EOD – Millions of books just a mouse click away!

Алексей Павлович Болотов

Курс высшей и низшей геодезии

Ст.-Петербург : [б.и.]

1845

EOD – Millions of books just a mouse click away!

In more than 10 European countries!

Enjoy your EOD eBook!

Get the look and feel of the original book!

Use your standard software to read the eBook on-screen, zoom in to the image or just simply navigate through the book

Search & Find: Use the full-text search of individual terms

Copy & Paste Text and Images: Copy images and parts of the text to other applications (e.g.

word processor)

Terms and Conditions

With the usage of the EOD service, you accept the Terms and Conditions provided by the library owning the book. EOD provides access to digitized documents strictly for personal, non-commercial purposes. For any other purpose, please contact the library.

Terms and Conditions in English: http://books2ebooks.eu/odm/html/utl/en/agb.html Terms and Conditions in Estonian: http://books2ebooks.eu/odm/html/utl/et/agb.html

More eBooks

Already a dozen libraries in more than 10 European countries offer this service.

More information is available at http://books2ebooks.eu













Thank you for choosing EOD!

European libraries are hosting millions of books from the 15th to the 20th century. All these books have now become available as eBooks – just a mouse click away. Search the online catalogue of a library from the eBooks on Demand (EOD) network and or- der the book as an eBook from all over the world – 24 hours a day, 7 days a week. The book will be digitised and made accessible to you as an eBook.

books2ebooks.eu University of Tartu Library

К У _Р с ^ъ

вшитжй за

шшшшшА

Г М Д Ш 1

&<»

ГЕНБРАЛЬНАГО ШТАБА ПОЛКОВНИКА, ИМПЕРАТОРСКОЙ ВОЕННОЙ АКАДЕМШ ПРОФЕССОРА.

' Ч А С Т В - 1 . Т I' V

€т.~Жтгуе$ргъ.

ПЕЧАТАНО ВЪ ТИПОГРАФШ КОНРАДА ВИНГЕБЕРА.

1843*

Печатано по ВЫСОЧАЙШЕМУ повелЪтю

ЕГО ИМПЕРАТОРСКОМУ ВЫСОЧЕСТВУ,

ГОСУДАРЮ, ВЕЛИКОМУ КНЯЗЮ

КОНСТАНТИНУ НИКОЛАЕВИЧУ,

ГОСПОДИНУ ГЕНЕРАХЬ-АДМИРАЛУ-

Яссрднпштм пршигашие

ВСКПРЕДАНН4ШПАГ0

Алекстья Болотова.

Предлагаемый ныне публике «Курсъ Геодезш», есть не 2-е издаше напечатанной въ 1836 и 1857 годахъ книги, подъ заглавшмъ: Геодезгя, или руковод­

ство къ изслтъдовангю общаго вида земли, построетю картж, и производству тригонометрическихъ и топографическихъ съемокъ и нивеллировот, а совершенно вновь обрабо­

танное и гораздо пространнейшее изложеше тЬхъ же самыхъ предметовъ. Геодезтя въ семъ курсе, раз­

делена на Высшую и Низшую. Бысшая Геодез1Я на­

писана въ следующихъ пяти отделешяхъ:

Отд. I. Объ инструментахъ, употребляемыхъ для наблюденш геодезическихъ и астрономическихъ.

Отд. II. О производстве действш геодезическихъ.

Отд, III. О действ! я хъ астрономическихъ для о- предЬлешя азимутовъ и географической широты и долготы.

Отд, IV. О решенш различныхъ вопросовъ Выс­

шей Геодезш, какъ то: о вычисленш широты и дол­

готы точекъ сьти, о координатахъ, объ определенш длины геодезической линш и о приложенш Вычис- лешя Вероятностей къ Геодезш и Астрономш.

Отд. У. О черченш геограФическихъ сЬтокъ (про- экщяхъ картъ).

Низшая Геодез1Я изложена въ трехъ отдЬлешяхъ:

Отд. I. Объ устройстве и уиотребленш инстру- менговъ для измерения лиши и угловъ.

Отд. II. О производстве различнаго рода инстру­

мента л ьныхъ и гллзомТ»рныхъ съемокъ.

Отд. III. О топограФИческомъ нивеллироваши.

Книга предназначается собственно для ОФице- ровъ ИМПЕРАТОРСКОЙ Военной Академш. Такъ какъ большая часть изъ нихъ не имели случая по­

знакомиться съ Сферическою Тригонометр1ею и на­

чалами Сферической Астрономш, то оба сш пред­

мета помещены въ начале сей 1-й части. Сфериче­

ская Тригонометргя заимствована изъ 4-го издашя

«Полнаго Курса Чистой Математики» Франкера, съ некоторыми изменешями и дополнешями } начала же Сферической Астрономш изложены въ такомъ объеме, чтобы они могли служить пр1уготовитель- ньши сведешями для учащагося Геодезш.

Матер1ялами при составленш Высшей Геодезш служили, не столько учебныя книги, изданныя на Французскомъ и нфмецкомъ языкахъ сколько ниже- следующгя:

ВебсЬге1Ьип^ Лег ВгеИевдгаЛшеззип^ 111 Леп Оз1зее- Ргоущгеп Ки8з1апЛз, ^УОП \У 81гиуе. Богра!, 1831.

8иг ГешрЫ Ле 1Чп81гитеп1: Лез разза^ез, роиг 1а Лё1епшпа11оп Лез розШопз §ёо$гарЫдиез. 81. Рё1ег8Ьоиг^, 1838. Его же.

ТгаИё Ле СёоЛё81е раг Ршззап(, Зте ёЛШоп. Рапз, 1842.

ТгаИё Ле Торо^гарЫе. Рапз, 1822. Его же.

Мнопя статьи, помещенныя въ издаваемыхъ а- строномомъ Шумахеромъ: Аз1гопопи8сЬе КасЪпсЫеп.

Наконецъ мнопя сведешя полученныя авторомъ отъ Гг. Действительныхъ Статскихъ Советниковъ С т р у в е и В р о н ч е н к о , П р о ф е с с о р а И М П Е Р А Т О Р С К А Г О С. Петербургскаго университета Савича, и корпуса топографовъ Капитана Максимова, за что онъ вме- няетъ себе долгомъ принести имъ живейшую при­

знательность.

0 Г Л А В Л Е Н 1 Е .

ТР И Г 0 Н 0 М В Т Р 1 Я .

стр.

I. Общ1п формулы Прялюлинсйной Тригонольетрш чл. 1 — 7 1

II. Сфсриг^ская Тригонометргя 8

Свойства сферическнхъ треугольннковъ чл. 8. Полярные треуг-ки, 10. Площадь ^сФер-го треуг-ка, 13. Сферич. избы- токъ, 14. Общ1Я Формулы, 15. Р'Ьшеше прямоуг-хъ сфер.

треуг., 19. Рьшеше косоуг-хъ сфер, треуг-въ, 23. Гауссовы и неперовы уравнешя, 28. Сомнвтельиые случаи, 29.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЯ ПОНЯИЯ ОБЪ АСТРОНОМ1И.

Вступлеше 37

ГЛАВА I. О сутогиолю Ъвиженш небесной сферы и о небесных*

и зеленых* кругахь 38

Видимый и истинный горизонта чл. 36. Суточное движеше, 37. Небесный и земный экваторъ, 38. Меридханъ, 39.

Страны св'Ёта, 40. Высота и зенитное разстояше светила, 41. Азимутъ, 42. Склонеше, 43. Прямое восхождеше, 44.

Часовый уголъ, 45. Географическая широта и долгота, 47.

ГЛАВА II. О созвтъздьяхь 47

Разделен 1е звъздъ на классы чл. 49. Фундаментальные звез­

ды, И СОЗВ&ЗД1Я, 50.

ГЛАВА III. О кажущемся постутштелънолсъ движети солнца. 53 Поступательное движеше солнца, чл. 52. Эклиптика и точ­

ки равноденствш, 53. Зод1акъ, 54. Прямое восхождеше солнца, 55. Небесная широта и долгота, 56.

ГЛАВА IV. О вреллени 57

Звездное время, чл. 58. Истинное солнечное время, 59.

Среднее время, 60. Выражение звЪзднаго времени въ сред- немъ, 61. Рьшеше обратнаго вопроса, 62. Разность м4ст- выхъ временъ, 63. Выражение звЬзднаго времени посред-

VIII

стр.

ствомъ часов, угла, 64. Определеше истиннаго времени по данному среднему, 66. Обратный вопросъ, 67. По дапно- му среднему времени определить звездное, 68. Обратный вопросъ, 69. По данному истинному времени определить звездное, 70, и обратно, 71.

ГЛАВА V. О лунгъ 72

Месяцъ звездный и синодическга, узлы лунной орбиты;

движеше узловъ; затмешя и закрытая звездъ чл. 72. Ис­

тинное движеше луны, 75.

ГЛАВА VI. О прецессш, нутаиш и абберацги 75 Прецессгя чл. 74. Нутац1я, 75. Измененге склонешй и прямыхъ восхождений светилъ, 76. Движение земли около солнца, 77. Абберащя, 78.

Интерполяцъя 85

Предварительныя поняэтя чл. 80. Выводъ Формулы, 81.

Формула Бесселя, 82. Примеры, 85.

Г Е О Д Е 3 1 Я .

Введен!» 99

В Ы С Ш А Я Г Е О Д Е 3 1 Я . ОТДЪЛЕШЕ I.

И Н С Т Р У М Е Н Т Ы .

ГЛАВА I. Общгя понятъя объ устройствп инструлимтовъ. . . . 1 0 5 Различнаго рода инструменты § 1. а) Трубы. Законы пре- ломлешя света § 6. Стекла ограниченныя плоскими по­

верхностями § 9. Призмы § 10. Собирающая стекла § 11.

Сферическая и хроматическая абберащя § 14. Устрой­

ство зрительныхъ трубъ § 15. Увеличиваше трубы § 16.

Употреблеше зрит, трубъ § 18. 6) Вернъеръ. § 21. Унн- чтожешС ВЛ1ЯШЯ внецентренности движешя круга § 24. От- считывашя § 25. Лупы и иллюминаторы § 26. с) Т/ро- вет. § 27. Употреблеше и поверка § 28. Формулы выра­

жающая уг. наклопешя оси врагцешя трубы § 30.

ГЛАВА II. О пасажныхъ инструментахъ 132

Общ!я понят1Я § 51. Пасажный инструментъ Троутона

IX стр.

§ 53. Инструменть Эртеля § 54. В. Ловпрка пасажнаго инструмента § 55. Означеше делеши на шллпкахъ нож»

пыхъ винтовъ § 56. Определеше степени чувствительности уровня § 57. Поверка толстоты цапФЪ § 59. Поверка трубы § 41. Поверка круга высоть § 45.

ГЛАВА III. О теоЬолитть 152

Теория повторешя угловъ § 45. Повторительный кругь § 46. § 46. Обпця ПОНЯТ1Я о теодолите § 49. Устройство теодолита Эртеля § 50. Поверка § 51. Употреблеше тео­

долита § 54. Способъ Мейера § 55. Способъ Струве § 56.

Примерь § 57. Поправки угловъ измеренныхъ теодолп- томъ § 58. Определеше колимащи трубы § 60.

ГЛАВА IV. О вертикалънолсъ кругть. , . 174 Устройство § 62. Поверка § 65. Употреблеше § 67. Ис- правлеше отсчитыванш съ помопцю уровня § 68. При­

мерь § 69.

ГЛАВА V. Объ астрономигескомъ теодолиты ; 184 Устройство § 70. Поверка § 72.

ГЛАВА VI. Объ универсалъныхъ инструментах* 188 Большой универсальный инструменть § 75 Поверка § 74.

Употребление § 75. Малый универсальный пнструментъ § 76. Поверка, употреблеше и ^вл!лше на наблюдешя вие- центреннаго положены трубы § 77.

ГЛАВА VII. Объ отражателъныхъ инструментах%. 195 А. Секстантъ. Теоргя секстанта § 79. Устройство. § 80.

Измерение угла между двумя предметами § 81. Измерение высоть светила на море § 82, на суше § 85. Поверка секстанта § 84. Недостатки его § 86. В. Зеркальные кру­

ги § 87. Зеркальный кругь Эртеля § 88. Употреблеше онаго § 89. С. Призматихескге круги § 92. Устройство призм, круга Штейнгеля съ двумя призмами § 94. Повер­

ка § 95. Употребление § 100. Выгоды сего инструмента предъ секстантомъ § 102. Устройство призм, круга съ тре­

мя призмами § 105. Употребление § 106. Выгоды сего ин­

струмента § 108.

ОТД-ЬЛЕН1Е П.

Д- Ё Й С Т В 1 Я Г Е О Д Е З И Ч Е С К 1 Я .

ГЛАВА I. О составлении тригонометрической стьти. 226 Тригонометрическая сеть § 109. Разделеше на разряды §

X

стр.

110, Выгоднейпне треугольники сети § 111. Рекогносци­

ровка страны § 112. Выборъ пунктовъ § 113. Сигналы § 114. Ночныя наблюдешя § 116. Гелютропъ § 117.

ГЛАВА II. Объ измтъренш основанш. 238

Влгяше погрешности основашя на длину боковъ § 119.

^Кезлщ § 120. Поправка отъ наклонешя §121. Поправка отъ температуры § 123. Базисный приборъ § 124. Новый базисный приборъ Рейссига § 125. Ходъ измерешя осно­

вашя § 126. Приведете измереннаго основашя на поверх­

ность океана § 127.

ГЛАВА III. Обь измтъренш угловъ тригонометрической стьти 250 Инструменты наиболее употребляемые § 128. Способы на­

блюдешя § 129. Место стояшя § 130. Время наблюдешя

§ 131. Приведете наклонныхъ угловъ на плоскость горн- зонта § 132. Приведете угла къ центру стояшя § 134.

Случай когда изъ одной точки измерено было несколько угловъ § 139. Измерение разстояшя и дирекцюнальнаго угла § 141. Приведете угла къ центру наблюдаемаго си­

гнала 142.

ГЛАВА IV. О выгислети треугольниковъ. 267

Способъ Двламбра § 145. Способъ Лежандра § 146. При- меръ § 148. Вычислеше геодезическихъ треугольниковъ какъ СФеричеекихъ § 149. Определеше точки по тремъ данньшъ § 151. Определеше двухъ точекъ по тремъ дан- нымъ § 152.

ГЛАВА V. О граЬуснъгхъ излтренгяхъ. : 283 Способъ Лежандра § 154. Градусныя измерешя до XVIII столетЁя § 155. Умозаключеше Гюйгенса и Ньютона о ФИ-

1уре земли § 156. Градусныя измерешя въ XVIII столе­

тии § 158. Измерение Деламбра § 160. Измерешя въ XIX столетии § 161. Результаты градусныхъ нзмерен1й § 162.

ГЛАВА VI. О видгъ и велигинтъ земли. 297 Уравнения эллипсиса, нормальной и касательной лиши § 163. Земной рад1усъ § 165. Большая нормаль § 166. Урав- неше сечешя эллипсоида вращешя вертикальною плоско- СТ1Ю § 167. Общее выражение рад1уса кривизны § 168.

Преобразование Формулъ въ ряды § 170. Формулы Бессе­

ля для вычисления нормалей и рад1усовъ кривизны § 172.

Определеше числа секундъ дуги по данной ея длине § 173.

Выражеше длины дуги меридгана 174. Длина градуса ши­

роты § 176 и длина градуса долготы § 177. Определеше

XI стр.

сжатости земли. § 178. Длина четверти меридаана § 179.

Выводъ сжатости изъ градусныхъ нзмеренш § 181. При­

чина разногласгя результатовъ § 183. Неправильность ви­

да земли § 184. Средство определить точный видъ земли

§ 186. Способъ Бесселя § 187. Выведенные имъ резуль­

таты § 189. Вычислены длины нормали, радЁусовъ кривиз­

ны и проч. § 190.

ГЛАВА VII. О геодезигесколеъ нивеллироваши. ... ... . 332 Предварительныя понятая § 191. Выводть Формулы § 195.

Определеше земной реФракцш § 194. КоеФФИщентъ реФ­

ракцш § 195. Преобразоваше общей Формулы въ рядъ § 197. Приведете измеренныхъ зенитныхъ разстоянш къ центру стоянхя § 201. Определеше точки надъ поверхно­

сти океана § 205. Понижение горизонта § 205. Способъ малыхъ базисовъ § 209.

ГЛАВА VIII. О барометригесколеъ нивеллироваши 355 Общее понятие объ устройстве барометровъ § 210. баро­

метре Фортеня § 212. Барометръ Паррота § 215. Ге-»1кк>

сака § 214. Вл1ятс температуры и волосности § 216. Вы- водъ барометрической Формулы § 219. Поправки отъ тем»

пературы, изменения тяжести, веса и проч. § 220. При­

мерь § 221. Преобразование Формулы § 222. Таблицы Гаус­

са § 223. Практическ1я замечания § 224. Определение аб­

солютной высоты надъ поверхностью моря § 225.

ОТДЪЛЕШЕ XII.

Д ъ й с т в 1 я А С Т Р О Н О М И Ч Е С К И . ГЛАВА I. Предварителъпыя понятЬя об% астронолтхескиэеъ на-

блюденгяхъ вообще 339

А. Астронолшхескге часы § 228. Сравнеше хронометровъ

§ 232. В. Отсгитыванге врелшш § 233. При наблюдеш- яхъ пасажною трубою въ меридиане § 234. Въ главномъ вертикале § 236. При измерении зенитныхъ разстоянш и азимутовъ § 239. Отражательными инструментами § 242.

.Явлешй мгновенныхъ § 243. С. Приведете на среднюю нить. § 246. Выводъ Формулы § 247. Формула Бесселя

§ 249. Наблюдеше луны пасажною трубою § 251. Б. Из- лаьрете зенитныхъ разстоянш свтътилъ и азиллуталъ•

ныхъ угловъ § 252. Е. Поправки наблюденъй. I. Рсфраю*

цгя. Общгя понят1я § 256. Таблицы реФракцш § 257. II.

Паралаксъъ § 259. Паралаксь высоты § 260. Гориз<ж-

XII

стр.

тальпый паралаксъ § 262. Поправка отъ сжатости земли

§ 265. Геоцентрическая широта § 266. Паралаксъ пряма- го восхождсшя и склонешя § 267 Паралаксъ долготы и широты § 268. Паралаксъ азимута § 270. Вл1яше пара- лакса луны при наблюденш пасажною трубою § 271. III.

ЛолуЪшметры сетьтилъ § 272. Определение видимато по- луд1аметра по данному истинному § 275. Теже Формулы въ Функцш склонения и паралакса луны § 275.

ГЛАВА II. Опрёдтьлете времени 438

Ходъ и состояше хронометра § 278. А. Поепрка хроно­

метра по измеренному зенитнол*у разстоянгю свтъти- ла § 281. Выгоднейшш случай для наблюденш § 283.

Ходъ наблюдешя и вычислешя § 284. Примерь § 285.

Наблюдеше отражательными инструментами § 276. В. По соотвтьтствсннъгмъ высотамъ свтыпилъ § 287. Ходъ на­

блюдешя § 288. Приведете на истинный полдень § 289.

Примеры § 291. Поправка отъ реФракцш § 293 С. По- средствомъ пасажкой трубъг § 294. Приведеше трубы въ меридганъ: 1-й способъ § 295. 2-й Способъ § 296. 3-й Способъ § 297. Общая Формула для определешя времени пасажною трубою § 299. Определение разетояшя болыпа- го круга инструмента отъ полюса § 300. Определение вре­

мени, когда труба уклоняется значительно отъ меридЁана

§ 302. Ходъ действия § 303. Определеше колимацш тру­

бы § 305. Уголъ наклонешя оси вращешя безъ помощи уровня § 306.

ГЛАВА III. ОпреЪгьленге географической широты 475 А. По мериЫаналънымъ высотамъ сетьтилъ. 1- Способъ

§ 307. 2-й Способъ § 308. В_ По излегьренгю близь мери- Ыаналъньгхъ высоть сетьтилъ. 1-й Способъ § 310. Ходъ наблюдешя и вычисления § 312. Практически замечашя

§ 314. Наблюдешя солнца § 317. 2-й Способъ § 318. 3-й Способъ § 319. С. По наблюденглмъ въ 1 -мъ вертикалтъ

§ 321. Поправка отъ наклонешя оси § 323. Поправка отъ колимацш § 326. Поправка отъ погрешности въ ази­

муте § 327. Примерь § 328. Наблюдеше 4-хъ звездъ въ 1«мъ вертикале § 329. Предварительныя вычислешя § 330.

Л. По равнымъ высотамъ трехъ звтьздь § 331. Примерь

§ 332.

ГЛАВА .IV. Объ опредтьлсши азимутов* 510

А. По наблюЪетямъ инструментами, излтряющилш

азимутальные углы. Выводъ Формулъ § 353. Выгодней­

шее время для наблюденш § 354. Ходъ дъйстшя § 555.

Примерь § 337. Приведете измереннаго азимута къ цен­

тру сигнала § 359. Определеше временя по данному ази­

муту звезды § 540. Ходъ наблюдешя и вычислешя § 542.

Примерь § 543. Дневныя наблюдения § 544. В. Посред­

ством8 пасажнаго инструмента § 545. С. Посредст­

вомь отражательных* инструментовъ § 346.

ГЛАВА V. Объ опредпленш географигеской долготы

Общее понятие § 549. А. По перевозкп хронометров,ь

§ 350. Определеше хода хронометра во время пути § 551.

Случаи, когда ходъ хронометра изменяется § 555. В. По сигналамь § 555. Определеше разности долготъ двухъ от- даленныхъ месть § 556. Паданлщя звезды § 557. С. По разстоянгю луны отъ солнца или звтьздъ § 558. Ходъ наблюдешя § 359. Примерь § 361. Б. По кулъмина- щямъ луны § 362. Способъ Николаи § 365. Примерь

§ 564. Способъ Струве § 566. Случаи, когда не имеются соответственныхъ наблюденш § 568. Е. По измтьренгю ази­

мутовъ и зенитныхъ разстоянш луны § 569. 1-й Спо­

собъ § 570. Примерь § 572. Выгоднейшш случай для наблюдешя § 375. 2-й Способъ § 574. Р. По солнегнымъ затлтнгямъ § 575. Ходъ вычислешя § 378. По закрып- лмъ звездъ луною § 580. Примерь § 581.

ЗАМЪЧЕННЫЯ ОПЕЧАТКИ.

стр. стр. напечатано: читай:

3 8 сверху ЙР 8111А С05 Б =р вшА 5ШВ 5 11 снизу

8 5 сверху пересечете сечен 1а

19 3 снизу учете ученые

21 12 сверху 81115 «Ш1С 8Ш*-|А 2зтй «тс 8ш"-|А

23 11 вне внутрь

24 17 « (68) (58)

45 8 снизу 41",26 41",25 60 16 « = 0° 58' 8",33 = 0° 59' 8",33 61 9 сверху 15",014 15",041

— 14 « 0°,9856721 0°,98564721.

64 14 ^« В А

67 11* снизу 20.39.21,36 20.55.21,36 70 3 сверху 4^Ч сред. врем. 5*¹ сред. врем.

73 18 ^« долготу шпроту

87 7 « уп Уп

157 2 а пожными а^} а, «у ножными винтами а^} а^} а;

165 3 снизу = 72.9.2,77 = 73.9.2,77 193 11 сверху чер. 108 чер. 109

238 12 « а, Ъ, с, будуть углы а, Ъ, с^} будуть бока 282 2 ^« 1ап§(45° -*-$)) СО1(45° Ф)

285 14 « § 154. Сей способъ Сей способъ На стран. 5 между строками б-ю и 7-ю пропущено:

Если положимъ а — И, то — след. ц° пзображастъ гис.го градусовъ дуги^} которой длина равна раЫусу.

Б В Е Д Е Е 1 Е .

ТРИГОНОМЕТР1Я

I. ФОРМУЛЫ ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ТРИГОНОМЕТРШ.

1. Принимая радгусъ за

единицу,

тгЪемъ:

81П

²

А—|— соз

²

А:г: 1^ зес

²

А =1 + 1ап»

²

А; 1ап§А.со1Аг=: ц

. 8тА

I С08

А

I

.

[апеА

= . — . : со!

А — -—- — г ^{л х}

° соз А со1А 8ш А 1ап^А >(1).

зесА — . : созесА —

^г

СОЗА 81Г1А

81

П(

А ± В) — 81П А

СОзВ ±

81пВ

СОЗ

А (2) соз (А ± В) — соз А соз В З1п А соз В (3)

зт2А — 28|'

П

А соз А. (А)

созЗА — соз

²

А — 81П

³

А или ш 2соз

²

А I . (5)

I -ь соз А 2соз

²

у А (6)

I — соз А == 2зт

²

\ А . (7)

1апг А ±. 1апгВ

1апе(А ± В) =: ° I 1 а п § А 1 а п § В ^-г- ... (8)

СОЗ

А

I СОЗ

А

5П1

А

СОзА"

81П А

~~ 1-ЬСОЗ

А

^

2. Уравнешя, содержаиця сумму и разность синусовъ и косинусовъ, принимаютъ, посредствомъ нижеслЪдующихъ

^Фор-

мулъ, виды, удобные для логаривмическихъ д-ьйствш:

1 *

Д Введете.

81П А ±1 8111 В — 2З1П | (А ± В) С0$|- (А В) (10) соз А -+- соз В 2соз ± (А -+- В) соз ~ (А — В) (11) соз В — соз А =гг 2зш -1 (А -|- В) зт | (А — В) (12) 5Ш^А А 31П²В п: 8111 (А -+- В) 3111 (А В) (15) 1ап^А — 1ап";В зт (А — В)

1ап§ А -+- 1ап§ В зт (А -+- В) * 81П А — зт В (А — В) зтА-ьзтВ 1ап^-^-(А-I-В) соз В — соз А

соз В соз А

(14) (15)

1 а п8т(^А — В) 1ап§-1 (А-н В) (16)

. _ 81П (А ± В)

(ап⁸А^{± Ь},п^аВ=с о 5 А с о 8 В. (17)

3. ⁵ША=А-А1Н_А1-⁵-^зл ^ ^{6 7}+^ии^Р' (18)

А* ^{А4 А}® лки

со. А = . - ^Т+ 53-5 - ^{а 5 л 5 6} + И про,. (19)

4 . А³ 2А⁵ 17А⁷

1ап§ А = А -*- -³- -+- ^ — 5ТУТ9" проч. (20) . . . 31П³А 5З1П⁵А 3.5З1П⁷А

дуга А = зт А -ь ^ ^{% л & ?} и про,.. (21) дуга А = 1апдА — |-1ап§³ А -I- -Ь1ап^⁵А — у1ап§⁷А и пр.

1°« (1 + г)гМ[2 — нн |-г³ — -^г⁴ + |-2⁵ — и проч.] (23).

Въ сихъ рядахъ, А изображаетъ длину дуги круга, выра­

женную въ частяхъ радгуса, принимаемаго за единицу; М есть модуль, или табличный логариемъ основашя е Неперовогс систсльы, т. е. М есть постоянное число, на которое если будутъ улшожены всЬ Неперовы логариомы, то получатся та­

бличные. Если изобразимъ чрезъ 1 а логариемъ основашя а, взятый по СИСТ&УГЪ, коей основаше есть с, то будетъ 1 а :=

Для Вриговыхъ и Каллетовыхъ логариемовъ, коихъ осно­

ваше ость 10, имЪемъ слЪдуюпця величины:

П р я м о л и н е й н а я Т р и г о н о м е т р и я . 5 М = 0, 43429 44819 05-251 82765

1о§М = 1. 63778 43113 00536 77817 с — % 71828 18284 59045 23536

М — 1оге —

ь 1 а

4 . Наконецъ если изобразимъ чрезъ 71 длину полуокруж­

ности круга, выраженную въ частяхъ радгуса, принятаго за единицу, или что все равно, отношеше цЬлой окружности къ своему Д1аметру, то будетъ

п —\ 14159 26535 898, 1о-я = 0. 49714 98726 941.

5 . П усть а будетъ длина дуги круга, коего радгусъ есть И; (а)° число градусовъ заключающихся въ сей дугЪ; (а)' и (а)" число минутъ и секундъ оной: получимъ следующую про- порщю:

180°; яВ. (а)⁰1 а, откуда яК(а)° = 180° а.

Такимъ же образомъ яТС(а)' = 10800'. а, тгЩа)" = 648000" а.

РаздЬливь всЬ сш три уравненгя на 71, и положись

о_ 1 8 0 ° _ . _^о 10800'

IX. — • — 57 * 29578. д — _ э4э/ ^

71 71

„ 648000" счмааи" еляок

71 — ——— — 206264 , 80625, получимъ

Ъ.{а)°—11⁰а, 1\ (а)' — (±'а, К {а)" — ^"а . (24).

Посредствомъ сихъ уравненш определяется длина дуги круга, илиыощаго радйусъ — К, коей число градусовъ, или ми­

нутъ, или секундъ извпстно.

Если же возьмемъ дугу въ одинъ градусъ, или (а)⁰ ш 1°, и положимъ К = 1, то получимъ а° — —--о ; такимъ же

дуг. I образомъ

I I „ I I

Д —— Дуг. I / 81П1 • О Д — дуг.1 Ь ~ я 51Ш }

ибо дуги въ 1' и 1" столь малы, что безъ ощутительной по*

грешности можно принять ихъ равными свонмъ синусам!».

6 Введение.

Внеся два последшя выражешя въ урав. (24) и полагая по прежнему В. = I, получимъ

/ сс . сс

(а) = - .81П1 —, и (а) = ^-г— 81П1 откуда а — (сс)' зт 1' и (а)" $1щ" (*).

Отсюда заключаемъ, что если въ какое нибудь уравнеиге входитпъ дуга а, выраженная въ частяхъ рад1уса, принятаго за единицу, то, чтобы заменить оную числомъ ея минутъ или секундъ, надлежитъ вместо а подставить (сс)'&тг или (а)" $1П I" Предлагаемъ здесь логариемы (1°^у (х ":

1о§/и° = 1. 75812 26324 09172, доп. 1о§/и° = 2. 24187 73675 90828, 1ощр=Ъ. 53697 38827 92816,

доп. 1о^?(и' = 4. 46372 61172 07184 = 1о§ мп1' 1о^/и" = 5. 31442 51331 76459

доп. \о%(л!' — Ъ. 68557 48668 23541 = 1о§ зт1"

6.

Ртъшете прялюугольныхъ треугольниковъ. Изобразивъ прямой уголь чрезъ А, гипотенузу чрезъ а^} катеты чрезъ Ъ и Су острые углы имъ соответственно противоположные чрезъ В и С, имеемь следуюпця уравнешя:

Ь — а соз С = а з1пВ ]

с ~ Ъ 1ап» С — Ъ со1В ( (25).

а² ~ Ъ^г + с² |

7 . Ртъшете косоугольныхъ треугольниковъ. Для сего слу- жатъ следуюпця уравнешя:

81П А 81П В зтС

а Ъ с

аа — -|_^{с 2} — соз А . (28).

А, В, С означаютъ три угла; а, Ъ, с бока имъ соответствен­

но противоположные.

(*) Первое изъ сихъ двухъ уравнсшй надобно разсматривать какъ при­

ближенное, ибо 8Ш1' не равенъ въ строгомъ смысле длине дуги въ 1'; но последнее имеетъ всю требуемую степень точности; это вид­

но даже изъ того, что длина целой дуги а получится, если дугу въ 1" помножимъ на число (а)" секундъ въ ней заключающихся;

но дуга въ 1" равна бш 1", след. а ~ (а)" 8Ш 1"

(271

П р я м о л и н е й н а я Т р и г о н о м е т р и я .

7

1-й случай. Если даны два бока и одинъ изъ угловъ имъ противолежащихъ, то посредствомъ урав. (27) получится дру­

гой противоположный уголъ; но какъ синусъ сего угла со­

ответствуешь двумъ дополнительнымъ дугамъ, то вообще по­

лучится два решешя, кроме того случая, когда условге во­

проса одного изъ нихъ не допускаетъ.

2-й случай. Если даны два угла и одинъ бокъ, то третш уголь будетъ известенъ, а посредствомъ урав. (27) получают­

ся другхе два бока.

3-й случай. Для решешя треугольника по двумъ бокамъ Ъ и с и заключающемуся между ними углу А, имеемъ

1ап^§| (С — В) = со1| А; , (29>

Если положимъ •§• (С — В) — п, \ (С -ь В) = т — 90° —

~А, то урав. (29) дастъ величину п-^} после чего С ~ 771 -н п, В — т — п.

281П -Ь А

~Ъ

и определивъ изъ этого уравнешя величину вспомогательной дуги длина бока а найдется изъ уравнешя

с — Ъ соз

4-й случай. По известнымъ тремъ бокамъ а, Ъ^} с, уголь А определится изъ следующихъ уравненш:

Или: положивъ 1ап§ 1р = —*^{П 3} ^ у/(5с),

_ у// (Р — ^а) соз^А — ^ж, _

ос где

2 р — а-*-Ьч-с.

Или: опредЪляютъ сперва длину двухъ отрезковъ х и у, происходящихъ отъ опущешя перпендикуляра изъ вершины А, на основаше а, посредствомъ следующихъ уравненш:

(Ъ+с) [Ъ — с)

у — х ~ , у х — а:

•^/ а

потомъ углы В и С получатся изъ уравненш;

ссо&Л — х, йсозСггу.

8

^{Введете.}

II. СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГ0Н0МЕТР1Я.

А.

Предварительныя понятгя.

8.

Три плоскости

МОК, N0?, МОР

(чер.

1),

проходя- пця чрезъ центръ сферы, составляютъ трегранный уголъ О*, пересечете сихъ плоскостей съ поверхностно сферы суть болыше круги, которыхъ дуги СА, СВ, АВ образуютъ сфе- рическш треуголъникъ АВС", плоскге углы сего треграннаго угла О, измеряются соответственными боками или дугами этого треугольника*, а именно:

МОР

дугою АВ,

МОК

дугою АС, КОР дугою ВС. Уголъ А треугольника измеряется уг- ломъ, образуемымъ двумя касательными при точке А, про­

веденными къ смежнымъ дугамъ АС, АВ; касательныя сш, находятся на плоскостяхъ этихъ дугъ и измеряютъ двугран­

ный уголъ

КОМР

сихъ плоскостей, т. е. наклонеше плос­

кости

КОМ

къ

РОМ. и

такъ, плосшс углы треграннаго угла О соотвтьтственно излтрлютел бокалш сфер, треуголь­

ника АВС, а двугранные сферическилт его углами (*).

Задачи, въ которыхъ требуется определить, по НЁКОТО- рымъ частямъ сфер, треугольника, прочгя части, совершенно одинаковы съ тЬми, въ коихъ по некоторымъ даннымъ час­

тямъ трегранника, отыскиваются прочгя. Всего шесть час­

тей'. три угла А, В, С, и три противоположныхъ бока а,

С) Должно при семъ заметить, что если проведемъ большой кругь СВБ (чер. 4) перпендикулярный къ бокамъ двуграннаго угла САА'В, то въ сЪченш съ плоскостями сего посл-Ьдняго произейдетъ прямолиней­

ный уг. СОВ, равный вышесказанному углу тКп между касатель­

ными; дуга СВ его измеряющая, будетъ служить мерою двугран­

наго, а след. и сфер, угла САВ. Точка А, отстоящая на 90° отъ всехъ точекъ окружности СВ1), называется полюсомъ дуги СВ1).

И такъ, СФСр. уголъ измеряется двуграннымъ угломъ, или заклю­

чающеюся между его бокалш дугою большого круга, ег> разеуж- дети коего вершина данпаго есть полюсь.

С ф е р и ч е с к а я Т р и г о н о м е т р г я . 9

Ь, с, сфер, треугольникаили что все равно, три плоскихъ угла а, Ъ, с, и VIри пропгиволежащихъ двуграппыхъ угла А, В, С, предложеннаго треграпнаго угла. Вскоре мы увидимъ, что когда известны три изъ сихъ частей, то всегда можно найдти три остальныхъ.

И такъ, если вообразимъ, что изъ какой либо точки О (чер. 1) направлены лучи зрешя въ три точки М, К, Р, на- ходяицяся въ пространстве, каковы на прим. звезды; ТО ли­

ши сш будутъ служить ребрами треграннаго угла О, кото- раго составляющая части не иное что суть, какъ части сфер, треуг. АВС. Треуголышкъ сей, образуется сВчешемъ сфе­

ры, произвольнаго радиуса, съ гранями вышесказаннаго тре­

граннаго угла, имеющаго свою вершину въ глазе наблю­

дателя.

9 . На этихъ началахъ основываются доказательства слВ- дующихъ теоремъ:

1-е Такъ какъ всякш изъ плоскихъ угловъ треграннаго угла менее двухъ прямыхъ, то каждый бокъ сфер, треу­

гольника,. < 180° *, каждый изъ угловъ треугольника также льенгье двухъ прллшхъ. След. если по вычисление для вели­

чины бока или угла, получится дуга > 180°, то такое ре- шеше должно считать за невозможное.

2-е Поелику сумма плоскихъ угловъ всякаго гЬлеснаго угла менее 4-хъ прямыхъ угловъ, то сульлш боковъ вслпаго сфер, треугольника лгентье 360°, или цтьлой окружности.

5-е Два сфер, треугольника равны, если илтютъ или три угла^} или три бока^у или два бока съ заклюгающилссл углолсъ у или два угла съ прилежащиллъ бокольъ, соответст­

венно равныхъ каждый каждол/у. Здесь должно заметить, что во веЪхъ сихъ случаяхъ, разематриваемые треугольники при наложенш могутъ совмещаться и не совмещаться*, въ случае совмЪщешя, они будутъ принадлежать трегранникамъ совмещающимся при наложенш, а въ случае не совмещешя къ треграннымъ угламъ силглшпригсскильъ (см. Курсъ Ма- тсм. Франксра, 1\-е издаше чл. 300).

10

^{Введен «е.}

4-е Въ сферпческомъ равнобедрсннолгъ треугольник^, дуга, дгьляхцая уголъ при вершинть по полальъ ^Р перпендикулярна къ основанью и дтьлитъ его также по полальъ: противъ равныхъ боковъ лежатъ равные углы, и обратно.

5-е Въ каждольъ сфер, треугьлъниктъ, большш уголъ про- тиволежитъ болыислцу бокусредтй среднелсу^} лгенъиий . иснь- шел1у.

6-е Такъ какъ каждый изъ плоскихъ угловъ треграннаго угла менЬе суммы двухъ прочнхъ, то бокъ а < Ъч-с; также бокъ Ъ < ач- с, или Ъ — с < а. Придавъ величину а къ объ- имъ частямъ перваго неравенства, а потомъ раздЪливъ на 2, получимъ й<|(а + ^ + с). II такъ, каждый бокъ сфер, треу­

гольника менте сумлгы двухъ другихъ боковъ и болпе ихъ раз­

ности'^у полусумма же встьхъ боковъ^} всегда болпе одного изъ нихъ.

10. ПересЬчемъ треграиный уголъ О (чер. 2) тремя плос­

костями, соотвЬтсвенно перпендикулярными къ его ребрамъ:

сш плоскости составятъ другой треграиный уголъ О', про­

тивоположный первому: докажемъ, что плоские углы одного, будуть служить дополнительными двугранньииъ угламъ дру- гаго до 180°, и обратно.

И въ самомъ ДЁЛЪ, если МОК есть одна изъ сторонъ даннаго треграннаго угла О', МР', КР' линш сЪчсшя оной съ двумя плоскостями К'МР'О', КР'О'М' перпендикулярными къ къ ребрамъ ОМ, ОК, а посему и къ плоскости МОК, то углы М и К четыреугольннка МОКР' будутъ прямые; СЛЁД.

уг. Р' есть дополнительный угла О. Но плоскости МР'О'К', КР,'0'М' пересекаются по прямой Р'О', которая есть ребро новаго треграннаго угла; слЪд. двугранный уголъ ими состав­

ляемый, очевидно измеряется угломъ МР'К, ибо плоскость МОК къ нимъ перпендикулярна; СЛЁД. прямолинейный уг. О перваго трегранника, служитъ дополнительнымъ двуграннаго угла Р другаго. Тоже должно сказать и о прочихъ сторо- нахъ. И такъ, плоские углы^} составляющее птлесный уг. О, суть дополнительные двугранпыхъ другаго. Обратное справед­

ливо, ибо трегран. уг. О', можно принимать за данный, а трегран. уг. О за вновь построенный.

С ф е р и ч е с к а я Т р и г о н о м е т р и я , 11

Отсюда заключаешь, что если будутъ построены две сфе­

ры равныхъ раддусовъ, и имеюидя свои центры въ верши- нахъ

о

^и

о;

то въ сЪчепш оныхъ съ ребрами обоихъ тре- гранныхъ угловъ произойдутъ таые два ^СФер. треугольника АВС, А'В'С, что бока одного изъ нихъ будутъ служить до- полнешями до 180° угламъ другаго, и обратно. Одинъ изъ сихъ трегранныхъ угловъ, или сфер, треугольниковъ назы­

вается полярныльъ или Эополпительпыльъ другаго.

11. Пусть будетъ данъ ^СФер. треуг., коего углы суть А, В, С, а бока имъ противоположные а, с; на основами предшествующей теоремы всегда можно построить такой другой треуг. А'В'С', коего углы А', В', С, будутъ служить дополнительными величинами бокамъ а, Ъ, с, даниаго, а бо­

ка а, Ь'у с, вновь построеннаго, таковыми же величинами угламъ А, В, С, именно:

а = 180° — А') А = 180° — а )

Ъ — 180° — В' | (30) В = 180° — 6' [ (31).

с = 180° — С' ] С — 180° — с )

Отсюда явствуетъ, что сулсжа трехъ угловъ калсдаго сфер, треугольника всегда заклюгаетсл льежду двульл и шестью прялшлш. И въ самомъ деле, поелику каждый уголъ менее двухъ прямыхъ, то А + В + С< 6 прямыхъ; сложивъ же три уравнешя (31), находимъ

А + В + С = б прям. — [а н- Ъ' с'}*,

но (чл. 9, 2-е) а с'< 4 прямыхъ; след. А + В н- С

> 2 прямыхъ.

12. Определеше площади сфер, треугольника, основы­

вается на следующихъ геометрическихъ теоремахъ:

1-е Два больиае круга АСА'Е (чер. 3) и АВА'О переем- каясь ^у образуютъ два равныхъ выртьзпа или двухъ-уголышка.^у ибо углы ихъ при А суть равные, а бока суть полу-окруж­

ности, и потому при наложенш одного изъ сихъ вырезковъ на другой, они будутъ совмещаться.

2-е Вслкъе два большее круга САЕ и ВА1) (чер. 3) обра­

зуютъ на полусферть два треугольника, сулелш площадей ко-