TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN
WS06/07Fakult¨at II – Institut f ¨ur Mathematik Dozent: Prof. Dr.F. Heß
WM: Dipl.-Math. M. Wagner
www.math.tu-berlin.de/˜hess/krypto-ws2006
13. ¨ Ubung Kryptographie
1. Aufgabe
Lineare Unabh¨angigkeit (4 Punkte) SeiΛein Gitter imRnundb1, . . . , bm ∈Λlinear unabh¨angig ¨uberZ. Zeige, daßb1, . . . , bmdann auch linear unabh¨angig ¨uberRsind. Beweise oder widerlege diese Aussage f¨ur den Fall, daßΛ nur einZ-Modul inRnist.2. Aufgabe
Fortsetzung von Basen (4 Punkte) Beweise die folgende Aussage: Sei Λein Gitter im Rn undb1, . . . , bm ∈ Λlinear unabh¨angig.Gilt(P
iQbi)∩Λ =P
iZbi, so l¨aßt sichb1, . . . , bm zu einer Basis vonΛvervollst¨andigen.
3. Aufgabe
Einheiten im NTRU-Ring (4 Punkte) Seien n, q ∈ Z>0 und R := (Z/qZ) [X]/(Xn −1). Ein Element f ∈ R schreiben wir als f = [f0, ..., fn−1]mitfi ∈ZqZ. Betrachte die VorschriftΦ :R−→(Z/qZ), [f0, ..., fn−1]7−→
Xn
i=0
fi.
Zeige, dassΦein wohldefinierter surjektiver Ringhomomorphismus ist und beweise oder wider- lege durch ein Gegenbeispiel folgende Aussage:f ∈R× ⇔Φ(f)∈(Z/qZ)×
4. Aufgabe
Praktische Aufgabe (8 Punkte) Implementieren Sie in KASH3 einen Algorithmus der f¨ur eine MatrixM ∈ Zn×m die Hermite- Normalform berechnet.1
