05. Mai 2008

05. Mai 2008

Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 5

Abgabe: 19. Mai 2008

H14. Teilchen in st¨ uckweise konstantem Potential

Ein Teilchen bewege sich in einem st¨ uckweise konstanten Potential, das wie folgt gegeben sei (siehe Grafik)

V (x) =



 



 



V ₃ = ∞ , x < 0 , V ₁ > 0 , 0 ≤ x < a ₁ , V ₀ = 0 , a ₁ ≤ x < a ₂ , V ₂ > V ₁ , x ≥ a ₂ .

V

0 V(x)

x V

a

a

Das Verhalten der Eigenfunktionen φ _n (x) der station¨aren Schr¨odingergleichung zu diesem Potential soll im folgenden qualitativ diskutiert werden.

i) ¨ Uberlegen Sie sich f¨ ur jeden der drei Energiebereiche, V _k < E _n < V _k+1 , 0 ≤ k ≤ 2, ob die Eigenfunktion in den einzelnen Intervallen, I ₁ = [0, a 1 ), I ₂ = [a 1 , a ₂ ), I ₃ = [a 2 , ∞), eine oszillierende Funktion ist oder nicht. Fertigen Sie eine grobe Skizze des Realteils der Eigenfunktion φ _n (x) an (2P).

ii) Eine Eigenfunktion φ _n (x) l¨ aßt sich entsprechend der drei Intervalle I _l (l = 1, 2, 3) in eine Summe von drei Teilwellenfunktionen, gegeben durch

φ ^(l) _n (x) =

φ _n (x) , x ∈ I _l

0 , ansonsten , l = 1, 2, 3

zerlegen. Geben Sie f¨ ur einen der drei Energiebereiche Ihrer Wahl eine m¨oglichst all- gemeine L¨osung f¨ ur die drei Teilwellenfunktionen an (1P). Wieviel freie Parameter hat diese L¨osung, wenn man keinerlei Anschlussbedingungen (Stetigkeitsbedingungen und Randbedingungen) an sie stellt? Wieviele Parameter werden durch die Anschlussbedin- gungen fixiert (1P)? Die resultierenden Gleichungen brauchen nicht gel¨ ost zu werden.

iii) Treffen Sie in jedem der drei Energiebereiche eine Aussage dar¨ uber, ob das Spektrum

diskret oder kontinuierlich ist (2P).

H15. Kommutatorbeziehungen

i) Es seien ˆ ~ p und L ~ ˆ der Impuls– und Drehimpulsoperator. Berechnen Sie die Kommu- tatoren

[ˆ ~ p, V (~ r)] (1P) und [ ˆ L _i , L ˆ _j ] (1P) ,

wobei V (~ r) ein beliebiges differenzierbares Potential sei.

ii) Welche Bedingung muss eine vektorwertige Funktion ~g(~ r) erf¨ ullen, damit aus [ˆ p _i , p ˆ _j ] = 0 die Beziehung [ˆ p _i +g _i (~ r), p ˆ _j +g _j (~ r)] = 0

folgt (1P) .

H16. Erwartungswerte von Impuls und Potential

Es sei |φi ein station¨arer Eigenzustand des Hamiltonoperators H, d. h. es gelte H|φi = E|φi .

Zeigen Sie, dass f¨ ur die Erwartungswerte bez¨ uglich |φi D

φ

~ ˆ p ²

φ E

= m

φ

~ r · V (~ r)

∂~ r

φ

gilt (3P).