Elastostatik Technische Mechanik II

Prof. Dr.-Ing. U. Weltin

Vorlesungsmitschrift

Technische Mechanik II

Elastostatik

Stand SoSe 14

Inhalt

1 Vorwort ... 4

2 Spannung und Dehnung ... 5

2.1 Dehnung ... 5

2.2 Spannung ... 6

2.2.1 Zusammenhang Spannung  Dehnung ... 6

2.3 Stablängung ... 7

2.4 Temperaturdehnung ... 7

2.5 Verformung an Stabwerken ... 9

3 Arbeitsbegriff in der Elastostatik (Energiesatz) ... 11

3.1 Arbeitssatz ... 11

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeit ... 14

3.3 Prinzip der virtuellen Kräfte ... 15

3.3.1 Vertikalverschiebung des Kraftangriffspunktes v infolge Kraft F ... 15

3.3.2 Horizontalverschiebung des Kraftangriffspunktes u infolge der Kraft F 17 3.3.3 Rechenvorschrift: „Prinzip der virtuellen Kräfte“ ... 19

3.3.4 Verschiebung an Nicht-Kraftangriffspunkten ... 20

3.3.5 Systeme mit mehr als einer äußeren Kraft ... 21

3.4 Prinzip der virtuellen Verrückung ... 22

3.5 Steifigkeitsmatrizen (Ergänzung für gedrehte Systeme): ... 26

4 FEM - Finite Elemente Methode ... 28

4.1 Exakte Lösung ... 28

4.2 Näherungslösung ... 29

4.3 FEM ... 30

4.4 Steifigkeitsmatrix für „schräge Stäbe“ ... 33

5 Balkentheorie nach Bernoulli ... 35

5.1 Betrachtung statisch bestimmter Systeme ... 37

5.2 Methoden zur Ermittlung der Verformung eines Balkens an einer bestimmten Position (für statisch bestimmte Systeme) ... 39

5.3 Erweiterung auf statisch unbestimmte (Balken-) Systeme ... 43

6 Schiefe Biegung ... 50

6.1 Verformungskinematik ... 54

7 Euler-Knicken ... 60

7.1 Verzweigung einer Gleichgewichtslage ... 60

7.2 Der Euler-Stab... 62

7.3 Der Euler-Stab 2... 63

7.4 Der Euler-Stab 3... 65

8 Kesselformel ... 66

9 Allgemeiner ebener Spannungszustand... 68

9.1 MOHR'scher Spannungskreis ... 73

10 Ebener Verzerrungszustand ... 74

10.1 Verzerrungszustand ... 74

10.2 Elastizitätsgesetz (ebener Spannungszustand) ... 78

11 Torsion und Schub ... 79

12 Empfohlene Literatur ... 83

1 Vorwort

In der Vorlesung Mechanik II (Elastostatik) werden die wichtigsten Grundlagen der Elastostatik erläutert. Hierbei werden exemplarische Beispiele zum Vorlesungsstoff in der Vorlesung vorgerechnet. In den durch Tutoren betreuten Gruppenübungen soll der Vorlesungsstoff durch selbständiges Rechnen der Übungsaufgaben vertieft werden.

Ziel der Veranstaltung ist, den Studenten in die Lage zu versetzen, selbständig mechanische Probleme des Ingenieurwesens zu formulieren und zu lösen und damit die fachlichen Voraussetzungen für die Teilnahme an weiterführenden Fachvorlesungen zu erfüllen.

Der stichwortartige Text der nachfolgenden Vorlesungsmitschrift ist nur zum Gebrauch während der Vorlesung bestimmt und macht weder die Teilnahme an der Vorlesung noch das ergänzende Literaturstudium überflüssig!

Leider kann trotz eingehender und gründlicher Prüfung nicht ausgeschlossen werden, dass sich Tippfehler eingeschlichen haben. Zur Beseitigung der Mängel bitten wir die Studierenden uns diese Fehler mitzuteilen, damit diese baldigst korrigiert werden können.

2 Spannung und Dehnung 2.1 Dehnung

F



 F

N

F

unbelastet belastet



+



F A

dx

dx

x

u(x)

u(x)

u(x+dx) du

Def.: Dehnung  (dimensionslos)









         

dx x u du x u dx

x u dx x

u     





Grenzübergang:

dx

 du

 (Kinematik)

2.2 Spannung

Def.: Mech. Spannung A

 N



mit: 



F_i 0  NF

2.2.1 Zusammenhang Spannung  Dehnung Zugversuch









 E (Werkstoff)

p: Proportionalitätsgrenze

Nur aus Versuch zu ermitteln  Elastizitätsmodul E, der den Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung wiedergibt:

mm2

5N St 2,1 10 E  

mm2

5N Al 0,7 10 E  

mm Al 4N

Holz E

5 ...1 10 10 1

6 , 1 ...

7 , 0

E   ²   für Holz in Faserrichtung





_P



tan=E 

Bruch Fließen

Hooksches Gesetz

plast. Formänderung tan =E

2.3 Stablängung

Geg.: , E, A, F Ges.: 

Gleichgewicht: , N F

A

N 





Werkstoff: E Kinematik:

dx

 du



Also:

 

 





^





 ux 

0 x u 0

du EA dx

F

   

u0 EA u

F  

  

EA F 

 

 (Stabverlängerung)

u(0)=0 (Lagerbedingung)



) ( u Einschub: Vergleich Feder  Kraftgesetz

x c F ^



c^ EA (Stabsteifigkeit)

2.4 Temperaturdehnung

Längenänderungen und damit Dehnungen werden nicht nur durch Kräfte sondern auch durch Temperaturänderungen hervorgerufen. Bei gleichförmiger Erwärmung gilt:

T T

T  



mit T: thermischer Ausdehnungskoeffizient (Materialkonstante).

Wirkt sowohl eine Spannung als auch eine Temperaturänderung T, so folgt die Gesamtdehnung  durch Überlagerung (Superposition):





E A F

dx E du A F  

(DGL 1. Ordnung)

Beispiel: Temperaturänderung Eingespannter Stab:

Ein beidseitig fest eingespannter Stab wird von T0 auf T1 erhitzt. Mit welcher Kraft drückt der Stab auf die Lager?



Bei T=T montiert

0

EA, T

E T dx du

T



 









 



  







 T

dx E du A F

T

 T dx

EA

du F _T 



 



  







^_^{   }_^























0 T

0 g Einspannun

0 ) u(

0 u(0)

dx EA T

du F



0

T T

EA 0 F



  

 ( = 0 , da Stab beidseitig fest eingespannt)



  



 T

EA

0 F _T (Kraft im Stab)

 F_Lager _TTEA (Lagerkraft)

2.5 Verformung an Stabwerken

Beispiel: Stabzweischlag

Ges.: u,v  Verschiebung des Kraftangriffspunkts Vorgehen:

1) Schnittbild 2) Gleichgewicht 3) Stabverformung

4) Kinematik, Verformungsgeometrie

1. Schnittbild

45°

S2

S1

F

2. Stabkräfte

F S 2 S

0 S F

F 2 S

2 F 0 S F

1 1 2 x

2 2

y



























3. Stabverlängerung

Fl 2 l 2 F l 2

l S

EA Fl EA

l l S

2 2

1 1 1

















S2

S1

F

S

₂

S

₁

l

₂

l

₁

45°

45°

w

45°

w

₂

= l 

₁

x



^{1 2 2}



EA w Fl

EA Fl 2 2 EA 2 Fl w w

w _{1 2}













Man kann den Punkt der örtlichen Verschiebung entweder aus den Schnittpunkten der Kreisbögen bestimmen (grau gezeichnet). Da wir hier allerdings nur kleine Verschiebungen betrachten reicht es den Schnittpunkt der Tangenten zu finden (lineare Theorie).

Dieses Vorgehen hat einen sehr hohen Aufwand zur Folge. Eine andere Möglichkeit zur Lösung dieses Beispiels erhält man durch die Anwendung des Energiesatzes!

3 Arbeitsbegriff in der Elastostatik (Energiesatz)

Def.: Arbeit W ^{W }



^Fds

Weg/Verformung Kraft

Arbeit







 F ds cos

W  

Def.: Positive Arbeit

Arbeit wird dem System zugeführt.

Bsp.: negative Arbeit

 Reibung (Coulomb)

 Dämpfung

(Geschwindigkeitsproportionale Reibung)

3.1 Arbeitssatz

Stab:

Betrachtung der energetischen Zustände der äußeren und inneren Kräfte eines elastischen Körpers am Beispiel eines Stabes:

Stabsteifigkeit:





 m

N c EA



linear elastisches System verhält sich proportional, d.h.:

F ~ s

(Kraft proportional zur Verschiebung) Allg.:  F = R·s

A,E

F

N(x)

F u(x)

x



Arbeit der äußeren Kraft:

c F 2 Fx 1 2 cx 1 2 1

dx cx dx F s d F W

2

2  

















^{ }

 

xE x F

W: Fläche unter der Funktion F=f(x)

tan =c F=c·x



Arbeit der inneren Kraft:

Mit der potentiellen Energie  gilt:

d 1Ndu

 2

außerdem:

EA N A

N E





















und weiterhin:

dx

 du

  dx

EA dx N

du  

eingesetzt in d ¹Ndu

 2  ²

2

0

d 1 N dx 2 EA 1 N 2 EAdx

 

 



Falls N,E,A  f(x): 1 N²

  2 EA

Arbeitssatz:

Der Arbeitssatz besagt, dass die Arbeit W der äußeren Kraft F der im einzelnen Stab gespeicherten Formänderungsenergie  entspricht.

Hier: Anwendung des Arbeitssatzes für die Ermittlung der Stabverlängerung:

A i A i

W   0  W   

EA F 2 Fx 1 2

1  ² 

EA x F



Entsprechend gilt für das Beispiel des Stabzweischlags:

Berechnung der vertikalen Verschiebung v in Richtung der angreifenden Kraft F:

2 2

1 1 2 2

S S

1 1

2 EA 2 EA

   Mit: S₁ F und S₂  2F 2Fv

W  1

Kräfteplan:









2 F S

F 2 S

2 1 1 2











Mit W0 folgt:

EA 2 F 2 2 1 EA F 2 Fv 1 2

1 ² ² 









^{1 2 2}



EA v  F 

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeit

Problem:

Eine Verschiebung (u) die nicht in Richtung der Kraft (Fx) wirkt, lässt sich nicht mit dem Arbeits- bzw. Energiesatz berechnen.

 Motivation für Prinzip der virtuellen Arbeit!

Wenn gilt: Konservatives System: WW_A  _i 0  W_A  _i 0

A i

Arbeit der Arbeit der äußeren Kräfte inneren Kräfte

W 0

     Gleichgewichtslage eines elastischen Systems

Vorher:

0 W

  identifiziert Gleichgewichtslage (Statik) Beispiel Gerberträger:

A B C

l l

q q

₀

l q

₀

l

x

_B

B

x

₁

x

₁

W = 0 = x1 (-q0· - q0·) + xB·B mit xB = 2x1 (Kinematik)

0 = x1 (-2 q0·) + 2x1·B

 B =q0·

Einführung des Variationsoperators : Infinitesimal kleine Verschiebung, die mit der Kinematik des Systems verträglich ist

Hier als Rechenvorschrift: Der Variationsoperator wird behandelt wie ein vollständiges Differential einer Funktion mit mehreren Veränderlichen.

Bsp.:

 

z

z y F y x F x z F , y , x

F 





 



 

 



 Variation in der Kraft F:



^F^{c* v}



A i i

W u F

 



  Prinzip der virtuellen Kräfte

Hauptsächlich für statisch bestimmte Systeme

 Variation in der Verschiebung v:



 

* c v F

A i i

W F u

 



  Prinzip der virtuellen Verrückung

Hauptsächlich für statisch unbestimmte Systeme

3.3 Prinzip der virtuellen Kräfte

3.3.1 Vertikalverschiebung des Kraftangriffspunktes v infolge Kraft F

Anwendung der Variation auf die Arbeit der äußeren Kraft:

2Fv W_A  1



 







 Fv

2

W_A 1 mit

* c ) F F ( v 

* c

1 : Proportionalitätskonstante eines linear elastischen Systems (Nachgiebigkeit)

F F v v F W F

W_A W^{A A} 











 



 ( Anwendung der Kettenregel, da v(F) ! )

* F c F 1 2 F 1 ) F ( 2v

W_A  1    



F ) F ( v F ) F ( 2v F 1 ) F ( 2v

W_A  1     



Anwendung auf die inneren Kräfte:

 

^_^













i i 2 i

i EA

S 2 1 



^_^{ }_ ^







i

i i i

i F

F S

S ( Anwendung der Kettenregel, da S(F) ! ) F F

S EA F S F S EA F S F S EA

S _{1 1 1 2 2 2}

i

i i i

i 









 







 











^{  }















 

 



 

 

1 2

1 1

2 2

2

F 1 F S

S

F 2 F S

2 S

   

^{2 F}

EA 2 F F 2

EA 1 F

i   

















  



^{1 2 2}



^F

EA F

i    



 

Arbeitssatz und Verschiebung v:

i

WA 





^{1 2 2}



^F

EA F F

v     

Da F0 ist, erhält man für v:



^{1 2 2}



EA v  F  S2

S1

F

3.3.2 Horizontalverschiebung des Kraftangriffspunktes u infolge der Kraft F

Zur Berechnung der gesuchten

Horizontalverschiebung u wird eine virtuelle Testkraft "T" an der Stelle und in Richtung der gesuchten Verschiebung eingeführt.

Arbeit der äußeren Kräfte:

2Tu Fv 1 2

W_A  1 

* c u T T T

u u T W T

W_A W^{A A} 











 



 da F(T) und v (T)

T u

T 2u T 1 2u 1

* T c T 1 2 T 1 2u W_A 1



































Arbeit der inneren Kräfte:

EA S 2 1

EA S 2 1

2 2 2 2

S

1 2 1 1

S













Beachte:

Für die Berechnung der Stabkräfte können die äußeren Kräfte einzeln behandelt und die daraus resultierenden Stabkräfte dann nach dem Superpositionsprinzip addiert werden:

T F S

S

S₁ _1F _1T  

v u F

45° T 1

2

EA , l

EA , 2l

T T S T S

T

T T S T S

T

2 0 2 T

2 S 2

S 2

S

1 0 1 T

1 S 1

S 1

S



 







 



 



 







 







 



 



 









0 i T i

S _





 : Stab-Verformung infolge der äußeren Kräfte, aber ohne die virtuelle Testkraft "T".

T S_i



 : Kann interpretiert werden als Anteil der Stab-Verformungen an der Verschiebung der virtuellen Testkraft "T" (Einflusszahl).

  T

T S EA

S T S EA

S

0 2 0 T 2 2

1 1 0 T 1 1 2 S 1 S

i 





















 





























l l

Arbeitssatz / Gleichgewicht:

0 T T u

S EA

S T S EA

S W

2 0 T 2 2 1 0 T 1 1 i A









 



 





 

















l l

Verschiebung u des Stabzweischlags:

Da T0:

EA F

) 0 EA (

2 F ) 2 1 EA (

F

T S EA

S T S EA

u S ²

0 T 2 2 1 0 T 1 1















 







 









l l

3.3.3 Rechenvorschrift: „Prinzip der virtuellen Kräfte“

"0"-System:

 Einzelkraft, die das System belastet

 (System statisch bestimmt)

"1"-System:

 Gleiche Konfiguration wie “0“-System (Geometrie, Lagerung und Stabnummerierung)

 EINE virtuelle "1"-Kraft (dimensionslos) an der Stelle und in die Richtung der gesuchten Verschiebung

 Aber: Keine äußeren Lasten ("1"-Kraft ist einzige Kraft im System)

Ermittlung der vertikalen Verschiebung v mit einem "1"-System:

   

  

^{ }

 ⁿ

i

i i

1 i 0 i

EA S

v S 

   

   

2 S

F 2 S

1 S

F S

: mit

1 2 0

2

1 1 0

1













folgt:



^{1 2 2}



EA F EA

2 ) 2 ( F 2 EA

) 1 ( v F

01    

 





 



   

Ermittlung der horizontalen Verschiebung u mit einem weiteren "1"-System:

   

  

^{ }

 ⁿ

i

i i

1 i 0 i

EA S

u S 

       

EA 2 ) 0 ( F 2 EA

) 1 ( F

EA S S EA

S

u S ₂

1 2 0 2 1 1 1 0 1











 







 

 



 



3.3.4 Verschiebung an Nicht-Kraftangriffspunkten

Wie berechnet man die Verschiebung vP einer Brücke am Punkt P?

y x z

F

vP

1

2 3

4

5 6

7 P

Mögliches Verfahren: Virtuelle Systeme

 "0"-System:

Statisch bestimmtes Hauptsystem:

 Stabkräfte S⁽_i⁰⁾

 "1"-System:

Zusatzsystem mit Testkraft „1“:

 Stabkräfte S⁽_i¹⁾

Verschiebung an P: 





 





 ⁿ

1 i

i ) 1 ( i ) 0 ( i 01

P EA

S

v S 

y x z

F 1

2 3

4

5 6

7 P

y x z

1 1

2 3

4

5 6

7 P

3.3.5 Systeme mit mehr als einer äußeren Kraft

Vorgehen: Virtuelle Systeme

Wie zuvor wird auch mit einem "0"-System und einem "1"-System gearbeitet.

"0"-System:

 System mit ALLEN äußeren Kräften

 (System statisch bestimmt)

"1"-System:

 Gleiche Konfiguration wie “0“-System (Geometrie, Lagerung und Stabnummerierung)

 EINE virtuelle "1"-Kraft (dimensionslos) an der Stelle und in die Richtung der gesuchten Verschiebung

 Keine äußeren Lasten ("1"-Kraft ist einzige Kraft im System) Verschiebung an Stelle und in Richtung der “1“-Kraft:





 



 ⁿ

1 i

i ) 1 ( i ) 0 ( i

01 EA

S

S 

3.4 Prinzip der virtuellen Verrückung

1) Kraftgrößenverfahren (Prinzip der virtuellen Kräfte) Ges.: Verschiebung von P

Vorgehensweise:

 „0“-System (alle äußeren Belastungen)

 Berechnung der Stabkräfte Si(0)

 „1“-System (wie „0“-System, aber ohne äußere Kräfte)

 an der Stelle und in Richtung der gesuchten Verschiebung greift eine "1“- Kraft an

 Berechnung aller Stabkräfte Si(1)

 Berechnung der Verschiebung

   







 ⁿ

1 i

i i i

1 i 0 i

01 EA

S

S 

2) Verschiebungsgrößenverfahren oder Prinzip der virtuellen Verrückung

2Fx ) 1 x , F ( W

W_a  _a  cx2

2

 1



Variation bzgl. der Verschiebung x:

x F x 2F x 1 2F 1

x 2F x 1 c 2x 1

x x x W x F F x W x

W_a W^{a a a}



































 





 





 



 

 



x cx x x  





 





F

2Fx 1

F=c x c

F x

W =a

Notwendige Bedingung für Gleichgewicht:



^{F cx}



x x cx x F 0

W      



Beispiel: Virtuelle Verrückung

Ges.: Verschiebung des Punktes P und Kraft in Feder S3

Hier: W_a Fx₁ (allg.: F_c cx)

3 3 3 2 2 2 1 1

1x x c x x c x x

c     







 W0Fx₁c₁x₁x₁c₂x₂x₂c₃x₃x₃ Einführung generalisierter Koordinaten:

 Verformung eindeutig beschreiben

 minimale Anzahl der Freiheitsgrade

 unabhängig von den anderen Koordinaten

hier: 3

2 6

! 2

2 3 2

3   



 



 Möglichkeiten

Wahl:

- (x1, x3) als generalisierte Koordinaten - x2 als abhängige Koordinate

Kinematischer Zusammenhang:



_{1 3}



2 x x

2

x  1  und ₂



x₁ x₃



2

x  1  



 1 1 1 1 2



1 3

 

x1 x3



c3x3 x3

2 x 1 2 x

c 1 x x c x F 0

W           



Umstellen:

3 3 3 3 2 1 2 1

3 2 1 2 1 1

1 c x c x x

4 x 1 4c x 1 x 4c x 1 4c x 1 c x

F 



 



  









 



  







In Matrix-Schreibweise:

  

n Koordinate

erten generalisi inVerschiebung

3 1

tsmatrix Steifigkei

4 2 3 1 4 2

1

4 2 1 4 2

1 1

Belastung der Vektor

x x c

c c

c c

c 0

F























 







 Steifigkeitsmatrix muss symmetrisch sein!

x K

F 





Wird die Matrizengleichung ausmultipliziert, erhält man:

 _{2 1 3} c₂ x₃

4 c 1 x 4c

0 1 



 



 





  ₃

2 4 1

2 4 1 3

1 x

c c

x c  







 

_{3 4}¹ _{2 3}

2 4 1

2 4 1 3 2

4 1

1 x c x

c c c c

c

F   



 



 







Mit c1 = c2 = c3 = c:

c 6

x₃  F (Bewegung nach oben)

c F 6

x₁ 5 (Bewegung nach unten)

6 x F c

S₃   ₃  (Druckkraft)

Beispiel: Virtuelle Verrückung

Ges.: vertikale Verschiebung u am Kraftangriffspunkt

Arbeit der äußeren Kraft bei Verformung:

x 2F W_a  1 _A

Gespeicherte Energie eines verformten Stabes:

2 i i

i i

) EA ( 2

1 

 





a

 

F_A u

Geometrie der Verformung:







₁ u cos

2 u









₃ u cos

Virtuelle Arbeit der äußeren Kraft im Prinzip der virtuellen Verrückung:

x x x W x F F x W x

W W ^{a a}

a a a

a 



 



 





 



 

 



mit: F_A c^*x  _a c^*x² 2 W  1 x F x x c

W_a  ^*   _A



Virtuelle Arbeit der Stäbe:

   

x x x x

i i

S S

S

i i

i 













 



 



 



 



mit: ^

 

^S_i^{i (EA}_i ^)ii

   

_{ }











 cos

u u

3

1 

 ,

 

u 1

2 





 

x EA cos

EA 1 EA cos

3 3 2

2 1

1

S 

 



         





 

 

 



Prinzip der virtuellen Arbeit:

S

Wa 



mit:

 

 cos

a

3

1 

 , ₂ a

x cos

a u u EA a cos EA

a u x EA

F_A ^{3 3} 



 



     











^{1 2cos}



^u

a

F_A EA   ³  bzw. ^uEAFA



^{12cosa 3}



 

 

¹

 

3

u=

₂

3.5 Steifigkeitsmatrizen (Ergänzung für gedrehte Systeme):

Kraft-Verschiebungsgesetz in

Matrizenschreibweise für x/y-System:











 













v u c 0

0 c F F

y x y

x

u K F 



Potenzielle Energie:

u K 2u 1

v 2c u 1 2c 1

T

2 y 2 x



 







Jetzt: Kraft-Verschiebungsgesetz im /-Koordinatensystem:

 Transformation der Kräfte:























cos F sin F F

sin F cos F F

y x

y

x 











 













 













y x

F F cos sin

sin cos

F

F 

 ^xy

matrix tions T ransforma

F T

F 









Invertierung: F_ TF_xy  F_xy T^1F_

Transformationsmatrix T ist orthonormal  T^-1 = T^T



 







 













 



 













 

 0 1

0 1 cos

sin

sin cos

cos sin

sin T cos

T ^T

 Transformation der Verschiebung:























cos y sin x

sin y cos

x 











 













 













y x cos sin

sin

cos  u T u_xy



 

Steifigkeitsmatrix im /-Koordinatensystem:

xy

xy K u

F 



 mit F_xy T^TF_

und u_xy T^Tu_









































u K F

u T K T F

u T K F T

T T T

 

 

 















































 



 













 



 







 













 





 

2 y 2 x y

x

y x

2 y 2 x

y T x

cos c sin c sin

cos c sin cos c

sin cos c sin cos c sin

c cos c

cos sin

sin cos

c 0

0 c cos sin

sin T cos

K T K

 

 

_^_^





































 













2 y 2 x x y

x y 2

y 2 x

cos c sin c c c sin cos

c c sin cos sin

c cos c F

F

Sonderfall: cx = cy = c



 





 

c 0

0 K c

K











 



 

















c 0

0 c F F

Jedes beliebig gedrehte Koordinatensystem ist ein Hauptachsensystem!

4 FEM - Finite Elemente Methode

Ges.: Verschiebung des Kraftangriffspunktes

a

b A(x)

4.1 Exakte Lösung

Gleichgewicht : A

 

x

 F



Werkstoffgesetz: E Kinematik:

dx

 du



Geometrie:

 

a 3 A x x A t

b b A

: Breite

t : Tiefe

0

0    





Einsetzen:

dx Edu x A

a 3 F

0

 





^{ }







a 3

0 a 0

) a 3 x ( u

u ) a x (

u x

a dx EA 3 du F

F

0 0

F EA

3 Fa , a 3

a ln3 EA

a 3 u F

) a (

u  







 (Referenzergebnis)

 x

4.2 Näherungslösung

=

A1

A2

a,A1

a,A2

=

c1

c2

a c EA

a c EA

2 2

1 1







 Serienschaltung:

2 1

2 1 2 1

ers c c

c c c

1 c

1 c

1



 







2 1

2 1

ers c c

c c c



 



hier:



^{AEA AA}



^a

a EA a

EA a EA a EA c

2 1

2 1 2

1 2 1

ers  



 

mit:

6 A 3 2a

x 3 A A

6 A 5 2a

x 5 A A

0 2

0 1







 

 









 

 



a

EA 16

5 6 a

3 6 A 5

6 3 6 EA 5

c ⁰

0 2 0

ers  





 

 



 



Aus dem Hook’schen Gesetz Fc_ersx folgt:

0 0

ers EA

2 Fa , EA 3

Fa 5 16 c

x F   



Man sieht, dass die Näherungslösung relativ gut mit der exakten Lösung (3,3) übereinstimmt.

4.3 FEM

Zunächst Kraft-Verschiebungsgesetz für ein Element.

Gleichgewicht: F₁F₂ 0F₁ F₂ Elastizität: F1c



u1u2



(Verformung)



2 1



2 cu u

F  

mit: _{1 2} EAu₂

F 0

u    l

mit: 1 2



u2 u1



l F EA 0

u    

Wenn man die Beziehungen für F1 und F2 in eine Matrix schreibt erhält man:

 

ng Verschiebu

lokale 2 1 tsmatrix Steifigkei Element

Kräfte lokale 2 1

u u c

c c c F

F







 



 







 













P_I

PIII

uI

uII

uIII

PII

u1a

u2a

u1b

u_2b a

b F1a

F2a

F1b

F2b

F1a

PI

PII

PIII

F2b

F +F1b 2a

Element-

knoten System-

knoten globales System lokales System

uII

uII

uI

uI

uIII















 









 









ng Verschiebu

Globale tsmatrix

Steifigkei System

b b

b b

a a

a a

Kräfte Globale

u u u c

c 0

c c

c c

0 c

c P

P P







































 

























Zusammenbau:

Gleichgewicht Verträglichkeit (Kinematik), Kompatibilität der Verformung I: P_ F1a u_I u_1a

II: P_ F2aF1b u_II u_2a u_1b III: P_ F2b u_III u_2b 1) Stabgleichungen











 







 



















 







 









b 2

b 1 b b

b b

b 2

b 1

a 2

a 1 a a

a a

a 2

a 1

u u c c

c c

F F

u u c c

c c

F F





































































b 2

b 1

a 2

a 1

b b

b b

a a

a a

b 2

b 1

a 2

a 1

u u u u

c c

c c

c c

c c

F F F F

2) Aus Gleichgewicht Global

































































b 2

b 1

a 2

a 1

b b

b b

a a

a a

u u u u

c c

c c

c c

c c

P P P

3) Aus Kompatibilität (Knotenverschiebung)

Allgemeines Kraft- Verschiebungsgesetz für Gesamtsystem

Spezielle Lösung des vorliegenden Problems: Anpassen der Randbedingungen F

P , 0 P

?,

P_I  _II  _III 

? u

?, u , 0

u_I  _II  _III 

 







 









 

















u u c

c

c c

c P

P _{a b b}

Mit: P_ 0 und P_ F

wegen uI = 0 streichen















 









 









ng Verschiebu

Globale tsmatrix

Steifigkei System

b b

b b

a a

a a

Kräfte Globale

u u u c

c 0

c c

c c

0 c

c P

P P







































 

























0

0  F 





ca cb



uII cbuIII  _III

b a

b

II u

c c u c

 

 Fc_bu_IIc_bu_III

 _III

b a

b a III b

a

2 b b a 2 b III

b III b a 2

b u

c c

c u c

c c

c c c u c

c c u

c c 1

F 

 









 

 





 F

c 1 c u 1

b a

III 



 



 

 Reihenschaltung (Nachgiebigkeiten)

Mit:

a c EA 2

A 1 2a

x 3 A A

6 A 5 2a

x 5 A A

i

0 b

0 a















 

 







 

 











b a

c c

0

III EA

2 Fa , 3 u 

Man erhält das gleiche Ergebnis wie in 4.2.

Andere Randbedingung:

Oben und unten Festlager, Einzelkraft am Mittelknoten

Jetzt: u_I 0 und u_III 0 PII = F

   

F  P_ 



ca cb

  

uII Parallelschaltung (Steifigkeit)

c F c

1 c

u c c c P

P

b a b a II

b a III

I 

 



 







 



 







 







 

c F c P c

c F c P c

b a

b 3

b a

a 1

 



 

































































u u u c

c 0

c c

c c

0 c

c P

P P

b b

b b

a a

a a

4.4 Steifigkeitsmatrix für „schräge Stäbe“

Ges.: Verschiebung des Kraftangriffspunktes mit FEM

a

b c F

EA a

a a

45°

Elementsteifigkeitsmatrix:

Aus den Transformationsmatrizen der Drehung ergibt sich:













































































































































y 2

x 2

y 1

x 1

2 2

2 2

2 2

2 2

y 2

x 2

y 1

x 1

u u u u

sin sin

cos sin

cos sin

sin cos cos

cos sin cos

sin cos

sin sin

cos sin

cos sin cos

cos sin cos

c F F F F

mit l

cEA .

Stab b:







 



 













yb 2

xb 2 b yb

2 xb 2

u c u 1 0

0 0 F

F , 0 = u1xb = u1yb

Stab a:







 



 



 









ya 2

xa 2 a 12 12

12 12 ya 2

xa 2

u c u F

F , 0 = u1xa = u1ya

Stab c:







 



 







 









yc 2

xc 2 c 12 12

12 12

yc 2

xc 2

u c u F

F , 0 = u1xc = u1yc

Zusammenbau:

   

   

^_









































 





















y 2

x 2

y 1

x 1

b c a 2 1 c a 2 1

c 2 a

1 c

2 a 1

y 2

x 2

y 1

x 1

u u u u

c c c c

c ...

...

c c c

c ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

F F F F

Randbedingungen:

Knotengleichgewicht:

Mit: ux = u2xa = u2xb = u2xc

uy = u2ya = u2yb = u2yc

0 = u1xa = u1xb = u1xc

0 = u1ya = u1yb = u1yc

   

   

^_^_^ _^













 









y x b c 2 a

1 c 2 a

1

c 2 a

1 c

2 a 1

u u c c c c

c

c c c

c 0

F

Mit:

a c EA a,

2 c EA

c_a  _c  _b 



































y x

u u a EA a 2 0 EA

a 0 2 EA 0

F

 





















iy yc

2 yb 2 ya 2 y

ix xc

2 xb 2 xa 2 x

F F

F F 0 P

F F

F F F P_y P

P_x

F_ix

F_iy u =u_{y iy}

u =u_{x ix}