Zur Behandlung von Restriktionen bei der Stauraumoptimierung am Beispiel eines genetischen Algorithmus für das
Containerbeladeproblem
Andreas Bortfeldt, Hermann Gehring FernUniversität Hagen
Profilstr. 8, 58084 Hagen
andreas.bortfeldt@fernuni-hagen.de
Abstract
Der Beitrag untersucht die Behandlung von Restriktionen bei Problemen der Stau- raumoptimierung. Ausgewählt werden hierzu 7 Restriktionen, die bei der Lösung von Containerladeproblemen mit einem Container in der Praxis auftreten. Ein genetischer Algorithmus für Containerladeprobleme wird um entsprechende Komponenten zur Berücksichtigung der Restriktionen ergänzt. Bei einigen „har- ten“ Restriktionen wird nach einer geeigneten Implementierung gesucht, die eine möglichst geringe Reduzierung der Volumenauslastung als primärem Optimie- rungsziel nach sich zieht. Bei gewissen „weichen“ Restriktionen wird eine günsti- ge Balance zwischen einer hohen Raumauslastung und dem durch die jeweilige Restriktion gegebenen zusätzlichen Ziel der Verstauung angestrebt. In Testrech- nungen wird die Implementierung der Restriktionen einer Prüfung unterzogen.
Schlüsselworte
Transport, Container, Containerladeproblem, dreidimensionales Knapsackpro- blem, genetischer Algorithmus, praxisrelevante Restriktionen, Mehrzieloptimie- rung.
1 Einführung
Für den Stückguttransport werden heute im Bereich der Distribution ebenso wie innerhalb der Produktion überwiegend stabile, genormte Lademittel – vor allem Container und Paletten – eingesetzt. Während die Güterverstauung einerseits im Interesse möglichst geringer Transportkosten auf eine optimale Auslastung des jeweils verfügbaren Laderaums abzielt, sind andererseits in der Praxis vielfältige Restriktionen bei der Befüllung von Lademitteln zu beachten. Diese resultieren
aus verschiedenartigen Bedingungen und Einflußfaktoren der Verstauung. Ge- nannt seien etwa die physische Beschaffenheit der Güter wie auch der Lademittel selbst, die verfügbare Technologie der Be- und Entladung sowie gesetzliche oder auch firmeninterne Vorschriften.
Dreidimensionale Packprobleme werden in der Forschung erst seit einigen Jah- ren intensiver untersucht. Eine allgemein anerkannte Differenzierung und Typisie- rung der behandelten Problemstellungen wurde von DYCKHOFF undFINKE (1992) vorgeschlagen. Unterschieden werden zunächst Probleme, bei denen die gesamte Gütermenge zu verstauen ist von solchen, bei denen ein Rest nicht abgefertigter Güter toleriert wird. Probleme des ersten Typs werden als (dreidimensionale) Bin Packing Probleme oder als Containerverladeprobleme, Probleme des zweiten Typs hingegen als (dreidimensionale) Knapsackprobleme oder als Containerbela- deprobleme bezeichnet. Während bei Verladeproblemen z. B. die Containerkosten zu minimieren sind, ist bei Containerbeladeproblemen meist das verstaute Kisten- volumen oder auch der Deckungsbeitrag der Fracht zu maximieren.
Die zu verpackenden Güter werden in der Literatur meist als quaderförmig vorausgesetzt und daher nachfolgend auch als Kisten bezeichnet. Eine weitere Differenzierung unterscheidet Probleme mit homogenem Kistenvorrat (nur ein Kistentyp), schwach heterogenem Kistenvorrat (wenige Kistentypen, relativ viele Exemplare pro Typ) und stark heterogenem Kistenvorrat (viele Kistentypen, rela- tiv wenige Exemplare pro Typ). Der Begriff des Kistentyps bezieht sich dabei in der Regel ausschließlich auf die räumlichen Abmessungen der (nicht orientierten) Packstücke.
Problemspezifische Heuristiken für Containerbeladeprobleme mit einem zu beladenden Container und schwach heterogenem Kistenvorrat wurden in den letzten Jahren von LOH und NEE (1992), NGOI et al. (1994), BISCHOFF et al.
(1995) sowie BISCHOFF und RATCLIFF (1995a) vorgeschlagen. Heuristische Ver- fahren für Eincontainerprobleme, die auf einen stark heterogenen Kistenvorrat zugeschnitten sind, wurden u.a. von GEHRING et al. (1990) und PORTMANN (1990) vorgestellt.
Modernere heuristische Suchstrategien wie genetische Algorithmen, Tabu Se- arch oder informierte Graphensuche wurden u.a. in den Beiträgen von LIN et al.
(1993), MORABITO und ARENALES (1994), GEHRING und BORTFELDT (1997) sowie BORTFELDT undGEHRING (1998a) auf Containerbeladeprobleme angewen- det.
Verfahren für Verladeprobleme bzw. dreidimensionale Bin Packing Probleme wurden von IVANCIC et al. (1994), BISCHOFF und RATCLIFF (1995b) und MARTELLO et al. (1998)entwickelt.
Obwohl in jüngerer Zeit vorgeschlagene Verfahren mehr und mehr auch Re- striktionen der Verstauung berücksichtigen, bestehen in dieser Hinsicht noch beträchtliche Defizite. So werden gewisse praktisch oft vorkommende Restriktio- nen wie etwa die vorrangige Verstauung eines gewissen Teils der Gütermenge von den zitierten Verfahren so gut wie gar nicht beachtet. Selten werden mehrere Restriktionen simultan in die Problemstellung einbezogen, obwohl entsprechende Anforderungen in der Praxis den Regelfall bilden sollten. Vor allem aber wurde bisher wenig unternommen, um die Berücksichtigung von Restriktionen und die effiziente Auslastung von Containern oder Paletten als primäres Optimierungsziel möglichst gut aufeinander abzustimmen.
Vor diesem Hintergrund beschäftigt sich der vorliegende Beitrag mit der Be- handlung verschiedener Restriktionen, die häufig bei Beladeproblemen mit einem einzelnen Container auftreten. Dabei sollen Ansätze der Implementierung von Restriktionen vorgestellt und anhand von Testrechnungen geprüft werden. Als zugrundeliegendes Stauverfahren wird der genetische Algorithmus (GA) von BORTFELDT undGEHRING (1998b) gewählt, der hier um gewisse Komponenten zur Berücksichtigung der ausgewählten Restriktionen erweitert wird.
Der Rest des Beitrags ist wie folgt gegliedert. In dem Abschnitt 2 wird zunächst das untersuchte Problem definiert und eine Auswahl betrachteter Restriktionen getroffen. Der Abschnitt 3 beschreibt den zu modifizierenden GA in groben Zü- gen. Nachdem der Abschnitt 4 einige konzeptionelle Überlegungen zur Restrikti- onsbehandlung bei Beladeproblemen anstellt, werden in dem Abschnitt 5 konkrete Ansätze der Implementierung der ausgewählten Restriktionen vorgeschlagen. Der Abschnitt 6 dokumentiert schließlich die Ergebnisse eines Verfahrenstests.
2 Problemformulierung und Auswahl der betrachteten Restriktionen
Das untersuchte Containerbeladeproblem läßt sich wie folgt formulieren: Ein gegebener Container ist mit einer Teilmenge eines gegebenen Kistenvorrats derart zu beladen, daß alle Kisten zulässig positioniert sind, das verstaute Kistenvolumen maximiert wird und die zu berücksichtigenden Restriktionen eingehalten werden.
Dabei gilt eine Kiste als zulässig positioniert, wenn sie seitenparallel zu den Grenzflächen des Containers angeordnet ist, nicht über die Grenzflächen des Containers hinausragt und nicht mit einer weiteren plazierten Kiste überlappt.
Literaturquellen, die in der Praxis vorkommende Restriktionen der Güterver- stauung zusammenhängend darstellen, sind rar. Einen fundierten Überblick über verschiedene Beladesituationen und zugehörige Restriktionen geben BISCHOFF und RATCLIFF (1995a). Eine auf das Sammelcontainergeschäft von Speditionen und Reedereien zugeschnittene Übersicht von Restriktionen findet sich in der Arbeit von MENSCHNER undMEYER (1987). KLING (1998) untersucht die von deutschen Softwareunternehmen vermarkteten Pack- und Beladeverfahren, wobei auch die von den Softwarepaketen berücksichtigten Staurestriktionen behandelt werden.
Der vorliegende Beitrag orientiert sich an den erstgenannten beiden Quellen und bezieht die sieben nachfolgend aufgeführten Restriktionen in die Problem- formulierung ein. Für das folgende sei vereinbart, daß sich der Container in dem ersten Oktanden eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit einer unteren Ecke im Koordinatenursprung befindet. Die Tiefe, Breite und Höhe des Contai- ners sollen in Richtung der x-, y- und z-Achse liegen. Die in der Ebene x = 0 liegende Containerstirnwand wird als Containerhinterwand, die andere Stirnwand als Containervorderwand bezeichnet; die Lagebegriffe „hinten“ und „vorn“ wer- den entsprechend verwendet. Die Containerlänge, -breite und -höhe werden durch lC, bC bzw. hC bezeichnet. Unterstellt wird ferner, daß der Schwerpunkt jeder Kiste und ihr geometrischer Mittelpunkt zusammenfallen.
(C1) Orientierungsrestriktion
Jede Kiste kann ursprünglich in maximal 6 Orientierungsvarianten bzw. Dre- hungsvarianten im Container angeordnet werden. Mit einer Orientierungs restriktion können pro Kiste bis zu 5 Drehungsvarianten verboten werden. So kann etwa die Verwendung eines Seitenmaßes als Höhenmaß ausgeschlossen werden, wenn es die Lagerung des in einer Kiste befindlichen Gutes verlangt.
(C2) Stabilitätsrestriktion
Im Interesse einer hohen Stabilität der Beladung wird für alle nicht auf dem Con- tainerboden ruhenden Kisten verlangt, daß ihre Grundfläche mindestens zu einem vorgegebenem Prozentsatz durch die Deckflächen weiterer Kisten unterstützt wird.
(C3) Überstapelungsrestriktion
Auf den Deckflächen gewisser Kisten dürfen keine weiteren Kisten plaziert wer- den, beispielsweise weil das betreffende Packstück keiner vertikalen Druckbela- stung ausgesetzt werden darf.
(C4) Gewichtsrestriktion
Das Gesamtgewicht der verstauten Kisten darf eine gegebene Obergrenze nicht überschreiten, weil z.B. der Container für ein höheres Nettogewicht der Ladung nicht ausgelegt ist.
(C5) Gleichgewichtsrestriktion
Der Abstand zwischen der x-Koordinate des Schwerpunktes der angeordneten Kisten und der Mitte der Containertiefe darf einen vorgegebenen Prozentsatz der Containertiefe nicht überschreiten. Eine analoge Bedingung gilt für die y- Koordinate des Schwerpunktes der angeordneten Kisten.
(C6) Prioritätsrestriktion
Eine gewisse Teilmenge der zu verpackenden Güter ist bei der Verstauung mit Priorität zu berücksichtigen. Dabei kann sich z.B. um rasch verderbliche Güter handeln oder um Güter, die einem angebotenen Tarif gemäß besonders schnell zum Zielort zu befördern sind.
(C7) Positionsrestriktion
Positionsrestriktionen beschränken die Stellpositionen für die zu verpackenden Kisten. Z. B. kann für temperaturempfindliche Güter gefordert werden, daß diese in der Mitte eines Containers plaziert werden, wo die Temperaturschwankungen meist geringer sind als an den Containerstirnwänden. Ebenso kann für besonders schwere Güter eine Plazierung auf dem Containerboden erforderlich sein.
Hier werden folgende vier anweisbare Stellpositionen unterschieden:
• Stellposition Containerboden: eine Kiste mit dieser Stellposition soll auf dem Containerboden plaziert werden.
• Stellposition Containerhinterwand: eine Kiste mit dieser Stellposition soll so angeordnet werden, daß ihre Hinterwand im hinteren Drittel des Containers liegt.
• Stellposition Containermitte: eine Kiste mit dieser Stellposition soll derart ver- staut werden, daß ihre Hinterwand oder ihre Vorderwand im mittleren Contai- nerdrittel liegt.
• Stellposition Containervorderwand: eine Kiste mit dieser Stellposition soll derart plaziert werden, daß ihre Vorderwand im vorderen Containerdrittel liegt.
Bekanntlich wird bei der Güterverstauung zwischen „harten“, d.h. auf jeden Fall einzuhaltenden Restriktionen und „weichen“, d.h. nach Möglichkeit einzu- haltenden Restriktionen unterschieden. Ob eine Restriktion als harte oder weiche Restriktion zu berücksichtigen ist, hängt zum einen sicherlich von den praktischen Gegebenheiten und den festgelegten Präferenzen des Stauprozesses ab. Zum ande- ren lassen sich gewisse zusätzliche Forderungen für ein vorgelegtes Packproblem unter Umständen nicht voll befriedigen. Wie einfache Beispiele von Kistenvorrä- ten mit inhomogener Dichte ohne weiteres zeigen, kann etwa eine harte Gleich- gewichtsrestriktion nicht immer eingehalten werden.
Hier werden die ersten vier Restriktionen (C1) bis (C4) als harte Restriktionen betrachtet, während die Gleichgewichtsrestriktion (C5) lediglich als weiche Re- striktion vorgegeben wird. Die beiden letzten Restriktionen (C6) und (C7) sollen alternativ als harte oder weiche Restriktion gefordert werden können. Bei einer weichen Prioritätsrestriktion (C6) wird deren Einhaltung durch die Kennzahl der Prioritätstreue gemessen. Diese ist als definiert als Quotient aus der Anzahl der verstauten prioritären Kisten und der Anzahl aller mit Priorität zu verstauenden Kisten. Analog wird die Einhaltung einer weichen Positionsrestriktion (C7) durch die Kennzahl der Positionstreue bewertet. Diese setzt die Anzahl der entsprechend einer vorgegebenen Stellposition korrekt plazierten Kisten zur Gesamtzahl der verstauten Kisten mit einer vorgegebenen Stellposition ins Verhältnis.
3 Der genetische Algorithmus im Überblick
Im folgenden wird der genetische Algorithmus von BORTFELDT und GEHRING (1998b) für Containerbeladeprobleme mit einem Container in groben Zügen be- schrieben, um das Verständnis der Implementierung der ausgewählten Restriktio- nen zu erleichtern. Für die Grundlagen der Suchstrategie genetischer Algorithmen sei etwa auf REEVES (1993) und FALKENAUER (1998) verwiesen.
Mit dem GA werden Kistenanordnungen bzw. Staupläne mit einer schichtarti- gen Struktur erzeugt. Ein generierter Stauplan besteht aus mehreren, vertikalen, quaderförmigen und nicht überlappenden Schichten parallel zu den Stirnwänden des Containers, die lückenlos aufeinander folgen. In jeder Schicht sind eine oder mehrere Kisten angeordnet, die nicht in benachbarte Schichten hineinragen.
Die Höhe und die Breite einer Schicht stimmen mit den korrespondierenden Containermaßen überein. Die Schichttiefe und damit die Schicht als Ganzes wird durch eine schichtbestimmende Kiste und deren räumliche Orientierung festgelegt und ergibt sich aus dem Tiefenmaß der schichtbestimmenden Kiste. Die Abbil- dung 1 zeigt die schichtartige Struktur erzeugter Staupläne.
Zur Generierung von Stauplänen wird eine als Basisverfahren bezeichnete in- tegrierte Heuristik genutzt. So werden anfangs mittels des Basisverfahrens kom- plette Staupläne als Startindividuen für die Evolution in Populationsstärke bereit- gestellt. Folgegenerationen werden im wesentlichen mit zwei problemspezifischen Operatoren – nämlich Crossover und Mutation – generiert. Diese übertragen je- weils zunächst Schichten der Elternindividuen mit besonders hoher Raumausla- stung unverändert auf die Nachkommen. Da diese hiernach im allgemeinen noch keine kompletten Lösungen darstellen, werden weitere Schichten durch das Basis- verfahren neu erzeugt.
Der GA wird derart gestaltet, daß die räumliche Reihenfolge der Schichten von Stauplänen zunächst gleichgültig ist. Dementsprechend wird erst für die abschlie- ßend auszugebende beste erzeugte Lösung eine Anordnung der enthaltenen Schichten im Container spezifiziert.
Schicht-1 y
x bC
lC Schichttiefe
0 schicht- bestimmende Kiste (sbk)
Schicht-2 Schicht-3 Schicht-4
sbk-1 sbk-2 sbk-3 sbk-4
Abb. 1: Schichtartige Struktur eines Stauplans (Draufsicht).
Die Erzeugung einer einzelnen Schicht mittels des Basisverfahrens umfaßt zwei Schritte. In dem ersten Schritt wird die Schicht definiert, indem ihre schicht- bestimmende Kiste und deren räumliche Orientierung bzw. Drehungsvariante festgelegt werden (Schichtdefinition). In dem zweiten Schritt wird die Schicht mit der schichtbestimmenden Kiste und weiteren Kisten gefüllt.
Für eine gegebene Schichtdefinition und eine gewisse Menge noch unverstau- ter Kisten ist die in dem zweiten Schritt einer Schichterzeugung produzierte Ki- stenanordnung bereits eindeutig festgelegt, da das Basisverfahren deterministisch ist. Andererseits müssen von dem Basisverfahren verschiedene Individuen für die Startpopulation bereitgestellt sowie bei der Anwendung der genetischen Operato- ren Nachkommen durch eine möglichst günstige Kombination neuer zusätzlicher Schichten mit hoher Raumauslastung komplettiert werden. Beide Aufgaben wer- den im wesentlichen durch eine Variation der Schichtdefinition und die Generie- rung einer entsprechenden Vielfalt von Schichten gelöst.
Das Füllen einer einzelnen Schicht sei etwas näher betrachtet. Hierbei werden sukzessive Resträume, d.h. freie, quaderförmige Räume innerhalb der Schicht beladen, indem je eine Kiste in der Referenzecke eines Restraumes plaziert wird.
Als Referenzecke wird die untere, hintere, linke Ecke des Restraumes benutzt. Der
erste verarbeitete Restraum ist stets der Schichtquader als Ganzes, der mit der schichtbestimmenden Kiste in der vorgegebenen Orientierung befüllt wird. Diese Kiste wird folglich immer auf dem Containerboden und an der linken Container- seitenwand plaziert.
Nach der Beladung eines Restraumes werden innerhalb desselben drei weitere Tochter-Resträume erzeugt, die in einem Restraum-Stack gesammelt und später verarbeitet werden. Das Füllen einer Schicht endet, wenn kein beladbarer Rest- raum mehr vorhanden ist.
Zur Beladung eines noch leeren Restraumes wird das volumenmaximale Paar unverstauter Kisten bestimmt, das vollständig im Restraum plazierbar ist. Dabei kann es sich auch um ein degeneriertes Kistenpaar handeln, das nur aus einer Kiste besteht. Zur Ermittlung des volumenmaximalen passenden Kistenpaares werden alle Paare unverstauter Kisten absteigend nach dem Paarvolumen durch- mustert. Eine Kiste des ermittelten Paares, nachfolgend durch kref bezeichnet, wird in der Referenzecke des Restraumes plaziert. Die zweite Kiste, bezeichnet durch knf, wird gegebenenfalls neben, vor oder über der Kiste kref angeordnet (vgl. Abbil- dung 2).
Bei mehreren Möglichkeiten der Anordnung der für einen Restraum ermittelten Kisten werden nach gewissen heuristischen Regeln die relative Lage und die Dre- hungsvarianten der Kisten sowie die Kiste für die Refererenzecke bestimmt. Aus- geschlossen wird eine Plazierung zweier Kisten übereinander, bei der die oben liegende Kiste seitlich überhängt.
Die nicht für die Referenzecke des Restraumes bestimmte Kiste knf ist bereits für einen der Tochter-Resträume des aktuell verarbeiteten Restraumes vorgesehen und wird in diesem eingetragen. Erweist sich nun ein vom Restraum-Stack ent- nommener Restraum als bereits gefüllt, entfällt seine Beladung und es sind ledig- lich noch dessen Tochter-Resträume zu generieren.
z
x
Restraum
a) Lagevariante vor
y knf
z
x
b) Lagevariante neben
y kref
knf
z
x
c) Lagevariante über
y knf
kref
kref
Abb. 2: Lagevarianten zweier Kisten in einem Restraum.
Zur Erzeugung der Tochter-Resträume eines beladenen Restraumes wird der gesamte nicht von der Kiste kref eingenommene Raum in drei disjunkte Quader vor, neben und über kref zerlegt. Der Tochter-Restraum über kref wird so bestimmt, daß seine Grundfläche mit der Deckfläche der Kiste kref zusammenfällt. Wegen des Ausschlusses seitlich überhängender Kisten ist damit gewährleistet, daß eine zur Plazierung oberhalb von kref ermittelte Kiste knf ganz in dem Tochter-Restraum über kref Platz findet. Die Tochter-Resträume vor und neben der Kiste kref werden ebenso derart bestimmt, daß gegebenenfalls eine zur Plazierung vor bzw. neben kref vorgesehene Kiste knf vollständig in den entsprechenden Tochter-Restraum hineinpaßt. Die Abbildung 3 veranschaulicht die Generierung von Tochter- Resträumen.
y
Abb.3: Generierung von Tochter-Resträumen.
4 Konzeptionelle Bemerkungen zur Behandlung von Restriktionen
Bevor konkrete Ansätze zur Behandlung der ausgewählten Restriktionen für den genetischen Algorithmus vorgeschlagen werden, sollen vorbereitend einige kon- zeptionelle Überlegungen hinsichtlich der Ziele und möglichen Varianten der Restriktionsberücksichtigung angestellt werden.
Bei der Behandlung von Restriktionen von Containerbeladeproblemen sind verschiedene Zielsetzungen zu beachten. So muß zunächst natürlich die strikte Einhaltung harter Restriktionen gewährleistet werden. Allerdings sollte dies nicht in beliebiger Weise geschehen. Die Implementierung harter Restriktionen sollte vielmehr so erfolgen, daß die Raumauslastung als primäres Optimierungsziel hiervon möglichst wenig betroffen ist.
Weiche Restriktionen besitzen den Charakter zusätzlicher, sekundärer Optimie- rungskriterien (vgl. BISCHOFF undRATCLIFF 1995a). Ihre Berücksichtigung kann in Konflikt mit einer hohen Raumauslastung geraten. Bei solchen Zielkonflikten ist ein geeigneter Kompromiß zwischen einer hohen Volumenauslastung und den zusätzlich vorliegenden Optimierungskriterien anzustreben. Bei mehreren in Kon- flikt liegenden sekundären Optimierungszielen ist möglichst ebenfalls eine ak- zeptable Balance zwischen diesen herzustellen. Schließlich sollte ein Packverfah- ren für weiche Restriktionen mehrere Optionen bzw. Strategien anbieten, die unterschiedlichen Gewichtungen der verschiedenen Optimierungskriterien ent- sprechen.
Restriktionen können in einem Packverfahren auf unterschiedliche Weise Be- rücksichtigung finden. Drei mögliche Typen der Restriktionsbehandlung seien näher betrachtet:
(1) Eingriffe in die Packmustererzeugung
Bei diesem Typ der Restriktionsbehandlung werden Beschränkungen und zu-
sätzliche Bedingungen der Verstauung direkt und von vornherein bei der Er- zeugung von Kistenanordnungen beachtet. Insbesondere die Einhaltung har- ter Restriktionen wird oft auf diese Weise erzwungen, weil unzulässige Ki- stenanordnungen erst gar nicht erzeugt werden. Dies kann auch unter dem Gesichtspunkt des Verfahrensaufwands vorteilhaft sein. Allerdings erfordert dieser Typ der Restriktionsbehandlung manchmal einen erheblichen Realisie- rungsaufwand.
(2) Adaption der Zielfunktion
Die Anwendung des zweiten Typs der Restriktionsbehandlung kommt unter anderem bei Metaheuristiken in Betracht, die in ihrem Ablauf eine Vielzahl von Problemlösungen generieren, welche mittels einer verfahrenseigenen Zielfunktion bewertet und verglichen werden. Bei der Lösung restriktions- freier Beladeprobleme wird sich die verwendete Zielfunktion ausschließlich an der Raumauslastung orientieren. Sind nun zusätzliche Restriktionen zu be- achten, kann die Zielfunktion derart modifiziert werden, daß sie auch die Einhaltung dieser Restriktionen reflektiert. Hiernach können solche Lösungen selektiert werden, die sowohl im Sinne der Raumauslastung wie auch der Re- striktionen bzw. zusätzlichen Optimierungskriterien als besonders geeignet erscheinen. Ein zusätzlicher Eingriff in die Packmustererzeugung ist dabei nicht unbedingt erforderlich. Eine Adaption der Zielfunktion erscheint vor- rangig für weiche Restriktionen geeignet. Insbesondere lassen sich durch die Variation von Zielfunktionskoeffizienten oder ein Angebot mehrerer separa- ter Zielfunktionen recht einfach verschiedene Gewichtungen der relevanten Optimierungskriterien realisieren. Der Einsatz angepaßter Zielfunktionen kommt für harte Restriktionen dann in Frage, wenn das Packverfahren ohne weiteres zulässige Lösungen in hinreichender Zahl produziert.
(3) Nachbehandlung der Verfahrenslösung
Bei dem dritten Typ der Restriktionsbehandlung wird die Verfahrenslösung zunächst ohne Rücksicht auf einzuhaltende Restriktionen bzw. zusätzliche Optimierungskriterien erzeugt und abschließend im Hinblick auf diese einer geeigneten Nachbehandlung unterworfen. Diese Vorgehensweise erscheint nur dann sinnvoll, wenn die Verfahrenslösung durch die Nachbehandlung hinsichtlich der Raumauslastung oder weiterer gewünschter und bereits er- reichter Lösungsmerkmale nicht erheblich verschlechtert wird. Die Berück- sichtigung von Restriktionen mittels Nachbehandlung setzt daher voraus, daß ihre Einhaltung keinen oder nur einen geringen Konflikt mit der Raumausla- stung oder bereits beachteten Restriktionen verursacht.
5 Ansätze zur Behandlung der ausgewählten Restriktionen
Nachfolgend werden Implementierungsansätze für die oben ausgewählten 7 Re- striktionen und den betrachteten GA vorgestellt. Bei einigen harten Restriktionen soll geprüft werden, ob mittels zusätzlicher Heuristiken ein Absinken der Raum- auslastung vermindert werden kann. Einzeln oder auch kombiniert einsetzbare Varianten zur Behandlung weicher Restriktionen zielen auf die Realisierung ver-
schiedener Gewichtungen von Optimierungskriterien ab. Soweit feste numerische Parameter in den Ansätzen vorkommen, wurden diese durch Tests ermittelt.
(C1) Orientierungsrestriktion
Die Beachtung einer Orientierungsrestriktion erfolgt natürlicherweise so, daß bei jeder Festlegung der räumlichen Orientierung einer Kiste nur die zugelassenen Drehungsvarianten zur Auswahl angeboten werden.
(C2) Stabilitätsrestriktion
Der GA wurde im Interesse einer hohen Stabilität der Beladung ursprünglich so entworfen, daß jede oberhalb des Containerbodens plazierte Kiste stets vollständig durch weitere Kisten unterstützt wird (vgl. Abschnitt 3). In der Praxis kommen indessen durchaus Situationen vor, bei denen überhängende Kisten toleriert wer- den und zum Beispiel eine Grundflächenunterstützung von 70% als ausreichend angesehen wird (vgl. z. B. PORTMANN 1990). Werden seitlich überhängende Ki- sten zugelassen, sollte dies andererseits zu einer im allgemeinen höheren Volu- menauslastung führen. Daher sei skizziert, wie bei dem GA eine Stabilitätsrestrik- tion mit einem variablen Prozentsatz der Mindestunterstützung von Kisten reali- siert werden kann.
Betroffen sind hiervon im wesentlichen das Füllen von Resträumen und die Generierung von Tochter-Resträumen. Bei dem Füllen von Resträumen sind nun auch alle Plazierungen von Kistenpaaren zur Konkurrenz zuzulassen, bei denen beide Kisten übereinander angeordnet sind und die obere Kiste seitlich überhängt, falls die vorgeschriebene Mindestunterstützung dieser Kiste eingehalten wird.
Wurde eine solche Kistenplazierung mit den Kisten kref und knf für einen Restraum bestimmt, muß auch die Generierung von Tochter-Resträumen modifiziert wer- den. Hierzu werden die horizontalen Maße des Tochter-Restraumes oberhalb von kref für die oben liegende und überhängende Kiste knf derart modifiziert, daß diese ganz in den Tochter-Restraum paßt. Dies bedingt wiederum, daß die Maße der anderen Tochter-Resträume vor und neben der Kiste kref ebenfalls angepaßt wer- den, um überschneidungsfreie Tochter-Resträume zu gewährleisten. Da die Gene- rierung von Tochter-Resträumen für den vorliegenden Fall stets mit einem gewis- sen Stauraumverlust verbunden ist, wird unter verschiedenen Varianten der Re- straumanpassung eine Variante mit minimalem Raumverlust gewählt. Bemerkt sei, daß die Realisierung einer Stabilitätsrestriktion mit variabler Mindestunter- stützung die Komplexität des Basisverfahrens erheblich erhöht.
(C3) Überstapelungsrestriktion
Für nicht überstapelbare Kisten muß ausgeschlossen werden, daß durch weitere plazierte Kisten eine Lastübertragung stattfindet. Dies geschieht zum einen, indem für eine in der Referenzecke eines Restraumes angeordnete nicht überstapelbare Kiste kein Tochter-Restraum oberhalb dieser Kiste generiert wird. Wurden ferner für einen Restraum zugleich zwei zu plazierende Kisten bestimmt, so wird ausge- schlossen, daß eine nicht überstapelbare Kiste in der Referenzecke des Restraumes und die zweite Kiste oberhalb der ersten angeordnet wird. Wird simultan mit einer Überstapelungsrestriktion eine Stabilitätsrestriktion mit einer Mindestunterstüt- zung von weniger als 100% gefordert, muß zusätzlich verhindert werden, daß
seitlich überhängende Kisten Last auf unter ihnen liegende und nicht überstapel- bare Kisten übertragen. Um dies zu gewährleisten, wird vermieden, daß nicht überstapelbare Kisten die Höhe ihres Restraumes voll auslasten.
Um den durch nicht überstapelbare Kisten bedingten Raumverlust im Contai- ner möglichst gering zu halten, wird eine Verfahrensmodifikation vorgenommen, die darauf abzielt, nicht überstapelbare Kisten möglichst weit oben im Container zu plazieren:
(C3.1) Zum einen wird eine nicht überstapelbare Kiste als schichtbestimmende Kiste nur dann akzeptiert, wenn keine zulässige Schichtdefinition mit ei- ner volumengrößeren und überstapelbaren schichtbestimmenden Kiste erzeugt werden kann. Ferner wird das Füllen von Resträumen modifi- ziert. Pro Restraum werden unter Beibehaltung der ursprünglichen Rei- henfolge der Durchmusterung von Kistenpaaren und Lagevarianten bis zu drei Plazierungen bestimmt. Für jede Plazierung wird das im Re- straum entstehende Verlustvolumen berechnet, das entsteht, wenn eine oder beide Paarkisten nicht überstapelbar sind. Unter den bis zu drei Pla- zierungen wird schließlich diejenige gewählt, für welche die Differenz aus dem verstauten Volumen und 70% des Verlustvolumens maximal ist.
(C4) Gewichtsrestriktion
Zur Einhaltung einer harten Gewichtsrestriktion wird das bei der Erzeugung einer Lösung jeweils bereits im Container verstaute Kistengewicht protokolliert. Die Verstauung weiterer Kisten wird nur zugelassen, wenn hierdurch das vorgeschrie- bene Maximum des Ladungsgewichts nicht überschritten wird.
Bei Testrechnungen für Probleme mit Kistenvorräten homogener Dichte lagen die erzielten Volumenauslastungen im Mittel um weniger als 1.5% von der durch die Gewichtsrestriktion bedingten Obergrenze entfernt (vgl. BORTFELDT und GEHRING 1998b). Hiernach erscheinen Zusatzheuristiken, die ein Absinken der Volumenauslastung bei Gewichtsrestriktionen vermindern, für Kistenvorräte ho- mogener Dichte nicht erforderlich. Jedoch soll hier geprüft werden, ob sich eine entsprechende Zusatzheuristik für den Fall von Kistenvorräten mit inhomogener Dichte finden läßt:
(C4.1) Um dem Auftreten von Lösungen mit relativ hoher Dichte entgegenzu- wirken, wird die Reihenfolge der Durchmusterung von Kistenpaaren bei der Beladung eines Restraumes modifiziert. Ursprünglich wird von zwei Paaren das volumengrößere zuerst daraufhin geprüft, ob es im Restraum plazierbar ist. Seien nun die Kistenpaare kp1 und kp2 gegeben, wobei kp1 das volumengrößere Kistenpaar ist, jedoch die Dichte von kp2 80%
der Dichte von kp1 unterschreitet. Ferner überschreite das Volumen von kp2 90% des Volumens von kp1. Sind beide genannten Bedingungen er- füllt, wird zuerst das Kistenpaar kp2 mit geringerer Dichte untersucht.
Die Favorisierung von Paaren geringer Dichte soll also nicht mit einer stärkeren Reduzierung des verstauten Volumens erkauft werden. Man beachte, daß die Durchmusterung der Kistenpaare terminiert, sobald ein Kistenpaar im Restraum plazierbar ist.
(C5) Gleichgewichtsrestriktion
Zur Berücksichtigung einer weichen Gleichgewichtsrestriktion wird die ermittelte Verfahrenslösung mittels einer elementaren Heuristik in beiden horizontalen Richtungen ausbalanciert.
Die Heuristik verwendet nur eine Operation, um den Ladungsschwerpunkt der halben Containerbreite anzunähern (Ausbalancierung in y-Richtung). Hierbei wird in wiederholten Versuchen jeweils eine andere Auswahl der Stauplanschichten an der durch die halbe Containerbreite gegebenen Ebene y = bC/2 gespiegelt.
Hingegen werden zwei Operationen genutzt, um den Ladungsschwerpunkt der halben Containerlänge anzunähern (Ausbalancierung in x-Richtung). Falls die Ladung nicht die gesamte Containerlänge auslastet, werden zum einen alle Schichten gemeinsam und wiederholt um verschiedene Anteile der ungenutzten Containerlänge verschoben. Die zweite Operation vertauscht ebenfalls in wieder- holten Versuchen paarweise Schichten des Stauplans. Dabei wird die Ausgangs- reihenfolge der Schichten so gewählt, daß an beiden Containerstirnwänden leich- tere und in der Containermitte schwerere Schichten angeordnet sind.
Umfangreiche Testrechnungen für Probleme mit Kistenvorräten homogener Dichte haben gezeigt, daß durch die beschriebene Nachbehandlung sehr gut aus- balancierte Staupläne erzeugt werden können (vgl. BORTFELDT und GEHRING 1998b). Ferner gilt offenbar, daß die gewählte Methode der Ausbalancierung die Volumenauslastung der Verfahrenslösung nicht tangiert. Dies spricht dafür, daß die Nachbehandlung in diesem Fall eine geeignete Weise der Restriktionsbe- handlung ist.
(C6) Prioritätsrestriktion
Zur Berücksichtigung einer weichen Prioritätsrestriktion werden drei Ansätze vorgeschlagen:
(C6.1) Die erste Zusatzheuristik modifiziert die Zielfunktion des GA. Zusätzlich zu der Volumenauslastung wird ein zweites und nachgeordnetes Kriteri- um in die Zielfunktion aufgenommen. Bei gleicher Volumenauslastung wird derjenige Stauplan als besser bewertet, der eine größere Zahl von prioritären Kisten plaziert.
(C6.2) Die zweite Zusatzheuristik unterscheidet sich von der ersten nur inso- fern, als die Rangfolge der beiden Bewertungskriterien der Zielfunktion vertauscht wird. Nun wird also ein Stauplan s1 besser als ein Stauplan s2 bewertet, wenn s1 prioritäre Kisten in höherer Anzahl enthält oder wenn bei gleicher Anzahl verstauter Kisten mit Priorität der Stauplan s1 eine höhere Volumenauslastung aufweist.
(C6.3) Der dritte Ansatz beeinflußt wieder direkt die Erzeugung von Kistenan- ordnungen. Analog zu der Heuristik (C4.1) wird hierzu die Reihenfolge der Durchmusterung von Kistenpaaren bei dem Füllen von Resträumen modifiziert. Solange noch unverstaute prioritäre Kisten vorhanden sind, werden ausschließlich solche Kisten bzw. entsprechende Kistenpaare für das Füllen von Resträumen zugelassen. Nur wenn bei dieser Einschrän- kung der Restraum gänzlich ungefüllt bliebe, werden bei einer zweiten Durchmusterung wieder alle Kistenpaare zugelassen.
Zur Behandlung einer harten Prioritätsrestriktion wird zum einen die zuletzt beschriebene Heuristik (C6.3) unverändert übernommen. Zusätzlich werden auch als schichtbestimmende Kisten im allgemeinen nur prioritäre Kisten zugelassen, solange noch mindestens eine unverstaute Kiste mit Priorität vorhanden ist.
Schließlich wird die Einhaltung einer harten Prioritätsrestriktion erzwungen, in- dem ungültige Lösungen nach ihrer Erzeugung mit einem Nullwert bewertet wer- den. In diesem Fall wird also eine Modifikation der Zielfunktion im Zusammen- hang mit einer harten Restriktion vorgenommen.
(C7) Positionsrestriktion
Bei der Implementierung einer Positionsrestriktion wirkt sich erschwerend aus, daß während der Erzeugung von Lösungen durch den GA deren Schichtreihenfol- ge unspezifiziert bleibt. So kann die Einhaltung horizontaler Positionsvorgaben nur indirekt gesteuert und näherungsweise überprüft werden. Für beide Zwecke wird folgender Ansatz verwendet:
• Jeder erzeugten Schicht wird als Ganzes eine horizontale Position zugeordnet.
Diese kann entsprechend den möglichen horizontalen Positionsvorgaben für einzelne Kisten die Werte „indifferent“, „hinten“, „mitte“ sowie „vorn“ anneh-
• men.Die Schichtposition wird stets mit dem Wert „indifferent“ initialisiert. Sobald
die erste Kiste mit einer vorgegebenen horizontalen Stellposition in der Schicht plaziert wird, erhält die Schichtposition den entsprechenden Wert. Wird keine Kiste mit vorgegebener horizontaler Stellposition in der Schicht angeordnet, behält dagegen die Schichtposition den Wert „indifferent“.
• Eine einzelne verstaute Kiste gilt als korrekt positioniert, wenn sie keine vorge- gebene Stellposition besitzt oder wenn sie gemäß ihrer vorgegebenen Stellposi- tion auf dem Containerboden plaziert wurde oder wenn die Kiste eine horizon- tale Stellposition besitzt, die mit der Position ihrer Schicht übereinstimmt.
Zur Berücksichtigung einer weichen Positionsrestriktion werden drei Zusatz- heuristiken eingeführt:
(C7.1) Die erste Zusatzheuristik modifiziert wiederum die Zielfunktion des GA durch die Aufnahme eines zweiten und nachgeordneten Bewertungskri- teriums zusätzlich zur Volumenauslastung. Bei gleicher Volumenausla- stung wird jetzt derjenige Stauplan als besser bewertet, der eine größere Zahl von korrekt positionierten Kisten plaziert.
(C7.2) Die zweite Zusatzheuristik weicht von der ersten nur insofern ab, als die Rangfolge der beiden Bewertungskriterien der Zielfunktion umgedreht wird.
(C7.3) Der dritte Ansatz greift erneut in die Erzeugung von Kistenanordnungen ein. Gewährleistet wird hierbei, daß bei dem Füllen von Resträumen kei- ne Kisten im oben definierten Sinn falsch positioniert werden. Zum einen werden also Kisten mit entsprechender vertikaler Stellposition aus- schließlich auf dem Containerboden angeordnet. Zum anderen werden in einer Schicht nur Kisten mit einer horizontalen Stellposition plaziert, die der Schichtposition nicht zuwiderläuft.
Jeder der drei Ansätze wird durch folgende Nachbehandlung der Verfahrenslö- sung komplettiert:
• Die Nachbehandlung erfolgt im Rahmen der Heuristik zur Berücksichtigung der Gleichgewichtsrestriktion (C5). Die Heuristik wird hierzu allerdings geeignet modifiziert.
• Zum einen wird bei einer positiven restlichen freien Containerlänge die Ladung stets um den halben Betrag dieser Länge verschoben, während Verschiebungen um andere Anteile der freien Containerlänge suspendiert werden. Hierdurch soll z.B. vermieden werden, daß für das hintere Drittel des Containers bestimmte Kisten in die Mitte des Containers verlagert werden.
• Die Schichten der Verfahrenslösung werden gemäß ihrer horizontalen Schicht- position gruppenweise von hinten nach vorn in dem Container angeordnet. Zu- vor werden die Schichten mit der Position „indifferent“ derart in zwei Gruppen geteilt, daß beide Gruppen etwa das gleiche Gewicht besitzen. Die Schichten dieser Gruppen werden zwischen den Schichten mit den Positionen „hinten und
„mitte“ bzw. „mitte“ und „vorn“ plaziert. Auch diese Maßnahme dient dazu, unerwünschte Verlagerungen von Kisten mit horizontaler Stellposition zu ver- meiden.
• Schließlich werden die zur Ausbalancierung in x-Richtung durchgeführten Schichtvertauschungen nur noch zwischen Schichten der gleichen Gruppe zu- gelassen.
Die beschriebene Modifikation der Heuristik für die Gleichgewichtsrestriktion trägt einem bestehenden Zielkonflikt zwischen dieser und der Positionsrestriktion Rechnung. Die einzelnen Maßnahmen dienen – im Sinne eines Kompromisses zwischen den Restriktionen – teils einem gut ausbalancierten Stauplan und teils der Vermeidung von fehlpositionierten Kisten.
Zur Berücksichtigung einer harten Positionsrestriktion werden zunächst die Ansätze für die weiche Positionsrestriktion einzeln oder auch kombiniert verwen- det. Ferner wird die Verfahrenslösung wie bei der weichen Positionsrestriktion nachbehandelt. Falls ein folgender Test anzeigt, daß noch falsch positionierte Kisten vorhanden sind, werden diese abschließend aus dem Stauplan entfernt.
Gegebenenfalls müssen weitere Kisten, die über den entfernten Kisten liegen, abgesenkt werden.
6 Der Verfahrenstest
Mit dem folgenden Verfahrenstest soll die Tauglichkeit der für die verschiedenen Restriktionen vorgeschlagenen Ansätze geprüft werden. Anschließend wird zu- nächst auf die benutzten Testprobleme eingegangen, bevor die Testergebnisse dokumentiert werden.
Benutzte Testprobleme
Der Verfahrenstest wird mit zufällig erzeugten Problembeispielen durchgeführt.
Diese werden mit dem in GEHRING undBORTFELDT (1997) beschriebenen Pro- blemgenerator erzeugt, der um entsprechende Komponenten für Prioritäts- und Positionsrestriktionen erweitert wurde. Im einzelnen werden 12 Testfälle mit je 100 Probleminstanzen generiert.
Für die insgesamt 1200 erzeugten Problembeispiele wird einheitlich ein 40- Fuß-Standardcontainer einer Containerlänge von 1207 cm, einer Containerbreite von 237 cm und einer Containerhöhe von 240 cm verwendet. Bis auf den Testfall 8 umfaßt der Kistenvorrat jedes Problems 50 Kisten; die Instanzen des Testfalls 8 umfassen je 100 Kisten. Die Kistenvorräte aller 1200 Probleme sind durchweg stark heterogen; je zwei Kisten weisen in der Regel verschiedene Seitenmaße auf.
Die Kisten werden ferner bei zufälliger Wahl der Seitenmaße derart dimensio- niert, daß ihre Volumensumme das Containervolumen erreicht.
Die Testfälle unterscheiden sich im wesentlichen bezüglich der Auswahl zu be- achtender Restriktionen, die für jeden Testfall in der Tabelle 1 angegeben wird.
Die anschließenden Erläuterungen legen die pro Testfall zu berücksichtigenden Restriktionen im Detail fest:
• Alle 12 Testfälle beinhalten eine harte Stabilitätsrestriktion (C2). Die geforderte Mindestunterstützung für die Grundflächen verstauter Kisten beträgt 70% bei den Testfällen 4 bis 6 und 100% bei allen übrigen Testfällen. Die Testfälle 4 bis 6 weichen lediglich bezüglich der Stabilitätsrestriktion von den Testfällen 1 bis 3 ab, so daß ein Ergebnisvergleich für beide Gruppen Rückschlüsse auf den Ef- fekt einer Reduzierung der Mindestunterstützung erlaubt.
• Ebenso weisen alle 12 Testfälle eine weiche Gleichgewichtsrestriktion (C5) auf.
Diese fordert stets, daß die Abweichung des Ladungsschwerpunktes von der Containermitte in beiden Horizontalen nicht mehr als 1% des jeweiligen Con- tainerseitenmaßes beträgt.
• Die Testfälle 2, 5 und 8 besitzen eine harte Orientierungsrestriktion. Diese ist jeweils derart ausgelegt, daß für die betroffenen Kisten nur ein Seitenmaß als Höhenmaß verwendet werden darf. Betroffen sind von den Kippverboten bei den Testfällen 2 und 5 jeweils alle 50 Kisten, bei dem Testfall 8 25% der Ki- sten, d.h. 25 von 100.
• Die Testfälle 3, 6 und 8 weisen eine harte Überstapelungsrestriktion (C3) auf.
Bei den Testfällen 3 und 6 sind hiervon 50% der Kisten, d.h. 25 von 50 Kisten betroffen. Bei den Problemen des Testfalls 8 werden 25%, d.h. 25 von 100 Ki- sten als nicht überstapelbar festgelegt.
• Die Testfälle 7 und 8 enthalten eine harte Gewichtsrestriktion (C4). Das Ge- wicht der Kistenvorräte beträgt bei den Testfällen 7 und 8 im Mittel 233% bzw.
149% des maximalen Ladungsgewichts. Die Kistenvorräte aller Probleme bei- der Testfälle besitzen eine inhomogene Dichte.
• Der Testfall 9 umfaßt eine weiche Prioritätsrestriktion (C6) mit jeweils 50%, d.h. 25 von 50 mit Priorität zu verstauenden Kisten pro Problem. Bei dem mit einer harten Prioritätsrestriktion (C6) versehenen Testfall 10 sind pro Problem 20%, d.h. 10 von 50 Kisten mit Priorität zu verladen.
• Die Testfälle 11 und 12 enthalten eine weiche bzw. harte Positionsrestriktion.
Für alle Probleme beider Testfälle wird für jeweils 48%, d.h. 24 von 50 Kisten eine Stellposition vorgegeben. Dabei entfallen auf jede der möglichen 4 Stell- positionen jeweils 6 Kisten.
Tab. 1: Auswahl der Restriktionen für die Testfälle 1 bis 12.
Testfall Geforderte Restriktionen
1 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5)
2 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Orientierung (C1) 3 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Überstapelung (C3) 4 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5)
5 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Orientierung (C1) 6 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Überstapelung (C3) 7 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Gewicht (C4) 8 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Orientierung (C1),
Überstapelung (C3), Gewicht (C4)
9 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Priorität, weich (C6) 10 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Priorität, hart (C6) 11 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Position, weich (C7) 12 Stabilität (C2), Gleichgewicht (C5), Position, hart, (C7) Testresultate
Die Testrechnungen wurden auf einem Pentium-PC mit einer Taktfrequenz von 400 MHz durchgeführt. Der genetische Algorithmus wurde wie in BORTFELDT undGEHRING (1998b) angegeben parametrisiert. Insbesondere wurde auch hier eine maximale Problemrechenzeit von ca. 500 s vorgegeben. Jedes Testproblem wurde bei einheitlicher Wahl der Wurzel der Zufallszahlenerzeugung für den GA nur einmal berechnet.
(1) Ergebnisse für die Testfälle 1 bis 8
Die Tabelle 2 zeigt die bei der Berechnung der Testfälle 1 bis 8 erhaltenen Ergeb- nisse. Benutzte Zusatzheuristiken werden in der dritten Tabellenspalte vermerkt.
Tab. 2: Resultate für die Testfälle 1 bis 8.
Volumenauslastung Lauf Testfall Zusatz-
heuristik
Mittelwert (%)
Streuung (%)
Gleichge- wichtsab- weichung
(%)
mittlere Rechenzeit
(s)
1 1 - 89.60 1.64 0.22 462.2
2 2 - 84.14 1.74 0.26 181.5
3 3 - 84.06 2.34 0.22 399.9
4 3 C3.1 84.40 2.21 0.29 224.1
5 4 - 90.44 1.76 0.23 456.0
6 5 - 85.74 1.58 0.30 180.1
7 6 C3.1 87.30 2.26 0.18 471.6
8 7 - 60.16 4.33 2.50 365.5
9 7 C4.1 60.19 4.52 1.90 371.9
10 8 - 80.52 3.36 1.72 502.1
Die Ergebnisse für die Testfälle 1 bis 8 lassen sich wie folgt bilanzieren. Der GA erzielt eine hohe Volumenauslastung für stark heterogene Probleme, wenn neben der der Stabilitätsrestriktion und der Gleichgewichtsrestriktion keine weite- ren Restriktionen verlangt werden. Bei zusätzlichen harten Orientierungs- und Überstapelungsrestriktionen sinkt die Raumauslastung erwartungsgemäß deutlich ab, im gegebenen Fall um etwa 5 bis 6% des Containervolumens. Die Zusatzheu- ristik (C3.1) für die Überstapelungsrestriktion vermag das Absinken der Raum- auslastung nur in geringem Umfang zu reduzieren, erbringt jedoch einen deutli- chen Rechenzeitgewinn. Die Zusatzheuristik (C4.1) für die Gewichtsrestriktion erreicht keinen Gewinn bei der Raumauslastung.
Als erfolgreicher erweist sich die Implementierung einer Stabilitätsrestriktion mit variabler Mindestunterstützung. Wie ein Vergleich der Läufe 5 bis 7 mit den Läufen 1 bis 3 zeigt, ergibt sich bei einer Mindestunterstützung der Kistengrund- flächen von nur noch 70% eine Steigerung der Volumenauslastung um bis zu 3%.
Dies gilt besonders dann, wenn weitere harte Restriktionen zu beachten sind.
(2) Ergebnisse für die Testfälle 9 bis 12
In der Tabelle 3 sind die Resultate für die Testfälle 9 bis 12 aufgeführt, wobei wieder die jeweils verwendeten Zusatzheuristiken ausgewiesen werden.
Tab. 3: Resultate für die Testfälle 9 bis 12.
Volumen- auslastung Lauf Test-
fall
Zusatz-
heuristik Mittelwert (%)
Streuung (%)
Gleich- gewichts- abweichung
(%)
Prioritäts- treue
(%)
Positions- treue
(%)
mittlere Rechen- zeit
(s)
11 9 - 89.62 1.79 0.19 87.12 - 463.6
12 9 C6.1 89.62 1.79 0.19 87.04 - 464.1
13 9 C6.2 88.34 1.49 0.19 99.68 - 462.0
14 9 C6.3 88.15 1.61 0.29 91.84 - 487.1
15 9 C6.1, C6.3 88.15 1.60 0.27 91.68 - 487.1
16 9 C6.2, C6.3 87.46 1.45 0.24 99.92 - 487.8
17 10 C6.3 86.37 7.12 0.54 100.00 - 228.3
18 11 - 89.58 1.64 0.90 - 61.05 463.5
19 11 C7.1 89.58 1.65 0.85 - 62.50 464.9
20 11 C7.2 86.32 2.43 0.85 - 92.99 494.9
21 11 C7.3 87.96 1.55 0.80 - 95.83 493.1
22 11 C7.1, C7.3 87.98 1.55 0.83 - 95.71 493.6
23 11 C7.2, C7.3 87.96 1.54 0.79 - 95.72 493.1
24 12 C7.1, C7.3 86.74 2.33 1.76 - 100.00 486.4
Die Ergebnisse für diese Testfälle seien wie folgt zusammengefaßt. Die vorge- schlagenen Zusatzheuristiken für die Prioritäts- sowie die Positionsrestriktion erweisen sich nach den vorliegenden Ergebnissen im allgemeinen als sinnvoll.
Sowohl in der weichen wie auch in der harten Variante können diese Restriktio- nen ohne erhebliche Einbuße der Volumenauslastung berücksichtigt werden. Mit einigen der Zusatzheuristiken lassen sich offenbar unterschiedliche Gewichtungen
des primären Zielkriteriums der Raumauslastung einerseits und des jeweiligen sekundären Optimierungskriteriums andererseits realisieren.
Für alle 12 Testfälle werden bezüglich der Gleichgewichtsrestriktion gute bis sehr gute Resultate erzielt.. Auch im ungünstigsten Fall weicht der Ladungs- schwerpunkt in beiden horizontalen Richtungen um weniger als 2.5% von der Containermitte ab. Insbesondere wird auch eine akzeptable Balance zwischen der Gleichgewichts- und der Positionsrestriktion erreicht.
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