A) Aufgabe. Radioaktivität in Lebensmitteln nach Tschernobyl

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A)Aufgabe. Radioaktivität in Lebensmitteln nach Tschernobyl

Am 26. April 1986 geriet das Kernkraftwerk Tschernobyl außer Kontrolle, radioaktiver Isotope gelangten in die Umwelt und die Atmosphäre. Fünf Tage später kamen sie zum Teil mit den Wol- ken auch nach Deutschland. In Süddeutschland regnete es. Radioaktive Nuklide gerieten in die Nahrungskette. In Milch und Wildschwein-

fleisch wurde in den folgenden Wochen eine deutlich erhöhte radioaktive Strahlung nach- gewiesen. Wie lange Lebensmittel kontrol- liert werden müssen soll untersucht werden.

Material 2

Milch durfte von Molkereien nur abgegeben werden, wenn die Akti- vität für Jod-131 je Liter kleiner als 500 Bq war. Die jeden Tag frisch von den Bauern angelieferte Milch wurde auf Radioaktivität untersucht.

In dem Diagramm in Abbildung2 sind die in einer Molkerei in Ra- vensburg gewonnenen Messwerte für die durch das Jod-131 verursach- te Aktivität in einem Liter der ange- lieferten Milch dargestellt.

Material 1

Isotop Symbol Zerfall t_H

Jod 131 ¹³¹

53 J β undγ 8,02 d Cäsium 137 ¹³⁷

55 Cs β undγ 31,1 a https://roter-faden-physik.de/ K3 von 7  Copyright Dr. Ortwin Fromm

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Aufgabe

a) Stelle die Zerfallsgleichung für Jod -131 auf.

Beschreibe die bei diesem Zerfall auftretende Kernumwandlung.

Vergleiche die drei wesentlichen Eigenschaften der bei dem Zerfall entstehenden Strahlungsarten.

b) Stelle in einem Diagramm den zeitlichen Verlauf der Aktivität von Jod-131 in einem Liter Milch für 50 Tage dar. Nimm an, dass die Anfangsaktivität 500 Bq betrug.

Ermittele die Aktivität dieser Milch nach14 Tagen.

Beurteile, ob die Belastung durch Jod-131 noch heute kontrolliert werden muss.

c) Berechne die Anzahl der Jod-131-Atome und die Masse von Jod-131 in einem Liter Milch am 5.

Mai 1986.

Berechne die beim Zerfall eines Jod-131-Atoms freiwerdende Energie in Elektronenvolt.

d) Interpretiere den im Diagramm in Abbildung 2 dargestellten zeitlichen Verlauf der Aktivität von Jod-131 in der Milch.

Erläutere, warum ohne die Anordnung des Ministers die Belastung der Milch mit Jod-131 in Ra- vensburg deutlich größere Höchstwerte erreicht hätte.

e) Schätze mit Hilfe einer Berechnung ab, wie lange die systematische Untersuchung des Fleisches von Wildschweinen in Süddeutschland noch erforderlich sein wird.

Lösung a)

b) Allgemein: Eine Probe beinhalte zum Anfangszeitpunkt t=0 die Anzahl N(0)=N₀ von radioak- tiven Atomkernen der Art X. Die Probe enthält auch noch andere Atomkerne, insbesondere die sich anreichernden Zerfallsprodukte von X .

Durch den radioaktiven Zerfall der Kerne nimmt die Anzahl N t( ) exponentiell ab: Jeweils nach der Halbwertszeit t_H halbiert sich die Anzahl der verbliebenen radioaktiven Kerne X .

Für die Zeitfunktion gibt es zwei Schreibweisen:

( 1 )

ln 2

( ) 0 ^H

t

N t N e t

− ⋅

= ⋅ und ( 2 ) ( ) ₀ 0, 5 ^H

t

N t =N ⋅ t ,

denn es gilt e^{−ln 2} =0, 5. Je nach Aufgabenstellung ist Form (1) oder Form (2) günstiger.

Der Zerfall, und damit die Abnahme der Kerne X , bewirkt Strahlung.

Je mehr Kerne pro Sekunde zerfallen, desto intensiver ist die Strahlung.

Deshalb definiert man die Strahlungsaktivität ( )A t als negative erste Ableitung von N t( ). Die Ableitung gewinnt man leichter aus der Form (1) mittels äußerer und innerer Ableitung:

ln 2 ln 2

0 0

ln 2 ln 2 ln 2

( ) ( ) ^H ( ) ^H ( )

t t

t t

H H H

A t N t N e N e N t

t t t

⋅ ⋅

− −

= − ′ = − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ .

Also ln 2

( ) ( )

H

A t N t

= t ⋅ . Das gilt auch für den Anfangszeitpunkt ₀ ln 2 ₀

H

A N

= t ⋅

N Z

β⁻ - Für β- Strahler gilt allgemein _Z^AX→_Z+^A₁Y + e +₋⁰₁ γ .

Hier also ¹³¹₅₃J →¹³¹₅₄Xe+ e +₋⁰₁ γ .

- Ein Neutron verwandelt sich in ein Proton. Dabei wird ein Elektron und ein Neutrino abgestrahlt: β ⁻: ¹₀n→¹₁ p+₋⁰₁ e+ν .

- Die β-Strahlung wird z.B. von Aluminiumblech abgeschirmt und im elektrischen, wie auch im magnetischen Feld abgelenkt.

Die γ -Strahlung wirkt ionisierend, wird nicht abgelenkt und von z.B.

Blei abgeschirmt.

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Daraus folgt auch die Maßeinheit von ( )A t . Weil die Anzahl N t( ) keine Maßeinheit besitzt und t_H die Maßeinheit s hat, ergibt sich für ( )A t die Maßeinheit 1/s = s⁻¹.

Bei Schwingungen gibt die Maßeinheit Hertz=1/s die Anz. der Schwingungen pro Sekunde an.

Bei der Radioaktivität gibt die Maßeinh. Becquerel =Bq=s⁻¹ die Anz. der Zerfälle pro Sek. an.

Entsprechend den Formeln (1) und (2) für N t( ) hat man Formeln für ( )A t (3)

ln 2

( ) 0 ^H

t

A t A e t

− ⋅

= ⋅ und (4) ( ) ₀ 0, 5 ^H

t

A t = A ⋅ t . Zur Aufgabe: A₀ =500Bq bedeutet, dass anfangs pro Sekunde 500 Zerfälle stattfinden.

Stelle für A(t) eine Wertetabelle auf, zeichne ein Diagramm

Nach Material 1 beträgt die Halbwertzeit von Jod-131 t_H =8, 02d. Entweder man halbiert A₀ mehrfach oder verwende die Formel ( ) ₀ 0,5 ^H

t

A t =A ⋅ t , denn diese „halbiert“ auch pro t_H .

c) Am 5.Mai 1986 gab es gemäß Material 2 eine ¹³¹₅₃J -Aktivität von ca. A₀ =180Bq. (1)Berechnung der Anzahl der radioaktiven Atomkerne.

Aus der Aktivität A₀ schließt man zunächst auf die AnzahlN₀: Dazu wird die Gleichung ₀ ln 2 ₀

H

A N

= t ⋅ nach N₀ umgestellt: _{0 0} ln 2

tH

N = ⋅A .

Achtung: Die HWZ t_H muss nun aber in Sekunden eingesetzt werden, denn die Aktivität A₀ wird in Bq= s⁻¹ gemessen. Ergebnis: _{0 0} 8, 02 24 3600 ^{1 8}

180 1, 799 10

ln 2 ln 2

tH s

N A ⋅ ⋅ s⁻

= ⋅ = ⋅ = ⋅ .

Die Anz. der radioaktiven ¹³¹₅₃J-Atome pro Liter Milch betrug am 5.Mai 1986 N₀ =1, 799 10⋅ ⁸. (2)Gefragt ist die„Masse von Jod-131“. Man darf also nicht die Kernmasse nehmen.

Nach Material 4: Die Atommasse von¹³¹₅₃J ist m_Atom =130, 906124u. Dabei ist u die atomare Masseneinheit u=1, 660 540 10⋅ ⁻²⁷kg. Daraus folgt

8 27 17

0 130, 906124 1, 799 10 130,906124 1, 660540 10 3,911 10

mJod =N ⋅ u= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⁻ kg = ⋅ ⁻ kg

t in Tagen 0 8.02 16.04 24.06 32.08 40.1 48.12 56.14 A(t) in Bq 500 250 125 62.5 31.25 15.625 7.8125 3.9062

0 10 20 30 40 50

100 200 300 400 500 500

0 NN N x( )

50

0 tt x,

A in Bq

t in d Aktivität nach t = 14 d :

14

(14 ) 500 0, 58,02 d

A d = Bq⋅ d

1,746

500Bq 0,5 149,1Bq

= ⋅ = .

Muss heute noch getestet werden?

Der Unfall liegt 35 Jahre = 12 784 d zurück.

Schon nach 50 Tagen war fast alles weg. Eintippen.

12 784

(12 784 d ) 500 0, 5 8,02 d

A = Bq⋅ d ergibt null.

4

Freiwerdende Energie pro Atomkern: Sie ergibt sich aus dem Massedefekt in der Gleichung

131 131 0

53J → 54Xe+ e +₋1 γ . Die Massen entnimmt man der letzten Spalte von Material 4.

131 53

130,8770537

m J = u ; 131

54

130,8754629

m Xe= u außerdem m_e =0, 0005485u Also: ^{∆m = Masse}

(

)

(

)

Gemäß ∆W = ∆ ⋅m c² entspricht die atomare Masseneinheit u einer Energie W_u = ⋅u c². Mit c=2, 997 924 58 10⋅ ⁸m s/ erhält man die Energie zunächst in Joule .

Zur Umrechnen auf die Energiemaßeinheit eV teilt man durch die Maßzahl der Elementarldg. e in Coulomb " " 1, 602 177 33 10e = ⋅ ⁻¹⁹. Also entspricht 1u der Energie W_u = ⋅u c²/" "e in eV.

Einsetzen: W_u = ⋅u c²/" "e . Also W_u =9, 3149 10⋅ ⁸eV .

Damit entspricht dem Massedefekt ∆m=0, 001042u pro ¹³¹₅₃J die Energie ∆W =970,896keV d) In Material 2 liest man, dass die Kühe zunächst draußen waren, dann in die Ställe kamen und dann

wieder rausgeschickt wurden. Darauf beruht der zweite Anstieg.

e) Laut Material 3 ist beim Schweinefleisch das radioaktive Isotop ¹³⁷₅₅Cs relevant.

Dessen Halbwertszeit beträgt t_H =31,1a.

Die Aktivität soll von A₀ =2131Bq auf A₁=600Bq pro Kilogramm absinken.

Wir müssen die Formel

ln 2

( ) 0 ^H

t

A t A e t

− ⋅

= ⋅ nach t umstellen:

ln 2

0 0

( ) ^H : ln (...)

t

A t A e t A

− ⋅

= ⋅

ergibt

0

( ) ln 2

ln ln 2

H H

t

A t t

A t

  ⋅

= − ⋅ −

 

  ^ergibt 0

ln ( ) ln 2

tH A t

t A

 

= − ⋅  

  ^.

Bemerkung: Weil A t( )<A₀ ist der Logarithmus negativ, so dass die Zeit t positiv wird:

31,1 600

ln 56,866

ln 2 2131

a Bq

t a

Bq

 

= − ⋅  =

 

Die Untersuchungen am Wildschweinfleisch müssen noch ca. 57 Jahre lang durchgeführt werden.