Das Parametrizitäts-Theorem [Reynolds 1983, Wadler 1989]

Polymorpher Lambda-Kalkül [Girard 1972, Reynolds 1974]

Typen: τ :=α |τ →τ | ∀α.τ

Terme: t:=x |λx :τ.t |t t |Λα.t |t τ

Γ,x :τ `x :τ [[x]]θ,σ = σ(x)

Γ,x :τ1 `t :τ2

Γ`(λx :τ1.t) :τ1→τ2

[[λx :τ1.t]]_θ,σ a = [[t]]θ,σ[x7→a]

Γ`t :τ1→τ2 Γ`u :τ1

Γ`(t u) :τ<sub>2</sub> [[t u]]<sub>θ,σ</sub> = [[t]]θ,σ [[u]]<sub>θ,σ</sub> α,Γ`t:τ

Γ`(Λα.t) :∀α.τ [[Λα.t]]<sub>θ,σ</sub> S = [[t]]<sub>θ[α7→S],σ</sub> Γ`t:∀α.τ

Γ`(t τ⁰) :τ[τ⁰/α] [[t τ⁰]]_θ,σ = [[t]]_θ,σ [[τ⁰]]_θ

1

Das Parametrizitäts-Theorem [Reynolds 1983, Wadler 1989]

Gegebenτ und Environments θ1, θ2, ρmitρ(α)⊆θ1(α)×θ2(α), definiere∆_τ,ρ ⊆[[τ]]_θ1 ×[[τ]]_θ2 wie folgt:

∆_α,ρ = ρ(α)

∆τ1→τ2,ρ = {(f₁,f₂) | ∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.(f₁ a₁,f₂ a₂)∈∆τ2,ρ}

∆∀α.τ,ρ = {(g₁,g₂) | ∀R ⊆S₁×S₂.(g₁ S₁,g₂ S₂)∈∆_{τ,ρ[α7→R]}}

Dann gilt für jeden geschlossenen Termt geschlossenen Typsτ: ([[t]]_∅,∅,[[t]]_∅,∅)∈∆_τ,∅.

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

3

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach.

In den anderen Fällen:

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

Γ,x :τ1`t:τ2

Γ`(λx :τ1.t) :τ1 →τ2

3

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

Γ,x :τ1`t:τ2

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

3

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

Γ`t:τ1 →τ2 Γ`u:τ1

Γ`(t u) :τ₂

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

Γ`t:τ1 →τ2 Γ`u:τ1

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆_τ2,ρ

3

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆τ1,ρ

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆τ1,ρ

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

α,Γ`t :τ Γ`(Λα.t) :∀α.τ

3

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆τ1,ρ

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

α,Γ`t :τ

([[Λα.t]]θ1,σ1,[[Λα.t]]_θ2,σ2)∈∆∀α.τ,ρ

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆τ1,ρ

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

∀R ⊆S₁×S₂.([[t]]_{θ1[α7→S1],σ1},[[t]]_{θ2[α7→S2],σ2})∈∆_{τ,ρ[α7→R]}

([[Λα.t]]θ1,σ1,[[Λα.t]]_θ2,σ2)∈∆∀α.τ,ρ

3

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆τ1,ρ

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

∀R ⊆S₁×S₂.([[t]]_{θ1[α7→S1],σ1},[[t]]_{θ2[α7→S2],σ2})∈∆_{τ,ρ[α7→R]}

([[Λα.t]]θ1,σ1,[[Λα.t]]_θ2,σ2)∈∆∀α.τ,ρ

Γ`t :∀α.τ Γ`(t τ⁰) :τ[τ⁰/α]

Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ₁(x), σ₂(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆τ1,ρ

([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

∀R ⊆S₁×S₂.([[t]]_{θ1[α7→S1],σ1},[[t]]_{θ2[α7→S2],σ2})∈∆_{τ,ρ[α7→R]}

([[Λα.t]]θ1,σ1,[[Λα.t]]_θ2,σ2)∈∆∀α.τ,ρ

Γ`t :∀α.τ

([[t τ⁰]]_θ1,σ1,[[t τ⁰]]_θ2,σ2)∈∆_τ[τ⁰_/α],ρ

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Beweis-Skizze

Beweise folgende allgemeinere Aussage:

Γ`t :τ impliziert ([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆_τ,ρ ,

vorausgesetzt(σ1(x), σ2(x))∈∆_τ⁰_,ρ für jedesx :τ⁰ inΓ per Induktion über die Struktur von Typableitungen.

Der Basis-Fall is einfach. In den anderen Fällen:

∀(a₁,a₂)∈∆τ1,ρ.([[t]]_{θ1,σ1[x7→a1]},[[t]]_{θ2,σ2[x7→a2]})∈∆τ2,ρ

([[λx :τ1.t]]_θ1,σ1,[[λx :τ1.t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ

([[t]]_θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆_τ1→τ2,ρ ([[u]]_θ1,σ1,[[u]]_θ2,σ2)∈∆_τ1,ρ ([[t u]]_θ1,σ1,[[t u]]_θ2,σ2)∈∆τ2,ρ

∀R ⊆S₁×S₂.([[t]]_{θ1[α7→S1],σ1},[[t]]_{θ2[α7→S2],σ2})∈∆_{τ,ρ[α7→R]}

([[Λα.t]]θ1,σ1,[[Λα.t]]_θ2,σ2)∈∆∀α.τ,ρ

([[t]]θ1,σ1,[[t]]_θ2,σ2)∈∆∀α.τ,ρ

([[t τ⁰]]θ1,σ1,[[t τ⁰]]θ2,σ2)∈∆_τ[τ⁰_/α],ρ

Hinzufügen von Datentypen

Typen: τ := · · · |Bool |[τ]

Terme: t:= · · · | True|False|[ ]_τ |t :t |caset of {· · · }

Γ`True:Bool , Γ`False:Bool , Γ`[ ]<sub>τ</sub> : [τ] Γ`t :τ Γ`u : [τ]

Γ`(t :u) : [τ]

Γ`t:Bool Γ`u :τ Γ`v :τ Γ`(caset of {True→u;False→v}) :τ Γ`t: [τ<sup>0</sup>] Γ`u:τ Γ,x₁:τ⁰,x₂ : [τ⁰]`v :τ

Γ`(caset of {[]→u; (x₁ :x₂)→v}) :τ Mit „offensichtlichen“ Erweiterungen der Semantik und mit

∆_Bool,ρ = {(True,True),(False,False)}

∆_[τ],ρ = {([x₁, . . . ,x_n],[y₁, . . . ,y_n]) |n≥0,(x_i,y_i)∈∆τ,ρ}, ist das Parametrizitäts-Theorem immer noch erfüllt.

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Hinzufügen von Datentypen

Typen: τ := · · · |Bool |[τ]

Terme: t:= · · · | True|False|[ ]_τ |t :t |caset of {· · · } Γ`True:Bool , Γ`False:Bool , Γ`[ ]_τ : [τ]

Γ`t :τ Γ`u : [τ] Γ`(t :u) : [τ]

Γ`t:Bool Γ`u :τ Γ`v :τ Γ`(caset of {True→u;False→v}) :τ Γ`t: [τ<sup>0</sup>] Γ`u:τ Γ,x₁ :τ⁰,x₂ : [τ⁰]`v :τ

Γ`(caset of {[]→u; (x₁ :x₂)→v}) :τ

Mit „offensichtlichen“ Erweiterungen der Semantik und mit

∆_Bool,ρ = {(True,True),(False,False)}

∆_[τ],ρ = {([x₁, . . . ,x_n],[y₁, . . . ,y_n]) |n≥0,(x_i,y_i)∈∆τ,ρ}, ist das Parametrizitäts-Theorem immer noch erfüllt.

Hinzufügen von Datentypen

Typen: τ := · · · |Bool |[τ]

Terme: t:= · · · | True|False|[ ]_τ |t :t |caset of {· · · } Γ`True:Bool , Γ`False:Bool , Γ`[ ]_τ : [τ]

Γ`t :τ Γ`u : [τ] Γ`(t :u) : [τ]

Γ`t:Bool Γ`u :τ Γ`v :τ Γ`(caset of {True→u;False→v}) :τ Γ`t: [τ<sup>0</sup>] Γ`u:τ Γ,x₁ :τ⁰,x₂ : [τ⁰]`v :τ

Γ`(caset of {[]→u; (x₁ :x₂)→v}) :τ Mit „offensichtlichen“ Erweiterungen der Semantik und mit

∆_Bool,ρ = {(True,True),(False,False)}

∆_[τ],ρ = {([x₁, . . . ,x_n],[y₁, . . . ,y_n]) |n≥0,(x_i,y_i)∈∆τ,ρ}, ist das Parametrizitäts-Theorem immer noch erfüllt.

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Typklassen

Für jedes

g:: [α]→[α]

hatten wir

g (mapf l) = map f (g l) für beliebigef undl.

Was ist mit

g::Eq α⇒[α]→[α] ? Obiges freies Theorem schlägt fehl!

Gegenbeispiel:g=nub,f =const1 undl = [1,2].

Typklassen

Für jedes

g:: [α]→[α]

hatten wir

g (mapf l) = map f (g l) für beliebigef undl.

Was ist mit

g::Eqα ⇒[α]→[α] ?

Obiges freies Theorem schlägt fehl!

Gegenbeispiel:g=nub,f =const1 undl = [1,2].

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Typklassen

Für jedes

g:: [α]→[α]

hatten wir

g (mapf l) = map f (g l) für beliebigef undl.

Was ist mit

g::Eqα ⇒[α]→[α] ? Obiges freies Theorem schlägt fehl!

Gegenbeispiel:g=nub,f =const1 undl = [1,2].

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g:: [α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung vonα einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Argumentation gelungen!

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Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlicharbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge. Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nurElemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge. Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

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Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nurElemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglichvon l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge. Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglichvon l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge. Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

7

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglichvon l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge. Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

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Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es, wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

7

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es,wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es,wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut,außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

7

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es,wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem!

Warum g (map f l ) = map f (g l ), intuitiv gesehen

• g::Eqα⇒[α]→[α]muss für jede mögliche Instanziierung von α einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l abhängen.

• Die einzig mögliche Grundlage zur Entscheidung ist die Länge vonl.

Falsch! Auch möglich: Elemente vonl auf Gleichheit testen.

• Die Listen(mapf l) undl haben stets die selbe Länge.

Aber Gleichheitstests innerhalb beider Listen liefern nicht notwendigerweise immer das selbe Ergebnis!

Sie tun es,wennf „injektiv“ ist.

• Also wählt gstets „die selben“ Elemente aus (map f l) wie es dies aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter f ausgegeben werden.

• Also ist (g (mapf l))gleich(mapf (g l)).

• Dies liefert ein verfeinertes freies Theorem! 7

Formaler: Dictionary Translation

Jedes

g::Eqα ⇒[α]→[α]

kann als ein

g⁰:: (α →α→Bool)→[α]→[α]

angesehen werden

, wobei für jeden Instanztyp τ von Eq, g_τ = g⁰_τ (==)_τ

Das freie Theorem fürg⁰ besagt, dass

g⁰ p (mapf l) = map f (g⁰ q l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,q x y =p (f x) (f y). Dies bedeutet, dass

g⁰ (==) (mapf l) = map f (g⁰ (==) l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,x ==y gdw.(f x) == (f y).

Formaler: Dictionary Translation

Jedes

g::Eqα ⇒[α]→[α]

kann als ein

g⁰:: (α →α→Bool)→[α]→[α]

angesehen werden, wobei für jeden Instanztypτ von Eq, g_τ = g⁰_τ (==)_τ

Das freie Theorem fürg⁰ besagt, dass

g⁰ p (mapf l) = map f (g⁰ q l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,q x y =p (f x) (f y). Dies bedeutet, dass

g⁰ (==) (mapf l) = map f (g⁰ (==) l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,x ==y gdw.(f x) == (f y).

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Formaler: Dictionary Translation

Jedes

g::Eqα ⇒[α]→[α]

kann als ein

g⁰:: (α →α→Bool)→[α]→[α]

angesehen werden, wobei für jeden Instanztypτ von Eq, g_τ = g⁰_τ (==)_τ

Das freie Theorem fürg⁰ besagt, dass

g⁰ p (mapf l) = map f (g⁰ q l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,q x y =p (f x) (f y).

Dies bedeutet, dass

g⁰ (==) (mapf l) = map f (g⁰ (==) l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,x ==y gdw.(f x) == (f y).

Formaler: Dictionary Translation

Jedes

g::Eqα ⇒[α]→[α]

kann als ein

g⁰:: (α →α→Bool)→[α]→[α]

angesehen werden, wobei für jeden Instanztypτ von Eq, g_τ = g⁰_τ (==)_τ

Das freie Theorem fürg⁰ besagt, dass

g⁰ p (mapf l) = map f (g⁰ q l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,q x y =p (f x) (f y).

Dies bedeutet, dass

g⁰ (==) (mapf l) = map f (g⁰ (==) l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,x ==y gdw.(f x) == (f y).

8

Formaler: Dictionary Translation

Jedes

g::Eqα ⇒[α]→[α]

kann als ein

g⁰:: (α →α→Bool)→[α]→[α]

angesehen werden, wobei für jeden Instanztypτ von Eq, g_τ = g⁰_τ (==)_τ

Das freie Theorem fürg⁰ besagt, dass

g⁰ p (mapf l) = map f (g⁰ q l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,q x y =p (f x) (f y).

Dies bedeutet, dass

g (mapf l) = map f (g l),

vorausgesetzt, dass für allex undy,x ==y gdw.(f x) == (f y).

Weiteres wichtiges Konstrukt: Allgemeine Rekursion

Wir hatten für jedes

g:: (a→Bool)→[a]→[a]

behauptet, dass

g p (map h l) = map h (g (p◦h) l) für beliebigep,h undl.

Was ist mit

g:: (a→Bool)→[a]→[a] g p l = [head(g p l)] ? Obiges freies Theorem schlägt fehl!

Gegenbeispiel:p=id,h =constTrue und l = [ ].

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Weiteres wichtiges Konstrukt: Allgemeine Rekursion

Wir hatten für jedes

g:: (a→Bool)→[a]→[a]

behauptet, dass

g p (map h l) = map h (g (p◦h) l) für beliebigep,h undl.

Was ist mit

g:: (a→Bool)→[a]→[a]

g p l = [head (g p l)] ?

Obiges freies Theorem schlägt fehl!

Gegenbeispiel:p=id,h =constTrue und l = [ ].

Weiteres wichtiges Konstrukt: Allgemeine Rekursion

Wir hatten für jedes

g:: (a→Bool)→[a]→[a]

behauptet, dass

g p (map h l) = map h (g (p◦h) l) für beliebigep,h undl.

Was ist mit

g:: (a→Bool)→[a]→[a]

g p l = [head (g p l)] ? Obiges freies Theorem schlägt fehl!

Gegenbeispiel:p=id,h=constTrue und l = [ ].

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Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(maph l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)).

• Genau das wollten wir beweisen!

Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlicharbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten. Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl. Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (maph l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

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Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nurElemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl. Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (maph l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nurElemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl. Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (maph l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

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Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nurElemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglichvon l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl. Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (maph l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglichvon l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (maph l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

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Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (maph l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

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Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

Versuch einer Argumentation

• g:: (a→Bool)→[a]→[a]muss für jede mögliche Instanziierung vona einheitlich arbeiten.

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥, vorausgesetzt hist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(map h l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

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Versuch einer Argumentation

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥,vorausgesetzthist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(maph l) wie es g mit(p◦h) aus l tut,

außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden. Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

Versuch einer Argumentation

• Die Ausgabeliste kann nur Elemente der Eingabe l enthalten.

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥,vorausgesetzthist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(maph l) wie es g mit(p◦h) aus l tut,außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden.

Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

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Versuch einer Argumentation

Falsch! Auch möglich:⊥.

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥,vorausgesetzthist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(maph l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden.

Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)), wennh strikt ist.

Versuch einer Argumentation

• Welche, und in welcher Reihenfolge/Vielfachheit, kann lediglich von l und dem Eingabeprädikatp abhängen.

• Die einzig möglichen Grundlagen zur Entscheidung sind die Länge vonl und die Ergebnisse vonp auf Elementen vonl.

Falsch! Weitere mögliche Grundlage: Ergebnis von p auf⊥.

• Aber, die Listen (map h l) undl haben stets die selbe Länge.

• Und Anwendung vonp auf ein Element von(maph l)hat stets das selbe Ergebnis wie Anwendung von(p◦h) auf das

entsprechende Element von l.

Und Anwendung vonp auf ⊥hat das selbe Ergebnis wie

Anwendung von(p◦h)auf ⊥,vorausgesetzthist strikt (h ⊥=⊥).

• Also wählt gmitp stets „die selben“ Elemente aus(maph l) wie es g mit(p◦h) aus l tut, außer dass im ersten Fall die entsprechenden Abbilder unter h ausgegeben werden.

Aber sie könnten auch, an gleichen Positionen,⊥ausgeben.

• Also ist (g p (map h l)) gleich(map h (g (p◦h)l)),

wennh strikt ist.

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