l^p-Kohomologie, insbesondere Verschwindungssätze für l^p-Kohomologie

l

-Kohomologie,

insbesondere Verschwindungssätze für l

-Kohomologie

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Georg-August-Universität Göttingen

vorgelegt von Elias Kappos

aus

Frankfurt am Main

Göttingen 2007

Referent:Prof. Dr. Thomas Schick Korreferent:Prof. Dr. Ulrich Stuhler

Tag der mündlichen Prüfung: 10. Juli 2007

Abstract

In this dissertation we study thel^p-cohomology of discrete groups of typeFPn. We give a duality statement and prove some vanishing results, in particular for groups with an infinite center. As an application we intro- duce certain types of acyclicity to prove a Künneth formula. Furthermore we introduce the notion ofl^p-Quasibetti numbers. These lead to an inte- resting example for a significant difference between l²-cohomology and l^p-cohomology for general p. Finally, we give a new approach to prove the vanishing ofl^p-cohomology of amenable groups.

iii

Danksagung

Zuallererst möchte ich mich bei meinem Doktorvater Prof. Dr. Thomas Schick für die Themenstellung und die Betreuung dieser Arbeit bedanken.

Weiterhin gilt mein Dank dem Graduiertenkolleg „Gruppen und Geo- metrie“ an der Georg-August-Universität Göttingen für die finanzielle Unterstützung und mathematische Ausbildung sowie dem Deutschen Akademischen Austauschdienst und der Forschungsgruppe „Geometrie und Funktionalanalysis“ an der Pennsylvania State University für die Er- möglichung eines inspirierenden Forschungsaufenthaltes.

Ich bin meinen Kommilitonen Dr. Stephan Elsenhans, Ingo Schröder und insbesondere Karsten Roeseler sehr dankbar für das mühevolle und sorgfältige Korrekturlesen dieser Arbeit.

Mein besonderer Dank geht an Dr. Jörg Jahnel, der den hier genutz- ten, klassischen Garamond-Schriftfont zur Verfügung stellte.

Größten Dank schulde ich meiner Frau Anne für vielerlei Dinge: Sie stand mir immer zur Seite, munterte mich auf, hatte stets ein offenes Ohr und tat so vieles mehr, was ich nicht in Worte fassen kann.

Nicht zuletzt möchte ich meinen Freunden danken, die Göttingen erst zu dem gemacht haben, was es ist: ein wunderbarer Ort zum Leben und Studieren; und meinen Eltern, ohne die diese Arbeit niemals möglich gewesen wäre.

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung 1

Kapitel 1. Grundlagen 3

1.1. Gruppenkohomologie 3

1.2. CW-Komplexe und Gruppen 10

1.3. Endlichkeitsbedingungen 16

Kapitel 2. l^p-Kohomologie 21

2.1. Definition 21

2.2. Dualität von Homologie und Kohomologie 24

2.3. Beispiele 26

2.4. Ein erster Verschwindungssatz 27

2.5. Verallgemeinerungen des ersten Verschwindungssatzes 33

Kapitel 3. Anwendungen 37

3.1. Azyklizität 37

3.2. Kreuzprodukt 38

3.3. l^p-Bettizahlen 43

3.4. l^p-Quasibettizahlen freier Gruppen 50

Anhang A. Mittelbare Gruppen 59

A.1. Definitionen und Beispiele 59

A.2. Ergebnisse fürH_(p)¹ (G) 65

A.3. Das Verschwinden vonH₍₂₎¹ (G) 66

A.4. Der azyklische Ansatz 67

Literaturverzeichnis 71

Index 77

vii

Einleitung

Das Konzept derL²-Kohomologie stammt aus der Mitte des 20. Jahr- hunderts. Die erste Veröffentlichung – ohne einen Anspruch auf Voll- ständigkeit zu erheben –, die den Begriff L²-Kohomologie im Titel trägt, stammt aus dem Jahr 1971 [43]. Dieses weite und reiche Feld zog und zieht viele interessierte Forscher an. Einen guten Überblick über den Wissens- stand von 2002 gibt das Buch von Lück [32].

L^p-Kohomologie für allgemeine p hingegen wurde erst Anfang der 1980er Jahre von Gromov und Pansu eingeführt und die erste so bezeich- nete Veröffentlichung stammt aus dem Jahr 1987 [19]. Weiterhin ist das allgemeine Interesse eher gering, bis heute sind bei MathSciNet nur circa 30 Arbeiten mit einem Titel, der aufL^p-Kohomologie verweist, auffind- bar. Noch 1993 schreibt Zucker [65]: „The case of L²-cohomology is the easiest one, as L² is a Hilbert space, its own dual by means of the inner product; it is the most important. The level of importance of p 6= 2 is not clear at this time.“ Während der erste Teil ohne Zweifel wahr ist und sich so schnell an dem zweiten nichts ändern wird, ist es mit ein Anliegen dieser Arbeit, den letzten Satz zu ändern.

L^p-Kohomologie wurde nach Gol’dstein, Kuz’minov und Shvedov [19, 20], die sich mit dem de-Rham-Isomorphismus beschäftigten, aus- gebaut durch Gromov [23] und Pansu [39, 41, 42]. Während Letzterer hauptsächlich homogene Riemannsche Mannigfaltigkeiten studierte, wie auch Elek in [16], interessierte sich Ersterer für diskrete metrische Räume und Gruppen. Viele Ideen und Ansätze, die in dieser Arbeit verwendet werden, tauchen bei Gromov in [23, Chapter 8] auf. Doch leider sind die Beweise im Normalfall nur angedeutet, wenn sie überhaupt erwähnt werden. Ein weiteres Ziel dieser Arbeit ist es, zumindest einen Teil dieser Ideen umzusetzen und die Beweise auf ein tragfähiges Fundament zu stel- len. Da wir uns in dieser Arbeit auch wie Gromov auf diskrete Gruppen beschränken, ist die Bezeichnungl^p-Kohomologie statt L^p-Kohomologie gewählt worden, um diese Einschränkung deutlich zu machen.

Die meisten Autoren in jüngerer Zeit sind hauptsächlich an der ers- ten reduzierten Kohomologie interessiert, da hierfür – als sehr spezielle Eigenschaft der 1-Kozykel – die Theorie der harmonischen Funktionen

1

genutzt werden kann. In diesem Zusammenhang wurden eine Reihe in- teressanter Resultate erzielt. Beispielsweise seien hier [6], [7] und [33] er- wähnt. In diesem Zusammenhang soll auch nicht die Arbeit von Puls [49]

unerwähnt bleiben. Er zeigt, dass Gruppen mit einem Zentrumselement unendlicher Ordnung verschwindende reduziertel^p-Kohomologie haben.

In seinem Beweis ist allerdings eine Lücke, die wir hier auf eine andere Art und Weise schließen als in [33].

Das erste Kapitel dieser Arbeit legt das Fundament für die folgen- den Abschnitte. Es werden die für diese Zwecke wichtigsten Sätze der Gruppenkohomologie zitiert. Auch wird noch an den Zusammenhang zwischen Gruppenkohomologie und der simplizialen Kohomologie von CW-Komplexen erinnert. Abschließend werden noch einige Endlichkeits- bedingungen erwähnt. Alles in diesem Kapitel sind gut bekannte Resul- tate, die man in den meisten Büchern über Gruppenkohomologie findet, zum Beispiel [9] und [17].

Im zweiten Kapitel wirdl^p-Kohomologie definiert, die Dualität zwi- schen l^p-Homologie und l^q-Kohomologie für ¹_p + ¹_q = 1 gezeigt und die Beweislücke von [49] geschlossen. Aufbauend auf unserem Hauptsatz2.24 lassen sich recht leicht noch eine Reihe weiterer Verallgemeinerungen be- weisen.

Kapitel 3 stellt nun einige Anwendungsbeispiele vor. Dasl^p-Azyklizi- tätskonzept von Gromov wird ausgebaut und dazu genutzt eine Künnet- hformel für reduzierte l^p-Kohomologie zu beweisen (Satz3.16). Weiter- hin sind wir interessiert an einem neuen Konzept fürl^p-Bettizahlen. Eine Idee in [23] nutzend, geben wir eine Definition für l^p-Quasibettizahlen an. Exakte und numerische Berechnungen geben uns einen signifikanten Unterschied zwischen l^p-Kohomologie und l²-Kohomologie, zumindest im Fallep= 1(Satz3.33).

Das letzte Kapitel ist dem Versuch gewidmet, VermutungA.21zu be- weisen. Diese stammt ebenfalls grundsätzlich von Gromov [23], ist aber noch immer unbewiesen. Einen Erfolg für die erste reduzierte Kohomolo- giegruppe gibt es in [62] für alle Gruppen, die die Eigenschaft (CF) haben.

KAPITEL 1

Grundlagen

Das Ziel dieses Kapitels ist es, das – hauptsächlich algebraische – Fun- dament für die nachfolgenden Kapitel zu legen. Die Ausführungen folgen im Wesentlichen dem Buch von Brown über Gruppenhomologie [9]. Sie sind aber nicht sonderlich außergewöhnlich und können auch in den meis- ten anderen Büchern über dieses Thema gefunden werden, zum Beispiel bei Lang [28], bei Weiss [63] oder auch im ersten Teil von Neukirch [36].

Aus dem gleichen Grund wird auch auf die Beweise zu diesen Aussagen verzichtet. Basiswissen über Kettenkomplexe wird vorausgesetzt, ansons- ten vergleiche [8], [26] oder [60].

1.1. Gruppenkohomologie

Dieser Abschnitt ist der Gruppenkohomologie als dem algebraischen Hilfsmittel für diese Arbeit schlechthin gewidmet.

1.1.1. Auflösungen. In diesem Unterabschnitt werden die grundle- genden algebraischen Objekte dieser Arbeit eingeführt, wie zum Beispiel Auflösungen, Gruppenringe oder das Erweiterungsideal.

Definition 1.1. SeiRein Ring (kommutativ, unital) undM ein linker R-Modul. EineAuflösungvonM ist eine exakte Sequenz vonR-Moduln

· · · →F₂ −^∂→² F₁ −^∂→¹ F₀ −→^ε M →0.

Ist jeder dieser R-Moduln F_i frei, so wird diese exakte Sequenz als freie Auflösungbezeichnet.

Bemerkung 1.2. Freie Auflösungen existieren für alle ModulnM. Sie können einfach schrittweise erzeugt werden, indem man – rechts begin- nend – immer einen freien Modul und eine Surjektion in den Kern der rechts folgenden Abbildung frei wählt.

Das AnfangssegmentF₁ → F₀ → M → 0einer freien Auflösung ist die Präsentation vonM durch Erzeuger und Relationen.

Definition 1.3. Denerweiterten Kettenkomplexassoziert zu einer Auf- lösung erhält man, indem man die Auflösung an sich als Kettenkomplex interpretiert. Hierbei wirdM alsF₋₁ interpretiert.

3

Die zweite Methode, aus einer Auflösung einen Kettenkomplex zu erhalten, besteht darin, den nichtnegativen Kettenkomplex

F = (F_i,∂_i)i≥0

zu betrachten und ε : F → M als Kettenabbildung zu interpretieren, wobeiM ein in Dimension0konzentrierter Kettenkomplex ist.

Definition 1.4. Sei G eine multiplikativ geschriebene Gruppe. Sei Z[G]der durchGerzeugte freieZ-Modul. Das heißt, ein Element inZ[G]

wird eindeutig repräsentiert durch P

g∈G

a(g)g mita(g) ∈ Zunda(g) = 0 für fast alle g ∈ G. Die Multiplikation in Gmacht ausZ[G]einen Ring, denganzzahligen GruppenringvonG.

Bemerkung 1.5. Gist eine Untergruppe in(Z[G])^∗, den Einheiten in Z[G]. Weiterhin hat man dieuniverselle Abbildungseigenschaft:

Seien ein assoziativer Ring R mit Eins und ein Gruppenhomomor- phismusf :G→ R^∗ gegeben. Dann existiert eine und nur eine Erweite- rung vonf zu einem Ringhomomorphismus vonZ[G] → R. Das heißt, es gilt:

Hom_(Ring)(Z[G],R)∼= Hom(Gruppe)(G,R^∗)

Die universelle Abbildungseigenschaft ist erfüllt, daGeine Basis fürZ[G]

bildet und man einen Homomorphismus durch seine Wirkung auf die Basis beschreiben kann.

Definition 1.6. Für jede Gruppe G ist die Augmentation ein Ring- homomorphismus ε : Z[G] → Z, der alle Gruppenelemente auf 1abbil- det.

Der Kern vonεwird alsAugmentationsidealIGbezeichnet.

Definition 1.7. Ein linker Z[G]-Modul, oder auch G-Modul, ist eine abelsche Gruppe A zusammen mit einem Ringhomomorphismus von Z[G]in den Ring der Endomorphismen vonA. Nach der Bemerkung1.5 korrespondiert ein solcher Ringhomomorphismus mit einem Gruppen- homomorphismus vonGnachA. Von daher lässt sich einG-Modul auch beschreiben als eine abelsche Gruppe A zusammen mit einer Operation vonGaufA.

Sei X eine G-Menge, also eine Menge, auf der G operiert. Dann lässt sich die freie abelsche Gruppe Z[X] bilden und die Gruppenoperation von G aufX zu einer Z-linearen Operation von G auf Z[X] erweitern.

DerG-Modul, der hieraus resultiert, wirdPermutationsmodulgenannt.

Proposition 1.8. Sei X eine freieG-Menge und sei E eine Menge von Repräsentanten derG-Orbits in X. Dann istZ[X] ein freierG-Modul mit BasisE.

1.1. GRUPPENKOHOMOLOGIE 5

1.1.2. Projektive Moduln. Dieser Unterabschnitt ist dem Beweis der Eindeutigkeit der Auflösung bis auf Homotopieäquivalenz gewidmet.

Definition 1.9. EinR-ModulP heißtprojektiv, wennHom_R(P,−)als Funktor exakt ist, beziehungsweise, wenn im Diagramm

P

ψ



φ

0

?

??

??

??

??

?

M⁰ _i ^// M _j ^// M⁰⁰

mitjφ= 0für jede exakte Reihe einψ :P →M⁰so existiert, dassiψ =φ gilt.

Bemerkung 1.10. Diese Definition lässt sich auch in folgender Form formulieren: Ein R-Modul P heißt projektiv, wenn für jede Surjektion π : M⁰ → M und jede Abbildung φ : P → M eine weitere Abbildung ψ :P →M⁰ so existiert, dassφ=πψ.

P

ψ



φ

M⁰ _π ^// M

Bemerkung 1.11. Analog heißt ein ModulIinjektiv, wenn der Funk- torHom_R(−,I)exakt ist.

Lemma 1.12. Freie Moduln sind projektiv.

Lemma 1.13. SeiP ein projektiver Modul und a) sei ein Diagramm

P

g

d //Q

f

M⁰ _d

1

//M _d

2

//M⁰⁰

gegeben mit d₂f d = 0 und exakter unterer Reihe. Dann existiert eing mitd₁g =f d.

b) sei ein Diagramm

P

k



f

d //Q

h

M⁰ _d

1

// M _d

2

// M⁰⁰

gegeben mitd₂hd=d₂f und exakter unterer Reihe. Dann existiert einkmitd₁k+hd=f.

Lemma 1.14. Seien(C,∂)und (C⁰,∂⁰)Kettenkomplexe und seir ∈ Z. Sei(f_i :C_i →C_i⁰)_i≤r eine solche Familie von Abbildungen, dass

∂_i⁰f_i =fi−1∂_i

füri≤r. SeiC_iprojektiv füri > rund die Homologiegruppen H_i(C⁰) := ker∂_i⁰/im∂_i+1⁰ = 0

für i ≥ r, dann lässt sich (f_i)_i≤r erweitern zu einer Kettenabbildung f :C →C⁰ undf ist eindeutig bis auf Homotopie.

Genauer gesagt: Je zwei Erweiterungen sind homotop über eine Homoto- piehund für dieseshgilth_i = 0füri≤r.

Definition 1.15. Eine Kettenabbildung f zwischen zwei projektiven Auflösungenε:F →M undε⁰ :F⁰ →M heißtaugmentationserhaltend, wennε⁰f =εgilt.

Theorem 1.16. SeienF undF⁰projektive Auflösungen eines ModulsM, dann existiert eine augmentationserhaltende Kettenabbildungf : F → F⁰, die bis auf Homotopie eindeutig ist, undf ist eine Homotopieäquivalenz.

Korollar 1.17. Seiε : F → Zeine freie Auflösung vonZalsZ-Modul.

Dann istεeine Homotopieäquivalenz.

Zum Schluss dieses Abschnittes sollen noch drei Aussagen über Ket- tenkomplexe projektiver Moduln zitiert werden. Sie gehören zum Stan- dardrepertoire der homologischen Algebra.

Satz 1.18. Seif : P⁰ → P eine schwache Äquivalenz zwischen nicht- negativen Komplexen von projektiven Moduln, dann istf eine Homotopie- äquivalenz.

Satz 1.19. Seif :C⁰ →Ceine schwache Äquivalenz zwischen beliebigen Komplexen. SeiP ein nichtnegativer Komplex projektiver Moduln, dann ist

Hom_R(P,f) : Hom_R(P,C⁰)→Hom_R(P,C) eine schwache Äquivalenz.

1.1. GRUPPENKOHOMOLOGIE 7

Satz 1.20. Seif :C⁰ →Ceine schwache Äquivalenz zwischen Komple- xen rechterR-Moduln. Sei P ein nichtnegativer Komplex projektiver linker R-Moduln, dann ist

f ⊗RP :C⁰⊗RP →C⊗RP eine schwache Äquivalenz.

Bemerkung 1.21. Ein ModulF heißtflach, wenn der Funktor

− ⊗_RF

exakt ist. Da freie Moduln flach sind und projektive Moduln direkte Sum- manden freier Moduln sind, sind auch projektive Moduln flach.

Die Aussage, dass projektive Moduln direkte Summanden freier Mo- duln sind, lässt sich beweisen, indem man eine kurze exakte Sequenz 0→ M⁰ → F → P → 0wählt mit F frei undP projektiv. Aus der Pro- jektivität folgt, dass sich die Identität aufP zu einer Abbildung P → F liften lässt. Somit spaltet die Sequenz.

Satz 1.22. SeiP ein endlich erzeugter projektiver linkerR-Modul, dann i) istP^∗, der Dualraum vonP, ein endlich erzeugter projektiver rech-

terR-Modul,

ii) existiert für jeden linkenR-ModulM ein Isomorphismus ϕ:P^∗⊗_RM →Hom_R(P,M)

von abelschen Gruppen, gegeben durchϕ(u⊗m)(x) =u(x)·mfür alleu∈P^∗,m∈M,x∈P,

iii) existiert für jeden rechtenR-ModulM ein Isomorphismus ϕ⁰ :M ⊗_RP →Hom_R(P^∗,M),

gegeben durchϕ⁰(m⊗x)(u) = m·u(x)für allem ∈ M,x ∈ P, u∈P^∗,

iv) existiert ein Isomorphismusϕ⁰⁰ : P → P^∗∗von linken R-Moduln, gegeben durchϕ⁰⁰(x)(u) =u(x)fürx∈P, u∈P^∗.

1.1.3. Homologie von Gruppen. Jetzt ist man endlich in der Lage, mit Hilfe von projektiven Auflösungen von ZüberZ[G]die Homologie einer Gruppe einzuführen.

Definition 1.23. SeiGeine Gruppe undM einG-Modul. Dann wird mitM^G = {m ∈ M| gm = m ∀g ∈ G} dieFixgruppebeziehungsweise dieGruppe der Invarianten vonM bezeichnet.

Definition 1.24. SeiGeine Gruppe undM einG-Modul. Dann wird mitMG dieGruppe der Koinvarianten vonM bezeichnet. Diese Gruppe ist definiert als der Quotient M modulo der von Elementen der Form mg−merzeugten Untergruppe.

Bemerkung 1.25. Man kannMGauf zwei weitere Arten beschreiben, zum einen alsM =M/IM, wobeiIMdie Menge aller endlichen Summen Pa_ib_imita_i ∈IGundb_i ∈M bezeichnet.

Die zweite Möglichkeit,M_Gzu beschreiben, ist M_G ∼=Z⊗_Z[G]M.

Hierbei wird Z als rechter Z[G]-Modul interpretiert. Dass dies stimmt, folgt aus folgender Konstruktion.

Durch die Identität 1 ⊗ gm = 1· g ⊗m = 1⊗ m in Z ⊗_Z[G] M existiert eine Abbildung M_G → Z ⊗_Z[G] M, die gegeben wird durch m7→1⊗m, wobeimdas Bild von m∈M inM_Gist. Die hierzu inverse UmkehrabbildungZ⊗_Z[G]M →M_G wird gegeben durcha⊗m 7→am.

Die Standardeigenschaften des Tensorprodukts liefern uns für den Funktor−G

a) SeiM⁰ → M → M⁰⁰ → 0eine exakte Sequenz vonG-Moduln, dann ist auch die induzierte SequenzM_G⁰ →M_G→M_G⁰⁰ exakt.

b) WennF ein freierZ[G]-Modul mit Basis(e_i)ist, dann istF_G ein freierZ-Modul mit Basis( ¯e_i).

Definition 1.26. Sei Geine Gruppe und ε : F → Zeine projektive Auflösung vonZüberZ[G]. Die HomologiegruppenvonGsind definiert durch

H_i(G) =H_i(F_G).

Hierbei ist die rechte Seite bis auf Isomorphie unabhängig von der Wahl der Auflösung (vgl. Theorem1.16).

Lemma 1.27. SeiF_n → · · · → F₀ → Z → 0eine exakte Sequenz von Z[G]-Moduln und sei jedes derF_iprojektiv. Dann ist

Hi(G)∼=Hi(FG) füri < nund es existiert eine exakte Sequenz

0→H_n+1(G)→(H_nF)_G →H_n(F_G)→H_n(G)→0.

1.1.4. Homologie und Kohomologie mit Koeffizienten. Dieser Unterabschnitt schließt die Grundlagen der Gruppenkohomologie mit der Einführung von Koeffizienten ab.

Bemerkung 1.28. Das TensorproduktM⊗_Z[G]N ist definiert, wenn M ein rechter Z[G]-Modul und N ein linker Z[G]-Modul ist. Über den Antiautomorphismus g 7→ g⁻¹ kann man aber jeden linken G-Modul M zu einem rechten G-Modul machen, und daher macht es Sinn, das TensorproduktM ⊗_Z[G]N zweier linker G-Moduln zu betrachten. Dies wird im Folgenden mitM⊗_GN bezeichnet.

1.1. GRUPPENKOHOMOLOGIE 9

SeiM⊗N die Kurzschreibweise fürM⊗_ZN, dann erhält manM⊗GN durch Einführen der Relationg⁻¹m⊗n=m⊗gn. Folglich erhält man

M⊗_GN = (M ⊗N)_G,

wobeiGdiagonal aufM⊗Noperiert:g(m⊗n) = gm⊗gn. Die Gleichung gilt, da man obige Relation auch zu m⊗n = gm⊗gnumformulieren kann. Mit dieser Gleichung folgt, dass− ⊗_G−kommutativ ist.

Bemerkung 1.29. Analog zu Bemerkung1.28kann man auchGdia- gonal operieren lassen auf Hom(M,N) := Hom_Z(M,N)durch die Glei- chung

(gu)(m) =g·u(g⁻¹m) fürg ∈G,u∈Hom(M,N)undm ∈M.

Es giltgu=ugenau dann, wennumit der Operation vong kommu- tiert. Folglich gilt:

Hom_G(M,N) = Hom(M,N)^G.

Definition 1.30. Sei G eine Gruppe und ε : F → Z eine projekti- ve Auflösung. Dann wird die Homologie von G mit Koeffizienten in M definiert als

H_∗(G,M) :=H_∗(F ⊗_GM).

DieKohomologie mit Koeffizienten inM ist

H^∗(G,M) :=H∗(Hom_G(F,M)).

Bemerkung 1.31. Es gilt

H₀(G,M) =M_G und

H⁰(G,M) = M^G.

Bemerkung 1.32. Wenn manZfürM einsetzt, so erhält man H_∗(G,Z) = H_∗(G).

Der Vollständigkeit halber werden nun noch zum Ende dieses Ab- schnittes zwei Verallgemeinerungen der zwei Funktoren H∗(G,−) und H^∗(G,−)angegeben.

Definition 1.33. SeiRein Ring und seienF →M undP →N zwei projektive Auflösungen beliebigerR-ModulnM undN. Dann ist

Tor^R_∗(M,N) :=H∗(F ⊗RN) =H∗(F ⊗RP) = H∗(M ⊗RP) und

Ext^∗_R(M,N) :=H∗(Hom_R(F,N)).

Speziell istH∗(G,−) = Tor^Z[G]_∗ (Z,−)undH^∗(G,−) = Ext^∗_Z[G](Z,−).

Bemerkung 1.34. Die Aussagen dieses Kapitels über die Kohomolo- gie vonGändern sich nicht, wenn man Hom(A,B)nicht als die linearen Abbildungen, sondern als die beschränkten linearen Abbildungen vonA nachB auffasst. Da aber in dem Rest dieser Arbeit die topologische Dua- lität vonl^p(G)zul^q(G)mit¹_p+¹_q = 1ausgenutzt werden soll, die algebra- isch nicht gegeben ist, bezeichnet Hom(A,B) ab sofort die beschränkten linearen Abbildungen auf.

Bemerkung 1.35. [17, S. 3] Sei ε : F → Z eine projektive Auflö- sung von Z über Z[G]. Da ein projektiver Z[G]-Modul Z-frei ist, kann man diese Auflösung auch aus kurzen exakten, spaltenden Sequenzen zu- sammenspleißen. Wenn man nun mit einem Körperk überZtensoriert, bleibt die Eigenschaft zu spalten erhalten. Mitk⊗Z[G] =k[G]folgt, dass k ⊗F → k eine Auflösung vonk über k[G] liefert. Insbesondere heißt dies, dass im Folgenden immer eine Auflösung von Z über Z[G] durch eine Auflösung vonCüberC[G]ersetzt werden kann, solange die Koeffi- zienten projektive Moduln überC[G]sind. Diese Bedingung wird erfüllt sein, da als Koeffizienten nurl^p(G)von Interesse ist.

1.2. CW-Komplexe und Gruppen

Die Aufgabe dieses Abschnittes ist es, zu zeigen, dass unter bestimm- ten Voraussetzungen die (Ko-)Homologie einer Gruppe G mit der ei- nes CW-KomplexesX übereinstimmt. Dass dies nicht für beliebige CW- Komplexe gelten kann, ist selbstverständlich. Daher müssen zuerst ein- mal in den beiden folgenden Unterabschnitten Einschränkungen erarbei- tet werden.

1.2.1. G-Komplex und Standardauflösung. Zu Anfang soll hier die sogenannte Standardauflösung eingeführt werden.

Definition 1.36. Ein G-Komplex ist ein CW-KomplexX zusammen mit einerG-OperationaufX, die nur die Zellen permutiert. Also existiert für alle g ∈ G ein Homöomorphismus x 7→ gx vonX so, dass für jede Zelleσ vonX das Bild gσ wiederum eine Zelle vonX ist. Zum Beispiel ist ein Simplizialkomplex X mit einer simplizialen G-Operation ein G- Komplex.

X ist einfreierG-Komplex, wenn dieG-Operation die Zellen frei per- mutiert, also gσ 6= σ für alle σ und g 6= 1. In diesem Fall hat jeder Kettenmodul eine Z-Basis, die frei vonG permutiert wird. Nach Propo- sition 1.8 ist C_n(X) ein freier Z[G]-Modul mit einem Basiselement für jedenG-Orbit von Zellen.

Proposition 1.37. Sei X ein zusammenziehbarer freier G-Komplex.

Dann ist der erweiterte Kettenkomplex eine freie Auflösung vonZüberZ[G].

1.2. CW-KOMPLEXE UND GRUPPEN 11

Definition 1.38. SeiXein simplizialer Komplex, auf demGfrei ope- riert. Dann istC_∗⁰(X), dergerichtete KettenkomplexzuX, so definiert, dass C_∗⁰(X) eine Basis aus gerichteten (n + 1)-Tupeln (ν₀, . . . ,ν_n) von Ecken vonX derart hat, dass{ν₀, . . . ,ν_n}ein Simplex vonX ist. Da Gfrei auf diesen (n + 1)-Tupeln operiert, erhält man eine freie Auflösung von Z überZ[G].

Definition 1.39. Sei X das „Simplex“, welches von G aufgespannt wird, seien also die Ecken vonXdie Elemente vonGund sei jede endliche Teilmenge vonGein Simplex vonX. Die hierzu korrespondierende freie AuflösungF_∗ = C_∗⁰(X)wird als die Standardauflösungvon ZüberZ[G]

bezeichnet.

Explizit sind die F_n freie Z-Moduln, die von den (n + 1)-Tupeln (g0, . . . ,gn) von Elementen von G erzeugt werden. G operiert hierauf durch

g·(g₀, . . . ,g_n) = (g·g₀, . . . ,g·g_n).

Der Randoperator∂ :F_n →Fn−1wird gegeben durch

∂ =

n

X

i=0

(−1)ⁱdi

mit

d_i(g₀, . . . ,g_n) = (g₀, . . . ,gb_i, . . . ,g_n).

Die Augmentationε :F₀ →Zwird gegeben durch ε(g₀) = 1.

Noch einen Schritt expliziter seien die(n+ 1)-Tupel mit erstem Eintrag1 die Basis vonF_nals freiemZ[G]-Modul. Diese bilden eine Basis, da sie die Bahnen unterG-Operation repräsentieren. Manchmal ist es angenehmer, die(n+ 1)-Tupel in der Form (1,g₁,g₁g₂, . . . ,g₁· · ·g_n)zu schreiben. Für diese kann man folgende Notation einführen:[g₁|. . .|g_n]. Mit dieserZ[G]- Basis kann man died_i schreiben als

(1.1) d_i[g₁|. . .|g_n] =







g₁[g₂|. . .|g_n] i= 0 [g₁|. . .|gi−1|g_ig_i+1|g_i+2|. . .|g_n] 0< i < n [g1|. . .|gn−1] i=n.

Es sei erinnert an Definition1.26. Hier kann man für jede GruppeG als Auflösung F die Standardauflösung nehmen. In diesem Fall schreibt manC∗(G)für den KettenkomplexFG.

Hierbei kann man C_∗(G) explizit wie folgt beschreiben. Zuerst de- finiert man sich die Äquivalenzrelation(g₀, . . . ,g_n) ∼ (gg₀, . . . ,gg_n)auf den(n+ 1)-Tupeln (g₀, . . . ,g_n)mitg_i ∈ G. Es bezeichne[g₀, . . . ,g_n]die

Äquivalenzklasse von (g₀, . . . ,g_n). Dann hat C_n(G) eine Z-Basis beste- hend aus diesen Äquivalenzklassen, und die Randabbildung

∂ :C_n(G)→C_n−1(G) ist gegeben durch∂ =

n

P

i=0

(−1)ⁱdimit

d_i[g₀, . . . ,g_n] = [g₀, . . . ,gb_i, . . . ,g_n]

Diese Beschreibung vonC∗(G)wird als derhomogene Kettenkomplexbe- zeichnet.

DieinhomogeneBeschreibung vonC∗(G)wird durch d_i[g₁|. . .|g_n] =







g₁[g₂|. . .|g_n] i= 0 [g₁|. . .|gi−1|g_ig_i+1|g_i+2|. . .|g_n] 0< i < n [g₁|. . .|gn−1] i=n

analog zur Formel1.1gegeben. Hierbei sind aber die[g₁|. . .|g_n]die Bilder in C_n(G) = (F_n)_G der [g₁|. . .|g_n] aus 1.1. Sie bilden eine Z-Basis, aber keineZ[G]-Basis.

1.2.2. K(G,1)-Komplexe. Dies sind diejenigen CW-Komplexe, de- ren (Ko-)Homologie mit derjenigen der GruppeGübereinstimmt.

Definition 1.40. Der CW-KomplexXist einEilenberg-MacLane-Kom- plex vom Typ(G,1)oder einfacher ein K(G,1)-Komplex, wenn X die fol- genden drei Bedingungen erfüllt:

i) X ist zusammenhängend, ii) π₁X =Gund

iii) die universelle ÜberlagerungX˜ vonX ist zusammenziehbar.

Bemerkung 1.41. Die letzte Bedingung kann ersetzt werden durch eine der beiden folgenden Bedingungen:

iii’) H_iX˜ = 0füri≥2oder iii”) π_iX = 0füri≥2.

Proposition 1.42. Wenn X ein K(G,1)-Komplex ist, dann ist der er- weiterte zelluläre Kettenkomplex der universellen Überlagerung vonX eine freie Auflösung vonZüberZ[G].

Satz 1.43. Für jede Gruppe G existiert ein K(G,1)-Komplex, und die Standardauflösung vonGentspricht dem zumK(G,1)-Komplex gehörenden Kettenkomplex.

Bemerkung 1.44. Die Umkehrung dieser Aussage gilt ebenfalls. Man setzt einfachG=π₁X.

1.2. CW-KOMPLEXE UND GRUPPEN 13

Folgende Aussage ist ein Korollar zu Theorem1.16.

Korollar 1.45. WennF ein nicht-negativer azyklischer¹Kettenkomplex von projektiven Moduln über einem beliebigen RingRist, dann istF zusam- menziehbar².

Proposition 1.46. SeiX ein freierG-Komplex. Dann gilt C∗(X/G)∼=C∗(X)_G,

wobeiX/Gder Orbitraum vonGüberXist. Dieser ist durch die Konstruk- tion wiederum einG-Komplex.

Satz 1.47. SeiXeinK(G,1)-Komplex. Dann istH_∗(G) =H_∗(X).

1.2.3. Satz von Hopf. Das Theorem1.48ist eine Folgerung aus dem Satz von Hopf 1.51, wobei 1.51 in unserem Zusammenhang die inter- essantere Beschreibung ist. Insbesondere ist Satz 1.51 einer der zentra- len Ausgangspunkte für die Entwicklung der Gruppenkohomologie (vgl.

[9, Introduction]).

Theorem 1.48. Für jeden zusammenhängenden CW-Komplex X exis- tiert eine kanonische Abbildungψ :H∗X → H∗GmitG =π₁X. Wenn es einn ≥ 2gibt mitπ_iX = 0für 1 < i < n, dann istψ ein Isomorphismus H_iX −→^∼= H_iGfüri < nund die Sequenz

π_nX −→^h H_nX −→^ψ H_nG→0

ist exakt. Hierbei isth:π_nX →H_nXdie Hurewiczabbildung.

Definition 1.49. Ein kombinatorischer Pfad in einem CW-Komplex ist eine Sequenz von orientierten 1-Zellen e₁, . . . ,e_n, bei denen die An- fangsecke vone_i+1 gleich der Endecke vone_i ist (füri= 1, . . . ,n−1).

Bemerkung 1.50. Sei G = hSi die freie Gruppe erzeugt durch die Menge S. Sei X ein Bukett von Kreisen mit Indexmenge S, das heißt X = W

s∈SS_s¹. Dann istX ein 1-dimensionaler CW-Komplex mit genau einer Ecke und einer1-Zelle für jedes Element inS. Das heißt,

π₁(X)∼=G.

Weiterhin istX einK(G,1)-Komplex. Als Basispunkt inX˜ ist eine Ecke

˜

vzu wählen. Diese repräsentatiert dann eindeutig denG-Orbit der Ecken von X˜ und erzeugt damit den freien Z[G]-Modul C₀(˜x). Als Basis von C₁( ˜X) nimmt man für jedes s ∈ S eine orientierte 1-Zelle e_s von X,˜

1H(F) = 0

2homotopieäquivalent zum Nullkomplex

die überS_s¹ liegt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei der Anfangs- punkt von jeder dieser 1-Zellen ˜v. Der Endpunkt ist daher s˜v. Es folgt

∂e_s =s˜v−v˜= (s−1)˜v. Man erhält also eine freie Auflösung 0→Z[G]^(S)−→^∂ Z[G]−→^ε Z→0,

mitZ[G]^(S)als dem freienZ[G]-Modul mit Basis(e_s)s∈S,∂e_s =s−1und ε(g) = 1für alleg ∈G.

Satz 1.51. (Satz von Hopf)SeiG ∼=F/R, wobeiF frei und eine Ein- bettung vonRnachF gegeben ist, die gerade die Isomorphie vonGundF/R erfüllt. Dann gilt

H₂(G)∼=R∩[F,F]/[F,R].

Korollar 1.52. SeiG = F/Rwie oben mitF =< S >, dann existiert eine exakte Sequenz

0→R_ab −→^θ Z[G]^(S) −→^∂ Z[G]−→^ε Z→0

vonG-Modulen, wobeiZ[G]^(S)frei ist, mit Basis(e_s)s∈S und∂e_s =s−1.

1.2.4. Lokale Koeffizientensysteme. Dieser Unterabschnitt ist dem Beweis des folgenden Satzes inklusive der darin auftauchenden Definiti- on eines lokalen Koeffizientensystems gewidmet. Im Wesentlichen folgen diese Ausführungen Spanier [58], sie können aber zum Beispiel auch bei Cohen [12], Switzer [61] oder Whitehead [64] gefunden werden. Die ers- ten Ausführungen über lokale Koeffizienten stammen von Steenrod [59]

und Eilenberg [15].

Satz 1.53. SeiGeine Gruppe undM einG-Modul. Dann gilt i) H∗(G,M) = H∗(K(G,1);M)

ii) H^∗(G,M) =H^∗(K(G,1);M)

Hierbei ist Mdas lokale Koeffizientensystem aufK(G,1)assoziert zum G- ModulM.

Definition 1.54. [56] EinGruppoidist ein Kategorie, in der jeder Mor- phismus ein Isomorphismus ist.

Satz 1.55. [58]Für jeden topologischen RaumXexistiert eine Kategorie P(X), deren Objekte die Punkte vonX und deren Morphismen vonanach bdie Homotopieklassen der Wege mit Endpunktaund Anfangspunktbsind.

Die Verknüpfung der Morphismen ist das Produkt der Homotopieklassen der Wege. Diese Kategorie ist ein Gruppoid.

Definition 1.56. [58] Die KategorieP(X)wird als das fundamentale Gruppoidoder als dieKategorie der Wegklassenbezeichnet.

1.2. CW-KOMPLEXE UND GRUPPEN 15

Definition 1.57. [58] Ein lokales System auf einem Raum X ist ein kovarianter Funktor vom fundamentalen Gruppoid in eine beliebige Ka- tegorie. Für jede KategorieC existiert eine Kategorie der lokalen Systeme aufXmit Werten inC. Zwei lokale Systeme heißen äquivalent, wenn sie äquivalente Objekte in dieser Kategorie sind.

Definition 1.58. [58] Sei q ≥ 1, sei σ : ∆^q → X ein singuläres q- Simplex von X und sei ω_σ der Weg in X, den man erhält, indem man den linearen Weg vonv₀ nachv₁ in∆^qmitσverknüpft. Sei weiterhin ein lokales SystemΓvonR-Moduln aufXgegeben.

Dann setzt man ∆q(X,Γ) als den R-Modul der endlichen, nichtver- schwindenden formalen SummenP

ασσ, in denenσüber der Menge der singulären q-Simplizes von X variiert und in denen die α_σ ∈ Γ(σ(v₀)) für fast alle σ verschwinden. Weiterhin definiert man für q > 0 einen Homomorphismus∂ : ∆_q(X,Γ)→∆q−1(X,Γ)durch

∂(ασ) = X

0<i≤q

(−1)ⁱασ⁽ⁱ⁾+ Γ(ω_σ)(α)σ⁽⁰⁾.

Unter diesen Bedingungen ist∆(X,Γ)ein Kettenkomplex mit Rand- abbildung∂. WennΓein lokales System von freienR-Modulen ist, dann ist auch ∆(X,Γ) frei. Für A ⊂ X ist ∆(A,Γ|_A) ein Unterkomplex von

∆(X,Γ).

H∗(X,A,Γ), die Homologie von (X,A) mit lokalen Koeffizienten, ist definiert als der Homologiemodul von

∆(X,A,Γ) = ∆(X,Γ)/∆(A,Γ|_A).

Definition 1.59. [58] SeiΓein lokales System vonR-Moduln aufX.

Dann ist ∆^q(X,Γ) der Modul der Funktionen φ, die jedes singuläre q- Simplex σ von X auf ein Elementϕ(σ) ∈ Γ(σ(v0))abbilden. Man defi- niert einen Homomorphismusδ : ∆^q(X,Γ)→∆^q+1(X,Γ)durch

(δϕ)(σ) = X

0<i≤q+1

(−1)ⁱϕ(σ⁽ⁱ⁾) + Γ(ω⁻¹_σ )(ϕ(σ⁽⁰⁾)).

Unter diesen Bedingungen ist ∆^∗(X,Γ) = {∆^q(X,Γ),δ} ein Koketten- komplex und fürA ⊂X ist die Einschränkung

∆^∗(X,Γ)→∆^∗(A,Γ|_A) ein Epimorphismus.

H^∗(X,A,Γ), die Kohomologie von(X,A)mit lokalen Koeffizienten, ist definiert als der Kohomologiemodul von

∆^∗(X,A,Γ) = ker[∆^∗(X,Γ)→∆^∗(A,Γ|_A)].

Theorem 1.60. [15] Die Homologiegruppe Hq(X,Γ) eines Raumes X mit lokalem KoeffizientensystemΓist isomorph zu der äquivarianten Homo- logiegruppe H_q^e( ˜X,A)der universellen Überlagerung X˜ vonX. Hierbei ist A= Γ_x0.

Analog giltH^q(X,Γ)∼=H_e^q( ˜X,A).

Satz 1.61. [15] Sei X ein azyklischer topologischer Raum. Sei W eine Gruppe, die fixpunktfrei aufXoperiert. Dann gilt

i) H_q^e(X,A)∼=H_q(W,A), ii) H_e^q(X,A)∼=H^q(W,A).

1.3. Endlichkeitsbedingungen

Um mit den im ersten Abschnitt erarbeiteten Grundlagen arbeiten zu können, benötigt man häufig einschränkende Endlichkeitsbedingungen.

Diejenigen, welche in den nachfolgenden Kapiteln genutzt werden, sollen nun im Folgenden dargestellt werden.

1.3.1. Die kohomologische Dimension. Die erste Endlichkeitsbe- dingung, die betrachtet werden soll, beschränkt die Länge der Auflösung.

Definition 1.62. Sei R ein Ring undM ein R-Modul. Dieprojektive Dimensionpd_R(M)vonM ist das Infimum aller ganzen Zahlenn, für die M eine projektive Auflösung0 →Pn → · · · →P0 → M →0der Länge nhat.

Lemma 1.63. Sei R ein Ring und M einR-Modul. Dann sind die fol- genden Aussagen äquivalent:

i) pd_R(M)≤n.

ii) Extⁱ_R(M,−) = 0füri > n.

iii) Extⁿ⁺ⁱ_R (M,−) = 0.

iv) Sei0→K →Pn−1 → · · · →P0 →M →0eine beliebige exakte Sequenz vonR-Moduln, mitP_iprojektiv, dann istKprojektiv.

Definition 1.64. Die kohomologische Dimension von G, bezeichnet mitcd(G), ist die kleinste ganze Zahl n, die die Bedingungen in Lemma 1.63für R =Z[G]undM =Zerfüllt. Falls ein solchesn nicht existiert, wirdcd(G) = ∞gesetzt. Das heißt:

cd(G) = pd_Z[G]Z

= inf{n :Zhat eine projektive Auflösung der Längen}

= inf{n :Hⁱ(G,−) = 0füri > n}

= sup{n :Hⁿ(G,M)6= 0für einenG-ModulM}

1.3. ENDLICHKEITSBEDINGUNGEN 17

Bemerkung 1.65. Diegeometrische DimensionvonG, bezeichnet mit gd(G), ist definiert als die minimale Dimension einesK(G,1)-Komplexes.

Da der zelluläre Kettenkomplex der universellen Überlagerung eines K(G,1)-Komplexes Y eine freie Auflösung von Z über Z[G] (mit einer Länge gleich der Dimension vonY) liefert, gilt:

cd(G)≤gd(G)

Lemma 1.66. (Eilenberg-Trick) Sei P ein projektiver Modul über ei- nem beliebigen RingR. Dann existiert ein freier ModulF so, dass

P ⊕F ∼=F.

Satz 1.67. Für jede GruppeGexistiert eine freie Auflösung vonZüber Z[G]der Längecd(G).

1.3.2. Gruppen vom Typ FP_n. Die zweite Endlichkeitsbedingung betrachtet nur die Dimension der in der Auflösung auftauchenden Mo- duln.

Definition 1.68. Eine (Teil-)AuflösungF istvon endlichem Typ, wenn alleFi endlich erzeugt sind.

Ein ModulM ist vom TypFPn, mit n ≥0, falls es eine partielle Auf- lösung F_n → · · · → F₀ → M von M gibt so, dass die einzelnen F_i projektiv und endlich erzeugt sind.

Lemma 1.69. (Schanuels Lemma)SeienP undP⁰ projektiv und seien 0 →K →P → M → 0und0→ K⁰ → P⁰ → M → 0exakt. Dann gilt P ⊕K⁰ ∼=P⁰⊕K.

Lemma 1.70. Seien 0 → F_n → · · · → F₀ → M → 0 sowie 0 → F_n⁰ → · · · → F₀⁰ → M → 0exakte Sequenzen mitF_i und F_i⁰ pro- jektiv füri≤n−1. Dann gilt:

F₀⊕F₁⁰⊕F₂ ⊕. . .∼=F₀⁰⊕F₁⊕F₂⁰⊕. . .

Das heißt, wenn dieFi und dieF_i⁰ endlich erzeugt sind füri≤ n−1, dann istFnendlich erzeugt genau dann, wenn auchF_n⁰ endlich erzeugt ist.

Satz 1.71. SeiM ein Modul undn ≥0. Dann sind die folgenden Aussa- gen äquivalent:

i) Es gibt eine TeilauflösungF_n → · · · → F₀ → M → 0, wobei die F_i alle frei und endlich erzeugt sind.

ii) M ist vom TypFP_n.

iii) M ist endlich erzeugt und für jede projektive Teilauflösung P_k→ · · · →P₀ →M →0

von endlichem Typ mitk < nistker{P_k →P_k−1}endlich erzeugt.

Korollar 1.72. Sei M ein Modul undn ≥ 0. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i) M besitzt eine freie Auflösung endlichen Typs.

ii) M besitzt eine projektive Auflösung endlichen Typs.

iii) M ist vom TypFP_nfür allen ≥0.

Bemerkung 1.73. Wenn die Bedingungen des Korollars erfüllt sind, nennt manM vom TypFP∞.

Definition 1.74. Eine GruppeGist vom TypFP_n, wenn ZalsZ[G]- Modul vom TypFP_nist.

Satz 1.75. SeiH ⊂Geine Untergruppe von endlichem Index. Dann ist Gvom TypFP_ngenau dann, wennHvom TypFP_nist.

1.3.3. Die TypenFPundFL. Im Folgenden werden nun die beiden obigen Endlichkeitsbedingungen zusammengeführt, um aus ihnen zwei weitere zu gewinnen, die tiefergehende topologische Aussagen zulassen.

Definition 1.76. Eine GruppeGistvom TypFP, wennZeine endli- che projektive Auflösung von endlichem Typ überZ[G]zulässt.

Satz 1.77. Gist vom Typ FP genau dann, wenn cd(G) < ∞ und G vom TypFP∞ist.

Bemerkung 1.78. Die projektive Teilauflösung, die im Beweis des Sat- zes gewählt wurde, hätte auch frei gewählt werden können, so dass man am Ende eine Auflösung

0→P →Fn−1 → · · · →F₀ →Z→0

mitF_i frei erhalten hätten. Leider gibt es keinen Grund, warum auchP dann frei sein sollte. Dies führt uns zur Definition1.79. Allerdings ist bis heute noch kein Gegenbeispiel bekannt, in dem eine Gruppe vom Typ FP ist und Z keine endliche freie Auflösung von endlichem Typ über Z[G]zulässt (vgl. [9, S. 201]).

Definition 1.79. Eine GruppeGistvom TypFL, wennZeine endli- che freie Auflösung von endlichem Typ überZ[G]zulässt.

1.3.4. Induktion und Koinduktion. Die Induktion ist ein wichtiges Hilfsmittel, da sie die Homologie einer Gruppe zu der Homologie einer Untergruppe in Beziehung setzt.

Definition 1.80. SeiGeine Gruppe undH eine Untergruppe vonG.

Dann ist dieInduktion vonHnachG

Ind^G_H(M) := Z[G]⊗_Z[H]M

1.3. ENDLICHKEITSBEDINGUNGEN 19

und dieKoinduktion vonHnachG

Coind^G_H(M) := Hom_Z[H](Z[G],M).

Hierbei ist M ein H-Modul. Ein Modul der Form Ind^G₁(M) wird als induzierter Modulbezeichnet. Ein Modul der FormCoind^G₁(M)heißtko- induzierter Modul.

Bemerkung 1.81. Alle freien Moduln sind induziert.

Lemma 1.82. [5]SeiBein rechterG-Modul undAein induzierter linker G-Modul, dann ist auchB⊗A(mit diagonalerG-Operation) induziert.

Satz 1.83. Sei G eine Gruppe und seienM,M⁰,M⁰⁰ beliebige Z[G]-Mo- duln.

i) H₀(G,M)∼=M_G. ii) H⁰(G,M)∼=M^G.

iii) Sei0→M⁰ −→ⁱ M −→^j M⁰⁰ →0eine exakte Sequenz undneine be- liebige ganze Zahl, dann existiert ein natürlicher Homomorphismus

∂ :H_n(G,M⁰⁰)→Hn−1(G,M⁰)so, dass die Sequenz

· · · →H₁(G,M) → H₁(G,M⁰⁰)−→^∂ H₀(G,M⁰)

→ H₀(G,M)→H₀(G,M⁰⁰)→0 exakt ist.

iv) Sei0→M⁰ −→ⁱ M −→^j M⁰⁰ →0eine exakte Sequenz undneine be- liebige ganze Zahl, dann existiert ein natürlicher Homomorphismus δ :Hⁿ(G,M⁰⁰)→Hⁿ⁺¹(G,M⁰)so, dass die Sequenz

0→H⁰(G,M⁰) → H⁰(G,M)→H⁰(G,M⁰⁰)

−δ

→ H¹(G,M⁰)→H¹(G,M)→ · · · exakt ist.

v) WennP ein projektiverZ[G]-Modul ist, dann istH_n(G,P) = 0für n >0.

vi) WennQein injektiverZ[G]-Modul ist, dann istHⁿ(G,Q) = 0für n >0.

Satz 1.84. (Shapiros Lemma)SeiH ⊂ GundM einH-Modul, dann gilt

H_∗(H,M)∼=H_∗(G,Ind^G_H(M)) und

H^∗(H,M)∼=H^∗(G,Coind^G_H(M)).

Lemma 1.85. Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe von endlichem IndexkundM einH-Modul. Dann giltInd^G_HM = Coind^G_HM.

1.3.5. Dualitätsgruppen. Schlussendlich wird hier noch ein letzter Typus von Gruppen eingeführt, die Dualitätsgruppen, um unter gewissen Voraussetzungen die Poincaré-Dualität ausnutzen zu können.

Theorem 1.86. [5] SeiGeine Gruppe vom TypFP. Dann sind die fol- genden Aussagen äquivalent:

i) Es gibt einn∈Nund einenG-ModulDso, dass Hⁱ(G,M)∼=Hn−i(G,D⊗M) für alleG-ModulnM und allei∈N.

ii) Es existiert einn ∈Nso, dassHⁱ(G,Z[G]⊗A) = 0für allei6= n und alle abelschen GruppenA.

iii) Es existiert einn ∈Nso, dassHⁱ(G,Z[G]) = 0für allei6= n, und Hⁿ(G,Z[G])ist torsionsfrei.

iv) Es gibt natürliche Isomorphismen

Hⁱ(G,−)∼=Hn−i(G,D⊗ −),

mit n = cd(G)und D = Hⁿ(G,Z[G]), die kompatibel sind mit den Verknüpfungshomomorphismen sowohl in der langen Homolo- giesequenz als auch in der langen Kohomologiesequenz assoziert zu einer kurzen exakten Sequenz von Moduln.

Definition 1.87. Eine Gruppe G, die die Bedingungen in Theorem 1.86erfüllt, wird alsDualitätsgruppebezeichnet.

Wenn zusätzlich das auftauchende D als abelsche Gruppe unendlich zyklisch ist, nennt man G eine Poincaré-Dualitätsgruppe. In diesem Fall heißtGorientierbar, wennGtrivial aufDoperiert, und ansonstennicht- orientierbar.

Bemerkung 1.88. WennGeine orientierbare Poincaré-Dualitätsgrup- pe ist, so nimmt iv) aus Theorem1.86die bekannte Form

Hⁱ(G,M)∼=Hn−i(G,M) an.

Die in Theorem1.86auftauchenden Dualitätsisomorphismen werden gegeben durch das Cap-Produkt

∩z :Hⁱ(G,M)−→^∼= Hn−i(G,D⊗M) mit einem festen Elementz ausH_n(G,D).

KAPITEL 2

l

-Kohomologie

Nach diesen Vorarbeiten wird es nun langsam Zeit, sich mit dem ei- gentlichen Thema dieser Arbeit zu beschäftigen.

2.1. Definition

Am Anfang dieses Kapitels stehen zwei Definitionen, die sich sofort aus den Vorarbeiten und ein wenig Banachraumtheorie ableiten.

Definition 2.1. Sei F(G)die Menge der komplexwertigen Funktio- nen auf einer Gruppe G. Dann lässt sich jedes f ∈ F als formale Sum- me P

g∈G

f_gg repräsentieren mit f_g ∈ C und f(g) = f_g. Für jede reelle Zahl p ≥ 1 besteht l^p(G) aus den formalen Summen f = P

g∈G

f_gg in F(G), in denen nur abzählbar viele Einträge ungleich null sind und für die P

g∈G

|f_g|^p = (|f|_p)^p <∞gilt. Entsprechend bestehtl^∞(G)aus den for- malen Summen mit nur abzählbar vielen Einträgen ungleich null, für die sup_g∈G(f_g) =|f|∞ <∞gilt.l^p(G)ist mit den angegebenen Normen ein Banachraum.

Nach Definition1.7istl^p(G)einG-Modul, daGvon rechts aufl^p(G) operiert. Somit lassen sich die Ergebnisse aus den letzten Kapiteln auf diesen Fall übertragen.

Nach Huppert [27] lässt sich bis auf Isomorphie die l^p-Kohomologie über die Standardauflösung vonZüberZ[G]definieren.

Definition 2.2. Sei C_(p)⁰ (G) := l^p(G) und für n ≥ 1 seiC_(p)ⁿ (G)die Menge aller Homomorphismen von demn-fachen direkten Produkt von Gnachl^p(G). Die Addition sei jeweils punktweise definiert.

Dann definiert manδ_n ∈Hom_Z(C_(p)ⁿ (G),C_(p)ⁿ⁺¹(G))durch (δ₀f)(g) :=f −f g

fürf ∈C_(p)⁰ (G)und

(δ_nf)(g₁, . . . ,g_n+1) := f(g₂, . . . ,g_n+1)

21

+

n

X

i=1

(−1)ⁱf(g₁, . . . ,gi−1,g_i+1, . . . ,g_n+1) +(−1)ⁿ⁺¹f(g₁, . . . ,g_n)g_n+1

fürf ∈C_(p)ⁿ (G).

Man setzt nun Z_(p)ⁿ (G) := ker(δ_n) für n ≥ 0, B_(p)⁰ (G) := 0 und B_(p)ⁿ (G) := im(δn−1) für n ≥ 1. Die Elemente von C_(p)ⁿ (G) heißen n- Koketten, die vonZ_(p)ⁿ (G)n-Kozykelnund die vonB_(p)ⁿ (G)n-Koränder.

Die Standardauflösung ist aber in unserem Kontext normalerweise kein sinnvolles Arbeitsmittel, deshalb definiert man mit Verweis auf De- finition1.30:

Definition 2.3. SeiGeine Gruppe und

· · · →F2

∂2

−→F1

∂1

−→F0

∂0

−→Z→0

eine projektive Auflösung von Z über Z[G]. Dann ist die l^p-Homologie vonGdefiniert als

H_n^(p)(G) :=H_n(G,l^p(G)) = ker(∂_n⊗1)/im(∂_n+1⊗1) und diel^p-Kohomologie vonGals

H_(p)ⁿ (G) :=Hⁿ(G,l^p(G)) = ker(∂_n+1^∗ )/im(∂_n^∗).

Diereduziertel^p-Homologie vonGist definiert als Hn^(p)(G) := ker(∂_n⊗1)/im(∂_n+1⊗1), und diereduziertel^p-Kohomologie vonGals

H_(p)ⁿ (G) := ker(∂_n+1^∗ )/im(∂_n^∗).

Hierbei ist∂_i^∗dieduale Abbildungzu∂_idefiniert durch∂_i^∗(ϕ) :=ϕ◦∂_i. Bemerkung 2.4. Diese ausführliche Wiederholung ist notwendig, da die unreduzierte Kohomologie erst einmal nur ein Objekt der Algebra ist.

Um die Eigenschaften derl^p-Räume als Banachräume nutzen zu können, ist es sinnvoll zu erwarten, dass auch die Homologiegruppen Banachräu- me sind. Der Kern einer Randabbildung ist ein Banachraum mit der von l^p(G)transportierten Norm. Das Bild hingegen ist im Allgemeinen nicht vollständig, sondern trägt erst einmal nur die Norm des großen Raumes.

Damit der Quotient ein Banachraum ist, muss das Bild abgeschlossen sein (vgl. [34, Kapitel 1.7]).

In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, ein paar Bemerkungen über die Normen, die genutzt werden, zu verlieren. Üblicherweise beschäftigt

2.1. DEFINITION 23

man sich im Folgenden mit Gruppen vom Typ FPn, daher sind die be- handelten Moduln jeweils endlich viele Kopien von l^p(G). Es ist klar, dass die „innere“ Norm innerhalb der einzelnen Komponenten dieselbe ist wie in l^p(G). Da man sich aber mit endlich vielen Kopien beschäfti- gen, ist es prinzipiell egal, welche „äußere“ Norm auf dem Gesamtraum genutzt wird, da sie alle äquivalent zueinander sind. Normalerweise wird aus Gründen der Einfacheit im Folgenden die1-Norm als äußere Norm nutzen.

Aus Satz1.53ergibt sich als direkte Folgerung aus der Definition:

Satz 2.5. SeiGeine Gruppe undXeinK(G,1)-Komplex. Dann gilt:

H∗^(p)(G) =H_∗(X;l^p(G))und H_(p)^∗ (G) = H^∗(X;l^p(G)).

Lemma 2.6. Sein∈NundGeine Gruppe vom TypFPn, dann existiert eine projektive Teilauflösung

· · · →P −^∂−−ⁿ⁺¹→F_n −→^∂n . . .−^∂→² F₁ −^∂→¹ Z[G]→Z→0

so, dass dieF_ifreie, endlich erzeugteZ[G]-Moduln und die Randabbildungen

∂_i⊗1des dazugehörenden, mitl^p(G)tensorierten Komplexes füri ≤n+ 1 beschränkte lineare Operatoren sind.

BEWEIS. Satz1.71liefert uns eine solche Auflösung, nur dass die Rand- abbildungen noch nicht notwendigerweise beschränkt sind.

Die 0-te Randabbildung im tensorierten Komplex ist die Nullabbil- dung und somit beschränkt.

Die Randabbildungen∂_i für1≤ i ≤n lassen sich beschreiben durch die Multiplikation mit einer Matrix Ai ∈ Mdi−1×di(Z[G]), wobei di die Dimension vonF_i ist. Das heißt, dass die Abbildungen∂_i ⊗1 weiterhin als Multiplikation mit der MatrixA_i aufzufassen ist, nur dass diese Multi- plikation nicht mehr mit Elementen inZ[G]^di passiert, sondern mit Ele- menten inl^p(G)^di. Das heißt, mitkxk=Pdi

n=1kxik_p für allex ∈l^p(G)^di gilt

kA_ixk ≤

di−1

X

k=1 di

X

l=1

|a_kl|

! kxk.

Folglich sind diese Randabbilungen des tensorierten Komplexes ebenfalls beschränkte lineare Operatoren.

Die letzte zu betrachtende Randabbildung∂n+1⊗1ist als beschränkter linearer Operator frei wählbar. Das einzige, worauf man achten muss, ist, dass sich der Definitionsbereich schreiben lässt als beliebiger projektiver

Z[G]-Modul P tensoriert mit l^p(G). Zum Beispiel lässt sich dieser fol- gendermaßen konstruieren: ker(∂_n) ist ein abgeschlossener Unterraum, folglich kann man diesen durch eine – nicht notwendigerweise endliche – Menge von Erzeugern beschreiben. AlsP wählt man nun einen freien Modul mit einer Dimension pro Erzeuger. Der Randoperator bildet dann Erzeuger auf Erzeuger ab, ist dementsprechend beschränkt. Dieses Ver- fahren lässt sich natürlich auch für höhere Randoperatoren durchführen, was aber weniger interessant wird, da dann die zugehörigen Moduln nicht

mehr endlich erzeugt sind.

2.2. Dualität von Homologie und Kohomologie

Bevor man sich den interessanteren Fragestellungen widmet, müssen noch einige funktionalanalytische Grundlagen zitiert werden.

Definition 2.7. SeiX ein normierter Raum und seienAundB Teil- mengen vonX beziehungsweise des topologischen DualraumsX^∗. Dann sind dieAnnihilatorenA^⊥ und^⊥Bdefiniert als

A^⊥ :={x^∗ :x^∗ ∈X^∗, x^∗x= 0∀x∈A}

⊥B :={x:x∈X, x^∗x= 0∀x^∗ ∈B}.

Proposition 2.8. [34] SeiX ein normierter Raum und seienA undB Teilmengen vonX bzw.X^∗. Dann sind A^⊥ und ^⊥B abgeschlossene Unter- räume vonX^∗ bzw.X. Weiterhin gilt^⊥(A^⊥) = A, falls Aein Unterraum vonXist.

Theorem 2.9. [34]SeiM ein Unterraum eines normierten RaumesX.

Dann gibt es einen isometrischen Isomorphismus, derM^∗mitX^∗/M^⊥iden- tifiziert.

WennM abgeschlossen ist, dann gibt es einen isometrischen Isomorphis- mus, der(X/M)^∗ mitM^⊥identifiziert.

Lemma 2.10. [34]SeienX,Y normierte Räume und seiT ∈B(X,Y).

Dann giltker(T) =^⊥(T^∗(Y^∗))undker(T^∗) = (T(X))^⊥.

Satz 2.11. Sei 1 < p ∈ R, n ∈ Nund Geine Gruppe vom TypF P_n. Dann istH_(p)ⁱ (G)dual zuH_i^(q)(G)mit ¹_p +¹_q = 1füri≤n.

BEWEIS. Da die einzelnen F_i endlich erzeugt und projektiv sind für i≤n, sind die RäumeF_i⊗_Gl^p(G)undHom_G(F_i,l^q(G))dual zueinander:

(F_i⊗_Gl^p(G))^∗ ∼= F_i^∗⊗_Gl^p(G)^∗

∼= HomG(F_i^∗∗,l^p(G)^∗)

∼= HomG(F_i,l^q(G)).