Elementare Zahlentheorie
Jun.-Prof. Dr. Caroline Lassueur TU Kaiserslautern
Kurzskript zur Vorlesung, SS 2017 / SS 2019
Version: 15. Juli 2019
Dieser Text ist ein Kurzskript für die Vorlesung Elementare Zahlentheorie, Sommersemester 2017 / Sommersemester 2019. Der generelle Schreibstil dieses Skriptes ist bewusst knapp gehalten, da es schon viele Skripte für diese Vorlesung gibt, die zur Verfügung stehen, z.B. durch die Skriptensammlung der Fachschaft Mathematik:
https://fachschaft.mathematik.uni-kl.de/misc/lecturenotes.php
Genauer basiert dieses Skript auf früheren Fassungen der Vorlesung von C. Fieker [Fie15], G. Malle [Mal05], und T. Markwig [Mar10].
[Fie15] Claus Fieker, Elementare Zahlentheorie, Vorlesungsskript, SS 2015, TU Kaiserslautern.
[Mal05] Gunter Malle, Elementare Zahlentheorie, Vorlesungsskript, SS 2005, TU Kaiserslautern.
[Mar10] Thomas Markwig, Elementare Zahlentheorie, Vorlesungsskript, WS 2009/10, TU Kaiserslautern.
Ich danke Inga Schwabrow für das Lesen dieser Fassung des Skriptes und ausführliche Korrekturen.
Ich danke auch den Studierenden, die verschiedene Arten von Druckfehler gemeldet haben. Weitere Kommentare und Korrekturen sind auch herzlich willkommen!
i
Symbolverzeichnis
Generell
C Körper der komplexen Zahlen
i √
−1 in C
N die natürlichen Zahlen ohne 0
N0 die natürlichen Zahlen mit 0
P Menge der Primzahlen inZ
Q Körper der rationalen Zahlen
R Körper der reellen Zahlen
Z Ring der ganzen Zahlen
Z[i] Ring der ganzen Gaußschen Zahlen
Z≥a,Z>a,Z≤a,Z<a {m ∈Z| m ≥ a (bzw.m > a, m ≥ a, m < a)}
Z/mZ Ring der ganzen Zahlen modulo m
|X | Mächtigkeit der MengeX
bxc max{n ∈Z| n ≤ x}, das größte Ganze S
Vereinigung
`
disjunkte Vereinigung Q
,× kartesisches Produkt
T
Schnitt
∅ leere Menge
n! nFakultät
Mn n-te Mersenne-Zahl
Ringe
ggT Menge der größten gemeinsamen Teiler
ggt der größte gemeinsame Teiler
kgV Menge der kleinsten gemeinsamen Vielfachen
IER I ist ein Ideal vonR
R[X] Polynomring über R in einer Unbestimmten X R[X1, . . . , Xn] Polynomring über R in nUnbestimmten X1, . . . , Xn
R× Einheitsgruppe des RingesR
(a)R Hauptideal erzeugt von a ∈ R
(a1, . . . , an)R Ideal erzeugt von a1, . . . , an∈ R
a | b ateiltb
[a],[a]n, a+nZ Restklasse vonain Z/nZ.
Φp Reduktion modulop von Polynomen inZ[X]
Arithmetische Funktionen
∗ Faltung
A(Z>0,C) Ring der arithmetischen Funktionen M(Z>0,C) Menge der multiplikativen Funktionen
0 Nullfunktion
e konstante Funktion
i identische Abbildung
ε neutrale Funktion bezüglich der Faltung
φ eulerscheφ-Funktion
µ Möbius Funktion
σ Teilersummenfunktion
Quadratische Reste
a p
Legendre-Symbol
Rp Gruppe der quadratischen Reste modulop
Inhaltsverzeichnis
Vorwort i
Symbolverzeichnis ii
Kapitel 0: Begriffe und Ergebnisse aus der AGS vi
Kapitel 1: Lineare diophantische Gleichungen 6
1 Der größte gemeinsame Teiler . . . 6
2 Lösbarkeit linearer diophantischer Gleichungen . . . 8
Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 10 3 Multiplikative Funktionen . . . 10
4 Die Dirichlet-Faltung . . . 12
5 Die Möbiusfunktion . . . 15
6 Die eulerscheφ-Funktion . . . 17
7 Die Teilersummenfunktion und vollkommene Zahlen . . . 19
8 Der Satz von Euler . . . 22
9 Der kleine Satz von Fermat . . . 23
10 Der Satz von Wilson . . . 23
11 Die diophantische GleichungX2+Y2 =p . . . 25
12 Die diophantische GleichungX2+Y2 =n . . . 27
13 Existenz unendlich vieler Primzahlenp mit p ≡1 (mod 4) . . . 29
Kapitel 4: Das RSA-Verfahren 31 14 Das Prinzip . . . 31
15 Das RSA-Verfahren . . . 31
Kapitel 5: Die Einheitengruppe vonZ/nZund Primitivwurzeln modulon 35 16 Die Gruppe (Z/pZ)× . . . 35
17 Die Gruppe (Z/2 αZ)× . . . 37
18 Die Gruppe (Z/pαZ)× . . . 38
19 Die Struktur von (Z/nZ)× . . . 39
iv
Kapitel 6: Das quadratisches Reziprozitätsgesetz 41
20 Quadratische Reste . . . 41
21 Ein Lemma von Gauß . . . 44
22 Das quadratische Reziprozitätsgesetz . . . 46
23 Die diophantische GleichungX2− mY2 =±p. . . 49
Index . . . 51
Kapitel 0: Begriffe und Ergebnisse aus der AGS
Integritätsbereiche
· Ein kommutativer Ring R heißt Integritätsbereich, falls R nullteilerfrei ist (d.h. es gibt keine Nullteiler inR außer 0.)
· SeiR ein Integritätsbereich und seiena, b ∈ R.
(a) g ∈ R heißt größter gemeinsamer Teilervon aund b, wenn gilt:
(i) g | a und g | b; und
(ii) ist c ∈ R mit c | aund c | b, so giltc | g.
Wir bezeichnen mit ggT(a, b) die Menge aller größten gemeinsamen Teiler von aund b. (b) k ∈ R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von aund b, wenn gilt:
(i) a | k und b | k; und
(ii) ist h ∈ R mit a | hund b | h, so giltk | h.
Wir bezeichnen mit kgV(a, b) die Menge aller kleinsten gemeinsamen Vielfachen vonaund b.
· Satz: Ist g ∈ggT(a, b), so ist ggT(a, b) =R×g.
· SeiR ein Integritätsbereich und sei 06=p ∈ R \ R×.
(a) pheißt irreduzibel, wenn∀ a, b ∈ R mit p=ab gilt, dassa ∈ R× oderb ∈ R× ist.
(b) pheißt prim (oder Primelement), wenn ∀ a, b ∈ R mit p | ab gilt, dassp | aoder p | b ist.
· Lemma: In einem Integritätsbereich ist jedes Primelement irreduzibel. ZPE-Ringe:
· SeiR ein Integritätsbereich und sei a ∈ R \ {0}. Eine Darstellung a=e ·
r
Y
i=1
pnii
mite ∈ R× und Primelementenp
1, . . . , pr (r ∈N) heißtPrimzerlegungvon a.
· Ein IntegritätsbereichR heißt ZPE-Ring, wenn jedesa ∈ R \ {0}eine Primzerlegung besitzt.
vi
Hauptidealringe:
· SeiR ein kommutativer Ring. Das Erzeugnis vona
1, . . . , an ∈ R (n ≥1) ist
a1R+. . .+anR ={a1r1+. . .+anrn| r1, . . . , rn ∈ R }=: (a1, . . . , an)R
Dies ist ein Ideal von R. Wenn n = 1 ist, heißt aR = {ar | r ∈ R } =: (a)R ein Hauptideal (erzeugt von a).
· Ein IntegritätsbereichR heißt Hauptidealring(HIR), wenn jedes Ideal von R ein Hauptideal ist.
· Satz: In einem Hauptidealring ist ein Element genau dann irreduzible, wenn es prim ist.
· Satz: Jeder Hauptidealring ist ein ZPE-Ring.
Euklidische Ringe:
· Ein Integritätsbereich R heißt ein euklidischer Ring, wenn es eine euklidische Funktion ν :R \ {0} −→ N0 mit folgender Eigenschaft gibt: Zu a, b ∈ R mit b 6= 0 gibt esq, r ∈ R mit a=bq+r, wobei entwederr = 0 oderr 6= 0 undν(r)< ν(b).
Diese Darstellung nennt man dieDivision mit Restvon adurch b.
· Wichtige Beispiele:Z(siehe unten), Körper,Z[i],K[X] (mitK ein Körper) sind euklidische Ringe.
· Satz [Euklidischer Algorithmus]:
Seien R ein euklidischer Ring und a0, a1 ∈ R . Man konstruiert rekursiv eine Folge a0, a1, a2, . . . , aN ∈ R wie folgt: sind a
0, . . . , an−
1∈ R für ein n ≥2bereits bestimmt und ist an−
16= 0, so teilen wir an−2 mit Rest durch an−1 und erhalten so
an−2 =qnan−1+rn
für gewisse Elemente qn, rn∈ R . Setze dann an:=rn. Es gilt:
(a) Das Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab: ∃ N ∈Nmit aN = 0. (b) aN−1∈ggT(a0, a1).
(c) ∀0≤ n ≤ N −1lässt sich aN−1in der Form aN−1=dnan+enan+1für gewisse dn, en∈ R schreiben. Insbesondere ist aN−1 ∈ggT(a0, a1) eine Linearkombination von a0 und a1.
· Folgerung: In einem euklidischen Ring existiert zu je zwei Elementen stets ein größter gemeinsa- mer Teiler. Dieser ist bis auf Multiplikation mit Einheiten eindeutig bestimmt und kann mit dem euklidischen Algorithmus berechnet werden.
· Satz: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
Zusammenfassend:
euklidischer Ring =⇒ Hauptidealring =⇒ ZPE-Ring =⇒ Integritätsbereich =⇒kommutativer Ring
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 / SS2019 viii Der Ring der ganzen Zahlen:
· Der Ring (Z,+, ·) der ganzen Zahlen ist ein Integritätsbereich mitZ× ={±1}.
· Der Ring (Z,+, ·) ist ein euklidischer Ring mit dem Betrag|.|:Z−→N, z 7→ |z|als euklidischer Funktion. Insbesondere gibt es füra, b ∈Zmit b 6= 0 eindeutig bestimmte Zahlen q, r ∈Zmit
a=q · b+r und 0≤ r < |b| . Man nennt diese Darstellung dieDivision mit Restvon adurch b.
· Der Ring (Z,+, ·) ist damit auch ein HIR. Insbesondere sind die IdealeIEZ genau die Ideale I= (m)Z =mZ={m · z | z ∈Z} mitm ∈Zbeliebig.
· Seip ∈Z\ {−1,0,1}. DaZ ein HIR ist, gilt:
p ist prim ⇐⇒ pist irreduzibel
· Um Vorzeichen zu vermeiden, ist es oft nötig zwischen primen Elementen und Primzahlen (im klassischen Sinn) in Z zu unterscheiden. Deswegen werden wir die folgende Definition einer Primzahl nutzen:
Eine ganze Zahl p ∈Z\ {−1,0,1} heißt einePrimzahl, falls p ∈Z≥0 und p prim ist, und wir bezeichnen mitP:={p ∈Z| p Primzahl} die Menge der Primzahlen.
· Da Z ein ZPE-Ring ist, besitzt jedes Element z ∈ Z eine Primzerlegung. Zusammen mit dem Begriff der Primzahlen erhalten wir:
Fundamentalsatz der Zahlentheorie: Für jedes z ∈ Z\ {0} gibt es eindeutig bestimmte, paarweise verschiedene Primzahlen p
1, . . . , pr ∈ P (r ∈ N0) und eindeutig bestimmte positive ganze Zahlen n1, . . . , nr∈N, so dass
z =sign(z)· pn1
1
· · · pnrr, wobei sign(z) :=z/|z| ∈ {±1}.
Anmerkung: Mit der Notationnp(z) := max{n ∈N0 | pn teilt z} gilt z = sign(z)·Y
p∈P
pnp(z).
Wir nennen diese Darstellung vonz ∈Z\ {0} diePrimfaktorzerlegung von z.
· Teilbarkeit und Ideale inZ. Seien a, b ∈Z. Dann gelten:
(a) a | b ⇔(a)Z⊇(b)Z ⇔ np(a)≤ np(b) ∀ p ∈P.
(b) (a | bund b | a)⇔ (a)Z= (b)Z. (c) g ∈ggT(a, b)⇔ (a, b)Z= (g)Z. (d) g ∈ggT(a, b)⇒ ggT(a, b) ={−g, g}.
(e) Wenn (a, b)6= (0,0) ist, so ist ggt(a, b) :=
Y
p∈P
pmin{np(a),np(b)} ∈ggT(a, b)
derpositive größte gemeinsame Teiler vonaund b, und wir setzen ggt(0,0) := 0.
Wichtige Sätze aus der Gruppentheorie/Ringtheorie:
· Der Chinesische Restsatz:Seien n1, . . . , nk ∈Z>1 (k ≥1) mit ggt(ni, nj) = 1 für alle 1≤ i 6= j ≤ k. SetzeN :=
Qk
i=1ni. Dann ist
Φ : Z/NZ −→ Z/n1Z× · · · ×Z/nkZ a+NZ 7→ (a+n1Z, . . . , a+nkZ) ein Ringisomorphismus.
· Der Satz von Lagrange:SeiGeine endliche Gruppe mit neutralem Element 1G undU ≤ G eine Untergruppe. Dann gilt|G|=|G : U| · |U|. Insbesondere teilt |U| die Ordnung von|G|. Daraus folgt, dass für alleg ∈ G
|hgi|
|G|
gilt und somit ist
g|G|= 1G.
Kapitel 1: Lineare diophantische Gleichungen
1 Der größte gemeinsame Teiler
Zunächst betrachten wir eine Verallgemeinerung des Begriffs einesgrößten gemeinsamen Teilers von zwei Elementen, der in der VorlesungAlgebraische Strukturen untersucht wurde.
Definition 1.1 (größter gemeinsamer Teiler) Seien z
1, . . . , zn ∈Z mit n ∈ Z≥2. Dann heißt g ∈ Z ein größter gemeinsamer Teiler (ggT) von z1, . . . , zn, falls gelten:
(i) g | zi ∀1≤ i ≤ n(d.h. gist ein gemeinsamer Teiler von z
1, . . . , zn), und (ii) für alleh ∈Zmit h | zi ∀1≤ i ≤ n gilth | g.
Setze ggT(z1, . . . , zn) := {g ∈ Z | ggrößter gemeinsamer Teiler von z1, . . . , zn}. Die Elemente z1, . . . , zn heißen teilerfremd, falls 1∈ggT(z
1, . . . , zn).
Lemma 1.2
Seienz1, . . . , zn ∈Zmit n ∈Z≥2. Sei g ∈Z.
(a) Istn ≥3, so ist ggT(z1, . . . , zn) = ggT(a, zn) für alle a ∈ggT(z1, . . . , zn−1).
(b) g ∈ggT(z
1, . . . , zn)⇐⇒(g)Z = (z
1, . . . , zn)Z. (c) g ∈ggT(z
1, . . . , zn) =⇒ ggT(z
1, . . . , zn) ={−g, g}. (d) Sind nicht allezi (1≤ i ≤ n) gleichzeitig Null, so gilt
ggt(z1, . . . , zn) := max
g∈Z
{gteilt zi∀1≤ i ≤ n}
= Y
p∈P
pmin{np(zi)|1≤i≤n}∈ggT(z
1, . . . , zn).
(e) ggt(z1, . . . , zn) = ggt(ggt(z1, . . . , zn−1), zn); und z1, . . . , zn sind teilerfremd⇔ ggt(z
1, . . . , zn) = 1.
Beweis : Übung. [Aufgabe 1, Blatt 1]
6
Anmerkung 1.3
(a) Dank Lemma 1.2(d) ist es jetzt gerechtfertigt, von dem größten gemeinsamen Teiler von z1, . . . , zn zu sprechen, d.h. ggt(z
1, . . . , zn).
(b) Aus Lemma 1.2(b) folgt, dass es b
1, ..., bn∈Z gibt, so daß ggt(z1, . . . , zn) =b1z1+. . .+bnzn.
Die Elemente b1, ..., bn und auch ggt(z1, . . . , zn) können z.B. induktiv mit dem euklidischen Algorithmus bestimmt werden.
Achtung! Diese Darstellung hängt von der Reihenfolge der Operationen ab!
Beispiel 1
(a) Seienz
1= 24, z
2 = 18,z
3 = 10. Mit dem euklidischen Algorithmus erhalten wir:
ggt(24,18) = 6 = 1·24 + (−1)·18, und ggt(6,10) = 2 = 2·6 + (−1)·10 Also ist
ggt(24,18,10) = ggt(ggt(24,18),10) = 2
= 2·6 + (−1)·10
= 2·(1·24 + (−1)·18) + (−1)·10
= 2·24 + (−2)·18 + (−1)·10
= 2· z
1+ (−2)· z
2+ (−1)· z
3
d.h.b1= 2, b2 =−2 undb3 =−1.
Aber mit einer verschiedenen Ordnung der Operationen erhalten wir:
ggt(18,10) = 2 = (−1)·18 + 2·10, und ggt(24,2) = 2 = 0·24 + 1·2, also ist
ggt(24,18,10) = ggt(24,ggt(18,10)) = 2
= 0·24 + 1·2
= 0·24 + 1·((−1)·18 + 2·10)
= 0·24 + (−1)·18 + 2·10
= 0· z1+ (−1)· z2+ 2· z3. d.h. in diesem Fall:b
1= 0, b
2=−1 undb
3= 2.
(b) Es kann sein, dass ggt(z
1, . . . , zn) = 1 ist, aber die Elemente z
1, . . . , zn nicht paarweise teilerfremd sind! Z.B. ggt(10,15,21) = 1 aber ggt(10,15) = 5 und ggt(15,21) = 3.
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 / SS2019 8
2 Lösbarkeit linearer diophantischer Gleichungen
Definition 1.4 (diophantische Gleichung, lineare diophantische Gleichung)
(a) Einediophantische Gleichungist eine Gleichung der Form F(X1, . . . , Xn) =c , wobei c ∈ Z,F ∈ Z[X
1, . . . , Xn] (n ∈ Z≥1), und bei der nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden, d.h.n-Tupel (a1, . . . , an)∈Zn mit F(a1, . . . , an) =c.
(b) Eine lineare diophantische Gleichung ist eine diophantische Gleichung, die in jedem Term nur eine der Variablen in der ersten Potenz enthält, d.h. eine Gleichung der Form
c1X1+. . .+cnXn=c , wobei c
1, . . . , cn, c ∈Zsind, und nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
Beispiel 2
(a) X2
1 + 10X6
2 + 6X2
3 = −5 ist eine diophantische Gleichung, wobei F = X2
1 + 10X6
2 + 6X2
3
∈ Z[X
1, X
2, X
3]. Diese Gleichung hat keine ganzzahlige Lösung, weilF(a
1, a
2, a
3)≥0 für alle (a1, a2, a3)∈Z3 gilt.
(b) 2X
1+ 6X
2 = 8 ist eine lineare diophantische Gleichung. Z.B. ist (1,1)∈Z2 eine ganzzahlige Lösung, aber diese Lösung ist nicht eindeutig, da (7, −1) auch eine Lösung ist.
(c) 2X = 5 ist auch eine lineare diophantische Gleichung, aber sie besitzt keine ganzzahlige Lösung, weil 2-5.
Satz 1.5 Seienc
1, . . . , cn, c ∈Z(n ∈Z≥1), so daßc
1, . . . , cn nicht alle gleich Null sind. Genau dann besitzt die lineare diophantische Gleichung
c1X
1+. . .+cnXn=c eine Lösung (a
1, . . . , an)∈Zn, wenn ggt(c
1, . . . , cn)| c. Beweis :
’⇒’ Sei (a1, . . . , an)∈Zn eine Lösung. Dann gilt Pn
i=1ciai=cund damit ist c ∈(c1, . . . , cn)Z =
Lem.1.2(b)
(ggt(c1, . . . , cn))Z
⇒ ∃x ∈Zmitc=x ·ggt(c1, . . . , cn), d.h. ggt(c1, . . . , cn)| c.
’⇐’ Umgekehrt, falls ggt(c1, . . . , cn)| cgilt, so existiertx ∈Zmitc=x ·ggt(c1, . . . , cn). Nach Anmer- kung 1.3(b) gibt es Koeffizientenb1, . . . , bn ∈Zmit ggt(c1, . . . , cn) =
Pn
i=1bici. Daraus folgt c=x ·ggt(c
1, . . . , cn) =x ·
n
X
i=1
bici=
n
X
i=1
ci(xbi),
und damit ist (xb1, . . . , xbn)∈Zn eine Lösung.
Beispiel 3
Z.B. besitzt die lineare diophantische Gleichung 24X
1+ 18X
2+ 10X
3= 20
eine Lösung (a1, a2, a3)∈Z3, weil 2 = ggt(24,18,10)|20 gilt. Außerdem ist 20 = 10·2 und nach Beispiel 1(a) ist 2 = ggt(24,18,10) = 2·24 + (−2)·18 + (−1)·10. Damit ist
20 = 10·2 = 10·ggt(24,18,10) = 10·(2·24 + (−2)·18 + (−1)·10) = 24·20 + 18·(−20) + 10·(−10) und (20, −20, −10)∈Z3 löst die Gleichung.
Aber diese Lösung ist nicht eindeutig bestimmt! Und zwar wissen wir aus Beispiel 1(a), dass ggt(24,18,10) = 0·24 + (−1)·18 + 2·10, und somit ist (0, −10,20) eine weitere Lösung der Gleichung.
Zusammenfassung:
(a) Wir haben die drei folgenden Fragen beantwortet:
Frage 1.Wie kann man die Lösbarkeit einer linearen diophantischen Gleichung entscheiden?
[Siehe Satz 1.5.]
Frage 2.Falls eine Lösung existiert: Wie kann eine Lösung bestimmt werden?
[Siehe Beweis des Satzes 1.5.]
Frage 3.Falls eine Lösung existiert: Ist diese eindeutig bestimmt?
[Siehe Beispiel 3.]
(b) Weitere Fragen, die man beantworten möchte, sind:
Frage 4.Kann man die Menge aller Lösungen einer gegeben linearen diophantischen Gleichung parametrisieren?
Frage 5.Kann man eine Lösung (a
1, . . . , an)∈Zn finden, bei der jeder Betrag|ai|(1≤ i ≤ n) so klein wie möglich ist?
Frage 4. kann mit Hilfe derlinearen Algebra überZ(genauer gesagt dieTheorie derZ-Moduln) beantwortet werden. Wegen Ostermontag und Maifeiertag haben wir dieses Semester nicht genug Zeit diese Frage zu betrachten. Sie können darüber im Skript von C. Fieker [Fie15] lesen.
Frage 5. ist ein sehr schweres Problem. Es lässt sich formal zeigen, dass dies ein Problem ist, für dass es keinen effektiven Algorithmus gibt (das Problem istNP-schwer).
(c) Die hilbertschen Probleme sind eine Liste von 23 Problemen, die von dem deutschen Mathemati- ker David Hilbert im Jahr 1900 beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris vorgestellt wurden.
Hilberts zehntes Problem.
Fragestellung: Man gebe ein Verfahren an, das für einebeliebige diophantische Gleichung ent- scheidet, ob sie lösbar ist.
Lösung: Es wurde gezeigt, dass es im Allgemeinen kein solches Verfahren gibt. (∼1970.)
Kapitel 2: Multiplikative Funktionen
3 Multiplikative Funktionen
Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)
(a) Eine Funktion α : Z>0 −→ C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch). Wir bezeichnen mit A(Z>0,C) die Menge aller arithmetischen Funktionen.
(b) Eine arithmetische Funktion α :Z>0−→C heißtmultiplikativ, wenn für alle m, n ∈Z>0 mit ggt(m, n) = 1 gilt:
α(m · n) =α(m)· α(n)
Wir bezeichnen mitM(Z>0,C) die Menge aller multiplikativen arithmetischen Funktionen.
(c) Eine multiplikative Funktionα heißtvollständig multiplikativ, wennα(m · n) =α(m)· α(n) für allem, n ∈Z>0 gilt.
Beispiel 4
(a) DieNullfunktion
0: Z>0 −→ C
z 7→ 0
ist eine multiplikative Funktion.
(b) Die Funktion
ε: Z>0 −→ C
z 7→
(
1 fallsz = 1, 0 fallsz >1 ist auch multiplikativ.
(c) Ebenso multiplikativ ist diekonstante Funktion
e: Z>0 −→ C z 7→ 1 . 10
(d) Dieidentische Abbildung
i: Z>0 −→ C
z 7→ z
ist ebenso multiplikativ.
(f ) Siehe auch §5 (die Möbiusfunktion), §6 (die eulersche φ-Funktion), §7 (die Teilersummen- funktion), und [Aufgabe 4, Blatt 2].
Lemma 2.2
Istα ∈ M(Z>0,C)\ {0}, so ist α(1) = 1.
Beweis : Weil α nicht die Nullfunktion ist, existiert z0 ∈ Z>0 mit α(z0) 6= 0. Wegen ggt(z0,1) = 1 gilt α(z0) =α(z0·1) =α(z0)· α(1). Also können wirα(z0) kürzen und somit istα(1) = 1.
Wir charakterisieren nun multiplikative Funktionen mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie.
Satz 2.3
(a) Sei α ∈ A(Z>0,C) eine arithmetische Funktion. Dann sind äquivalent:
(i) α ist multiplikativ.
(ii) Ist z ∈Z>0 und ist z =pn1
1
· · · pnrr mit r ∈Z≥0,n1, . . . , nr ∈Z≥0 und p1, . . . , pr ∈ P paarweise verschieden eine Primfaktorzerlegung von z, so giltα(z) =α(pn1
1 )· · · α(pnrr).
(b) Zwei multiplikative Funktionenα1, α2∈ M(Z>0,C) sind genau dann gleich, wenn α1(pn) =α2(pn)
für allep ∈P und für allen ∈Z≥0 gilt.
Beweis :
(a) Istα =0, so ist die Aussage klar. Also nehmen wir an, dassα 6=0ist.
(i)⇒(ii): Nun istz= 1, so ist nach Lemma 2.2 die Behauptung trivial. Also nehmen wir an, dass z ≥2 ist. Eine Induktion nachr liefert:
· Fallsr= 1, so istz=pn1
1 die Primfaktorzerlegung vonz, und damit istα(z) =α(pn1
1 ).
· Fallsr >1, so istα(z) =α(pn1
1 )· α(pn2
2 · · · pnrr), daα multiplikativ und ggt(pn1
1 , pn2
2 · · · pnrr) = 1 ist. Nun nach Induktion istα(pn2
2 · · · pnrr) =α(pn2
2 )· · · α(pnrr). Also insgesamt:
α(z) =α(pn1
1 )· α(pn2
2 )· · · α(pnrr)
(ii)⇒(i): Wir nehmen an, es gelte umgekehrt Aussage (ii) und es seiena, b ∈Z>0mit ggt(a, b) = 1 gegeben. Also wenn
a=pn1
1
· · · pnrr und b=pnrr+1
+1
· · · pnrr+s
+s
Primfaktorzerlegungen von aund bsind, müssen p1, . . . , pr, pr+1, . . . , pr+s paarweise verschieden sein, da ggt(a, b) = 1 ist. Das Produkta · bhat dann die Primfaktorzerlegung
a · b=pn1
1
· · · pnrr· pnrr+1
+1
· · · pnrr+s
+s.
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 / SS2019 12 Damit gilt nach (ii), dass
α(a · b)
(ii)
=α(pn1
1 )· · · α(pnrr)· α(pnrr+1
+1)· · · α(pnrr+s
+s)
(ii)
=α(pn1
1 · · · pnrr)· α(pnrr+1
+1· · · pnrr+s
+s) =α(a)· α(b), d.h.α ist multiplikativ.
(b) Ist α1 =α2, so ist sicherα1(pn) =α2(pn)∀ p ∈Pund ∀ n ∈Z≥0. Umgekehrt istα1(pn) =α2(pn)
∀ p ∈Pund∀ n ∈Z≥0, so gilt fürz ∈Z>0 mit Primfaktorzerlegungz=pn1
1 · · · pnrr α1(z)
(a)
=α
1(pn1
1 )· · · α
1(pnrr) =α
2(pn1
1 )· · · α
2(pnrr)
(a)
=α
2(z), wie behauptet.
Aufgabe 5 (Siehe Aufgabe 7, Blatt 3)
Sei α ∈ M(Z>0,C)\ {0} eine multiplikative Funktion, die nicht die Nullfunktion ist. Genau dann istα vollständig multiplikativ, wenn α(pn) =α(p)
n
für alle p ∈Pund für allen ∈Z≥0 gilt.
4 Die Dirichlet-Faltung
Definition 2.4 (Dirichlet-Faltung)
Seien α, β ∈ A(Z>0,C) zwei arithmetische Funktionen. Die (Dirichlet-)Faltung von α und β ist die arithmetische Funktion
α ∗ β: Z>0 −→ C
z 7→ (α ∗ β)(z) :=
P
d|z 1≤d≤z
α(d)· β(
z d) .
Anmerkung 2.5
Die Faltung kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
(α ∗ β)(z) = X
ab=z
α(a)· β(b)
für allez ∈Z>0, wobei die Summe über alle Paare (a, b)∈Z>0×Z>0 mit ab=z läuft.
Lemma 2.6
Seienα, β und γ arithmetische Funktionen. Dann gilt:
(a) α ∗ β=β ∗ α (Kommutativität);
(b) (α ∗ β)∗ γ =α ∗(β ∗ γ) (Assoziativität);
(c) α ∗ ε=α =ε ∗ α (Die Funktion εist ein neutrales Element für die Faltung∗).
Anders gesagt, bildetA(Z>0,C) eine kommutativeHalbgruppe bezüglich der Faltung.
Beweis :
(a) Aufgrund der Anmerkung 2.5 ergibt sich sofort (α ∗ β)(z) =
X
ab=z
α(a)· β(b) = X
ba=z
β(b)· α(a) = (β ∗ α)(z)
für allez ∈Z>0. (b) Seiz ∈Z>0. Dann gilt:
((α ∗ β)∗ γ)(z) = X
ab=z
(α ∗ β)(a)· γ(b)
= X
ab=z
X
cd=a
α(c)· β(d)
!
· γ(b)
= X
cdb=z
α(c)· β(d)· γ(b)
Analog ist
(α ∗(β ∗ γ))(z) = X
xy=z
α(x)·(β ∗ γ)(y)
= X
xy=z
α(x)·
X
uv=y
β(u)· γ(v)
= X
xuv=z
α(x)· β(u)· γ(v).
Bis auf Umbenennung der Variablen, d.h. x := c, u := d, v := b, haben wir zweimal die gleiche Summe erhalten, also ist (α ∗ β)∗ γ=α ∗(β ∗ γ).
(c) Seiz ∈Z>0. Dann gilt:
(α ∗ ε)(z) = X
d|z
1≤d≤z
α(d)· ε( z
d) =α(z)· ε(1)
|{z}
=1
+ X
d|z
1≤d<z
α(d)· ε( z d)
| {z }
=0
=α(z)
und damit istα ∗ ε=α. Wegen der Kommutativität der Faltung ist zudemε ∗ α=α ∗ ε=α. Lemma 2.7
Sind α, β ∈ M(Z>0,C) zwei multiplikative Funktionen, so ist auch die Faltung α ∗ β eine multi- plikative Funktion.
Beweis : Seienm, n ∈Z>0 mit ggt(m, n) = 1. Wegen des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie gilt: für jede Faktorisierungab=mnlassen sichaund beindeutig in ein Produkta=a
1a
2 mita
1| m,a
2 | nund b=b1b2 mitb1| m,b2| nzerlegen, wobei insbesondere ggt(a1, a2) = ggt(b1, b2) = 1 ist. Aufgrund der Multiplikativität vonα undβ folgt
(α ∗ β)(mn) = X
ab=mn
α(a)· β(b)
= X
a1b1=m a2b2=n
α(a
1a
2)· β(b
1b
2)
= X
a1b1=m a2b2=n
α(a
1)· α(a
2)· β(b
1)· β(b
2)
Kurzskript: Elementare Zahlentheorie SS2017 / SS2019 14
= X
a1b1=m a2b2=n
α(a1)· β(b1)· α(a2)· β(b2)
= X
a1b1=m
α(a
1)· β(b
1)
!
· X
a2b2=n
α(a
2)· β(b
2)
!
= (α ∗ β)(m)·(α ∗ β)(n), und damit istα ∗ β ∈ M(Z>0,C).
Satz 2.8
Sei α ∈ A(Z>0,C) eine arithmetische Funktion mit α(1) 6= 0. Dann existiert eine arithmetische Funktionβ ∈ A(Z>0,C) mit β(1)6= 0 und α ∗ β=ε=β ∗ α.
Beweis : Nach Definition der Faltung existiert genau dann zuα eine arithmetische Funktionβmitα ∗ β=ε, wenn die Gleichungen
1 =ε(1) = (α ∗ β)(1) =α(1)β(1) und fürz ∈Z>1
0 =ε(z) = (α ∗ β)(z) =α(1)β(z) + X
ab=z b<z
α(a)β(b)
erfüllt sind.
Also können wir die Funktionβinduktiv definieren. Da 1 =α(1)β(1) gelten soll, setzen wirβ(1) :=
α1(1). (α(1)6= 0 nach Vorausstzung!) Sei nun z >1 . Induktiv nehmen wir an, dass β(d) schon für alle d < z definiert ist, und wegen der zweiten Gleichung setzen wir:
β(z) :=
−1 α(1)
X
ab=z b<z
α(a)β(b)
Offensichtlich gilt nach Konstruktionα ∗ β =ε. Zudem gilt auchε =β ∗ α wegen der Kommutativität der Faltung.
Betrachten wir nun noch die übliche Addition + von Funktionen, so erhalten wir die folgenden alge- braischen Strukturen aufA(Z>0,C) undM(Z>0,C).
Folgerung 2.9
(a) (A(Z>0,C),+, ∗) ist ein Integritätsbereich mit Nullelement die Nullfunktion 0 und mit Eins- elementε.
(b) A(Z>0,C)×={α ∈ A(Z>0,C)| α(1)6= 0}.
(c) (M(Z>0,C)\ {0}, ∗) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Elementε. Beweis : Siehe [Aufgabe 6, Blatt 2].
5 Die Möbiusfunktion
Definition 2.10 (Möbiusfunktion)
DieMöbiusfunktion µ ist die arithmetische Funktion µ: Z>0 −→ C
z 7→
(
0 falls ∃ p ∈Pmit p2 | z, (−1)
#{p∈P| pteiltz}
sonst. Anmerkung 2.11
(1) Nennen wir eine Zahl quadratfrei, wenn sie von keiner Quadratzahl außer 1 geteilt wird, so gibt die Möbiusfunktion an, ob eine positive Zahl quadratfrei ist oder nicht. Insbesondere nimmt sie den Wert−1 an, falls die gegebene Zahlz eine Primzahl ist.
(2) zum Beispiel hat die Möbiusfunktion für 1≤ z ≤12 die folgenden Werte:
z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
µ(z) 1 −1 −1 0 −1 1 −1 0 0 1 −1 0
Lemma 2.12
(a) Die Möbiusfunktion µ ist multiplikativ.
(b) Die Möbiusfunktion µ ist das Inverse von der konstanten Funktion e bezüglich der Faltung, d.h.
µ ∗e=e∗ µ=ε . Beweis :
(a) Zunächst ist µ(1) = 1 nach Definition. Sei also z ∈Z>1 mit Primfaktorzerlegung z =pn1
1 · · · pnrr (d.h.r ∈Z≥1, n1, . . . , nr∈Z≥0 und p1, . . . , pr ∈P sind paarweise verschieden). Einerseits gilt
µ(z) =µ(pn1
1
· · · pnrr) = (
0 falls∃1≤ i ≤ r mitni ≥2, (−1)
r
fallsn1=. . .=nr = 1. Anderseits ist für 1≤ i ≤ r
µ(pnii) = (
0 fallsni≥2,
−1 fallsni= 1, also ist auch
µ(pn1
1 )· · · µ(pnrr) = (
0 falls∃1≤ i ≤ r mitni≥2, (−1)
r
fallsn1 =. . .=nr= 1. Daher istµmultiplikativ nach Satz 2.3(a).
(b) Wegen der Kommutativität der Faltung reicht es zu zeigen, dassµ ∗e=ε. Daµundemultiplikativ sind, so ist auchµ ∗emultiplikativ nach Lemma 2.7. Deshalb reicht es nach Satz 2.3(b) die Identität
