung eines Inputs einer Instanz, mittels Alphabet ∑ ges.: ja/nein Die Teilmenge aller Inputs, für die die Antwort “ja” ist, ist offenbar eine Sprache

(14)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n D ie F ra g e , o b e in w ∈ Σ * e in W o rt a u s e in e r S p ra c h e L ⊆ Σ * is t, k a n n u n te rs c h ie d lic h s c h w ie ri g z u l ö s e n s e in

–Bsp. 1: In einem sehr einfachen Fall durch einen endlichen Automaten: 0*1 (1 | 0(0|1) )*

(15)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n F o rm a l is t e in d e te rm in is ti s c h e r e n d li c h e r A u to m a t (D E A ) e in 5 -T u p e l D e f: E in ( d e te rm in is ti s c h e r) e n d lic h e r A u to m a t ( D F A ) is t e in 5 -T u p e l ( Q ,Σ , δ , q

0

, F ), w o b e i Q e in e e n d lic h e M e n g e v o n Z u s tä n d e n i s t, Σ e in e n d lic h e s A lp h a b e t δ : Q × Σ → Q d ie Ü b e rg a n g s fu n k ti o n , q

0

d e r S ta rt z u s ta n d u n d F ⊆ Q d ie M e n g e a k z e p ti e re n d e r E n d z u s tä n d e .

(16)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n

r 2r 1q 2q 1sδ r 1r 1q 2q 2r 1b

r 2r 2q 1q 1q 1a

s

q 1r 1 q 2r 2

b a

a a a a

b b b

b

A : = ( Q , ∑ , δ , q

0

, F ), Q : = { s , q

1

, q

2

, r

1

, r

2

}, ∑ := { a ,b }, F : = { q

1

,q

2

} q

0

= s L (A ) = { w

1

w

2

.. . w

n

: w

i

∈ {a ,b }, w

1

= w

n

}

(17)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n

Formal ist ein nichtdeterministischer endlicher Automat (NEA) (ohne ε-Übergänge) ein 5-Tupel Def:Ein (nichtdeterministischer) endlicher Automat (NFA) ist ein 5-Tupel (Q,Σ,δ,q 0,F), wobei Qeine endliche Menge von Zuständen ist, Σein endliches Alphabet δ: Q×Σ→2Q die Übergangsfunktion, q 0der Startzustand und F⊆Qdie Menge akzeptierender Endzustände. q 0q 3q 1

1 0 ,1 0

q 2

0 ,1 0

0 1 q

0

{q

0

,q

1

} {q

0

} q

1

- {q

2

} q

2

{q

3

} - q

3

{q

3

} {q

3

}

Bsp.:

(18)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n

Satz: Sei N ein NFA und L = L(N). Dann gibt es einen DFA A mit L(A) = L Beweis: Sei N = (Q,∑,δ,q 0,F). Die folgende Konstruktion heißt auch “Potenzmengenkonstruktion”. Um A = (Q’,∑,δ‘,q’ 0,F’) zu definieren setzen wir: Q’= 2Q q’ 0= {q 0} F’= {R∈Q’| R ∩F ≠{} } δ‘(R,a) =

∪

δ(r,a) = {q∈Q | es gibt ein r∈R mit q∈δ(r,a)} Dann gilt: w∈L(N) ⇔δ(q 0,w) ∩F≠{} ⇔δ(q‘ 0,w) ∈F‘ ⇔w∈L(A) Hierbei bedeutet δ(q,w), dass die Übergangsfunktionδmehrfach auf das Wort w angwendet wird, Buchstabe für Buchstabe und startend bei Zustand q.

r∈R

(19)

S p ra c h b e s c h re ib u n g e n u n d M a s c h in e n D ie F ra g e , o b e in w ∈ Σ * e in W o rt a u s e in e r S p ra c h e L ⊆ Σ * is t, k a n n u n te rs c h ie d lic h s c h w ie ri g z u l ö s e n s e in

–Bsp 2.: In einem sehr komplizierten Fall ist sie nicht entscheidbar: geg: Codierung einer Random Access Machine (RAM, das entspricht in etwa einem herkömmlicher Computer mit unendlich viel Speicher), sowie ein w∈Σ* Frage: Hält die RAM bei Eingabe w? “nicht entscheidbar”heisst: es gibt keinen Algorithmus, der alle Instanzen das Problem lösen kann. (faszinierende Nebeneffekte, Busy Beaver)

(20)

R a n d o m A c c e s s M a s c h in e n P ro g ra m m E in g a b e e ∈ {0 ,1 }* B e fe h ls - A k k u m u la to r z ä h le r

b c (0 ) A u s g a b e a ∈ {0 ,1 }*

c (1 ) c (2 ) c (4 ) c (3 ) .. .

(21)

R a n d o m A c c e s s M a s c h in e n E in /A u s g a b e re a d c (0 ) := h e a d (e ); e : = e \ h e a d (e ); b : = b + 1 ; fa lls | e | > 0 c (0 ) := E O F ; b : = b + 1 ; s o n s t w ri te a : = a c (0 ); b : = b + 1 ; A ri th m e ti k a d d x c (0 ) := c (0 ) + c (x ); b : = b + 1 ; s u b x c (0 ) := c (0 ) – c (x ); b : = b + 1 ; fa lls c (x ) < c (0 ) c (0 ) := 0 ; b : = b + 1 ; s o n s t c a d d x c (0 ) := c (0 ) + x ; b : = b + 1 ; c s u b x a n a lo g : O p e ra ti o n m it K o n s ta n te c

(22)

R a n d o m A c c e s s M a s c h in e n S p rü n g e g o to j b : = j; if (c (0 ) R i ) th e n g o to j; b : = , R ∈ {< ,> ,= ,≤ ,≥ } e n d P ro g ra m m h ä lt S p e ic h e rz u g ri ff e d ir e k t lo a d x c (0 ) := c (x ); b : = b + 1 ; s to re x c (i ) := c (0 ); b : = b + 1 ; in d ir e k t ilo a d x c (0 ) := c (c (x )) ; b : = b + 1 ; is to re x c (c (i )) : = c (0 ); b : = b + 1 ;

j fa lls c (0 ) R i b + 1 s o n s t

(23)

T u ri n g m a s c h in e n F o rm a l is t e in e ( 1 -B a n d ) T u ri n g m a s c h in e e in 6 -T u p e l D e f: E in e ( d e te rm in is ti s c h e r 1 -B a n d ) T u ri n g m a s c h in e i s t e in 6 -T u p e l ( Q ,Σ ,Γ , δ , q

0

, F ), w o b e i Q e in e e n d lic h e M e n g e v o n Z u s tä n d e n i s t, Σ e in e n d lic h e s A lp h a b e t Γ := Σ ⋃ {B }, B d a s s o g e n a n n te B la n k -S y m b o l δ : Q × Γ → Q × Γ × {R ,N ,L } d ie ( p a rt ie lle ) Ü b e rg a n g s fu n k ti o n , q

0

d e r S ta rt z u s ta n d u n d F ⊆ Q d ie M e n g e a k z e p ti e re n d e r E n d z u s tä n d e .

(24)

T u ri n g m a s c h in e n 0 1 0 B B B B A k tu e lle r Z u s ta n d E W e it e r Z u s tä n d e : {A ,B ,C ,D ,F } E n d z u s ta n d : {F } Z u s ta n d s ü b e rg a n g s ta b e lle δ

„S c h re ib /L e s e K o p f“ „P ro g ra m m “: F a lls d ie T u ri n g m a s c h in e i m Z u s ta n d q is t u n d d a s Z e ic h e n a lie s t, d a n n g e h e i n d e n Z u s ta n d q ‘ , ü b e rs c h re ib e a d u rc h a ‘ , u n d b e w e g e d e n K o p f n a c h r e c h ts , lin k s o d e r g a r n ic h t. S c h re ib w e is e : δ ( q , a ) = ( q ‘ , a ‘ , R )

(25)

T u ri n g m a s c h in e n E in e M e h rb a n d - T u ri n g m a s c h in e i s t e in 6 -T u p e l D e f: E in e ( d e te rm in is ti s c h e r 1 -B a n d ) T u ri n g m a s c h in e i s t e in 6 -T u p e l ( Q ,Σ ,Γ , δ , q

0

, F ), w o b e i Q e in e e n d lic h e M e n g e v o n Z u s tä n d e n i s t, Σ e in e n d lic h e s A lp h a b e t Γ := Σ ⋃ {B }, B d a s s o g e n a n n te B la n k -S y m b o l δ : Q × Γ

k

→ Q × Γ

k

× {R ,N ,L }

k

d ie ( p a rt ie lle ) Ü b e rg a n g s fu n k ti o n , q

0

d e r S ta rt z u s ta n d u n d F ⊆ Q d ie M e n g e a k z e p ti e re n d e r E n d z u s tä n d e .

(26)

T u ri n g m a s c h in e n C h u rc h -T u ri n g H y p o th e s e : D ie v o n j e g lic h e r M a s c h in e b e re c h e n b a re n F u n k ti o n e n s in d g e n a u d ie , d ie v o n T u ri n g m a s c h in e n b e re c h e n b a r s in d .

T h e o re m 1 : R A M u n d T u ri n g m a s c h in e k ö n n e n s ic h g e g e n s e it ig s im u lie re n . T h e o re m 2 :

(27)

T u ri n g m a s c h in e n D e f. : Z e it - u n d P la tz k o m p le x it ä t S e i M e in e d e te rm is ti s c h e T u ri n g m a s c h in e ( D T M ), d ie f ü r je d e E in g a b e h ä lt . Z e it k o m p le x it ä t : T

M

(x ) := # S c h ri tt e , d ie M m it E in g a b e x a u s fü h rt . P la tz k o m p le x it ä t : S

M

(x ) := # v e rs c h ie d e n e r S p e ic h e rz e lle n , d ie d e r K o p f v o n M b e i E in g a b e x b e s u c h t. T

M

(n ) = m a x {T

M

(x ) | x ∈ ∑

≤n

} S e ie n t ,s : ℕ → ℕ A b b ild u n g e n . D a n n i s t M t( n )- z e it b e s c h rä n k t u n d s (n )- p la tz b e s c h rä n k t, f a lls T

M

(n ) ≤ t( n ) u n d S

M

(n ) ≤ s (n ) fü r a lle n ∈ ℕ .

(28)

T u ri n g m a s c h in e n

Wir sagen: „asympototisch wächst f nicht stärker als g“, genau dann, wenn ∃k > 0, n 0> 0∀n > n 0: f(n) ≤k*g(n) Man schreibt zudem auchf(n) ∈O(g(n)), d.h. f(n) ∈{ h: ℕ→ℕ| ∃k > 0, n 0> 0∀n > n 0: f(n) ≤k*g(n) }

S a tz : J e d e t (n )- z e it , u n d s (n )- p la tz b e s c h rä n k te k -B a n d -D T M k a n n d u rc h e in e O (t (n )* s (n )) z e it - u n d O (s (n )) p la tz b e s c h rä n k te 1 -B a n d D T M s im u lie rt w e rd e n . S a tz : J e d e t (n )- z e it b e s c h rä n k te R A M k a n n d u rc h e in e O (t (n )

3

) z e it b e - s c h rä n k te D T M s im u lie rt w e rd e n . (o h n e Be w e is )

(29)

T u ri n g m a s c h in e n E in e T u ri n g m a s c h in e h e iß t Z ä h le r, w e n n s ie , g e s ta rt e t m it b in (p ), p ∈ ℕ , b in (p -1 ), b in (p -2 ), .. .b in (1 ), b in (0 ) h in te re in a n d e r, i m m e r a u f d e m g le ic h e n B a n d b e re ic h e rz e u g t u n d d a n n s to p p t. S e i n = | b in (p ) | d ie L ä n g e d e r B in ä rd a rs te llu n g v o n p . S a tz : E s g ib t e in e n O (n ) p la tz - u n d O (2

n

) z e it b e s c h rä n k te n Z ä h le r. B e w e is : g e m e in s a m i n Ü b u n g

(30)

T u ri n g m a s c h in e n E in g a b e b in (p ) = x

n-1

.. .x

0

s = p ; w h ile s < > 0 d o B e re c h n e b in (s -1 ) a u s b in (s ) w ie f o lg t: • g e h e z u m r e c h te n R a n d d e r E in g a b e • s o la n g e e in e 0 g e le s e n w ir d , ü b e rs c h re ib e s ie m it e in e r 1 u n d g e h e n a c h l in k s . S o b a ld e in e 1 g e le s e n w ir d e rs e tz e d ie s e d u rc h e in e 0 . • g e h e m it d e m K o p f e in e S te lle w e it e r n a c h l in k s . F a lls e in B g e le s e n w ir d , g e h e n a c h r e c h ts , e rs e tz e d ie 0 d u rc h e in B u n d g e h e a n d e n r e c h te n R a n d . S o n s t g e h e , o h n e e in Z e ic h e n z u ä n d e rn , a n d e n r e c h te n R a n d . • s = s -1 ;

(31)

T u ri n g m a s c h in e n B e is p ie l: E in e 1 v o n 1 0 1 1 0 0 0 s u b tr a h ie re n B 1 0 1 1 0 0 0 B B 1 0 1 1 0 0 1 B B 1 0 1 1 0 1 1 B B 1 0 1 1 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B B 1 0 1 0 1 1 1 B 1 0 S c h ri tt e b z w , w e n n a N u lle n r e c h ts s te h e n : 2 a + 4 S c h ri tt e

• g e h e z u m r e c h te n R a n d d e r E in g a b e • s o la n g e e in e 0 g e le s e n w ir d , ü b e rs c h re ib e s ie m it e in e r 1 u n d g e h e n a c h l in k s . S o b a ld e in e 1 g e le s e n w ir d e rs e tz e d ie s e d u rc h e in e 0 .

(32)

T u ri n g m a s c h in e n δ (q

0

,0 ) = ( q

0

,B ,R ) δ (q

0

,B ) = ( q

f

,B ,N ) δ (q

0

,1 ) = ( q

1

,1 ,R ) δ (q

1

,0 ) = ( q

1

,0 ,R ) δ (q

1

,1 ) = ( q

1

,1 ,R ) δ (q

1

,B ) = ( q

2

,B ,L ) δ (q

2

,0 ) = ( q

2

,1 ,L ) δ (q

2

,1 ) = ( q

3

,0 ,L ) δ (q

3

,B ) = ( q

0

,B ,R ) δ (q

3

,0 ) = ( q

1

,0 ,R ) δ (q

3

,1 ) = ( q

1

,1 ,R )

e rs e tz e f ü h re n d e N u lle n d u c h B s fa lls n u r N u lle n : fe rt ig s o n s t: g e h e a n d e n r e c h te n R a n d d e r E in g a b e , u n d d a n n v o r d a s l e tz te B s o la n g e e in e 0 g e le s e n w ir d , w ir d 1 g e s c h ri e b e n w e n n e in e 1 g e le s e n w ir d , w ir d 0 g e s c h ri e b e n u n d . .. fa lls d o rt e in B s te h t, p rü fe , o b f e rt ig . s o n s t g e h e z u m r e c h te n R a n d

(33)

T u ri n g m a s c h in e n B e a c h te : m it n = | b in (p ) | g ilt : 2

n-1

≤ p < 2

n

, b z w . n -1 ≤ lo g (p ) < n S

M

(n ) = n + 2 = O (n ) 1 x d e k re m e n ti e re n : fa lls r e c h ts a N u lle n s te h e n , ≤ 2 a + 4 S c h ri tt e -> p -m a l d e k re m e n ti e re n b e i Z e it h ö c h s te n s 2 n + 4 A ls o : T

M

(n ) = O (n 2

n

) F ra g e : d a u e rt d a s w ir k lic h s o l a n g e ? A n tw o rt : n e in , d e n n d ie m e is te n D e k re m e n ts s in d v ie l s c h n e lle r.

(34)

T u ri n g m a s c h in e n In 5 0 % a lle r F ä lle ( b e im r u n te rz ä h le n ) s te h t e in e 1 a m S c h lu ß . D .h . a = 0 In 2 5 % a lle r F ä lle s te h t e in e 1 0 a m S c h lu ß . D .h . a = 1 In 1 2 ,5 % a lle r F ä lle s te h t e in e 1 0 0 a m S c h lu ß . D .h . a = 2 In 6 ,2 5 % a lle r F ä lle s te h t e in e 1 0 0 0 a m S c h lu ß . D .h . a = 3 .. .. .. . Im D u rc h s c h n it t s in d d a s n ic h t m e h r a ls ∑

a≥0

(2 a + 4 )* 2

-a-1

= ∑

a≥0

2 a *2

-a-1

+ 4 *2

-a-1

v ie le S c h ri tt e . = ∑

a≥0

a *2

-a-1

+ ∑

a≥0

2

-a+1

= 2 + 4 A ls o e in D e k re m e n t in d u rc h s c h n it tl ic h 6 S c h ri tt e n . L a u fz e it O (2

n

)

(35)

T u ri n g m a s c h in e n D e f. : E in e S p ra c h e L h e iß t e n ts c h e id b a r , w e n n e s e in e T u ri n g m a s c h in e g ib t, d ie z u je d e r E in g a b e w ∈ ∑ * n a c h e n d lic h e r Z e it a n h ä lt , u n d g e n a u d a n n i n e in e m a k z e p ti e re n d e n Z u s ta n d e n d e t, w e n n w ∈ L g ilt . E in e S p ra c h e L h e iß t s e m i- e n ts c h e id b a r , w e n n e s e in e T u ri n g m a s c h in e g ib t, d ie z u je d e r E in g a b e w ∈ L n a c h e n d lic h e r Z e it i n e in e m a k z e p ti e re n d e n E n d z u s ta n d a n h ä lt . E in e F u n k ti o n f h e iß t b e re c h e n b a r , w e n n e s e in e T u ri n g m a s c h in e g ib t, d ie f ü r a lle E in g a b e n x , d ie a u s d e m D e fi n it io n s b e re ic h v o n f s ta m m e n n a c h e n d lic h v ie le n S c h ri tt e n a n h ä lt u n d f (x ) a u f d a s B a n d s c h re ib t.

(36)

U n e n d s c h e id b a rk e it G ib t e s u n e n d s c h e id b a re S p ra c h e n ? J a , d e n n e s g ib t n u r a b z ä h lb a r u n e n d lic h v ie le T u ri n g m a s c h in e n , a b e r ü b e ra b z ä h lb a r v ie le S p ra c h e n L ⊆ {0 ,1 }* B e g rü n d u n g m it H ilf e d e s C a n to r‘ s c h e n D ia g o n a lis ie ru n g s v e rf a h re n s :

M 1M 2M 3M 4... 0n j j n 1n n n j 01 j j j n ... x i Eintrag (M i,x k)=„j“bedeutet, dass x kaus der Sprache L(M i) ist. Sei nun L die Sprache, die genau aus den Wörtern besteht, bei denen beim Eintrag (M i,x i) „n“steht. L gehört zu keiner der aufgeführten TMs.

(37)

B e re c h e n b a rk e it G ib t e s F u n k ti o n e n , d ie n ic h t v o n e in e r T u ri n g m a s c h in e b e re c h n e t w e rd e n k ö n n e n ? J a . D ie B u s y -B e a v e r F u n k ti o n ∑ (n ) is t d e fi n ie rt a ls d ie A n z a h l d e r E in s e n , d ie e in e C h a m p io n -T u ri n g m a s c h in e a u f e in z u B e g in n l e e re s B a n d a u s g ib t, w o b e i n d ie A n z a h l d e r e rl a u b te n Z u s tä n d e d a rs te llt . D ie T M m u s s i rg e n d w a n n h a lt e n . W ir g e h e n w e it e rh in d a v o n a u s , d a s s d ie s e E in s e n a lle z u s a m m e n h ä n g e n d s e in m ü s s e n . B e w e is :

(38)

B e re c h e n b a rk e it A n n a h m e : D ie B u s y -B e a v e r F u n k ti o n ∑ (n ) is t b e re c h n b a r, u n d E V A L ∑ is t d ie T M , d ie ∑ (n ) b e re c h n e t. B e i e in e r E in g a b e v o n n E in s e n s c h re ib t s ie ∑ (n ) E in s e n a u f d a s B a n d u n d h ä lt d a n n a n . Im f o lg e n d e n d e fi n ie re n w ir 4 H ilf s -T M s . S e i IN C e in e T M , d ie b is z u m e rs te n B n a c h r e c h ts l ä u ft , d o rt e in e 1 s c h re ib t u n d d a n n h ä lt . D O U B L E s e in e in e a n d e re T M , d ie d ie A n z a h l E in s e n , d ie s ic h a u f d e m B a n d b e fi n d e n v e rd o p p e lt . D O U B L E b e re c h n e t a ls o z u E in g a b e n n + n . W ir b ild e n n u n e in e n e u e T M : D O U B L E | E V A L ∑ | IN C D ie A n z a h l d e r Z u s tä n d e d ie s e r M a s c h in e s e i n

0

(39)

B e re c h e n b a rk e it S e i C R E A T E _ n

0

e in e w e it e re T M , w e lc h e n

0

E in s e n a u f e in l e e re s B a n d s c h re ib t. D ie s e T M g ib t e s , tr iv ia le rw e is e e in e m it n

0

v ie le n Z u s tä n d e n . S e i n u n N : = n

0

+ n

0

D a s F in a le : S e i B A D ∑ fo lg e n d e T M : C R E A T E _ n

0

| D O U B L E | E V A L ∑ (N ) | IN C n

0

n

0

D ie s e M a s c h in e h a t N Z u s tä n d e . S ie s ta rt e t a u f le e re m B a n d , s c h re ib t n

0

E in s e n , v e rd o p p e lt d ie s e , b e re c h n e t ∑ (N ) u n d s c h re ib t e in e w e it e re 1 . B A D ∑ h a t a ls o e in e 1 m e h r a ls ∑ (N ) g e s c h ri e b e n ! E s f o lg t, d a s s d ie A n n a h m e f a ls c h w a r.

(40)

B u s y B e a v e r In te re s s a n te rw e is e s in d e in ig e B u s y -B e a v e rw e rt e b e k a n n t. Z .B . fü r T M s m it 2 S y m b o le n : # Z u s tä n d e A n z a h l E in s e n d e s S ie g e rs 1 1 2 4 3 6 4 1 3 5 > = 4 0 9 8 6 > = 9 5 .5 2 4 .0 7 9

(41)

S c h ö n h e it i n d e r M a th e m a ti k :

(nach Prof. Hesse, Universität Stuttgart Fakultät für Mathematik und Physik, Dresden 2008)

B e is p ie l: T u rn ie rp ro b le m T e n n is tu rn ie r m it 1 2 8 S p ie le rn n a c h K .O .- S y s te m . W ie v ie le B e g e g n u n g e n w e rd e n a u s g e tr a g e n ?

P rä z is io n K la rh e it E le g a n z B e is p ie l: T u rn ie rp ro b le m T e n n is tu rn ie r m it 1 2 8 S p ie le rn n a c h K .O .- S y s te m . W ie v ie le B e g e g n u n g e n w e rd e n a u s g e tr a g e n ?

(42)

T u rn ie rv e rl a u f B e is p ie l: T u rn ie rp ro b le m T e n n is tu rn ie r m it 1 2 8 S p ie le rn n a c h K .O .- S y s te m . W ie v ie le B e g e g n u n g e n w e rd e n a u s g e tr a g e n ?