Das Problem magnetischer Ladungen in der numerischen Simulation

numerischen Simulation

Friedemann Kemm BTU Cottbus

kemm@math.tu-cottbus.de

Wo das Problem herkommt

Die Maxwell-Gleichungen:

E_t − c²(∇ × B) = − j ε₀ B_t + (∇ × E) = 0

∇ · E = q ε₀

∇ · B = 0

Elektrische und magnetische Ladungserhaltung:

q_t + ∇ · j = 0

Genauer betrachtet

Die verantwortlichen Terme:

B_t+∇ × E = 0

∇ · B = 0

Die verursachenden Mechanismen

• Numerische Fehler in ∇ · (∇ × ·)

• Anfangswerte

• Randwerte

• Koppelung mit anderen Simulationen

Ein Beispiel

Weitere Reduktion

Um den ∇×-Term reduziert und mit additiven Termen aufgeblasen:

B_t + err₁ = 0

∇ · B + err₂ = 0

Die aufgeblasene magnetische Ladungserhaltung:

0 = err_2t − ∇ · err₁

M¨ogliche Modelle f¨ur die neuen Terme:

• Algebraisch → Transportmethoden

• Differentiell → verallgemeinerte Lagrange-Multiplikatoren

Modellierung der k¨ unstlichen Terme

Allgemeine Anforderungen:

• Einfache Form der neuen magnetischen Ladungserhaltung

• Nur eine neue skalare Variable (sonst unterbestimmt)

• Verringerung der Fehler sowohl lokal als auch global

• Numerisch leicht zu realisieren

Transportmethoden

Modell:

err₁ = −ψv˜ err₂ = ψ

mit k¨unstlichem Geschwindigkeitsfeld v˜

”Ladungserhaltung“:

ψ_t + ∇ · (ψv) = 0˜

Implementierung:

B_t = −(∇ · B)˜v

M¨ oglichkeiten f¨ ur die k¨ unstliche Geschwindigkeit

Physikalisches Geschwindigkeitsfeld:

Vorteil: System Galilei-invariant

Nachteil: Nur schwacher Abtransport magnetischer Ladungen

Sinnvolle Bedingungen:

- Zeigt auf dem Rand senkrecht nach außen (globale Verringerung) - Hat positive Divergenz (lokale Verringerung)

Allgemeiner Nachteil:

Keine Erhaltungsform mehr

Eindimensionale Tests: Modellproblem

x

B

0 2 4 6 8 10

0 0.25 0.5 0.75 1

Eindimensionale Tests: Wahl der Geschwindigkeit

x vlin

0 2 4 6 8 10

-0.1 0 0.1 0.2

x vextrem

0 2 4 6 8 10

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2

Bestm¨ogliche D¨ampfung Verbesserter Transport

Eindimensionale Tests: Anwendung auf Modellproblem

t L1-norm

0 10 20 30 40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

optimal damping enhanced transport

t L∞-norm

0 10 20 30 40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

optimal damping enhanced transport

Globaler Fehler Lokaler Fehler

Beispiel f¨ ur zweidimensionale Geschwindigkeit

Das Geschwindigkeitsfeld und seine Divergenz:

’y’

-1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25

’x’

’y’

-0.5 0 0.5 1

-0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1

’div v’

10 42.5 21.8 1.6 1.421.3 1.19

Verallgemeinerte Lagrange-Multiplikatoren(GLM)

Modell:

err₁ = ∇ψ

err₂ = g(ψ, ψ_t)

”Ladungserhaltung“:

g(ψ, ψ_t)_t − ∆ψ = 0

Verschiedene Formen der GLM-Korrektur

g(ψ, ψ_t)_t − ∆ψ = 0

Hyperbolisch: g(ψ, ψ_t) = 1

c²ψ_t → Wellengleichung Parabolisch: g(ψ, ψ_t) = 1

κψ → W¨armeleitungsgleichung Elliptisch: g(ψ, ψ_t) ≡ 0 → Poisson Gleichung

Gemischt: g(ψ, ψ_t) = 1

c²ψ_t + 1

κψ → Telegraphengleichung

Eigenschaften der verschiedenen Formen

Elliptisch: Teuer in der Simulation

Parabolisch: Wahl zwischen schwacher Korrektur oder hohen Kosten

Hyperbolisch: Kosteng¨unstig

Konsistent mit Physik Fehler werden erhalten

Gemischt: Kosteng¨unstig

Fehler ged¨ampft, nicht erhalten Keine Resonanzeffekte.

Vergleich Transport – GLM f¨ ur 1d-Problem

Fehlernormen:

t L1-norm

0 10 20 30 40

0 2 4 6 8 10

12 Powell, optimal damping

Powell, enhanced transport GLM purely hyperbolic GLM mixed type

t L∞-norm

0 10 20 30 40

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 Powell, optimal damping

Powell, enhanced transport GLM purely hyperbolic GLM mixed type

Test mit voller MHD: 2d-Riemannproblem

0

1 4 2

3

y

1 → 2: Verd¨unnungswelle

2 → 3: abw¨arts laufender Stoß 3 → 4: nach links laufender Stoß

4 → 1: allgemeines Riemannproblem mit mehreren Wellen

Numerische Ergebnisse: Divergenzfehler

a) ohne Korrektur, b) Powell Korrektur, c) GLM

Numerische Ergebnisse: Magnetfeld

B₁-component: a) Powell, b) GLM

Numerische Ergebnisse: Gitterverfeinerung

a) ohne Korrektur, b) Powell Korrektur, c) GLM

Numerische Ergebnisse: Fehlernormen

0 2 4 6 8 10 12

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

L1(|divBjmp|)

time cp = 2.0

cp = 10.0 Powell no correction

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

max(|divBjmp|)

time cp = 2.0

cp = 10.0 Powell no correction

Globaler Fehler Lokaler Fehler

Zusammenfassung und Ausblick

• K¨unstliches Aufblasen des physikalischen Modells verbessert numerisch Eigen- schaften

• Differentielle Modelle st¨arker als algebraische

• Gute Wahl der freien Parameter wichtig

• Kriterien f¨ur Wahl der Parameter aus L¨osung von Variationsproblemen f¨ur die Amplitude des Fehlers