WOLFGANGI BOLYAI
ADDITAMENTUM AD APPENDICEM.
Denique ablguid Auctori Appendicis proprium, coronidis instar,
addere fas sit: qui tamen ignoscat, si quid non acu eius tetigerim.Res breviter in eo consistit: formulae trigonometriae sphaericae,
in Appendice dicta ab axiomate XI. Eucl. independenter demonstratz,
cum formulis trigonometriae planae conveniunt, si (modo statim dicendo) Jatera trianguli sphaerici realia, rectilinei vero imaginaria accipiantur ; adeo ut quoad formulas trigonometricas planum ut spharaimaginaria considerari possit, si pro reali illa accipiatur, in qua sin. R=1.
Pro casu, si axioma Eucl. verum non fuerit, demonstratur (Appendix
$. 30.) dari certum z, pro quo ibidem dictum / est =e (basi logarith-
morum naturalium), atque pro hoc casu formule trigonometri@ plans quoque demonstrantur (ibidem $. 31.); et quidem ita, ut (iuxta $. 32.,post VII., ibidem) formule et pro casu veritatis axiomatis dicti valeant;
nempe si supponendo, quod 7-— oo, limites valorum accipiantur ; nimirum
systema Euclideum est quasi limes systematis antieuclidei (pro z-— oo).Ponatur, pro casu existentis z, unitas =, atque conceptus sinus cosı-
nusque extendatur et ad arcus imaginarios; ita ut arcum sive realem
sive imaginarium denotet /, dicatur
# / ET Ne
ee)
cosinus ipsius /, et
Eu
DV dicatur sinus ipsius 2.
5
36 ADDITAMENTUM
Erit hinc pro g reali
nl G G VE Vasa_
Tr
— e!—e” 2) —[e£ 24 I 7; 300 = vi
A | N )
= sin. = ( vo a a q er
Ita
ueber
— 008. —4V -—ı) — 008% gV-—ı;
si nempe et in circulo imaginario sinus negativi arcus sinui arcus po-
sitivi alioquin priori »qualis sit, pretergquam quod negativus sit, atque cosinus arcus positivi et negativi (si alioquin »quales fuerint), sit idem.In Appendice dicta $. 25. demonstratur absolute, id est ab axiomate dicto independenter; quod in quovis triangulo rectilineo sınus angulo-
rum sınt, uti peripheriae radıorum lateribus oppositis aegualium ; de-monstraturque porro, pro casu existentis z, peripheriam radii y esse
9
ne me),
|<quod pro z=1 fit
n(e®—e”).
Itaque ($. 31. ibidem) pro triangulo rectilineo rectangulo, cuius ca-
theti sunt a et d, hypotenusa c, et anguli lateribus a, 5, c oppositi sunt a a. sest.prö. (i—1)in.T;
1: sin.a—=n(e —e”°): n(e —e”°);
adeoque
| I
I: sin. a = ee 2) | (e — e”°).
Unde
1:sin.e=—sin.cY—ı:— sin.aY—ı.
Et hinc
I:sin. a=sin.cy —ı:sin.ay=ı
AD APPENDICEM. ar Klee He
cos. assn, B=Kosay- Et,
In III. ft
cos.cY—ı=cos.ay—ıcos.dY—ı.
Qux prouti omnes exinde promanantes formulz& trigonometria plan, cum formulis trigonometriae sphaeric prorsus conveniunt; nisi quod si ex. gr. trianguli sphaerici rectanguli quoque catheti angulique iis oppo-
siti, hypotenusaque nomina eadem sortiantur, latera trianguli rectilineiper Y—ı dividenda sint, ut formul® pro sphaericis prodeant.
Nempe.ex I. fiet
esm g==esinsczain.d, ex. II. het
1.606.4 Su. 0:C0s &, es II Set
CS. 0 808.2 C08.0,
Quum ceteris supersedere liceat, et lectorem deductione (App. $. 32.
post VII.) omissa offendi impedirique expertus sim: haud abs re erit ostendere, quomodo ex. gr. ex
& Se 2 a
an (e'+e ')(e'-+e ')
sequatur
®=a’-+-b?
(theorema Pythagoreum pro systemate Euclideo); verosimiliter Auctor quoque ita deduxit, et cetere quoque eodem modo sequuntur.
Est nempe potentiis ipsius e per series expressis
:
knn ke
e=I+— + —+ = + —.-
ı 21 2.32? DEZ AU:
= Rank. 6 ki
e —l 2, u en teen Gen er
ı 27° 2.32 DE 3 MAZ.
adeoque
2 Er PR? p+
Ne eeen
ı a:
= 2—+ a!nn J
38 ADDITAMENTUM AD APPENDICEM.
(si omnium terminorum post ; Summa dicatur); estque «-—Oo, dum2
i-—coo. Nam multiplicentur omnes termini post —-
2per :?; erit terminus
ki a =
primus 3.40° et quivis exponens <s; essetque etsi exponens ubique
hic maneret, summaA | k® k+
3.40% ' 1-5) = 3.4? — %?) ’ quod manifesto -—o, dum z-— x.
Atque ex
ee u
e'-+e eve '+te '+te'-te ')
sequitur (pro w, v, A adinstar x acceptis)
eraae (ad +4
22 21°
Atque hinc
gs (a+2ab-+b?-+a?— 2ab-+b?-+-V-H)— 20),
I
quoda: + br.
Scholion. Spher& illius, in qua sinus totus est I=7, radius est or-
