Dozentin:WiebkePetersen2.Foliensatz EinführungindieComputerlinguistikformaleSprachen

(1)

Modellierung Mengen Formale Sprachen

Einführung in die Computerlinguistik formale Sprachen

Dozentin: Wiebke Petersen

2. Foliensatz

(2)

Wiebke Petersen Einführung CL 2

(3)

(4)

(5)

Modell

künstlich geschaen materiell oder immateriell vereinfachtes Abbild zweckgerichtet Abstraktion Repräsentation

Modellierungsannahmen

Modellierung

EinSubjektentwirft zu einemOrginalein Modellzu einem bestimmtenZweck. Stachowiak:

Abbildsmerkmal Vereinfachungsmerkmal Pragmatisches Merkmal

(6)

Modell

künstlich geschaen materiell oder immateriell vereinfachtes Abbild zweckgerichtet Abstraktion Repräsentation

Modellierungsannahmen

Modellierung

EinSubjektentwirft zu einemOrginalein Modellzu einem bestimmtenZweck.

Stachowiak:

Abbildsmerkmal Vereinfachungsmerkmal Pragmatisches Merkmal

(7)

Modellierung natürlicher Sprachen

Formale Sprachen

Formale Sprachen sind Mengen vonWörtern(entspricht in natürlichen Sprachen denSätzen), die ihrerseits ausZeichen/Symbolen(in natürlichen Sprachen Wörtern) aufgebaut sind. Was in der Menge ist, ist ein grammatisch korrektes Wort, alles andere nicht.

Für strukturierte formale Sprachen lassen sich endliche Mengen von Regeln/Grammatiken angeben, die diese beschreiben.

Sprachmodell

Formale Sprachen dienen als Modell für natürliche Sprachen.

Wir gehen davon aus, daÿ alle natürlichen Sprachen durch endlich viele Regeln beschreibbar sind, da wir sie ansonsten nicht sprechen / verstehen könnten. Welche Modellannahmen werden hier implizit gemacht?

(8)

Modellierung natürlicher Sprachen

Formale Sprachen

Sprachmodell

(9)

Modellierung natürlicher Sprachen

Formale Sprachen

Sprachmodell

(10)

Modellierung natürlicher Sprachen

Formale Sprachen

Sprachmodell

Wir gehen davon aus, daÿ alle natürlichen Sprachen durch endlich viele Regeln beschreibbar sind, da wir sie ansonsten nicht sprechen / verstehen könnten.

Welche Modellannahmen werden hier implizit gemacht?

(11)

Modellierung natürlicher Sprachen

Formale Sprachen

Sprachmodell

Wir gehen davon aus, daÿ alle natürlichen Sprachen durch endlich viele Regeln beschreibbar sind, da wir sie ansonsten nicht sprechen / verstehen könnten.

Welche Modellannahmen werden hier implizit gemacht?

(12)

Mengen

Georg Cantor (1845-1918) Eine Mengeist eine

Zusammenfassung beliebiger Objekte, genannt Elemente, zu einer Gesamtheit, wobei keines der Objekte die Menge selbst sein darf.

Zwei Mengen sindgleich, g.d.w. sie die gleichen Elemente enthalten.

Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge ∅.

(13)

Mengenbeschreibungen

explizite Mengendarstellung {a1,a2, . . . ,an}ist die Menge, die genau die Elemente a1,a2, . . . ,an enthält.

Beispiel: {2,3,4,5,6,7}

implizite Mengendarstellung {x|A}ist die Menge, die genau die Objekte x enthält, auf die die Aussage A zutrit.

Beispiel: {x|x∈Nund x<8 und 1<x }, {x|x ∈Nund x ist eine gerade Zahl }

(14)

Mengenbeschreibungen

explizite Mengendarstellung {a1,a2, . . . ,an}ist die Menge, die genau die Elemente a1,a2, . . . ,an enthält.

Beispiel: {2,3,4,5,6,7}

implizite Mengendarstellung {x|A}ist die Menge, die genau die Objekte x enthält, auf die die Aussage A zutrit.

Beispiel: {x|x∈Nund x<8 und 1<x }, {x|x ∈Nund x ist eine gerade Zahl }

(15)

Teilmengen

Eine Menge N ist eineTeilmengeder Menge M genau dann, wenn alle Elemente von N auch Elemente von M sind.

Eine Menge N ist eineechte Teilmengeder Menge M genau dann, wenn N eine Teilmenge von M ist und wenn M und N ungleich sind.

Notation

x ∈M: x ist einElementder Menge M (2∈ {1,2,3}, 26∈ {1,3,5}) N⊆M: die Menge N ist eineTeilmengeder Menge M

({2,3} ⊆ {1,2,3,4})

Hinweise: Die leere Menge ist eine Teilmenge jeder Menge (∅ ⊆ {1,2,3,4})

N⊂M: die Menge N ist eineechte Teilmengeder Menge M ({1,2} ⊆ {1,2}aber{1,2} 6⊂ {1,2}, Bsp. {1} ⊂ {1,2,})

(16)

Mengenoperationen

Schnitt: A∩B

Vereinigung: A∪B

Dierenz: A\B

Komplement (in U): CU(A)

Wenn U feststeht, dann auchA¯

(17)

Mengenoperationen

Schnitt: A∩B

Vereinigung: A∪B

Dierenz: A\B

(18)

Mengenoperationen

Schnitt: A∩B

Vereinigung: A∪B

Dierenz: A\B

(19)

Mengenoperationen

Schnitt: A∩B

Vereinigung: A∪B

Dierenz: A\B

(20)

Eigenschaften der Mengeoperationen

Kommutativgesetz: A∩B=B∩A,

A∪B=B∪A. Assoziativgesetz: (A∩B)∩C =A∩(B∩C),

(A∪B)∪C =A∪(B∪C).

Distributivgesetz: (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C),

(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)(welche weiteren Distributivgesetze gelten?).

de Morgan: C_U(A∩B) =C_U(A)∪C_U(B), C_U(A∪B) =C_U(A)∩C_U(B).

(21)

Eigenschaften der Mengeoperationen

Kommutativgesetz: A∩B=B∩A, A∪B=B∪A.

Assoziativgesetz: (A∩B)∩C =A∩(B∩C), (A∪B)∪C =A∪(B∪C).

(22)

Eigenschaften der Mengeoperationen

Assoziativgesetz: (A∩B)∩C =A∩(B∩C),

(A∪B)∪C =A∪(B∪C).

(23)

Eigenschaften der Mengeoperationen

(24)

Eigenschaften der Mengeoperationen

(25)

Eigenschaften der Mengeoperationen

de Morgan: C_U(A∩B) =C_U(A)∪C_U(B),

C_U(A∪B) =C_U(A)∩C_U(B).

(26)

Eigenschaften der Mengeoperationen

(27)

Potenzmenge

DiePotenzmenge einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M, also POT(M) ={N|N ⊆M}.

Für endliche Mengen gilt: ist M eine n-elementige Menge, so ist POT(M) eine 2ⁿ-elementige Menge.

{1 2 3} {1 2 } {1 3} { 2 3}

{1 }

{ 2 }

{ 3}

{ }

(28)

Potenzmenge

DiePotenzmenge einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M, also POT(M) ={N|N ⊆M}.

Für endliche Mengen gilt: ist M eine n-elementige Menge, so ist POT(M) eine 2ⁿ-elementige Menge.

{1 2 3} {1 2 } {1 3} { 2 3}

{1 }

{ 2 }

{ 3}

{ }

(29)

Alphabete und Wörter

Denition

AlphabetΣ: nichtleere endliche Menge vonSymbolen / Zeichen.

Wort: eine endliche Kette/Folge x₁. . .x_n von Symbolen/Zeichen eines Alphabets (n≥0). Das Wort, das aus null Zeichen besteht heiÿtleeres Wortund wird mit εbezeichnet.

Die Menge aller Wörter über einem AlphabetΣbezeichnen wir mitΣ^∗.

Σ⁺ = Σ^∗\ {ε} ist die Menge der nichtleeren Wörter.

Längeeines Wortes|w|: Gesamtzahl der Zeichen eines Wortes w (|abbaca|=6,|ε|=0)

(30)

Alphabete und Wörter

Denition

AlphabetΣ: nichtleere endliche Menge vonSymbolen / Zeichen.

Wort: eine endliche Kette/Folge x₁. . .x_n von Symbolen/Zeichen eines Alphabets (n≥0). Das Wort, das aus null Zeichen besteht heiÿtleeres Wortund wird mit εbezeichnet.

Die Menge aller Wörter über einem AlphabetΣbezeichnen wir mitΣ^∗.

Σ⁺ = Σ^∗\ {ε} ist die Menge der nichtleeren Wörter.

Längeeines Wortes|w|: Gesamtzahl der Zeichen eines Wortes w (|abbaca|=6,|ε|=0)

(31)

Leersymbol, leeres Wort und leere Menge

Vorsicht Verwechslungsgefahr!

Das Leersymbol xyist ein Zeichen des Alphabets, also auch ein Wort der Länge 1.

Das leere Wort εist ein Wort der Länge 0. Die leere Menge ∅ ist eine Menge.

(32)

Leersymbol, leeres Wort und leere Menge

Das leere Wort εist ein Wort der Länge 0.

Die leere Menge ∅ ist eine Menge.

(33)

Leersymbol, leeres Wort und leere Menge

Das leere Wort εist ein Wort der Länge 0.

Die leere Menge ∅ ist eine Menge.

(34)

Übung: Alphabete und Wörter

SeiΣ ={a,b,c} ein Alphabet:

Gib ein Wort der Länge 4 überΣ an.

Welche der folgenden Ausdrücke sind Wörter überΣ und welche Länge haben sie:

`aa', `caab', `da'

Was ist der Unterschied zwischenΣ^∗,Σ⁺ und Σ?

Wieviele Elemente habenΣ^∗ und Σ⁺?

(35)

Operationen auf Wörtern

Denition

Verkettung / Konkatenation Die Konkatenation / Verkettungzweier Wörter u=a1a2. . .an und v =b1b2. . .bm mit n,m≥0 ist

u◦v =a1. . .anb1. . .bm

Häug schreiben wir uv statt u◦v.

w ◦ε=ε◦w =w Neutrales Element u◦(v ◦w) = (u◦v)◦w Assoziativität

(36)

Operationen auf Wörtern

Denition

Verkettung / Konkatenation Die Konkatenation / Verkettungzweier Wörter u=a1a2. . .an und v =b1b2. . .bm mit n,m≥0 ist

u◦v =a1. . .anb1. . .bm

Häug schreiben wir uv statt u◦v.

w ◦ε=ε◦w =w Neutrales Element u◦(v ◦w) = (u◦v)◦w Assoziativität

(37)

Operationen auf Wörtern

Exponenten

wⁿ: w wird n-mal mit sich selbst verkettet.

w⁰ =ε: w wird `0-mal' mit sich selbst verkettet.

Umkehrung

DieUmkehrung eines Wortes w wird mit w^R bezeichnet. (abcd)^R =dcba.

Ein Wort w, für das w =w^R gilt, heiÿtPalindrom. (madam, reliefpfeiler, otto, anna,. . . )

(38)

Operationen auf Wörtern

Exponenten

wⁿ: w wird n-mal mit sich selbst verkettet.

w⁰ =ε: w wird `0-mal' mit sich selbst verkettet.

Umkehrung

DieUmkehrung eines Wortes w wird mit w^R bezeichnet.

(abcd)^R =dcba.

Ein Wort w, für das w =w^R gilt, heiÿtPalindrom.

(madam, reliefpfeiler, otto, anna,. . . )

(39)

Übung: Operationen auf Wörtern

Seien w =aabc und v =bcc Wörter, berechne:

w◦v

((w^R ◦v)^R)² w◦(v^R ◦w³)⁰

(40)

Formale Sprache

Denition

Eineformale Sprache L ist eine Menge von Wörtern über einem AlphabetΣ, also L⊆Σ^∗.

Beispiele:

Sprache L_rom der gültigen römischen Zahldarstellungen über dem AlphabetΣ_rom={I,V,X,L,C,D,M}.

Sprache L_Mors der Buchstaben des lateinischen Alphabets dargestellt im Morsecode. L_Mors ={·−,− · ··, . . . ,− − ··} Sprache L_pal der Palindrome im deutschen Duden

L_pal ={Madam, reliefpfeiler, . . .} Leere Menge

Menge der Wörter der Länge 13 über dem Alphabet{a,b,c} Sprache der syntaktisch wohlgeformten Java-Programme Deutsch?

(41)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Sprache L_rom der gültigen römischen Zahldarstellungen über dem Alphabet

Σ_rom={I,V,X,L,C,D,M}.

(42)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

(43)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Sprache L_Mors der Buchstaben des lateinischen Alphabets dargestellt im Morsecode.

L_Mors ={·−,− · ··, . . . ,− − ··} Sprache L_pal der Palindrome im deutschen Duden

(44)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Sprache L_Mors der Buchstaben des lateinischen Alphabets dargestellt im Morsecode. L_Mors ={·−,− · ··, . . . ,− − ··}

Sprache L_pal der Palindrome im deutschen Duden L_pal ={Madam, reliefpfeiler, . . .}

Leere Menge

(45)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Leere Menge

(46)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Leere Menge

(47)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Leere Menge

Menge der Wörter der Länge 13 über dem Alphabet{a,b,c}

Sprache der syntaktisch wohlgeformten Java-Programme Deutsch?

(48)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Leere Menge

Menge der Wörter der Länge 13 über dem Alphabet{a,b,c} Sprache der syntaktisch wohlgeformten Java-Programme

Deutsch?

(49)

Formale Sprache

Denition

Beispiele:

Leere Menge

(50)

Operationen auf Sprachen

Seien L⊆Σ^∗ und K ⊆Σ^∗ zwei Sprachen über dem AlphabetΣ, dann entstehen durch die Verknüpfung mit Mengenoperatoren neue

Sprachen überΣ:

K ∪L, K ∩L, K \L

Die Verkettung von Wörtern kann ausgedehnt werden auf die Verkettung von Sprachen:

K ◦L:={v ◦w ∈Σ^∗|v ∈K,w ∈L} Beispiel: Sei K ={abb,a} und L={bbb,ab}

K ◦L=

{abbbbb,abbab,abbb,aab} und L◦K ={bbbabb,bbba,ababb,aba} K ◦ ∅=∅

K ◦ {ε}=K

K² =K ◦K ={abbabb,abba,aabb,aa}

(51)

Operationen auf Sprachen

Sprachen überΣ:

K ∪L, K ∩L, K \L

K ◦L={abbbbb,abbab,abbb,aab}und L◦K =

{bbbabb,bbba,ababb,aba} K ◦ ∅=∅

K ◦ {ε}=K

(52)

Operationen auf Sprachen

Sprachen überΣ:

K ∪L, K ∩L, K \L

K ◦L={abbbbb,abbab,abbb,aab}und L◦K ={bbbabb,bbba,ababb,aba} K ◦ ∅=

∅ K ◦ {ε}=K

(53)

Operationen auf Sprachen

Sprachen überΣ:

K ∪L, K ∩L, K \L

K ◦L={abbbbb,abbab,abbb,aab}und L◦K ={bbbabb,bbba,ababb,aba} K ◦ ∅=∅

K ◦ {ε}=

K² =K ◦KK={abbabb,abba,aabb,aa}

(54)

Operationen auf Sprachen

Sprachen überΣ:

K ∪L, K ∩L, K \L

K ◦ {ε}=K K² =

K ◦K ={abbabb,abba,aabb,aa}

(55)

Operationen auf Sprachen

Sprachen überΣ:

K ∪L, K ∩L, K \L

K ◦ {ε}=K

(56)

Hausaufgaben

(für den BN: 2 aus 5)

Sei K ={aa,baa,ba}, L={bb,ba}

1 Geben sie die Sprachen L◦L, L◦K,{ε} ◦L, {ε} ◦ ∅und K◦ ∅ an.

2 Geben sie die Sprache L³ an.

3 Geben sie die Sprache L\K an.

4 Geben sie eine implizite Mengendarstellung der Sprache K◦K an.

5 Wie unterscheiden sich die Sprachen L^∗ und L⁺?

Dozentin:WiebkePetersen2.Foliensatz EinführungindieComputerlinguistikformaleSprachen

Einführung in die Computerlinguistik formale Sprachen

Modell

Modell

Modellierung natürlicher Sprachen

Modellierung natürlicher Sprachen

Modellierung natürlicher Sprachen

Modellierung natürlicher Sprachen

Modellierung natürlicher Sprachen

Mengen

Teilmengen

Mengenoperationen

Mengenoperationen

Mengenoperationen

Mengenoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Eigenschaften der Mengeoperationen

Potenzmenge

Potenzmenge

Alphabete und Wörter

Alphabete und Wörter

Leersymbol, leeres Wort und leere Menge

Leersymbol, leeres Wort und leere Menge

Leersymbol, leeres Wort und leere Menge

Übung: Alphabete und Wörter

Operationen auf Wörtern

Operationen auf Wörtern

Operationen auf Wörtern

Operationen auf Wörtern

Übung: Operationen auf Wörtern

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Formale Sprache

Operationen auf Sprachen

Operationen auf Sprachen

Operationen auf Sprachen

Operationen auf Sprachen

Operationen auf Sprachen

Operationen auf Sprachen

Hausaufgaben

(für den BN: 2 aus 5)

Dozentin:WiebkePetersen2.Foliensatz EinführungindieComputerlinguistikformaleSprachen