Verschiedene Themen vor dem zentralen Abitur in Mathe S IV

Verschiedene Themen

vor dem zentralen Abitur in Mathe S IV

2021

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Aufträge für die 5. KW

Die „Aufgabe III : Analytische Geometrie“ aus der Klausur hatte noch weitere Teile e ) und f ), die ich Ihnen nicht vorlegte: (hier kommt die komplette Aufgabe)

Aufgaben vom Typ e ) sind in den letzten Jahren sehr beliebt im zentralen Abitur.

Man muss einen kurzen „Fachaufsatz“ schreiben, ohne die numerische Berechnung durchzuführen.

Die Aufgabe f ) finde ich ausgesprochen unangenehm, da sie uns „überrascht“. Wir können zwar „sehr elegant“ den Abstand eines (bekannten) Punktes von einer

„bekannten“ Ebene berechnen. So etwas wird in den Modulen von uns erwartet; das haben wir auch gelernt. Aber hier müssen Sie zu einer bekannten Ebene Punkte außerhalb der Ebene suchen, die einen gewünschten Abstand zu dieser haben.

Bearbeiten Sie doch bitte als Vorbereitung auf die Abitur-Klausur die Aufgaben e ) und f ). Vielleicht finden Sie ja eine schöne Lösung von f ) - immer mit unseren bisherigen Mitteln.

Indes fürchte ich, dass wir vorher noch etwas dazulernen müssen. Das werden wir dann jetzt auch beginnen. Wenn jemand von Ihnen aber eine gute Lösung ohne weitere Hilfsmittel findet, möge er sie auch gut dargestellt mir einreichen. Davon wollen wir alle etwas haben! (Belohnung für die laufende Kursarbeit ist sicher.)

Sonst aber starten wir so:

(Ü 1 ) (orthogonale Projektion eines Vektors auf eine Gerade):

→

g sei eine Gerade durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor r0 . Der Rich- tungsvektor ist ein Einheitsvektor. B sei ein weiterer Punkt; er liegt nicht auf g.

→

Der Vektor AB wird mit parallelem Licht beleuchtet, das orthogonal zu g einfällt und einen Schatten von dem Vektor auf g erzeugt (s. Abb. 1). Wie lang ist der Schatten?

Abb. 1

Wir wählen A( 3 | - 11 | 4 ) und B( 5 | 0 | - 2). Der Richtungsvektor sei der Vektor → 0,422

r0 = ( 0,527 ).

0,738

→

Berechnen Sie die Länge des Schattens von AB auf g.

Hinweis: Die Rechnung wird besonders einfach, wenn Sie den Winkel α = → →

∡(AB, r0 ) in Ihre Betrachtung einbeziehen.

* *

*

2021-01-30

Aufträge für den 8.2. (Mo)

Erwartung der Aufgaben e ) und f )

Die Erwartung von f ) setzt für uns unbekannte Hilfsmittel voraus. Hier sollten wir nacharbeiten, denn diese Hilfsmittel erwartet man vielleicht im schriftlichen Abi von uns auch.

Darum lösen wir zunächst einmal die Aufgabe (Ü 1). Sie führt zu neuen Einsichten.

Lösung (Ü 1):

Wir finden zunächst eine Lösung in Platzhaltern. Der Schattenpunkt von B möge C heißen (s. Abb. 1). α wählen wir wie im Hinweis. Dann ist:

| AC | cos α = --- → | AB |

Für die gesuchte Schattenlänge ergibt sich dann, da wir das Skalarprodukt von zwei Vektoren schon kennen:

→ →

→ → → | ro ∘ AB | → → ( 1 ) | AC | = | AB | cos α = | AB | --- = | ro ∘ AB | →

1 * | AB |

→

Die Schattenlänge ist der Betrag des Skalarproduktes aus dem Vektor AB mit einem Einheitsvektor als Richtungsvektor von g.

Die Berechnung wird also extrem einfach:

Drucktechnisch bedingt fehlen die Vektorpfeile in der Berechnung.

Kommentar: Natürlich kennt auch unser Mathebuch die „orthogonale Projektion“ und Gl. ( 1 ). (Sehen Sie doch mal nach: L.S., p. 107.) Der dort vorgelegte Beweis ist jedoch sehr viel aufwendiger, da im Buch zu der Zeit das Skalarprodukt noch nicht verfügbar ist; bei uns ist das anders!)

*

Das Ergebnis dieser Aufgabe liefert sofort ein (weiteres) Verfahren, den Abstand d eines Punktes P von einer Ebene ℰ zu berechnen. Von ℰ benötigen wir einen Punkt A →

(z.B. einen „Stützpunkt“) und einen normierten Normalenvektor n0. Ein Vertreter (Repräsentant) könnte den Anfangspunkt A haben. Für P gelte: P ∉ ℰ . (Erweist sich später als unwichtig!) Dann gibt die nachfolgende Abbildung ein Bild der Situation:

Abb. 2 → →

Die orthogonale Projektion von AP auf den Vektor n0 ist offenbar gerade d( P, ℰ ), also nach ( 1 ):

→ → ( 2 ) d( P, ℰ ) = | no ∘ AP |

→ →

Anmerkung: Für P ∈ ℰ ergibt sich einfach d( P, ℰ ) = 0, weil ∡(AP, n0 ) = 90° , da cos 90° = 0 ist, was ja plausibel ist.

( 2 ) ist also eine sehr bequeme „Formel“ zur Berechnung eines Punktabstands von einer Ebene.

Der Ansatz im Erwartungshorizont von Aufgabe f ) ist gerade die Gl. ( 2 ). (Siehe auch L.S., p. 108.)

*

Einige der Kursteilnehmer*innen sind meiner Aufforderung gefolgt und haben sich andere schöne Lösungen ausgedacht. Ganz bald komme ich darauf zurück.

*

(Ü 2 ) Man rechne im Erwartungshorizont von Aufgabe f ) die Lösung nach.

(Ü 3 ) (Anwendung der Formel ( 2 ) ):

3.1 P sei der Punkt P( 3 | - 13 | 5 ). Die Ebene ℰ werde beschrieben durch die Koor- dinatenform

( * ) -7 x1 + 12 x2 – 8 x3 = - 15 Berechnen Sie d( P, ℰ ).

3.2 Die Punkte A( 2| - 4 | 6 ), B(0 | 3 | 7 ) und C( - 11 | 0 | 5 ) legen eine Ebene ℰ fest. Q sei der Punkt Q( 3 | 1 | 2 ).

Berechnen Sie d( Q, ℰ ).

2021-02-05

Anmerkung: Mithilfe von Gl. ( 2 ) kann eine „Seiteneinteilung“ des Raumes vorge- nommen werden. Lässt man in der Gleichung den Betrag weg, so kann

→ →

no ∘ AP = 0 , > 0 , < 0 → →

eintreten. Ist nun no ∘ AP ≠ 0 , so bilden sämtliche Punkte die eine „Seite“ des Raumes, die zusammen mit P das gleiche Vorzeichen des Skalarproduktes haben; die andere Seite des Raumes wird dann von allen Punkten gebildet, für die das Skalarprodukt das andere Vorzeichen haben. (Demnächst mehr dazu.)

* Wichtig

Hier kommen die brandneuen Entscheidungen unserer Schulaufsicht.

Ihre Fachlehrer in Mathe hatte sich abgesprochen, Ihnen die (viel zu späten) Entscheidungen am Montag in ausgereifter Form vorzulegen. Es stellt sich jedoch heraus, dass Sie bereits seit Freitagabend alles wissen. Dennoch in Kürze nochmals die wichtigsten Vorgaben. (Ich setze voraus, dass Sie gestern den Brief von Herrn Dr. Widmann erhalten und gelesen haben.)

∙ Die Arbeitszeit im schriftlichen Abitur wird um 30 min verlängert (auch in Mathe).

∙ Das schriftliche Abitur wird um 7 Tage in die „Zukunft“ verschoben.

∙ Im Matheabitur kommt eine fünfte Aufgabe „Analysis“ dazu (also eine Aufgabe ohne Hilfsmittel und vier Aufgaben mit Hilfsmitteln – komplexe Aufgaben). Jetzt ist neu, dass eine komplexe Aufgabe „abgewählt“ werden kann. Die Behörde sieht vor, dass Ihre Fach- lehrer diese Abwahl treffen. (Viele von uns wollten das Thema Stochastik in Ihrem Sinn abwählen. Dann käme Stochastik nur in der Aufgabe I vor und Sie könnten Ihre Abivor- bereitung stärker auf Analysis und Analytische Geometrie konzentrieren.)

Nun ist diese Aussage „noch nicht ausgereift“ (s.o.). Es gibt Stimmen, welche Ihnen die Abwahl einer komplexen Aufgabe (also individuell) überlassen wollen. Das ist nicht die Vorstellung der Behörde. Hier gibt es in den nächsten Tagen noch Klärungsbedarf. (Also

wieder hin und her.) Der Nachteil wäre, dass Sie in der Vorbereitung doch keine Erleich- terung haben würden, weil Sie alle drei Themen gleich intensiv vorbereiten müssten.

∙ Zum Thema mündliche Noten in Mathe machen wir uns noch Gedanken auf der Allge- meinen Lehrerkonferenz am Mittwoch. Aber meine persönliche Anmerkung dazu: Von jetzt an schauen ich Ihnen wieder etwas genauer zu bei Ihrer mathematischen Tätigkeit.

(Ich gehe davon aus, dass Sie mit einer einzigen mir bekannten Ausnahme die Langzeit- klausuren hinter sich haben. Sonst müssen Sie mir ein Zeichen geben.)

∙ Die Verordnung zu den Klausuren kommt leider zu spät; wir haben sie bereits geschrie- ben. Die Verordnung gilt nicht rückwirkend.

*

2021-02-07

Aufträge für den 15.2.

(Ü 4 ) (Volumen einer schiefen Pyramide):

Die Punkte aus Aufg. (Ü 3.2) seien die Eckpunkte einer Pyramide. Δ ABQ sehen wir an als die Grundfläche der Pyramide; dann ist C ihre Spitze.

Berechnen Sie das Volumen dieser „schiefen“ Pyramide.

(Ü 5 ) (Die Halbräume einer Ebene):

Die Ebene ℰ werde beschrieben durch:

3 x1 – 2 x2 + x3 = - 24

5.1 ℰ zerlegt den Raum in zwei „Seiten“ (sog. Halbräume). (Siehe auch Anmerkung auf p. 7)

Untersuchen Sie, ob die Punkte

A( 4 | 0 | -5) und B( 1 | 20 | -8 ) im selben Halbraum liegen.

5.2 Finden Sie die beiden Punkte P1 und P2 auf der x2 –Achse, welche von ℰ den Ab- stand 4,0 LE haben.

____

5.3 Zeigen Sie: Der Mittelpunkt M von P1P2 liegt in ℰ (M ∈ ℰ).

(Ü 6) Bearbeiten Sie ohne Hilfsmittel die beiden nachfolgenden Analysis Aufgaben:

2021-02-13

Aufträge für die 8. KW

(Ü 7)

Von dieser Aufgabe kennen Sie bereits den Teil 3. Siehe (Ü 14) vom 15.01.2021 im Dokument „eigenständig, p. 12“.

(Ü 8) (eine Funktionenschar):

Bearbeiten Sie aus L.S. (Analysis), p. 290, die Aufg. 6 (Abiturvorbereitung).

*

2021-02-18 (Ü 9) (Analysis):

Die nachfolgende Abbildung 1 zeigt die Graphen der beiden Funktionen f : x → 2 E( 0,2 x ) sin( π x ) und g : x → - 0,5 x² + 2,38 mit E ( x ) = e^x und x ∈ [ - 0,5 ; 3,0 ]

Abb. 1

9.1 Untersuchen Sie, ob die Funktionen f und g im Berührpunkt P eine gemein- same Tangente haben.

9.2 Berechnen Sie den Hochpunkt von f im Intervall [ 2 ; 3 ].

9.3 Die beiden Graphen Gf und Gg schließen zwischen den Punkten P und Q eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Berechnen Sie A näherungsweise nach der Trapezmethode. Wählen Sie wenige Trapeze, aber berechnen Sie die Koordinaten von Q genau.

9.4 Im Intervall [ 2 ; 3] gibt es offenbar einen Punkt R, in dem f eine Tangente be- sitzt, die zur Tangente im Punkt P parallel ist.

Berechnen Sie die Koordinaten von R.

9.5 Ermitteln Sie auch den Mittelwert der Funktion g im Intervall [ 0 ; 3 ].

2021-02-20

(Ü 10) (ein Abstandsproblem):

Gerade g habe die folgende Parameterdarstellung:

→ 0 - 1 OX( t ) = ( 1 ) + t ( - 1 ) - 2 2

und Gerade h habe diese Parameterdarstellung:

→ 0 2 OY( s ) = ( - 1 ) + s ( 4 ) 3 - 3

10.1 Weisen Sie nach, dass g und h zwei windschiefe Geraden sind.

10.2 Berechnen Sie den Abstand d der beiden Geraden g und voneinander.

Hinweis: Diese Aufgabe ist so zu lösen, wie wir es am Montag oder Mittwoch dieser Woche in Präsenz gelernt haben. Aufgaben von diesem Typ werden in den „Modulen“

genannt; wir müssen also damit rechnen, dass sie uns im schriftlichen Abitur begegnen. Wir lösen derartige Aufgaben anders als im Lehrbuch (L.S., „Geometrie“).

Es gibt starke Gründe, warum wir es anders machen. Wer in dieser Woche nicht im Präsenzunterricht dabei war, muss sehen, dass er bis zum Semesterende von S IV

„unsere“ Methode auch erlernt. Nach den Ferien bin ich dabei behilflich. Aber fast alle Kursteilnehmer*innen kennen diese Methode schon heute.

2021-02-24

Aufgaben zur Abi-Vorbereitung

ohne Hilfsmittel

(Ü 11) (Stochastik):

(Ü 12) (Stochastik):

mit Hilfsmitteln

Wir lernen auch noch etwas dazu:

(Ü 13) (Geometrie):

Ei , i = 1, 2, 3, 4 seien vier Ebenen; sie werden mit nachfolgenden Koordi- natenformen beschrieben:

E1 : - 4 x1 + 3 x3 = 6 E2 : 3 x2 - 7 x3 = 21 E3 : 2 x1 - 5 x2 + x3 = - 10 E4 : 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 = 8 E5 : - 6 x1 + 15 x2 - 3 x3 = 2 13.0 Wir untersuchen die Ebene E1.

∙ Wie liegt die Ebene zur x2 – Achse?

∙ Ist die Ebene zu einer Koordinaten-Achse orthogonal?

∙ Ist die Ebene zu einer Koordinaten-Ebene orthogonal?

Geben Sie einen Normalenvektor der Ebene an.

13.1 Untersuchen Sie, ob eine (mathem.: mindestens eine) der Ebenen orthogonal bzw. parallel zu einer Koordinatenebene ist.

13.2 Untersuchen Sie, ob es darüber hinaus Paare von diesen Ebenen gibt, welche untereinander parallel bzw. orthogonal zueinander sind.

13.3 Sollten Sie Paare von parallelen Ebenen gefunden haben, dann berechnen Sie bitte ihren Abstand d voneinander.

13.4 Ebene E4 hat vermutlich Schnittpunkte Si , i = 1, 2 oder 3 mit den Achse xi, i = 1, 2 oder 3.

Berechnen Sie diese Schnittpunkte.

13.5 Die Punkte O, S1, S2 und S3 bilden die Ecken einer Pyramide.

Berechnen Sie das Volumen V1 der Pyramide, wenn man O als ihre Spitze an- sieht. Berechnen Sie auch das Volumen V2 der Pyramide, wenn man S1 als ihre Spitze ansieht.

13.6 Bestimmen Sie sämtliche Punkte auf der x2 – Achse, welche von der Ebene E4

den Abstand d = 7,0 LE haben.

*

Zur Erinnerung:

Info-Kasten: (Geometrie ( Mod. II), S II , Seite 17)

Gl. ( 1 ) ist 3-dimensionale vektorielle Verallgemeinerung der Weg – Zeit Glei- chung

s = so + v t

für die gleichförmige Bewegung mit der Geschwindigkeit v entlang einer Geraden, wenn s0 die Ortskoordinate zur Zeit t = 0 ist.

Die Parameterdarstellung einer Geraden g heißt bekanntlich:

→ → →

( 1 ) OX = OA + t AB , t ∈ ℝ

Dabei ist O der Ursprung eines kartesischen (d.h. rechtwinkligen) Koordinatensystems, A ein Stützpunkt der

→ →

Geraden g und AB ein Richtungsvektor von g. OX ist dann der Ortsvektor eines beliebigen Punktes X auf g (siehe Abb. 1). Die Wahl des Stützpunktes und die Länge des Richtungsvektors sind willkür- lich.

Abb. 1

Bewegt sich nun ein Massenpunkt der Masse m gleichförmig mit der Geschwindigkeit v entlang der Geraden g in der Richtung, die der Richtungsvektor von g hat, so kann der Parameter t als eine Zeit gedeutet werden. Ist nämlich A der Punkt (Ort) auf g, den der Massenpunkt zur Zeit t = 0 erreicht, und wählt man den Betrag des Richtungsvektors als v, so ist offenbar t gerade die Zeit, zu welcher die Masse den Ort X passiert, denn es gilt:

→ →

( 2 ) | AX | = t | AB | = t v

Wir wählen also den Richtungsvektor der Geraden als Geschwin- digkeitsvektor des Massenpunktes.

(Ü 14) (Flughafen / Geometrie):( e ) - eine ältere Abitur-Aufgabe

Warnung: Die Aufgabenteile e) und f) setzen teilweise Kenntnisse aus der Kugel-Geo- metrie voraus. Die haben wir nicht und diese werden von uns im Abi auch nicht erwartet. Probieren Sie doch einmal selber, ob Sie gewisse Problemteile aus e) und f) mit unseren Kenntnissen bearbeiten können.

(Ü 15) (Hafenturm / Geometrie):( e ) - eine ältere Abitur-Aufgabe

Zusatzaufgabe i) auf p. 22 beachten

*

2021-03-08

(Ü 16) (Kugelstoßen / Analysis): Abitur 2018 ( e )

2021-03-09

(Ü 15) (Hafenturm) Zusatzaufgabe i)

Wie in Aufgabe 15 g) gehen wir von einem Gebäude mit 30 Stockwerken

gleicher Höhe aus. Es wird aber eine andere Preispolitik verfolgt. Der Mietpreis p pro 1 m² steigt linear – wegen der immer schöneren Aussicht – mit der Höhe der einzelnen Stockwerke über dem Boden. Im Erdgeschoss – also in der Höhe 0 m – kostet der Quadratmeter 10 € Miete, im 30. Stockwerk – also in 116 m Bodenhöhe – hat sich die Miete pro Quadratmeter auf 20 € verdoppelt.

Bestimmen Sie das Stockwerk mit der geringsten Miete und das Stockwerk mit der höchsten Miete. (Dabei sollen Fahrstuhlschächte, Treppenhäuser usw. als Teil der Mietfläche mitgerechnet werden.)

2021-03-12

(Ü 17) (Solarmodule / Geometrie):

steht im B – Heft, p. 70 f als Aufg. 23

(Ü 18) (Höhe einer Pflanze / Analysis):

Die Höhe einer wachsenden Pflanze wird näherungsweise beschrieben durch:

1

h : t --→ h( t ) = - --- ( 25 + 16 t) E( - 0,64 t ) + 1,4 t ≥ 0 20

Die Zeit wird ab dem Einpflanzen in Monaten gemessen, die Höhe h wird in m angegeben.

18.1 Ermitteln Sie die Höhe der Pflanze beim Einpflanzen.

2 BE 18.2 Zeigen Sie, dass für die Höhenwachstumsrate der Pflanze

g : t --→ g( t ) = 0,512 t E( - 0,64 t )

gilt. Begründen Sie Ihr Vorgehen in Bezug auf den Sachzusammemhang.

5 BE 18.3 Begründen Sie mathematisch: Die Höhe der Pflanze wächst streng monoton.

1 BE 18.4 Geben Sie die theoretische Maximalhöhe der Pflanze an. Begründen Sie Ihre

Aussage.

3 BE

(Ü 19) (Haus mit Walmdach / Geometrie):

Forts. auf p. 25

*

Aufg. 20) (Solaryacht / Geometrie):

Anmerkung zu f ): der Winkel heißt α

*

Deyke, 2021-03-21

(Ü 21) (ein Spat / Geometrie):

Die nachfolgende Abbildung zeigt einen sog. Spat (auch ein „Parallelotop“ ge- nannt) in einer 2-dimensionalen Darstellung. Es ist eine Art „schiefer“ Quader.

Gegenüberliegende Seiten (Flächen) sind Parallelogramme.

Abb. 1 → → →

Die Vektoren A1B1 , A1D1 und A1 A2 „spannen“ den Körper auf. Für die mit 1 indizierten Punkte gilt x3 = 0 , für die mit 2 indizierten Punkte gilt x3 = 4. (Dann gilt z.B. A2 ( 4 | 3,5 | 4 ). ) 1 LE ≙ 1 cm.

21.1 Berechnen Sie das Volumen V des abgebildeten Spats.

21.2 Berechnen Sie die Oberfläche O des abgebildeten Spats.

21.3 Ermitteln Sie auch die Größe der Winkel:

→ → → → α= ∡ ( A1B1 , A1D1 ), β = ∡ ( A1B1 , A1A2 ) .

2021-03-27