Mathe gut erklärt Abitur 2022

(1)

Rosner

Mathe gut erklärt Abitur 2022

Baden-Württemberg Leistungsfach Mathematik Allgemeinbildende Gymnasien

8. Auflage

(2)

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

I. Grundlagen Analysis

. . . 7

1 Funktionen . . . . 8

1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . 8

1.2 Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen . . . 10

1.3 Gebrochenrationale Funktionen . . . 12

1.4 Exponentialfunktionen . . . 14

1.5 Trigonometrische Funktionen . . . 16

1.6 Wurzelfunktion . . . 18

1.7 Natürliche Logarithmusfunktion . . . 18

1.8 Umkehrfunktion . . . 19

1.9 Übersicht: Spiegeln, Strecken und Verschieben . . . 20

1.10 Funktionenscharen . . . 22

1.11 Symmetrie zur y-Achse bzw. zum Ursprung . . . 24

1.12 Umgang mit Funktionen: Rechenansätze . . . 25

2 Gleichungen . . . 26

2.1 Gleichungstypen: Übersicht . . . 26

2.2 Gleichungstypen: Konkretes Lösungsvorgehen . . . 28

2.3 Goldene Regeln zum Lösen von Gleichungen . . . 36

2.4 Ungleichungen . . . 38

2.5 Lineare Gleichungssysteme . . . 40

3 Differenzialrechnung . . . 42

3.1 Ableitungsregeln . . . 42

3.2 Tangente und Normale . . . 45

3.3 Schnittpunkte (Berührpunkt, senkrechter Schnitt, Schnittwinkel) . . . 48

3.4 Monotonie . . . 50

3.5 Krümmung . . . 51

3.6 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) . . . 52

3.7 Wendepunkte . . . 53

3.8 Sattelpunkte . . . 54

3.9 Ortskurve . . . 58

3.10 Zusammenhang zwischen den Schaubildern von Funktion und Ableitung . . . 60

3.11 Ermittlung von Funktionsgleichungen . . . 62

3.12 Extremwertaufgaben . . . 66

3.13 Wachstum und Zerfall . . . 68

4 Integralrechnung . . . 70

4.1 Integrationsregeln („Aufleitungsregeln“) . . . 70

4.2 Flächeninhaltsberechnung zwischen Schaubild und x-Achse . . . 74

4.3 Flächeninhaltsberechnung zwischen zwei Schaubildern . . . 76

(3)

4.4 Mittelwert (durchschnittlicher y-Wert) einer Funktion . . . 80

4.5 Flächen, die bis ins Unendliche reichen (Uneigentliche Integrale) . . . 81

4.6 Berechnung des Rotationsvolumens: Fläche zwischen Schaubild und x-Achse rotiert um die x-Achse . . . 82

4.7 Berechnung des Rotationsvolumens: Fläche zwischen zwei Schaubildern rotiert um die x-Achse . . . 83

4.8 Zusatz: Wichtiges für Anwendungsorientierte Aufgaben . . . 84

II. Grundlagen Vektorgeometrie

. . . 89

1 Vorwissen . . . 90

1.1 Punkte (im ℝ³) . . . 90

1.2 Vektoren (im ℝ³) . . . 90

1.3 Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, Betrag, Skalare Multiplikation, Linearkombination, Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektorprodukt) . . . 91

2 Geraden . . . 94

2.1 Geradengleichungen in Parameterform . . . 94

2.2 Gegenseitige Lage von Geraden . . . 96

3 Ebenen . . . 98

3.1 Ebenengleichungen in Parameterform . . . 98

3.2 Ebenengleichungen in Normalenform . . . 100

3.3 Ebenengleichungen in Koordinatenform . . . 102

3.4 Spurpunkte, Spurgeraden und die Lage im Koordinatensystem . . . 103

3.5 Umwandlungen der Ebenenformen . . . 104

4 Gegenseitige Lage . . . 108

4.1 Ebene-Gerade . . . 108

4.2 Ebene-Ebene . . . 110

5 Schnittwinkel . . . 113

6 Abstandsberechnungen . . . 114

6.1 Abstände zu einem Punkt . . . 115

6.2 Abstände zu einer Geraden . . . 118

6.3 Abstände zu einer Ebene . . . 120

7 Zusatz: Bewegungsaufgaben (Modellieren mit Vektoren) . . . 122

8 Spiegelungen . . . 124

III. Grundlagen Stochastik

. . . 127

1 Baumdiagramm, Pfadregeln und Erwartungswert . . . 128

1.1 Einführung . . . 128

1.2 Aufgabentypen . . . 131

(4)

1.3 Zufallsgröße, Erwartungswert und Standardabweichung . . . 134

2 Binomialverteilung . . . 138

2.1 Bernoulliformel . . . 138

2.2 Binomialverteilung und kumulierte Binomialverteilung . . . 140

2.4 Erwartungswert . . . 147

3 Der einseitige Hypothesentest . . . 148

3.1 Ausführliche Erklärung . . . 148

3.2 Vorgehen und Beispiele . . . 149

3.3 Fehler 1. Art und 2. Art . . . 152

3.4 Zweiseitiger Hypothesentest . . . 154

4 Normalverteilung . . . 156

4.1 Unterschied zur Binomialverteilung . . . 156

4.2 Normalverteilung und Gaußsche Glockenkurve . . . 156

Vorwort

Liebe Schülerinnen und Schüler,

dieses Buch und die Videos sollen Sie dabei unterstützen,

sich in den letzten beiden Schuljahren optimal auf Klausuren und auf das Abitur in Mathematik vorzubereiten.

sich alle Lehrplaninhalte anhand verständlicher und übersichtlicher Stoffzusammen- fassungen anzueignen.

die Abitursaufgaben der vergangenen Jahrgänge zu bearbeiten, da Sie hiermit ein Nachschlagewerk zur Verfügung haben.

durch Erfolge neue Motivation für das Fach Mathematik zu bekommen.

Liebe Fachkolleginnen und Fachkollegen,

dieses Buch und die Videos sollen Sie dabei unterstützen,

die zeitintensive Stoffwiederholung, Klausur- und Abiturvorbereitung teilweise aus dem Unterricht auslagern zu können.

auf diese Weise mehr Zeit für verständnisorientierten Unterricht zu gewinnen.

sicherzustellen, dass Ihre Schülerinnen und Schüler über ausreichendes Basiswissen verfügen.

NEU

Über 80 Videos des Autors, in welchen alle Stoffzusammenfassungen nochmals erklärt werden. Zugriff über Kurzadresse oder QR-Code aus dem Buch.

(5)

I. Grundlagen Analysis

8

1. Funktionen

1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome)

1. Grades (Geraden) 2. Grades (Parabeln) Hauptform : y=mx+b Allg.: ( )f x =ax²+bx+c Vorgehen zum Einze

- ichnen:

hoch / runt y Achsen - abs

y er x

hts chnitt

= rec ⋅ + 

 

 

2

Scheitelpunkt-Ansatz:

( ) ( _s) _s mit S( |_s _s) f x = ⋅ −a x x +y x y

2 1

Steigung aus 2 Punkten: y y

m x x

= −

−

0 : nach oben geöffnet bzw.

Verlauf von II nach I

a>

Steigungswinkel aus Steigung bestimmen:

tan( )

m= α

0 : nach unten geöffnet bzw.

Verlauf von III nach IV a<

1 2

Parallele Geraden:

(gleiche Steigung)

m =m Schnittpunkt mit -Achse: S (0 | )y _y c

2 1 2

1

Senkrechte (orthogonale) Geraden:

Steigungen sind negative Kehrwerte voneinander: m 1 bzw. m m 1

= −m ⋅ = −

Bei Symmetrie zur -Achse: ₂

( ) (nur gerade Hochzahlen) y

f x =ax +c

1. Winkelhalbierende: ( 1)

2. Winkelhalbierende: ( 1)

y x m

= =

= − = −

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3

y

1 3

K : 2 K : 1

2 2

K : (1. Winkelhalbierende)

K : 1,5 K : 2,5

= + = − +

=

= − =

f g

h

i j

y x y x

y x

K

_g

K

_f

K

_h

K

_j

K

_i

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3

y

( )

2

2 2

2

K : ( ) K : ( ) 2 2

K : ( ) 2 3 2

K : ( ) 0,5 2 2

= = −

= − − +

= − − −

f g

h

i x

f x x g x

x x

i x x

x h

K

_f

K

_g

K

_h

K

_i

http://frv.tv/5s

(6)

9

3. Grades 4. Grades

3 2

Allg.: ( )f x =ax +bx +cx+d Allg.: ( )f x =ax⁴+bx³+cx²+dx+e 0 : Verlauf von III nach I

a> a>0 : Verlauf von II nach I

0 : Verlauf von II nach IV

a< a<0 : Verlauf von III nach IV

Schnittpunkt mit -Achse: S (0 | )y _y d Schnittpunkt mit -Achse: S (0 | )y _y e

3

Ansatz bei Symmetrie zum Ursprung:

( ) (nur ungerade Hochzahlen)

f x =ax +cx ⁴ ²

Ansatz bei Symmetrie zur -Achse:

( ) (nur gerade Hochzahlen)

y f x =ax +cx +e

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3

y

3

3 2

2

K : ( ) 3 2

1 9

K : ( )

4 4

K : ( ) 5 7 3

−

− + − +

= − +

=

f

g

h

x

f x x x

g

x x

x

x x

h x

K

_f

K

_g

K

_h

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3

y

4

4 2

4 3

K : ( )

K : ( ) 0,5 2 3

K : ( ) 2 1

f g h

f x x

g x x x

h x x x

=

= − +

= − + −

K

_f

K

_g

K

_h

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 y

I III

II

IV

Die Quadranten

(7)

10

1.2 Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen

Beispiele

Aufbau des Nullstellenansatzes (am Beispiel)

Übersicht (für ganzrationale Funktionen) Vielfachheit

Nullstelle

Faktor im

Nullstellenansatz ^Skizze Beschreibung

0

Nullstelle:

Einfache x

( ) ... ( 0) ...

f x = ⋅ −x x ⋅

Schaubild -Achse (mit Vorzeichen-

wechsel VZW) x

schneidet

0

Nullstelle:

Doppelte x

2

( ) ... ( 0) ...

f x = ⋅ −x x ⋅

Schaubild -Achse (ohne VZW)

x

berührt

0

Nullstelle:

Dreifache x

3

( ) ... ( 0) ...

f x = ⋅ −x x ⋅

Schaubild

und -Achse

(mit VZW) x schneidet berührt

0

Nullstelle:

Vierfache x

4

( ) ... ( 0) ...

f x = ⋅ −x x ⋅

Schaubild

-Achse (ohne VZW) („breiter“ geformt als

doppelte Nullstelle) x

berührt

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

-1 0 1

y

2 3 4

K : ( ) 0,5 (_f f x = ⋅ + ⋅ +x 5) (x 3) K : ( )_g g x = −0,8 (⋅ + ⋅ −x 1) (x 1) K : ( ) 2 (_h h x = ⋅ −x 4)

K

_h

K

_g

K

_f

( ) ( )

³

( )= −0,8⋅ + ⋅ −1 1

g x x x

0 1

ist einfache Nullstelle

= −

x _{1/ 2 / 3} 1

ist dreifache Nullstelle x = + Verlauf

von III nach IV

x y

x0

x y

x0

x y

x0

x y

x0

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(8)

11

(

1/ 2 3

)

Gesucht ist der Funktionsterm zum nebenstehenden Schaubild.

Da die Nullstellen 1,5; 1 des Schaubildes ablesbar sind, kann der Nullstellenansatz der Funktion weitgehend aufgestell

x = − x =

Beispiel

Lösung

2

t werden:

( ) ( 1,5) ( 1)

Dann werden die Koordinaten eines weiteren Punktes, f x = ⋅ +a x ⋅ −x

2 2

2

der kein Schnittpunkt mit der -Achse ist, eingesetzt:

P(0,5 | 2,5): ( ) ( 1,5) ( 1)

2,5 (0,5 1,5) (0,5 1)

2,5 2

5 5 4

( ) ( 1,5) ( 1)

4

x

f x a x x

a a a

f x x x

− = ⋅ + ⋅ −

− = −

=

 = ⋅ + ⋅ −

-2 -1 0 1 2

x

-3 -2 -1 0 1 2

y

K

_f

(9)

12

1.3 Gebrochenrationale Funktionen

Allg. (ganzrationale) Funktion

f x( ) =(ganzrationale) Funktion Beispiel: ( ) ² ² ³ mit D

(

\

{ }

2

)

2

x x

f x x

− +

= = −

+ ℝ

1. Untersuchung auf senkrechte Asymptoten

x-Werte, die im Nenner zum Wert 0 führen, nennt man Definitionslücken. Solche x-Werte sind nicht in der Definitionsmenge der Funktion enthalten.

An einer Definitionslücke kann das Schaubild eine senkrechte Asymptote aufweisen.

(Hinweis: Asymptote= Näherungsgerade)

( Nullstelle des Nenners) Fall 1 : Polstelle mit Vorzeichenwechel einfache

( { } )

Beispiel: ( ) 1 mit D \ 1 Senkrechte Asymptote: 1

Für 1 ( 1) gilt: ( ) Für 1 ( 1) gilt: ( )

f x x

x x f x

= =

−

→ < → ∞

→ > → ∞

1 ℝ x=

−+

( Nullstelle des Nenners) Fall 2 : Polstelle ohne Vorzeichenwechel doppelte

( { } )

2

Beispiel: ( ) 1 mit D \ 1 ( 1)

Senkrechte Asymptote:

Für 1 ( 1) gilt: ( ) Für 1 ( 1) gilt: ( )

f x x

x x f x

= =

−

→ < → ∞

→ > → ∞

1 ℝ x=

+ +

-Werte, für die der gleich ist sind ?

0 -Werte, für die der gleich ist sind 0

...

.. 0 . x

x

 

 = 

 

 

 = 

 

i i

Nenner 0 Definitionslücken

Zähler 0 Nul

Hinweise

lstellen

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2 -1 0 1 2 3

y +

−

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2 -1 0 1 2 3

y + +

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(10)

13

2. Untersuchung auf waagrechte Asymptoten (Verhalten für

x→ ±∞)

ist waagrechte

Fall 1 : Zählergrad Nennergrad :< x- Achse Asymptote

( )

^{Grad 0}^{Grad 1}

( ) 1

2 4

waagrechte Asymptote: ( -Achse)

f x x

x

= +

0 y =

( )

2

Grad 1 Grad 2

2 1

( ) 3

waagrechte Asymptote: y = ( -Achse)

=− +

0 f x x

x

, jedoch nicht -Achse Fall 2 : Zählergrad=Nennergrad : Waagrechte Asymptote x

( )

^{Grad 1}Grad 1

( ) 4

waagrechte Asymptote:

f x x

= x + 1 2

1 y=2

( )

2 2

Grad 2 Grad 2

( ) 1

waagrechte Asymptote: y

= 2 + 3

2 3 f x x

x

−

= −

: waagrechte Asymptote.

Fall 3 : Zählergrad >Nennergrad Keine (Keine Beispiele, da nicht relevant für das Abitur.)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2 -1 0 1 2 3 y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3 y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2 -1 0 1 2 3 y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3 y

(11)

14

1.4 Exponentialfunktionen

=

1. Verlauf : f x( ) e^x

2. Spiegelungen

= ⋅

3. Koeffizienten in :

f x

( )

a e^{b x c}^{⋅( − )}+d - Streckung / Stauchung in -Richtung

a y 1: „steiler“

0 1: „flacher“

( 0 : an der -Achse gespiegelt) a

a

a x

>

< <

<

- ansteigendes oder fallendes Schaubild

b 0 : ansteigendes Schaubild

0 : fallendes Schaubild

(bzw. an der -Achse gespiegelt) b

b

y

>

<

- Verschiebung in -Richtung

c x 0 : nach rechts

0 : nach links c

c

><

- -

( ist Asymptote)

Verschiebung in Richtung

d y

y=d ^{0 :}0 : ^{nach oben}nach unten

<>

d d

3

2

Das Schaubild zu ( ) wurde um 3 Einheiten nach verschoben!

Der Koeffizient hat hier den Wert 3, das Minuszeichen kommt vom allgemeinen Ansatz der Funktion.

Entsprechend ( ) : Verschi +

+

=

x

f x e rechts

c

f x e

−

ebung um 2 nach links! Vorsicht beim Koeffizienten c

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2 -1 0 1 2 3 4 y

P (0 |1)1

P (1| )2 e

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 y

( ) ^x

f x =e

( ) ^x

f x =e⁻

( ) ^x

f x = −e

( ) ^x

f x = −e⁻

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(12)

15

(Näherungsgeraden) 4. Asymptoten

Beispielfunktion Asymptote Schaubilder

1

( )

( ) 2,7

( ) 1,5

( ) 2 1,3

( ) 2, 6

x

f x e

g x e

h x e

i x e

j x e

−

− −

−

=

= +

= −

= − −

0 ( Achse) für

2, 7 für für 1,5

für 1,3

für 2,6

y x

x y

x

= −

→ −∞

= → −∞

= → +∞

= −→ +∞

= −→ −∞

bzw.

...

„ “ „ “

Regeln :

1. Asymptotengleichung : „Exponentialgleichung ohne “

2. Annäherungsrichtung : Bei für bei für

x

x x

y e

e⁺ x e⁻ x

=

→ −∞ → +∞

5. Anwendungen

„ “

mit ( )f x =e ^x

Wachstum ⁺ Zerfall mit ( )f x =e^„⁻^x^“

Beispiel: Angelegter Geldbetrag vermehrt sich Beispiel: Chemischer Stoff zerfällt

0 5 10 15 20 25

x (Zeit in Jahren) 0

250 500 750 1000 1250

f(x) (Betrag in EU R)

0 5 10 15 20 25

x (Zeit in Tagen) 0

1 2 3 4 5

f(x) (Bestand in mg)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

K_f K_g

K_h

K_i

K_j 0

y= 2, 7 y=

1,5 y=

1,3 y= − 2, 6

y= −