Numerik Partieller Differentialgleichungen, Sommersemester 2011/2012 Aufgabenblatt 11
Prof. Peter Bastian Abgabe 11. Juli 2012
IWR, Universit¨at Heidelberg
U¨BUNG1 RECOVERY-BASEDFEHLERSCHATZER¨
Im Kapitel 8 wurde diea prioriFehlersch¨atzung und die Konvergenzordnung des Diskretisierungs- fehler f ¨ur verschiedene Normen hergeleitet. Leider sind diese Absch¨atzungen f ¨ur eine qualitative Fehlerskontrolle nicht zu gebrauchen, da die n ¨otige Informationen bez ¨uglich die exakte L ¨osung feh- len. In allgemeinen Situationen muß man sich aber anderer Methoden bedienen, die zur Bestimmung der Regularit¨at der L ¨osung f ¨uhren.
Eine naherliegende Idee w¨are die Sch¨atzung der lokalen Glattheit der unbekannten L ¨osung aus der berechneten numerischen Approximation.
Sei uh die numerische L ¨osung des elliptischen Problems in1DmitP1 Finiten Elementen. Man kann versuchen aus einer linearen N¨aherl ¨osung uh durch Anwendung eines Differenzquotienten zweiter Ordnung eine Sch¨atzung der zweiten Ableitung zu gewinnen. Diese OperationGhist in der Abbildung dargestellt. Der Ferhlersch¨atzer, der mit dem ElementKverbunden ist, ist als
ηK }Ghpuhq ∇uh}L2pkq
definiert.
1. Erweitern Sie diese Idee in 2 Dimensionen. Wie sieht der OperatorGaus?
2. Vergleichen Sie diesen Fehlersch¨atzer mit dem aus der Vorlesung in verschiedenen Aspekten:
(a) Gr ¨oße des Fehlers.
(b) Fehlerakkumulation: kann man den Fehler inuhabsch¨atzen, oder akkumuliert sich immer der Fehler?
(c) Implementierungs- und Rechenaufwand.
(d) Welche Gebiet-Trieangulierung und welche FE kann man benutzen?
K K˜
uh ∇uh
reconstruction∇2uh
Gh: uh r. ∇2uh
6 Punkte U¨BUNG2 FEHLERSCHATZER F¨ UR¨ LAPLACE-PROBLEM
Bei der Vorlesung wird die a posteriori Fehlerabsch¨atzung f ¨ur das allgemeine elliptische Problem abgeleitet. Wir betrachten hier das Laplace-Problem mit Dirichlet-Randbedingungen
∆u0, xPΩ upxq gpxq, xP BΩ
auf einem (nicht notwendig konvexen) Polygongebiet Ω Rd. Wir beschr¨anken uns hier auf die Betrachtung vonP1Finiten-Elementen.
Mit der Hilfe der Vorlesung leiten Sie f ¨ur dieses Problem die a posteriori Absch¨atzung f ¨ur den
Fehlereh uuhab. 3 Punkte
U¨BUNG3 RESIDUALERFEHLERSCHATZER¨
p0,0q
p1,1q
p1,1q
Auf dem in der Abbildung dargestellten GebietΩsoll das Laplace-Problem∆u 0gel ¨ost wer- den. Auf dem gesamten Rand werden Dirichlet-Randbedingungen verwendet, welche gem¨aßu
BΩ g
BΩdurch die harmonische Funktion
gpr, φq r23 sinp2 3φq in Polarkoodinaten gegeben sind.
Im Ordneruebungen/uebung11des aktuellendune-npdeModuls finden Sie eine Implementierung dieses Problems f ¨ur eine konforme Diskretisierung mitP1Elementen auf einem Simplex-Gitter. Ihre Aufgabe ist es den, in der Vorlesung vorgestellten residualen a-posteriori Fehlersch¨atzer f ¨ur dieP1
Elemente zu implementieren und f ¨ur eine adaptive Gitter-Verfeinerungs-Strategie zu verwenden.
In der vorgegebenen Implementierung sind bereits einige Konstrukte enthalten, welche Sie hierzu nutzen k ¨onnen.
1. Vervollst¨andigen Sie das Code-Skelett der FunktioncomputeLocalError()in der Dateilo- cal error.hh, so dass diese die residualen Fehler-Indikatoren ηt aus der Vorlesung korrekt be- rechnet.
2. Die Funktion adaptGrid() ist bereits vollst¨andig implementiert und verfeinert das Gitter abh¨angig von den Werten im Vektor indicators. Verwenden Sie diese Funktion, um das Gitter abh¨angig von den lokalen Fehlerindikatoren zu verfeinern. Implementieren Sie hierzu beide aus der Vorlesung bekannten Strategien. Vergleichen Sie die beiden Strategien qualitativ.
3. Entscheiden Sie sich f ¨ur eine Strategie und vergleichen Sie die erreichte Genauigkeit pro Anzahl Freiheitsgrade mit dem Ergebnis global uniformer Gitter-Verfeinerung.
11 Punkte