denotationale Semantik

Korrekte Software: Grundlagen und Methoden Vorlesung 5 vom 2.05.16: Äquivalenz operationale und

denotationale Semantik

Serge Autexier, Christoph Lüth Universität Bremen Sommersemester 2016

18:10:58 2016-07-07 1 [12]

Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →_Aexpn DenotationalE[[a]]

m∈N hm, σi →Aexpm {(σ,m)|σ∈Σ}

x∈Loc x∈Dom(σ)

hx, σi →_Aexpσ(x) {(σ, σ(x))|σ∈Σ,x∈ Dom(σ)}

a1◦a2

ha₁, σi →_Aexpn ha2, σi →Aexpm

n,m6=⊥

ha₁◦a2, σi →_Aexpn◦^Im {(σ,n◦^Im)|σ∈Σ,(σ,n)∈ E[[a₁]],(σ,m)∈ E[[a₂]]}

ha1, σi →Aexpn ha₂, σi →_Aexpm n=⊥oderm=⊥ ha₁◦a2, σi →_Aexp⊥

◦ ∈ {+,×,−}

Korrekte Software 2 [12]

Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →Aexpn DenotationalE[[a]]

a1/a2

ha1, σi →Aexpn ha₂, σi →_Aexpm m6= 0 m,n6=⊥

ha1◦a2, σi →Aexpn◦^Im {(σ,n/m)|σ∈Σ,(σ,n)∈ E[[a1]],(σ,m)∈ E[[a2]],m6=

0}

ha1, σi →Aexpn ha2, σi →Aexpm n=⊥,m=⊥oderm= 0

ha1/a2, σi →Aexp⊥

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Equivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allea∈Aexp, für allen∈N, für alle Zuständeσ:

ha, σi →_Aexpn⇔(σ,n)∈ E[[a]]

ha, σi →_Aexp⊥ ⇔σ6∈Dom(E[[a]])

I Beweis per struktureller Induktion übera.

Korrekte Software 4 [12]

Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →_Bexpb DenotationalB[[b]]

1 h1, σi →Bexp1 {(σ,1)|σ∈Σ}

0 h0, σi →Bexp0 {(σ,0)|σ∈Σ}

Korrekte Software 5 [12]

Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →_Bexpb DenotationalB[[b]]

a0==a1

ha0, σi →Aexpn ha₁, σi →_Aexpm n,m6=⊥ n=m ha₀==a1, σi →_Aexp1

ha0, σi →_Aexpn ha1, σi →Aexpm n,m6=⊥ n6=m ha0==a1, σi →Aexp0

{(σ,1)|σ∈Σ,(σ,n0)∈ E[[a0]](σ),(σ,n1)∈

E[[a₁]],n0=n1} ∪ {(σ,0)|σ∈Σ,(σ,n0)∈

E[[a0]](σ),(σ,n1)∈ E[[a₁]],n06=n1} ha0, σi →Aexpn

ha1, σi →Aexpm n=⊥oderm=⊥ ha0==a1, σi →Aexp⊥

<= analog

Korrekte Software 6 [12]

Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →Bexpb DenotationalB[[b]]

b1&&b0

hb1, σi →Bexp0

hb₁&&b2, σi →0 {(σ,0)|(σ,0)∈ B[[b1]]}

hb1, σi →Bexp1 hb2, σi →Bexpb

hb1&&b2, σi →b {(σ,b)|(σ,1)∈ B[[b₁]],(σ,b)∈ B[[b₂]]}

hb₁, σi →_Bexp⊥ hb1&&b2, σi → ⊥

b1||b2 analog

!n . . .

Korrekte Software 7 [12]

Equivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für alleb∈Bexp, für allet∈B, for alle Zuständeσ:

hb, σi →Bexpt⇔(σ,t)∈ B[[b]]

hb, σi →Bexp⊥ ⇔σ6∈Dom(B[[b]])

I Beweis per struktureller Induktion überb(unter Verwendung der Äquivalenz für AExp).

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Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →_Stmtc DenotationalD[[c]]

{c₁. . .cn}

hc1, σi →Stmtσ⁰⁰6=⊥ h{c2. . .cn}, σ⁰i →_Stmtσ⁰⁰ h{c1. . .cn}, σi →Stmtσ⁰⁰

hc1, σi →_Stmt⊥ h{c1. . .cn}, σi →Stmt⊥

B[[c_n]]◦. . .B[[c₁]]◦Id

x=a ha, σi →_Aexpn hx=a, σi →Stmtσ[n/x]

ha, σi →_Aexp⊥ hx=a, σi →Stmt⊥

{(σ, σ[n/X])|(σ,n)∈ E[[a]]}

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Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalha, σi →_Stmtc DenotationalD[[c]]

if (b)c0

hb, σi →_Bexp1 hc0, σi →Stmtσ⁰

hc, σi →_Stmtσ⁰ hb, σi →Bexp⊥ hc, σi →_Stmt⊥

{(σ, σ⁰)|(σ,1)∈ B[[b]],(σ, σ⁰)∈ D[[c0]]}

elsec1

hb, σi →Bexp0 hc₁, σi →_Stmtσ⁰

hc, σi →Stmtσ⁰ {(σ, σ⁰)|(σ,0)∈ B[[b]],(σ, σ⁰)∈ D[[c₁]]}

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Operationale vs. denotationale Semantik

Operationalhc,Σi →_StmtΣ|⊥ DenotationalD[[c]]

while(b)c

| {z }

w

hb, σi →Bexp0 hw, σi →_Stmtσ

hb, σi →Bexp⊥ hw, σi →_Stmt⊥

hb, σi →_Bexp1 hc, σi →_Stmtσ⁰6=⊥ hw, σ⁰i →_Stmtσ⁰⁰ hw, σi →Stmtσ⁰⁰

fix(Γ)

hb, σi →_Bexp1 hc, σi →_Stmt⊥ hw, σi →Stmt⊥ mit

Γ(ϕ) = {(σ, σ⁰)|(σ,1)∈ B[[b]],(σ, σ⁰)∈ϕ◦ D[[c]]}

∪{(σ, σ)|(σ,0)∈ B[[b]]}

Korrekte Software 11 [12]

Equivalenz operationale und denotationale Semantik

I Für allec∈Stmt, für alle Zuständeσ, σ⁰: hc, σi →_Stmtσ⁰⇔(σ, σ⁰)∈ D[[c]]

hc, σi →_Stmt⊥ ⇒σ6∈Dom(D[[c]])

I ⇒Beweis per Induktion über die Ableitung in der operationalen Semantik

I ⇐Beweis per struktureller Induktion überc(Verwendung der Äquivalenz für arithmetische und boolsche Ausdrücke). Für die While-Schleife Rückgriff auf Definition des Fixpunkts und Induktion über die Teilmengen Γⁱ(∅) des Fixpunkts.

IGegenbeispiel für⇐in der zweiten Aussage: wählec≡while(1){}:

D[[c]] =∅aberhc, σi →Stmt⊥gilt nicht (sondern?).

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